分式方程解法技巧公开课
分式方程的解法 (优质课)获奖课件
辨析：判断下列各式哪个是分式方程． (1)x＋y＝5；(2)x＋5 2＝2y3－z；(3)1x；(4)x＋y 5＝0；(5)1x ＋2x＝5. 根据定义可得：(1)(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5) 是分式方程． 二、探究新知 1．思考：怎样解分式方程呢？
为了解决本问题，请同学们先思考并回答以下问题：
15．3 分式方程(2课时)
第1课时 分式方程的解法
1．理解分式方程的意义． 2．理解解分式方程的基本思路和解法． 3．理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式 方程的验根方法．
重点 解分式方程的基本思路和解法． 难点 理解解分式方程时可能无解的原因．
一、复习引入 问题：一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以
所以，原分式方程的解为 x＝9.
例 3( 教 材 例 2) 3
（x－1）（x＋2）.
解
方
程
x x－1
－
1
＝
解：方程两边乘(x－1)(x＋2)，得
x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3. 解得 x＝1.
检验：当 x＝1 时，(x－1)(x＋2)＝0，因此 x＝1 不是
原分式方程的解．
所以，原分式方程无解．
最大航速沿江顺流航行 90 km 所用时间，与以最大航速逆流
航行 60 km 所用的时间相等，江水的流速为多少？ [分析]设江水的流速为 x 千米/时，根据题意，得309＋0 v＝
306－0 v.① 方程①有何特点？ [概括]方程①中含有分式，并且分母中含有未知数，像
这样的方程叫做分式方程． 提问：你还能举出一个分式方程的例子吗？
注意 一定要用第一个多项式的每一项依次去乘第二个多 项式的每一项，在计算时要注意多项式中每个单项式的符 号．
5.4 分式方程的解法 公开课教案
第2课时 分式方程的解法1．在进一步理解分式方程意义的基础上，掌握分式方程的一般解法；(重点)2．了解解分式方程可能会产生增根，掌握解分式方程一定要验根及验根方法．(难点)一、情境导入 方程5x －2＝3x与以前学习的方程有什么不同？怎样解这样的方程？二、合作探究探究点一：分式方程的解法 【类型一】 解分式方程解方程：(1)5x ＝7x －2；(2)1x －2＝1－x 2－x －3. 解析：分式方程两边同乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解，注意验根．解：(1)方程两边同乘x (x －2)，得5(x －2)＝7x ，5x －10＝7x ，2x ＝－10，解得x ＝－5，检验：把x ＝－5代入最简公分母，得x (x －2)≠0，∴x ＝－5是原方程的解；(2)方程两边同乘最简公分母(x －2)，得1＝x －1－3(x －2)，解得x ＝2，检验：把x ＝2代入最简公分母，得x －2＝0，∴原方程无解．方法总结：解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验；④写出方程的解．注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入公分母检验．【类型二】 由分式方程的解确定字母的取值范围关于x 的方程2x ＋ax －1＝1的解是正数，则a 的取值范围是____________．解析：去分母得2x ＋a ＝x －1，解得x ＝－a －1，∵关于x 的方程2x ＋ax －1＝1的解是正数，∴x ＞0且x ≠1，∴－a －1＞0且－a －1≠1，解得a ＜－1且a ≠－2，∴a 的取值范围是a ＜－1且a ≠－2.方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.探究点二：分式方程的增根 【类型一】 求分式方程的增根若方程3x －2＝a x ＋4x （x －2）有增根，则增根为( )A ．0B ．2C ．0或2D ．1解析：∵最简公分母是x (x －2)，方程有增根，则x (x －2)＝0，∴x ＝0或x ＝2.去分母得3x ＝a (x －2)＋4，当x ＝0时，2a ＝4，a ＝2；当x ＝2时，6＝4不成立，∴增根只能为x ＝0，故选A.方法总结：增根是使分式方程的分母为0的根，所以判断增根只需让分式方程的最简公分母为0，注意应舍去不合题意的解．【类型二】 分式方程有增根，求字母的值如果关于x 的分式方程2x －3＝1－mx －3有增根，则m 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．3解析：方程两边同乘以x －3，得2＝x －3－m ①.∵原方程有增根，∴x －3＝0，即x ＝3.把x ＝3代入①，得m ＝－2.故选B. 方法总结：增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．。
《分式方程 第一课时》公开课教学PPT课件(终稿)
90 60 30 v 30 v
因为我是分式方程，我分母里含有字母，
0 万一我分母为 ，我岂不是没意义啦！所以，
你们解分式方程时别忘了 检验，检验有两 种方法，今天我们先用以前的方法，在下 节课，老师会重点讲如何检验。
【跟踪训练】
A. 3y-6 C. 3y(3y-6)
B. 3y
DD
火眼金睛
也可称是原分式 方程的根
3. (德化·中考)如图,点A,B在数轴上,它们所对应的数分别
是-3和
且点A,B到原点的距离相等,则x的值为
.
