常微分方程常见形式及解法 PPT
合集下载
常微分方程-恰当方程.ppt
例3 验证方程 (cos x sin x xy2 )dx y(1 x2 )dy 0,
是恰当方程,并求它满足初始条件y(0)=2的解.
解:这里M (x, y) cos x sin x xy2, N (x, y) y(1 x2 ),
M (x, y) 2xy N (x, y) ,
y
x
故所给方程是恰当方程. 把方程重新“分项组合”得
下面证明(7)的右端与 x无关, 即对x的偏导数常等于零
事实上
x
[N
y
M
(x, y)dx] N
x x
[
y
M
(
x,
y)dx]
N x
[ y x
M (x,
y)dx]
N x
M y
0.
于是, (7)右端的确只含有 y,积分之得
(
y)
[N
y
M
(
x,
y)dx]dy,
故
u(
x,
y)
M
(x,
y)dx
du u dx u dy x y
如果我们恰好碰见了方程
u(x, y) dx u(x, y) dy 0
x
y
就可以马上写出它的隐式解
u(x, y) c.
1 恰当方程的定义
定义1 若有函数u(x, y), 使得
du(x, y) M (x, y)dx N(x, y)dy
则称微分方程
M (x, y)dx N(x, y)dy 0, (1)
由于 2u 和 2u 都是连续的 ,从而有 2u 2u ,
yx xy
yx xy
故
M (x, y) N (x, y) .
y
x
常微分方程4 PPT资料共46页
x (t0 ) 0 ,x '(t0 ) 1 , ,x (n 1 )(t0 ) 0
x (t0 ) 0 ,x '(t0 ) 0 , ,x (n 1 )(t0 ) 1
的 n个x解 1(t),x2(t) ,xn(t)一定,存 又因为在 1 0 0
W [x 1 (t0 )2,x 2 (t0 ) ,,x n (t0 ) ]0
d d n n x ta 1 (t)d d n n 1 1 x t a n (t)x f(t) (3 .1 .1 ) 其ai(中 t)i(1 ,2, n)及 f(t)都a 是 tb的连.
如f(果 t)0,则方 (3.1.1)程 变为
d d n n x ta 1 (t)d d n n 1 1 x t a n (t)x 0 (3 .1 .2 )
c 1 x 1 ( n 1 ) ( t 0 ) c 2 x 2 ( n 1 ) ( t 0 ) c n x n ( n 1 ) ( t 0 ) 0
其系数行列式为 W(t0) 0 , 故它有非零 c1,c解 2,cn,
现以这组常数构造函数,
上述方程组 c1,c2是 ,cn关 的于 齐次方 , 程 它的系数 W就 ro是 n的 sk行 y 列 ,由线式 性代数理论知
要使方程组存在非零解, 则它的系数行列式必为零,
即 W (t)0, t [a,b].
注 定理3的逆不成立.
如函数
t2, t 0
x1(t)
0,
, t 0
0, t 0
x ( t ) c 1 x 1 ( t ) c 2 x 2 ( t ) c n x n ( t )( , 3 . 1 . 7 )
x (t0 ) 0 ,x '(t0 ) 0 , ,x (n 1 )(t0 ) 1
的 n个x解 1(t),x2(t) ,xn(t)一定,存 又因为在 1 0 0
W [x 1 (t0 )2,x 2 (t0 ) ,,x n (t0 ) ]0
d d n n x ta 1 (t)d d n n 1 1 x t a n (t)x f(t) (3 .1 .1 ) 其ai(中 t)i(1 ,2, n)及 f(t)都a 是 tb的连.
