一阶常微分方程解法总结
常微分方程小结
常微分方程小结姓名：邱俊铭学号：2010104506姓名：李林学号：2010104404姓名：曾治云学号: 2010104509初等积分法：变量分离形式一、一阶微分程：dy/dx=h(x)g(y) ，其中函数h(x)在区间(a,b)上连续，g(y)在区间(c,d)上连续且不等于0.经过分离变量得: dy/g(y)=h(x)dx 两端积分得：G(y)=H(x)+c ,其中c任意的常数且G(y)= ∧dy/g(y)，H(x)= ∧h(x)®x，所以G’(y)=1/g(y)不为0，故G存在逆函数，从而得到：y= (H(x)+c).例1. dy /dx=2xy解：当y ≠0时，分离变量后得：dy/ y =2xdx ,两边积分得：ln|y|=x^2+c1 ，此外y=0也是方程的解，从而方程的解为y=Ce^(x^2),g(y)=0,则y=是方程的解，其中C为任意的常数。
初值问题的解，即y取任意一个数得到的结果，代入通解中，求出具体y 值。
例2.y(1+x^2)dy=x(1+y^2)dx,y(0)=1;解：这是变量分离的方程，分离变量后得：y/(1+y^2)dy=x/(1+x^2),两边积分得其通解为：1+y^2=C(1+x^2),其中C为任意常数，代入初值条件得：C=2.。
故所给的初值问题的解为y=.二、常数变易法一阶非线性方程：dy/dx=a(x)y+f(x).（1）当f(x)=0时，方程为齐次线性方程，解法和上述的一样，通解为y=C ,C为任意的常数。
现在求齐次线性方程的通解，常数C换成x的函数c(x),得到：y= c(x)，对x 求导，然后代入（1）中化简，两端积分，得：y=C +f x e ..例3. dy/dx-2xy=x.解：dy/dx=2xy+x ，这里a(x)=2x,f(x).从而可求出原方程的通解为： Y=exp(2 ∧x ®x)(c+ ∧xexp(-2∧x ®x)®x)=-1/2+ce^(x^2),即-1/2+ce^(x^2)，其中c 为任意的常数。
一阶微分方程的解法
一阶微分方程的解法一、分离变量法：分离变量法适用于可分离系数的方程，即可以将微分方程变换成关于未知函数的形式。
例如，考虑一阶微分方程dy/dx = f(x)g(y)，我们可以将方程变换为dy/g(y) = f(x)dx的形式，然后对方程两边同时积分，即可求解出未知函数y(x)的表达式。
二、齐次方程法：齐次方程是指一阶微分方程可以表示为dy/dx = f(y/x)的形式。
对于这种类型的方程，我们可以通过变量替换来将其转化为可分离变量的方程。
设y = vx，其中v是未知函数。
将y = vx代入原方程，对方程进行求导得到dy/dx = v + x*dv/dx。
将这两个式子代入原方程，得到v +x*dv/dx = f(v)。
将此方程化简为可分离变量的形式后，进行变量分离、积分的步骤，即可得到未知函数v(x)的表达式。
进一步代回y = vx，即可求得原方程的解。
三、一阶线性方程法：一阶线性方程是指可以表示为dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程。
对于这种类型的方程，我们可以利用积分因子法来求解。
设积分因子为μ(x) = exp[∫P(x)dx]，其中P(x)是已知的系数。
对原方程两边同时乘以μ(x)，可以得到μ(x)*dy/dx + P(x)μ(x)y =Q(x)μ(x)。
左边这个式子是一个恰当方程的形式，我们可以将其写成d(μ(x)y)/dx = Q(x)μ(x)的形式。
对上述方程进行积分后，再除以μ(x)，即可得到未知函数y(x)。
四、可化为可分离变量的方程：有一些一阶微分方程虽然不能直接分离变量，但是可以通过一些代换或适当变量变换后化为可分离变量的方程。
例如，对于方程dy/dx = f(ax + by + c)，我们可以设u = ax + by + c，将其转化为关于u和x的方程。
然后对方程两边进行求导，并代入y = (u - ax - c)/b，即可得到关于u和x的可分离变量方程。
最后通过分离变量、积分等步骤，计算出未知函数y(x)的表达式。
常微分方程的解法总结总结
常微分方程的解法总结前言常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是研究一阶或高阶导数与未知函数之间关系的数学方程。
在物理学、工程学和计算机科学等领域，常微分方程扮演着重要的角色。
解决常微分方程是这些领域中许多问题的关键。
本文将总结常用的常微分方程解法方法，帮助读者加深对常微分方程的理解并提供解决问题的思路。
一、可分离变量法可分离变量法是一种常见且简单的求解常微分方程的方法。
它适用于形如dy/dx = f(x)g(y)的一阶常微分方程。
解题思路：1.将方程写成dy/g(y) = f(x)dx的形式，将变量进行分离。
2.两边同时积分得到∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx。
3.求出积分后的表达式，并整理得到解 y 的表达式。
使用这种方法解决常微分方程的步骤相对简单，但要注意确认分母不为零以及选取合适的积分常数。