【解析】依题意可知,
①去分母：分式方程两边同乘2-X 得：1-X=3(2-X)
②解整式方程得:
③检验,将
代入原分式方程，左边=右边=3,所以原方程的解是 x=
则x
1、分式方程：分母中 含有未知数的方程叫做分式方 程. 2、解分式方程的一般步骤：
一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h,它沿江以最大航速顺流
航行90 km所用时间,与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等,江
水的流速为多少?
解:设江水的流速为 v km/h，根据题意，得
分析： v+ 轮船顺流速度为 轮船30逆流速度为千米/千时米/时
轮船逆流速度为 30-v 千米/时
轮船顺流时间为 3900+v 时
得 ②解整式方程得
90（30-v）=60（30+v）
v=6
③检验：将v=6代入分式方程左边= 5 ,右边= 5 ，左边=右边，
所以v=6是原分式方程的解. 2
2
在解分式方程的过程中（将分式方程“去分母”后转化为整式方程） 体现了一个非常重要的数学思想方法： 转化的数学思想（化归思想）.
分式方程及其解法公开课PPT课件
2021/7/24
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【分式方程的解】
上面两个分式方程中，为什么
120 20+x
=
80 20-x
x1-去5 分= 母x1后20-2得5 到去的分整母式后方得程到的的解整就式是方它程的的解解，却而不
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【例题】
解分式方程
x x-1
-1 =
3 (x-1)(x+2)
解 ：方程两边同乘以最简公分母(x－1) (x＋2),得
X(x+2)-(x-1)(x+2)=3
解整式方程,得 x = 1
检验：当x = 1 时，(x－1) (x＋2)＝０，x=１不
是原分式方程的解，原分式方程无解．
解分式方程
(1)
2 x-1
如何去掉分母，化 为整式方程还保持
等式成立?
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解方程 100 30 x x7
解 方程两边同乘以x(x-7),约去分母,得 100(x-7)=30x
解这个整式方程, 得 X=10
检验:把x=10代入x(x-7), 得
10×(10-7)≠0
所以, 2021/7/24 x=10是原方程的解.
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(2) xx22x2164xx22
x+5=10
分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使
分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解
2021/7/24
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【分式方程解的检验】
= 120
20+x
2800-x当两x边=4同时乘,((2200++xx))((2200--xx))≠1020(20-x)=80(20+x)
2024版最新分式方程及其解法公开课精品课件
解题思路
设原利润率是x，进价为a，则售价为a(1+x)。 根据题意列分式方程求解。
分式方程的解法技巧与注意
05
事项
解法技巧
去分母法
通过两边同时乘以最简公 分母，将分式方程化为整 式方程进行求解。
最新分式方程及其解 法公开课精品课件
目录
• 分式方程概述 • 分式方程的基本解法 • 分式方程的特殊解法 • 分式方程的应用举例 • 分式方程的解法技巧与注意事项 • 分式方程与其他数学内容的联系
01
分式方程概述
定义与特点
01
02
定义：分式方程是未知 特点 数在分母中的有理方程。 其一般形式为 $frac{a_1x+b_1}{c_1x+ d_1} = frac{a_2x+b_2}{c_2x+d _2}$，其中 $a_i, b_i, c_i, d_i$ 是常数，且 $c_1$ 和 $c_2$ 不同时 为0。
克分别放入甲、乙两个容器内，才能使两容器内盐水的浓度相等？
03
解题思路
设从含盐20%的盐水中取出x千克放入甲容器，则从含盐40%的盐水中
取出(100-x)千克放入乙容器，根据题意列出分式方程求解。
经济问题
商品利润、进价、售价之 间的关系
利润=售价-进价。在给定两个量的情况下， 可以求解第三个量。
典型例题
区别
分式方程的未知数在分母中，而整式方程的未知数在分 子中。因此，分式方程的解法通常比整式方程更复杂， 需要更多的步骤和技巧。