如f(果 t)0,则方 (3.1.1)程 变为
d d n n x ta 1 (t)d d n n 1 1 x t a n (t)x 0 (3 .1 .2 )
c 1 x 1 ( n 1 ) ( t 0 ) c 2 x 2 ( n 1 ) ( t 0 ) c n x n ( n 1 ) ( t 0 ) 0
其系数行列式为 W(t0) 0 , 故它有非零 c1,c解 2,cn,
现以这组常数构造函数,
上述方程组 c1,c2是 ,cn关 的于 齐次方 , 程 它的系数 W就 ro是 n的 sk行 y 列 ,由线式 性代数理论知
要使方程组存在非零解, 则它的系数行列式必为零,
即 W (t)0, t [a,b].
注 定理3的逆不成立.
如函数
t2, t 0
x1(t)
0,
, t 0
0, t 0
x ( t ) c 1 x 1 ( t ) c 2 x 2 ( t ) c n x n ( t )( , 3 . 1 . 7 )
常微分方程的常见解法
曲线（称为积分曲线），且 fx,x就是该曲线上
的点 x,x处的切线斜率，特别在 x0, y0切线斜率 就是 f x0,y0 尽管我们不一定能求出方程 1.3.1 的 解，但我们知道它的解曲线在区域D中任意点 x, y
的切线斜率是 f x, y。 如果我们在区域D内每一点 x, y 处，都画上一个
可化为齐次方程的方程
形如
dyf(a xb yc) dx a1b1yc1
的方程可化为齐次方程.
其中 a,b,c,a1,b1,c1都是常数.
1. 当 cc10时, 此方程就是齐次方程.
2. 当 c2c120 时, 并且
ab
(1)
a1
0 b1
此时二元方程组 axbyc0 a1xb1yc0
有惟一解 x,y.
例，且融化过程中它始终为球体，该雪球在
开始时的半径为6cm ，经过2小时后，其半径缩
小为3cm。求雪球的体积随时间变化的关系。
解:设t时刻雪球的体积为 V ( t ) ，表面积为 S ( t ) ，
由题得
dV(t) kS(t)
dt
12 2
球体与表面积的关系为 S(t)(4)333V3
12
引入新常数r (4)333k 再利用题中的条件得
或
x
y
F (x ,y )x 0M (s ,y ) d s y 0N (x 0 ,s ) d
s
例：验证方程
( y c o s x 2 x e y ) d x ( s i n x x 2 e y 2 ) d y 0
是全微分方程，并求它的通解。 解：由于 M (x ,y ) y c o sx 2 x e yN (x ,y ) s in x x 2 e y 2
常微分方程的常见解法
实例解析
实例1
求解一阶线性常微分方程 $y' + p(x)y = q(x)$，通过引入参数 $lambda$，可以将方程转化为 $lambda y = q(x)$，从而简化求解过程。
实例2
求解二阶常微分方程 $y'' + y' + y = 0$，通过引入参数 $lambda$，可以将方程转化为 $lambda^2 + lambda + 1 = 0$，从而求解出 $lambda$ 的值，进一步得到原方程的解。
当 (M(x)) 和 (N(x)) 均为非零函数时，该方法适用。
实例解析
1. 确定积分因子
选择积分因子为 (e^x)
5. 解出原方程
将 (e^x y = frac{1}{3} e^{3x} + C) 代入 原方程，解得 (y = frac{1}{3} x^2 + Ce^{-x})
4. 解方程
对两边积分，得到 (e^x y = frac{1}{3} e^{3x} + C)
04 积分因子法
定义与特点
定义
积分因子法是一种通过引入一个因子来简化微分方程的方法。
特点
通过乘以一个适当的因子，可以将微分方程转化为可分离变量的形式，从而简化求解过程。
适用范围
适用于形如 (M(x)y' + N(x)y = f(x)) 的线性微分方程，其中 (M(x)) 和 (N(x)) 是 已知函数，(f(x)) 是给定的函数。
实例2
考虑一阶常微分方程 (dy/dx = xy)，其中 (x > 0) 且 (y > 0)。通过分离变量法， 我们可以得到 (dy/y = xdx)，进一步求解得到 (ln|y| = frac{1}{2}x^2 + C)，其 中 (C) 是积分常数。
高等数学 常微分方程PPT课件
第12页/共35页
【解法】需经过变量代换化为一阶线性微分方程.
