常微分方程解的结构

1 x cos 2x 4 sin 2x (4 cos 2x 1 x sin 2x)i,
3
9
9
3
所求非齐方程特解为 y 1 x cos 2x 4 sin 2x,
3
9（取实部）
原方程通解为
y

C1
cos
x

C
2
sin
x

1 3
x
cos
2x4 9sin2x
.
注意 Aex cosx, Aex sinx
定理9.1 设 y1( x), y2( x)是方程 y py qy 0 的两个 线性无关的解，则
y( x) C1 y1( x) C2 y2( x)
是方程的通解，其中 C1, C2 为任意常数.
二阶常系数齐次线性方程解法
y py qy 0
r 2 pr q 0
综上讨论 设 y* xke xQn( x) ,
0 不是根 k 1 是单根,
2 是重根
特别地 y py qy Aex


2

A
p

q
e
x
,
不是特征方程的根
y*



A xe x
2 p
是特征方程的单根 ,

A x2ex 2
是特征方程的重根
例1 求方程 y 3 y 2 y xe2x 的通解.
解 特征方程 r 2 3r 2 0,
特征根 r1 1，r2 2，
对应齐次方程通解 Y C1e x C2e2x ,
2 是单根，设 y x( Ax B)e2x ,
代入方程, 得 2Ax B 2A x
2. y py qy Pn( x)ex
设非齐方程特解为 y* Q( x)e x 代入原方程
Q( x) (2 p)Q( x) ( 2 p q)Q( x) Pn( x)
(1) 若不是特征方程的根，2 p q 0,
可设 Q( x) Qn( x), y* Qn( x)e x;
2i 不是特征方程的根, 设 y* ( Ax B)e2ix , 代入辅助方程
4Ai 3B 0 3A 1
A 1，B 4 i,
3
9
y* ( 1 x 4 i)e2ix , 39
( 1 x 4 i)(cos 2x i sin 2x) 39
常见类型 Pn( x), Pn( x)ex ,
e x ( A1 cos x A2 sin x)
难点：如何求特解？ 方法：待定系数法.
1. y py qy Pn( x)
设非齐方程特解为 y* 为多项式 Q( x)， 代入方程
Q( x) pQ( x) qQ( x) Pn( x)
Q( x) pQ( x) qQ( x) Pn( x)
q 0 时， Q( x) a0 xn a1xn1 L an1 x an 其中 a0, a1,L ,an 为待定系数. q 0 , p 0 时， 可设
Q( x) a0 xn1 a1xn L an1x2 an x q 0 , p 0 时， 方程通解可由 y Pn( x) 直接积分得到.
分别是 Ae(i )x 的实部和虚部.
例4 求方程 y y tan x 的通解.
解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x, 用常数变易法求非齐方程通解
设 y c1( x)cos x c2 ( x)sin x,
w( x) 1,
c1( x) c2( x)
所求非齐方程特解为 y 2x cos x, （取虚部）
原方程通解为 y C1 cos x C2 sin x 2x cos x.
例3 求方程 y y x cos 2x 的通解.
解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x, 作辅助方程 y y xe2ix ,
的待定特解的形式.
思考题解答
设 y 4 y 4 y 6x2 的特解为 y1* 设 y 4 y 4 y 8e2x 的特解为 y2* 则所求特解为 y* y1* y2* r 2 4r 4 0 特征根 r1,2 2 y1* Ax2 Bx C y2* Dx2e2x（重根） y* y1* y2* Ax2 Bx C Dx2e2x .
特征根为
p r1 r2 2 ,
一特解为 y1 e r1x ,
另一特解
y

xe
r 2
x
;
所以齐次方程的通解为
y (C1 C2 x)e r1x ;
(3) 有一对共轭复根 ( p2 4q 0)
特征根为 r1 j , r2 j ,
y1 ex cos x, y2 ex sin x,
(2) f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn ( x)sinx],
y

x
k
e
x
[
R(1) m
(
x
)
cos
x

R(2 m
)
(
x
)
sinx];
只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取 特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解.
思考题
写出微分方程 y 4 y 4 y 6x2 8e2x
y( x) Y ( x) y*( x),
定理 如果 y1( x) 与 y2( x) 分别为方程 y py qy f1( x), 和 y py qy f2( x)
的特解，Y 是方程
y py qy 0, 的通解，则
y( x) Y ( x) y1*( x) y2*( x) 是方程 y py qy f1( x) f2( x) 的通解.
方程的通解为 y ex (C1 cosx C2 sinx).
y py qy 0 r2 pr q 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1e r1 x C2e r2 x y (C1 C2 x)e r2 x

e x [ Pl
e ix
eix 2

Pn
e ix
eix 2i
]
( Pl Pn )e( i ) x ( Pl Pn )e( i ) x
2 2i
2 2i
P( x)e(i )x P ( x)e(i )x ,
设 y py qy P( x)e(i )x , y1 xkQme(i )x ,
y ex (C1 cos x C2 sin x)
二阶常系数非齐次线性方程
y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
对应齐次方程 y py qy 0, 通解结构 如果 y*( x) 是方程 y py qy f ( x) 的一个特解， Y ( x) 是方程对应的齐次方程的通解，则方程的通解 为
常系数线性微分方程解的结构
n阶常系数线性微分方程的标准形式
y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y f ( x)
二阶常系数线性方程的标准形式
y py qy f ( x)
定义：设 y1( x), y2( x) 为定义在 (a,b)内的两个函数， 如果存在非零常数 k,使得 y( x) ky( x),则称y1( x), y2( x) 线性相关，否则称 y1( x), y2( x) 线性无关.
(2) 若是特征方程的单根，
2 p q 0, 2 p 0,
可设 Q( x) xQn( x), y* xQn( x)e x;
(3) 若是特征方程的重根，
2 p q 0, 2 p 0,
可设 Q( x) x2Qn( x), y* x2Qn( x)e x .
设 y py qy P ( x)e(i )x , y2 xkQme(i )x ,
y xkex[Qmeix Qmeix ]
xkex[Rm(1)( x)cosx Rm(2)( x)sinx],
其中 Rm(1)( x), Rm(2)( x)是m次多项式，m maxl, n
特征方程
特征根
r1,2 p
p2 4q ,
2
(1) 有两个不相等的实根 ( p2 4q 0)
特征根为 r1 r2
两个线性无关的特解
y1 e r1x ,
y2 e r2x ,
得齐次方程的通解为
y

C e r1x 1

C2e r2x ;
(2) 有两个相等的实根 ( p2 4q 0)


A

1 2
,
于是 y x(1 x 1)e2x
B 1
2 原方程通解为
y C1e x
C2e2x

x(1 x 1)e2x 2
.
二、f ( x) ex[Pl ( x)cosx Pn( x)sinx] 型
f ( x) ex[Pl cosx Pn sinx] 利用欧拉公式

sin x cos x
ln sec C2
x

tan
x

C1 ,
原方程通解为
y C1 cos x C2 sin x cos x ln sec x tan x .
三、小结 (待定系数法)
(1) f ( x) ex Pm ( x), (可以是复数）