36635_《微积分基本定理》教案1
微积分基本定理教案
1.4.2 微积分基本定理【学习要求】会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．【学法指导】本小节主要解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形面积问题．在这部分的学习中，应特别注意利用定积分的几何意义，借助图形直观，把平面图形进行适当的分割，从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形面积的问题.1．当x ∈[a ，b]时，若f(x)>0，由直线x ＝a ，x ＝b(a≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S ＝__ ʃb a f(x)dx______.2．当x ∈[a ，b]时，若f(x)<0，由直线x ＝a ，x ＝b(a≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S ＝___－ʃb a f(x)dx______.3．当x ∈[a ，b]时，若f(x)>g(x)>0时，由直线x ＝a ，x ＝b(a≠b)和曲线y ＝f(x)，y ＝g(x)围成的平面图形的面积S ＝__ ʃb a [f(x)－g(x)]dx____________.(如图)探究点一 求不分割型图形的面积问题 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可． 例1 计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 2所围图形的面积S.解 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 2得交点的横坐标为x ＝0及x ＝1. 因此，所求图形的面积为S ＝S 曲边梯形OABC －S 曲边梯形OABD＝ʃ10xdx －ʃ10x 2dx ＝23 |10－13x 3|10＝23－13＝13. 小结 求由曲线围成图形面积的一般步骤：(1)根据题意画出图形；(2)找出范围，确定积分上、下限；(3)确定被积函数；(4)将面积用定积分表示；(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4y ＝－x ＋2 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S ，根据图形可得S ＝ʃ2－3(－x ＋2)dx －ʃ2－3(x 2－4)dx＝(2x －12x 2)|2－3－(13x 3－4x)|2－3 ＝252－(－253)＝1256. 32x探究点二 分割型图形面积的求解问题 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？答 求出曲线的不同的交点横坐标，将积分区间细化，分别求出相应区间曲边梯形的面积再求和，注意在每个区间上被积函数均是由上减下．例2 计算由直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 以及x 轴所围图形的面积S.解 方法一 作出直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 的草图．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，y ＝x －4 得直线y ＝x －4与曲线y ＝2x 交点的坐标为(8,4)．直线y ＝x －4与x 轴的交点为(4,0)．因此，所求图形的面积为S ＝S 1＋S 2＝ʃ402xdx ＋⎰⎰--8484]d )4(d 2[x x x x＝403. 方法二 把y 看成积分变量，则S ＝ʃ40(y ＋4－12y 2)dy ＝(12y 2＋4y －16y 3)|40＝403. 小结 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x 运算较繁锁，则积分变量可选y ，同时要更换积分上、下限．跟踪训练2 求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解 画出图形，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－13x ， 及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，所以S ＝ʃ10[x －(－13x)]dx ＋ʃ31[(2－x)－(－13x)]dx ＝ʃ10(x ＋13x)dx ＋ʃ31(2－x ＋13x)dx＝223 |40＋223 |84－12(x －4)2|8432x 32x ＝(23 ＋16x 2)|10＋(2x －12x 2＋16x 2)|3132x＝23＋16＋(2x －13x 2)|31 ＝56＋6－13×9－2＋13＝136. 探究点三 定积分的综合应用例3 在曲线y ＝x 2(x≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，试求： 切点A 的坐标以及在切点A 的切线方程．