除方程两边 , 得
yn d y P( x) y1n Q( x) dx
令 z y1n , 则 dz (1 n) yn d y
dx
dx
dz (1 n) P( x) z (1 n)Q( x) (关于z , x的一阶线性方程) dx
特征方程法
待 定
特征方程的根 及其对应项
系
数
法 f(x)的形式及其
特解形式
高阶方程 可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
欧拉方程
第4页/共35页
微分方程解题思路
一阶方程
作 变 换
降 阶
高阶方程
分离变量法 全微分方程 常数变易法
作变换 积分因子
非非 变全 量微 可分
分方 离程
特征方程法
［提示］(1)
原方程化为
令u=xy,得 (2) 将方程改写为
d u u ln u (分离变量方程) dx x
d y 1 y y3 (贝努里方程) d x 2x ln x 2x
令 z y2
第17页/共35页
【例3】 识别下列一阶微分方程的类型，并求解
1)
【解】
y y x
①可分离变量的微分方程
u e P( x)d x P( x) ue P( x)d x P( x) u e P( x)d x Q( x)
即 两端积分得
非齐பைடு நூலகம்方程
dy P(x) y Q(x)
dx
u Q(
对应齐次方程通解
x
)
e
P( x)d
y
x
dx
【解法】需经过变量代换化为一阶线性微分方程.
除方程两边 , 得
yn d y P( x) y1n Q( x) dx
令 z y1n , 则 dz (1 n) yn d y
dx
dx
dz (1 n) P( x) z (1 n)Q( x) (关于z , x的一阶线性方程) dx
特征方程法
待 定
特征方程的根 及其对应项
系
数
法 f(x)的形式及其
特解形式
高阶方程 可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
欧拉方程
第4页/共35页
微分方程解题思路
一阶方程
作 变 换
降 阶
高阶方程
分离变量法 全微分方程 常数变易法
作变换 积分因子
非非 变全 量微 可分
分方 离程
特征方程法
［提示］(1)
原方程化为
令u=xy,得 (2) 将方程改写为
d u u ln u (分离变量方程) dx x
d y 1 y y3 (贝努里方程) d x 2x ln x 2x
令 z y2
第17页/共35页
【例3】 识别下列一阶微分方程的类型，并求解
1)
【解】
y y x
①可分离变量的微分方程
u e P( x)d x P( x) ue P( x)d x P( x) u e P( x)d x Q( x)
即 两端积分得
非齐பைடு நூலகம்方程
dy P(x) y Q(x)
dx
u Q(
对应齐次方程通解
x
)
e
P( x)d
y
x
dx
常微分方程常见形式及解法课件PPT
2021/3/10
11
谢谢观看
2021/3/10
12
常微分方程常见形式及解法
2021/3/10
知行1301 13275001
毕文彬
1
微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系 的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在 初等数学的代数方程，其解是常数值。 常微分方程（ODE）是指一微分方程的未知数是单一 自变数的函数。最简单的常微分方程，未知数是一个 实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向量函 数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程组成 的系统。微分方程的表达通式是：
非齐次一阶常系数线性微分方程：
齐次二阶线性微分方程：
描述谐振子的齐次二阶常系数线性微分方程：
非齐次一阶非线性微分方程：
描述长度为L的单摆的二阶非线性微分方程：
3