与分式的联系与区别
联系
分式方程是分式的一种应用，分式是分式方程的 基础。分式方程中的未知数通常表示为一个或多 个分式的形式。
分式方程市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案大班
分式方程教案大班一、教学目标1. 了解分式方程的概念和基本性质；2. 掌握解分式方程的基本方法与技巧；3. 能够运用所学知识解决实际问题。
二、教学内容1. 分式方程的定义与基本性质；2. 解一元一次分式方程；3. 解一元二次分式方程；4. 实际问题中的应用。
三、教学步骤步骤一：引入教师可以通过提问或举例的方式引入分式方程的概念，引导学生思考为什么需要引入分式方程，并与线性方程进行对比，激发学生的兴趣。
步骤二：讲解与示范1. 首先讲解分式方程的定义，即含有一个或多个未知数的分式等式；2. 接着介绍一元一次分式方程的解法，重点讲解如何消去分母，使方程化为简单的线性方程，再求解得出结果；3. 然后讲解一元二次分式方程的解法，重点讲解如何将其化为一元二次方程，并运用二次方程求根公式或配方法求解；4. 最后通过一些实际问题的示例，展示分式方程在实际生活中的应用。
步骤三：练习与巩固安排一定数量的练习题，分别涵盖一元一次和一元二次分式方程的解法，让学生通过练习来巩固所学知识，并培养他们解题的能力和思维逻辑。
步骤四：拓展与应用安排一些拓展题，使学生能够将所学知识应用到更复杂的问题中，培养他们的问题分析和解决能力。
四、教学重点与难点教学重点：分式方程的定义与基本性质，一元一次和一元二次分式方程的解法。
教学难点：一元二次分式方程的解法。
五、教学方法与手段1. 讲授法：通过讲解、示范和解题示例等方式，向学生传递知识；2. 实践与体验法：通过实际问题的应用，引导学生参与探究，培养问题解决能力；3. 练习与巩固法：通过大量的练习题目巩固学生的知识，并培养解题的技巧与思维能力。
六、教学资源黑板、粉笔、教辅资料等。
七、教学评价与反馈1. 在课堂上进行教学评价，分别针对基础知识、能力素养和实际应用进行评价；2. 提供针对性的反馈，帮助学生发现和解决问题。
八、教学延伸分式方程是解决实际问题中常见的数学工具，教师可引导学生继续探究其他类型的分式方程，如含有多个分式项的方程，或含有复杂系数的方程等，提升学生的数学建模能力。
公开课分式方程及其解法
【颗粒归仓】验根
★ 解分式方程时，去分母后所得 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简 整式方程的解有可能使原方程的分 公分母的值不为０，则整式方程的解是原分式方 程的解，否则这个解就不是原分式方程的解．这 母为０，所以分式方程的解必须检 个解叫此分式方பைடு நூலகம்的 增根。 验．
★ 怎样检验这个整式方程的解 是不是原分式的解？
2、你能举出一个一元一次方程的例子吗？
x 4 x 1 4 2
x 4x 如： 1 4 2
自学指导1
自学课本149页‘思考’上面的内容，请画 出分式方程的概念。你认为分式方程的特征 是什么？（2分钟）
火眼金睛：哪些是整式方程哪些是分式方程？
【自学检测1】
2x - 1 x 1
【总结归纳】
检验的方法主要有两种： （1）将整式方程的解代入原分式方程，看左 右两边是否相等； （2）将整式方程的解代入最简公分母，看 是否为0．
显然，第2种方法比较简便！
【思考】
90 60 1 10 = = 2 回顾解分式方程 与方程 30+v 30-v x-5 x - 25
的过程，你能概括出解分式方程的基本思路和一般步 骤吗？解分式方程应该注意什么？
【颗粒归仓】 基本思路： 将分式方程化为整式方程 一般步骤： （1）去分母； （2）解整式方程； （3）检验． 注意： 由于去分母后解得的整式方程的解不 一定是原分式方程的解，所以需要检验．
例
解下列方程：
2 3 x 3 （） 1 = ； （2） -1= ． x -3 x x-1 （x-1） （x+ 2）
三、当m为何值时，下列分式方程无解。
2 mx 0 x2 2 x
课件说明
专题(十五) 分式方程的解法 公开课获奖课件
(3)x－1 1－x＋3 1＝xx2＋－31； 解：x＝13
(4)22＋ －xx＋x21－6 4＝－1； 解：解得x＝2.检验：当x＝2时，(x＋2)(x－2)＝0， 所以x＝2不是原方程的解，原方程无解
(5)2xx＋2－xx＋ －22＝xx22－－22x； 解：x＝－12
(6)xx－ ＋22－x21－6 4＝1＋x－4 2. 解：x＝－2，检验：当x＝2时，x＋2＝0， 所以x＝－2不是原方程的解，原方程无解
类型二：解分式方程(特殊型)(选用) A．两边通分巧解分式方程 2．解方程：x－1 4－x－1 5＝x－1 7－x－1 8.
