§1.6微积分基本定理

1.6微积分基本定理

一：教学目标

知识与技能目标

通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法

通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法

情感态度与价值观

通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。

二：教学重难点

重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分。

难点 了解微积分基本定理的含义

三：教学过程：

1、复习：

定积分的概念及用定义计算

2、引入新课

我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

设一物体沿直线作变速运动，在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（()v t o ≥）， 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为

21()T T v t dt ⎰。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S （t ）在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达，即

21()T T v t dt ⎰

=12()()S T S T -

而()()S t v t '=。

对于一般函数()f x ，设()()F x f x '=，是否也有

()()()b

a f x dx F

b F a =-⎰

若上式成立，我们就找到了用()f x 的原函数（即满足()()F x f x '=）的数值差()()F b F a -来计算()f x 在[,]a b 上的定积分的方法。

注：1：定理 如果函数()F x 是[,]a b 上的连续函数()f x 的任意一个原函数，则

()()()b

a f x dx F

b F a =-⎰

证明：因为()x Φ=()x

a f t dt ⎰与()F x 都是()f x 的原函数，故

()F x -()x Φ=C （a x b ≤≤）

其中C 为某一常数。

令x a =得()F a -()a Φ=C ，且()a Φ=

()a a f t dt ⎰=0 即有C=()F a ，故()F x =()x Φ+()F a ∴ ()x Φ=()F x -()F a =()x a

f t dt ⎰ 令x b =，有()()()b

a f x dx F

b F a =-⎰

此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见，还常用()|b a F x 表示()()F b F a -，即

()()|()()b

b a a f x dx F x F b F a ==-⎰

该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。

例1．计算下列定积分：

（1）2

11dx x ⎰； （2）3211(2)x dx x

-⎰。 解：（1）因为'1(ln )x x

=， 所以22111ln |ln 2ln1ln 2dx x x

==-=⎰。 （2））因为2''211()2,()x x x x

==-， 所以3332211111(2)2x dx xdx dx x

x -=-⎰⎰⎰ 233111122||(91)(1)33x x =+=-+-=。 练习：计算

120x dx ⎰ 解：由于313

x 是2x 的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有

120x dx ⎰=3101|3x =33111033⋅-⋅=13 例2．计算下列定积分： 2200

sin ,sin ,sin xdx xdx xdx ππππ⎰⎰⎰。 由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。 解：因为'(cos )sin x x -=，

所以

00sin (cos )|(cos )(cos 0)2xdx x πππ=-=---=⎰

，

22sin (cos )|(cos 2)(cos )2xdx x ππππ

ππ=-=---=-⎰， 2

200sin (cos )|(cos 2)(cos 0)0xdx x πππ=-=---=⎰. 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:

( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图1) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；

图1

（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；

( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分

的值为0，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积．

例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度a =1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？

解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t=0时，汽车速度0v =32公里/小时=3210003600

⨯米/秒≈8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为0(t)=t=8.88-1.8t v v a -当汽车