2021/3/10
微分方程的解
微分方程的解通常是一个函数表达式（含一 个或多个待定常数，由初始条件确定）。例如 ： dy/dx=sinx， 的解是 y=-cosx+C， 其中C是待定常数； 例如，如果知道 y=f(π)=2， 则可推出 C=1， 而可知 y=-cosx+1，
4
简易微分方程的求解方法
01
一阶线性常微分方程
02
二阶常系数齐次常微分方程
2021/3/10
5
01 一阶线性常微分方程
对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常 数变易法： 对于方程：
可知其通解：
然后将这个通解代回到原式中，即可求出 C(x)的值
2021/3/10
6
02 二阶常系数齐次常微分方程
对于二阶常系数齐次常微分方程，常 用方法是求出其特征方程的解 对于方程： 可知其通解： 其特征方程： 根据其特征方程，判断根的分布情况 ，然后得到方程的通解 一般的通解形式为(在r1=r2的情况下):
第一章_常微分方程
作业
1. 求方程y2y3y=0的通解。
2. 求方程y2yy0满足初始条件y|x04、 y| x02的特解。
3. 求方程y2y5y 0的通解。
1.2 常系数非齐次线性微分方程
方程
y+py+qy = f(x) (3) 称为二阶常系数非齐次线性微分方程，其
中p、q均为常数，f (x)为非齐次项
一、常数变易法
将方程(3)的特解记为 y(x) c1(x) y1(x) c2(x) y2 (x)
其中y1(x)和 y2 (x)为对应齐次方程的一对线性无关 解。将上述特解带入方程(3)可求解 c1(x)和c2 (x)。
由于 y c1y1 c2 y2 c1 y1 c2 y2 ，若令
c1 y1 c2 y2 0 则 y c1 y1 c2 y2 ，
齐次方程，有
2a1 3a0 3a1x 3x 1 由同幂次系数相等求解得
a1
1
a0
1 3
则非齐次方程的一个特解为
y* x 1 3
B.特殊情况
➢ 如果方程(3)的非齐次项 f(x)正好是对应齐次 方程的解，即各个非齐次项对应的指数
i 0 i
是原方程对应齐次方程的m重特征根，则方 程(3)的特解在原表达式上乘以xm 。
A.基本解法
【例 1.2.2】 求非齐次方程 y 2 y y 3e2x 的通解。 解：假设方程的一个特解为 y*(x) Ae2x ，代入非齐
次方程，有 4Ae2x 2Ae2x Ae2x 3e2x
求得 A 1。因此，方程的一个特解为 y* (x) e2x
又对应齐次方程的通解为 y(x) (c0 +c1x)ex ，因此 非齐次方程的通解为
是方程(1)的两个线性无关的解，方程的通解为
常微分方程 ppt课件
量，x是未知函数，是未知函数对t导数. 现
在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果
考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程
(1.1)可化为
d2x dt 2
g
(1.2)
将上式对t积分两次得
x(mt)xk12xgt2mgc1t c2
(1.3) (1.1)
ppt课件
11
一般说来，微分方程就是联系自变量、 未知函数以及未知函数的某些导数之间的关 系式. 如果其中的未知函数只是一个自变量 的函数，则称为常微分方程；如果未知函数 是两个或两个以上自变量的函数，并且在方 程中出现偏导数，则称为偏微分方程. 本书 所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分 方程或方程.
这样，从定义1.1可以直接验证：
F(x, y, y) 0
(1.8)
如果在(1.8)中能将 y 解出，则得到方程
y f (x, y)
(1.9)
或
M (x, y)dx N(x, y)dy 0
(1.10)
(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微 分形式的一阶方程.