解：x＝6
B．裂项相消巧解分式方程 3．(阿凡题 1070287)(1)解方程：x（x1＋1）＋（x＋1）1（x＋2） ＋（x＋2）1（x＋3）＝x＋1 3；
解：原方程变形为1x－x＋1 1＋x＋1 1－x＋1 2＋x＋1 2－x＋1 3＝x＋1 3. 整理得1x－x＋2 3＝0，去分母得 x＋3－2x＝0，解得 x＝3. 经检验，x＝3 是原分式方程的解
C．分式方程的解为正数(负数等) 7．(2016·潍坊)若关于 x 的方程xx＋－m3 ＋33－mx＝3 的解为正数， 求 m 的取值范围．
解：去分母得 x＋m－3m＝3(x－3)，整理得 2x＝9－2m， 解得 x＝9－22m，由题意得9－22m＞0 且9－22m≠3，解得 m＜92且 m≠32
•
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八拍》
郭璞的《游仙诗》
鲍照的《拟行路难》
庾信的《拟咏怀》
都特别喜欢。不过都是组诗，太长了，就不贴了orz。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外迫强敌，内失人和。魏师至，方征兵四方，未至而城见克。在幽逼求酒，饮之，制诗四绝。后为梁王詧所害。】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿里，终非封禅时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼蚁，一旦损鲲鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载后，谁畏轩辕台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树杏，空得动耕人。
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x5
x7
11 11 x 1 x 3 x 5 x 7
通分得： 2
2
x2 4x 3 x2 12x 35
x2 4x 3 x2 12x 35
解得：x 4 经检验，x 4是原方程的根
解方程：
1 1 2x
x 3 x 3 x2 4
通分法
1
1
2x
x3 x 3 x2 9
拆项法
2x (x2)(x2) 1 1
打破常规 创新求解
—— 分 式 方 程 解 法 技 巧
解分式方程的一般步骤
1.在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母，化 成整式方程.
2.解这个整式方程.
3.把整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分 母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解； 否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.
4、写出原方程的根.
解本方程 1 1 1 1
x 3 x 4 x 5 x 12
还有其他通分方法吗？
1
1
1
1
x 3 x 5 x 4 x 12
8
8
x 2 2x 15 x 2 16x 48
1
1
1
1
x 3 x 4 x 5 x 12
总结Ⅰ：像例1、例2 这样的方程用常规解法往往复杂，采取 局部通分法,会使解法很简单.这种解法称为 ：局部通 分 法
练一练： 1 1 1 1 x2 x4 x6 x8
解： 2 2 (x 2)(x 4) (x 6)(x 8)
x2 6x 8 x2 14x 48
x5
经检验, x 5是原方程的根
例2 ：解方程
y4 y5 y7 y8
y5 y6 y8 y9
点拨： 此方程的特点是：各分式的分子与分母的次数相同，
x2 4 (x2)(x2) x2 x2
2x
2x
x2 9 x2 4
1111 x3 x3 x2 x2
分 式 方 去分母 程
课堂小结
常
技
规
巧
解 创新求解 解
法
法
注意：
通分法
拆项法
一、解分式方程，勿忘检验；否则会产生增根。
二、若方程两边含有未知数的相同因式时，不能约去；
否则会产生失根
且相差 1， 这样一般可将各分式拆成： 整式+分式 的形式。
解：1 1 1 1 1 1 1 1
y 5
y6
y 8
y9
11 11 y5 y6 y8 y9
1
1
y2 11 y 30 y2 17 y 72
以下过程同 学来完成
y2 11 y 30 y2 17 y 72
解得：y 7
一化二解三检验
例1：解方程
1
1
1
1
x 3 x 4 x 5 x 12
方程左边通分结果 是什么？
方程右边通分结果 是什么？
7
7
解：通分得 x 3x 4 = ( x 5)( x 12 )
x2 x 12 x2 17x 60
解得： x 9 2
经检验，x 9 是 原 方 程 的 根 2
经检验，y 7是原方程的根
总结Ⅱ：像例3 各分式的分子、分母的次数相同，且相差一定的数，
拆 可将各分式拆成几项的和。这种解法称为 —— 项 法
练 一 练 ：x 2 x 4 x 6 x 8 x 1 x 3 1
x 1
x3