解 如图，设切点A(x 0，y 0)，由y′＝2x ，过点A 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20，令y ＝0，得x ＝x 02，即C(x 02，0)， 设由曲线和过点A 的切线与x 轴围成图形的面积为S ，则S ＝S 曲边△AOB －S △ABC ，S △ABC ＝12|BC|·|AB|＝12(x 0－x 02)·x 20＝14x 30. ∴S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112.所以x 0＝1， 从而切点为A(1,1)，切线方程为2x －y －1＝0.小结 本题综合考查了导数的意义以及定积分等知识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使问题得以解决．跟踪训练3 如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值． 解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝ʃ10(x －x 2)dx ＝⎝⎛⎭⎫x 22－13x 3|10＝16. 又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ， 由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S 2＝ʃ1－k 0(x －x 2－kx)dx ＝⎝⎛⎭⎫1－k 2x 2－13x 3|1－k 0＝16(1－k)3. 又知S ＝16，所以(1－k)3＝12， 于是k ＝1－ 312＝1－342. 4．由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积是___193___． 解析 由图形可得S ＝ʃ10(x 2＋4－5x)dx ＋ʃ41(5x －x 2－4)dx ＝(13x 3＋4x －52x 2)|10＋(52x 2－13x 3－4x)|41 ∵S 曲边△AOB ＝ʃ x 2d x ＝13x 3| ＝13x 30，00x00x＝13＋4－52＋52×42－13×43－4×4－52＋13＋4＝193. 对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标．(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的.。
人教版高中数学微积分基本定理教案2023
人教版高中数学微积分基本定理教案2023一、教学目标通过本节课的学习，学生能够：1. 理解微积分的基本概念和基本定理；2. 掌握微积分中的积分运算方法；3. 运用微积分的基本定理解决实际问题。
二、教学重点1. 微积分的基本概念和基本定理；2. 积分运算方法的应用；3. 实际问题的解决方法。
三、教学准备1. 教材《人教版高中数学》；2. 多媒体投影仪；3. 黑板、彩色粉笔；4. 练习题和例题。
四、教学过程1. 导入通过引入实例或问题，激发学生的学习兴趣。
例如，通过提问“你们认为微积分在哪些领域中发挥了重要作用？”来引导学生思考。
2. 知识讲解（1）微积分的基本概念首先，向学生介绍微积分的定义和基本概念，包括导数、积分等，并解释它们的含义和重要性。
（2）微积分的基本定理接着，讲解微积分的基本定理，包括牛顿-莱布尼茨公式和微积分基本定理第一、第二部分的表述和意义，并结合实例进行说明。
（3）积分运算方法的应用介绍积分运算的基本规则和方法，包括基本积分法、换元积分法等，并通过例题讲解如何应用这些方法进行积分运算。
3. 案例分析通过一个实际问题的案例分析，引导学生将所学的微积分知识应用于实际问题的解决过程。
例如，通过一个曲线下面积的计算问题来帮助学生理解微积分在求解实际问题中的作用。
4. 练习与巩固让学生进行一些练习题，巩固所学的微积分知识和运算方法，并及时进行解答和讲解，帮助学生加深对知识的理解和掌握。
5. 拓展延伸对于学习进度较快的学生，可以提供一些拓展性的问题，让他们深入思考和发散思维，进一步探讨微积分的应用领域和相关知识。
六、课堂总结通过本节课的学习，学生应该对微积分的基本概念和基本定理有了初步的了解，并能够应用微积分的基本运算方法解决实际问题。
七、课后作业布置一定数量的练习题和思考题，让学生在课后进行巩固和拓展练习。
八、板书设计板书内容包括微积分的基本概念、基本定理以及积分运算方法的应用公式等。
九、教学反思本节课通过引入实例和问题，结合理论讲解和实际问题分析，使学生能够理解微积分的基本概念和基本定理，并掌握应用积分运算方法解决实际问题的能力。
微积分基本定理 说课稿 教案 教学设计
微积分基本定理一、教学目标：知识与技能：1.通过实例，直观了解微积分基本定理的内容，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分2.通过实例探求微分与定积分间的关系，体会微积分基本定理的重要意义过程与方法：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.二、教学重点、难点重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
难点：了解微积分基本定理的含义。
三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程n有没有计算定积分的更直接方法，也是比较一般的方法呢？（1）下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例：设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥），则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为21()T T v t dt ⎰。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即21()T T v t dt ⎰=12()()S T S T - ()()S t v t '=。