ppt课件
14
n 阶隐式方程的一般形式为
常微分方程
ppt课件
1
常微分方程课程简介
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、 物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数 学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航 天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都 可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、 万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、 人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗
ppt课件
2
传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的 浮动、市场均衡价格的变化等，对这些 规律的描述、认识和分析就归结为对相 应的常微分方程描述的数学模型的研究.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
描述谐振子的齐次二阶常系数线性微分方程：
非齐次一阶非线性微分方程：
描述长度为L的单摆的二阶非线性微分方程：
微分方程的解
微分方程的解通常是一个函数表达式（含一 个或多个待定常数，由初始条件确定）。例如： dy/dx=sinx， 的解是 y=-cosx+C， 其中C是待定常数； 例如，如果知道 y=f(π)=2， 则可推出 C=1， 而可知 y=-cosx+1，
简易微分方程的求解方法
01
一阶线性常微分方程
02
二阶常系数齐次常微分方程
01 一阶线性常微分方程
对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常 数变易法： 对于方程：
可知其通解：
然后将这个通解代回到原式中，即可求出 C(x)的值
02 二阶常系数齐次常微分方程
对于二阶常系数齐次常微分方程，常 用方法是求出其特征方程的解 对于方程： 可知其通解： 其特征方程： 根据其特征方程，判断根的分布情况， 然后得到方程的通解 一般的通解形式为(在r1=r2的情况下):
常微分方程常依其阶数分类，阶数是指自变数导数的 最高阶数，最常见的二种为一阶微分方程及二阶微分 方程。例如以下的贝塞尔方程：
（其中y为应变数）为二阶微分方程，其解为贝塞尔 函数。
常见例子
以下是常微分方程的一些例子，其中u为未知的函数，自变 数为x，c及ω均为常数。 非齐次一阶常系数线性微分方程：
齐次二阶线性微分方程：
常微分方程常见形式及解法
微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关 系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而 在初等数学的代数方程，其解是常数值。
常微分方程（ODE）是指一微分方程的未知数是 单一自变数的函数。最简单的常微分方程，未知数是 一个实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向 量函数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程 组成的系统。微分方程的表达通式是：
(在的r1≠r2情况下): (在共轭复数根的情况下)：一般通解01来自可分离方程02
一般一阶微分方程
03
一般二阶微分方程
04
线性方程 (最高到n阶)
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
01
可分离方程
02 一般一阶微分方程
03 一般二阶微分方程 04 线性方程 (最高到n阶)
非齐次一阶非线性微分方程：
描述长度为L的单摆的二阶非线性微分方程：
微分方程的解
微分方程的解通常是一个函数表达式（含一 个或多个待定常数，由初始条件确定）。例如： dy/dx=sinx， 的解是 y=-cosx+C， 其中C是待定常数； 例如，如果知道 y=f(π)=2， 则可推出 C=1， 而可知 y=-cosx+1，
简易微分方程的求解方法
01
一阶线性常微分方程
02
二阶常系数齐次常微分方程
01 一阶线性常微分方程
对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常 数变易法： 对于方程：
可知其通解：
然后将这个通解代回到原式中，即可求出 C(x)的值
02 二阶常系数齐次常微分方程
对于二阶常系数齐次常微分方程，常 用方法是求出其特征方程的解 对于方程： 可知其通解： 其特征方程： 根据其特征方程，判断根的分布情况， 然后得到方程的通解 一般的通解形式为(在r1=r2的情况下):
常微分方程常依其阶数分类，阶数是指自变数导数的 最高阶数，最常见的二种为一阶微分方程及二阶微分 方程。例如以下的贝塞尔方程：
（其中y为应变数）为二阶微分方程，其解为贝塞尔 函数。
常见例子
以下是常微分方程的一些例子，其中u为未知的函数，自变 数为x，c及ω均为常数。 非齐次一阶常系数线性微分方程：
齐次二阶线性微分方程：
常微分方程常见形式及解法
微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关 系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而 在初等数学的代数方程，其解是常数值。
常微分方程（ODE）是指一微分方程的未知数是 单一自变数的函数。最简单的常微分方程，未知数是 一个实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向 量函数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程 组成的系统。微分方程的表达通式是：
(在的r1≠r2情况下): (在共轭复数根的情况下)：一般通解01来自可分离方程02
一般一阶微分方程
03
一般二阶微分方程
04
线性方程 (最高到n阶)
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
01
可分离方程
02 一般一阶微分方程
03 一般二阶微分方程 04 线性方程 (最高到n阶)