3.微积分基本定理对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有()()()baf x dx F b F a =-⎰？若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。
微积分基本定理 说课稿 教案 教学设计
微积分基本定理【学习目标】1．理解微积分基本定理的含义。
2．能够利用微积分基本定理求解定积分相关问题。
【要点梳理】要点一、微积分基本定理的引入我们已学过过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。
我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
（1）导数和定积分的直观关系：如下图：一个做变速直线运动的物体的运动规律是s=s （t ），由导数的概念可知，它在任意时刻t 的速度v （t ）=s ＇（t ）。
设这个物体在时间段[a ，b]内的位移为s ，你能分别用 s （t ）、v （t ）表示s 吗？一方面，这段路程可以通过位置函数S （t ）在[a ，b]上的增量s （b ）－s （a ）来表达， 即 s=s （b ）－s （a ）。
另一方面，这段路程还可以通过速度函数v （t ）表示为 ()d bav t t ⎰,即 s =()d bav t t ⎰。
所以有： ()d bav t t =⎰s （b ）－s （a ）（2）导数和定积分的直观关系的推证：上述结论可以利用定积分的方法来推证，过程如下：如右图：用分点a=t 0＜t 1＜…＜t i －1＜t i ＜…＜t n =b ， 将区间[a ，b]等分成n 个小区间：[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，…，[t i ―1，t i ]，…，[t n ―1，t n ]， 每个小区间的长度均为1i i b at t t n--∆=-=。
当Δt 很小时，在[t i ―1，t i ]上，v （t ）的变化很小，可以认为物体近似地以速度v （t i ―1）做匀速运动，物体所做的位移111()'()'()i i i i i b as h v t t s t t s t n----∆≈=∆=∆=。
② 从几何意义上看，设曲线s=s （t ）上与t i ―1对应的点为P ，PD 是P 点处的切线，由导数的几何意义知，切线PD 的斜率等于s ＇（t i ―1），于是1tan '()i i i s h DPC t s t t -∆≈=∠⋅∆=⋅∆。
微积分基本定理 说课稿 教案 教学设计
微积分基本定理【教学目标】1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义．2．会利用微积分基本定理求函数的积分．【教法指导】本节学习重点：会利用微积分基本定理求函数的积分．本节学习难点：直观了解并掌握微积分基本定理的含义．【教学过程】☆复习引入☆从前面的学习中可以发现，虽然被积函数f(x)＝x3非常简单，但直接用定积分的定义计算ʃ10x3d x的值却比较麻烦．有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？另外，我们已经学习了两个重要的概念——导数和定积分，这两个概念之间有没有内在的联系呢？我们能否利用这种联系求定积分呢？☆探索新知☆探究点一微积分基本定理问题你能用定义计算ʃ211xd x吗？有没有更加简便、有效的方法求定积分呢？思考1 如下图，一个做变速直线运动的物体的运动规律是y＝y(t)，并且y(t)有连续的导数，由导数的概念可知，它在任意时刻t的速度v(t)＝y′(t)．设这个物体在时间段[a，b]内的位移为s，你能分别用y(t)，v(t)表示s吗？答由物体的运动规律是y＝y(t)知：s＝y(b)－y(a)，通过求定积分的几何意义，可得s＝ʃb a v(t)d t＝ʃb a y′(t)d t，所以ʃb a v(t)d t＝ʃb a y′(t)d t＝y(b)－y(a)．其中v(t)＝y′(t)．小结(1)一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．(2)运用微积分基本定理求定积分ʃb a f (x )d x 很方便，其关键是准确写出满足F ′(x )＝f (x )的F (x )．思考2 对一个连续函数f (x )来说，是否存在唯一的F (x )，使F ′(x )＝f (x )？若不唯一，会影响微积分基本定理的唯一性吗？答 不唯一，根据导数的性质，若F ′(x )＝f (x )，则对任意实数c ，[F (x )＋c ]′＝F ′(x )＋c ′＝f (x )．不影响，因为ʃb a f (x )d x ＝[F (b )＋c ]－[F (a )＋c ]＝F (b )－F (a )例1 计算下列定积分： (1)ʃ211x d x ；(2)ʃ31(2x －1x2)d x ；(3)ʃ0－π(cos x －e x )d x .所以ʃ31(2x －1x 2)d x ＝ʃ312x d x －ʃ311x2d x ＝x 2|31＋1x|31 ＝(9－1)＋(13－1)＝223. (3)ʃ0－π(cos x －e x )d x ＝ʃ0－πcos x d x －ʃ0－πe x d x＝sin x |0－π－e x |0－π＝1eπ－1. 反思与感悟 求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．跟踪训练1 若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1 答案 B解析 S 1＝ʃ21x 2d x ＝13x 3|21＝73， S 2＝ʃ211x d x ＝ln x |21＝ln 2<1，S 3＝ʃ21e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)>73. 所以S 2<S 1<S 3，选B.探究点二 分段函数的定积分例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4.先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分．解 图象如图．ʃ40f (x )d x ＝π20⎰sin x d x ＋π20⎰1d x ＋42⎰(x －1)d x＝(－cos x )|π20＋x |2π2＋(12x 2－x )|42 ＝1＋(2－π2)＋(4－0)＝7－π2. 反思与感悟 求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．跟踪训练2 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2， x ≤0，cos x －1， x >0，求ʃ1－1f (x )d x .探究点三 定积分的应用例3 计算下列定积分：ʃπ0sin x d x ，ʃ2ππsin x d x ，ʃ2π0sin x d x .由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．解 因为(－cos x )′＝sin x ，所以ʃπ0sin x d x ＝(－cos x )|π0＝(－cos π)－(－cos 0)＝2；ʃ2ππsin x d x ＝(－cos x )|2ππ＝(－cos 2π)－(－cos π)＝－2；ʃ2π0sin x d x ＝(－cos x )|2π0＝(－cos 2π)－(－cos 0)＝0.反思与感悟 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：(1)位于x 轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；(2)位于x 轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；(3)定积分的值就是位于x 轴上方曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积．跟踪训练3 求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围图形的面积(如图所示)．。
《微积分基本定理》微课教学设计
《微积分基本定理》微课教学设计《微积分基本定理》微课教学设计1. 教学目标1)知识层面：理解并掌握重要极限公式的初始型1lim1nnen→∞+=、标准型1 lim1xxex→∞+=以及推广型()()1lim1()xxex→∞+=的结果及形式，并利用重要极限解决连续复利等实际问题。
2)能力层面：理解重要极限的条件并能够利用重要的极限公式求解一类函数的极限问题。
通过解决连续复利问题，培养学生将实际问题加以抽象，建立一般模型的能力。
学习利用数学知识，分析和解决模型，并最终回到实际问题。
3)认知层面：体会重要极限三种形式（初始型、标准型和推广型）实际是解决未定式1∞型的极限，认识到从这种分析角度打开了求一类幂指函数的极限一个新的视野。
2．教学内容1)重要极限公式的初始型、标准型及推广型。
2)重要极限公式初始型和标准型的证明。
3)未定式1∞型的极限问题的解法。
4)重要极限公式在经济学连续复利数学模型中的应用。
3．教学重点与难点1)教学重点：重要极限公式的形式及其内涵；连续复利模型。
处理方法：重点讲解；启发主动思考；提供学生参与机会。
2)教学难点：重要极限公式初始型及标准型的证明；重要极限公式的推广型的内涵；利用重要极限推广型求极限。
处理方法：根据学生反映，把握讲解速度；结合多媒体课件；利用提问方式，随堂检验学生掌握程度。
4．教学方法1)动态多媒体课件和板书相结合，采用启发式教学。
2)通过师生互动激发学生的学习兴趣。
5．教材分析微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。
其主要内容是微分学和积分学。
微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论，它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
《微积分基本定理》微课教学设计
《微积分基本定理》微课教学设计1. 教学目标1)知识层面：理解并掌握重要极限公式的初始型1lim1nnen→∞⎛⎫+=⎪⎝⎭、标准型1 lim1xxex→∞⎛⎫+=⎪⎝⎭以及推广型()()1lim1()xxexϕϕϕ→∞⎛⎫+=⎪⎝⎭的结果及形式，并利用重要极限解决连续复利等实际问题。
2)能力层面：理解重要极限的条件并能够利用重要的极限公式求解一类函数的极限问题。
通过解决连续复利问题，培养学生将实际问题加以抽象，建立一般模型的能力。
学习利用数学知识，分析和解决模型，并最终回到实际问题。
3)认知层面：体会重要极限三种形式（初始型、标准型和推广型）实际是解决未定式1∞型的极限，认识到从这种分析角度打开了求一类幂指函数的极限一个新的视野。
2．教学内容1)重要极限公式的初始型、标准型及推广型。
2)重要极限公式初始型和标准型的证明。
3)未定式1∞型的极限问题的解法。
4)重要极限公式在经济学连续复利数学模型中的应用。
3．教学重点与难点1)教学重点：重要极限公式的形式及其内涵；连续复利模型。
处理方法：重点讲解；启发主动思考；提供学生参与机会。
2)教学难点：重要极限公式初始型及标准型的证明；重要极限公式的推广型的内涵；利用重要极限推广型求极限。
处理方法：根据学生反映，把握讲解速度；结合多媒体课件；利用提问方式，随堂检验学生掌握程度。
4．教学方法1)动态多媒体课件和板书相结合，采用启发式教学。
2)通过师生互动激发学生的学习兴趣。
5．教材分析微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。
其主要内容是微分学和积分学。
微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论，它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
1.6微积分基本定理第1课时精品教案
1.6 微积分基本定理【课题 】： 1.6.1 微积分基本定理 【教课目的】：（ 1 ） 知 识 与 技 能 ： 认识微积分基本定理的含义（ 2 ） 过 程 与 方 法 ： 运用基本定理计算简单的定积分（ 3）感情态度与价值观：经过微积分基本定理的学习，领会事物间的互相转变、对峙一致的辩证关系，培育学生辩证唯心主义看法，提升理性思想能力．【教课要点】：经过研究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观认识微积分基本定理的 含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分【教课难点】：认识微积分基本定理的含义．【课前准备】：Powerpoint 课件（或投电影）【教课过程设计】：教课环节教课活动一、 (1)13提师 : 我 们 首 先 回 忆 昨 天 怎 样 计 算 0 x dx ? 生:利用定义进行计算,分四步:①切割;②近似代出替,③作和;④取极限.师 :1利用定义计算x 3dx 时 , 需 要 使 用问n1 2 23技巧性较强.i4 n (n 1) 这 一 结 果 , 题i 1师：从这个事实我们有这样一个感觉，只管我们的 被 积 函 数 简 单 （ 如 f ( x) x 3, f ( x)1），可是利用x定义求它们的定积分依旧会很困难，甚至“求”不 出 ．设计企图指引学生认识用定义计算定积分的困难及师：我们知道加法的逆运算是减法．乘法的逆运算是除法，而两向量的加法运算和减法运算是互 其原由．为逆运算．近似地提出问题：求定积分运算有没有逆运算，假如有，它的逆运算我们怎样去定义？师：数学也是一门应用的科学，假如微积分难以在实质中应用，那么欧洲的十七世纪的科学也不会获得那么快的发展．我们的长辈牛顿和莱布尼茨分别独立有效的创办了微积分的基本定理和运算法例，进而使微积分能广泛应用于科学实践．师：长辈们是怎样发现微积分基本定理呢？此刻我们不如循着长辈踪迹走一走．长辈经过思虑，发现导数和定积分有某种联系．师：我们知道，假如是匀速直线运动速度函数v(t ) v0，那么在直线 v(t) v0下方的面积 S 就是位移S vt0；如果匀变速直线运动速度函数为 v(t ) at ，同样在直线 v(t ) at 下方的面积 S 就是位移S1at02。
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1.6微积分基本定理 一：教学目标
知识与技能目标
通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法
通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法
情感态度与价值观
通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。
二：教学重难点
重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。
难点 了解微积分基本定理的含义
三：教学过程：
1、复习：
定积分的概念及用定义计算
2、引入新课
我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。
我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为2
1()T T v t dt ⎰。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即 2
1()T T v t dt ⎰=12()()S T S T -
而()()S t v t '=。
对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有
若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。
注：1：定理如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则 证明：因为()x Φ=()x
a f t dt ⎰与()F x 都是()f x 的原函数，故
()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤）
其中C 为某一常数。
令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ=()a
a f t dt ⎰=0
即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a
∴()x Φ=()F x -()F a =()x
a f t dt ⎰
令x b =，有()()()b
a f x dx F
b F a =-⎰ 此处并不要求学生理解证明的过程
为了方便起见，还常用()|b
a F x 表示()()F
b F a -，即
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。
它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。
它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。
因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
例1．计算下列定积分：
（1）211dx x ⎰；（2）3211(2)x dx x
-⎰。
解：（1）因为'1(ln )x x
=， 所以22111ln |ln 2ln1ln 2dx x x
==-=⎰。
（2））因为2''211()2,()x x x x
==-， 所以3332211111(2)2x dx xdx dx x
x -=-⎰⎰⎰ 233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=。
练习：计算
120x dx ⎰ 解：由于313
x 是2x 的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有 120x dx ⎰=3101|3x =33111033⋅-⋅=13
例2．计算下列定积分：
2200
sin ,sin ,sin xdx xdx xdx π
πππ⎰⎰⎰。
由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。
解：因为'(cos )sin x x -=，
所以
00sin (cos )|(cos )(cos 0)2xdx x πππ=-=---=⎰，
22sin (cos )|(cos 2)(cos )2xdx x ππππ
ππ=-=---=-⎰， 2
20
0sin (cos )|(cos 2)(cos 0)0xdx x πππ=-=---=⎰. 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:
(l ）当对应的曲边梯形位于x 轴上方时（图1.6一3)，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；
图1.6一3(2）
（2）当对应的曲边梯形位于x 轴下方时（图1.6一4)，定积分的值取负值，且等于曲边梯形
的面积的相反数；
(3）当位于x 轴上方的曲边梯形面积等于位于x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图1.6一5)，且等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积．
例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。
设汽车以等减速度a =1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。
当t=0时，汽车速度0v =32公里/小时=
3210003600
⨯米/秒≈8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为0(t)=t=8.88-1.8t v v a -当汽车停住时,速度(t)=0v ,故从(t)=8.88-1.8t=0v 解得8.88t= 4.931.8≈秒 于是在这段时间内,汽车所走过的距离是
4.93
4.9300(t)(8.88 1.8t)s v dt dt ==-⎰⎰= 4.93201(8.88 1.8t )21.902-⨯≈米,即在刹车后,汽车
需走过21.90米才能停住.
微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果． 四：课堂小结：
本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式.成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来多复习！
五：教学后记：
从教以来，一直困惑于一个问题：课堂上如何突出重点并突破难点。
当然，理论方面自己早已烂熟于心，关键是缺乏实践方面的体验及感悟。
在今天的课堂上，当自己在生物化学班重点及难点均未解决，相反将更多时间纠缠在细节方面，而物理班级恰好相反，教学效果的强烈反差，终于让自己对这个问题有了实践的切身的认识。
记得当实习生时，本来一个相当简单的问题，可在课堂上却花费了大量时间，更严重的是学生却听得更为糊涂。
一个主要原因在于，对相关知识结构理解不到位，眉毛胡子一把抓，而难点又无法解决。