二、特殊方程类型的求解除了可分离变量法，常微分方程还存在一些特殊的方程类型，它们可以通过特定的方法进行解决。
1. 齐次方程齐次方程是指形如dy/dx = F(y/x)的方程。
其中，F(t) 是一个只有一个变量的函数。
解题思路：1.令 v = y/x，即 y = vx。
将方程转化为dy/dx = F(v)。
2.对于dv/dx = F(v)/x这个方程，可以使用分离变量法进行求解。
3.求出 v(x) 后，将其代入 y = vx 得到完整的解。
2. 齐次线性方程齐次线性方程是指形如dy/dx + P(x)y = 0的方程。
解题思路：1.使用积分因子法求解，将方程乘以一个积分因子，使得左边变成一个可积的形式。
2.求积分因子的方法是根据公式μ = e^(∫P(x)dx)，其中 P(x) 是已知的函数。
3.通过乘积的方式求解完整的方程。
3. 一阶线性常微分方程一阶线性常微分方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程。
解题思路：1.使用积分因子法，将方程乘以一个积分因子，使得左边变成一个可积的形式。
一阶常微分方程的解法
一阶常微分方程的解法一阶常微分方程是微积分中的一种基础概念。
它描述了一个未知函数及其导数之间的关系。
求解一阶常微分方程是微积分研究的重要内容之一，它在科学、工程等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍几种解一阶常微分方程的常用方法。
1. 分离变量法分离变量法是求解一阶常微分方程最常用的方法之一。
通过将未知函数的变量和导数分离到方程的两侧，然后进行变量的求解即可得到问题的解。
例如，对于形式为dy/dx = f(x)g(y)的微分方程，可以将dy/g(y) =f(x)dx进行变量的分离，然后对两侧进行积分，得到∫dy/g(y) = ∫f(x)dx，进一步求解得到y的表达式。
2. 齐次方程法齐次方程是指形如dy/dx = f(y/x)的一阶常微分方程。
对于这种类型的微分方程，可以通过变量的代换来将其转化为分离变量法适用的形式。
例如，令u = y/x，对原方程进行偏导数变换，可得du/dx = (dy/dx - u)/x，进而得到线性微分方程du/dx + u/x = f(u)。
对该线性微分方程应用分离变量法即可求解得到u(x)的表达式，再将u(x)代回原来的变量即可获得y(x)的解析表达式。
3. 一阶线性微分方程法一阶线性微分方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的微分方程。
其中P(x)和Q(x)是已知函数。
对于这种类型的微分方程，可以通过一阶线性微分方程的解析公式进行求解。
一阶线性微分方程的解析公式为y = e^(-∫P(x)dx)∫[e^(∫P(x)dx)Q(x)]dx + Ce^(-∫P(x)dx)，其中C为任意常数。
4. 变量可分离线性微分方程法变量可分离线性微分方程是指形如dy/dx = f(x)/g(y)的微分方程。
对于这种类型的微分方程，可以通过变量的移项和对两侧的积分进行求解。
例如，对于形如dy/dx = x/y的微分方程，可以将其转化为xydy = y^2dx，然后进行两侧的积分，得到∫xydy = ∫y^2dx，进一步求解即可得到y的表达式。
一阶常微分方程
一阶常微分方程在数学中，一阶常微分方程是一种非常基础而重要的概念。
它描述了物理现象和自然现象中的变化规律，是自然和工程科学中不可或缺的数学工具。
在本文中，我们将探讨一阶常微分方程的定义、求解方法以及应用。
一、一阶常微分方程的定义一阶常微分方程是指只包含一个自变量和一个未知函数的一阶微分方程，它的一般形式可以表示为：y' = f(x, y)其中y'是y关于x的导数，f(x, y)是x和y的函数。
这个等式可以理解为y关于x的变化速率等于f(x, y)。
二、一阶常微分方程的求解方法一阶常微分方程有多种求解方法，其中比较常用的方法有分离变量法、同解法、一阶线性微分方程的解法和常数变易法等。
1.分离变量法如果一阶常微分方程的右边可以写成两个只含x和y的函数的乘积（即f(x, y) = g(x)h(y)），那么我们可以将它改写成：dy/h(y) = g(x)dx将方程两边分别对x和y求积分，即可得到：∫dy/h(y) = ∫g(x)dx + C其中C为常数。
2.同解法如果我们有两个相似的一阶常微分方程，它们只有一个参数不同（例如y' = f(x, y, a)和y' = f(x, y, b)），那么它们的解通常也是相似的。
我们可以先用一个形式通解表示其中一个解，然后通过代入不同的参数值来求得所有解。
3.一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的一般形式为：y' + p(x)y = q(x)其中p(x)和q(x)为x的函数。
我们可以通过变换再将它的形式转化为：(dy/dx) + p(x)y = q(x)这个方程可以用变量分离法和常数变易法进行求解。
4.常数变易法常数变易法是一种较为通用的求解方法。
它的基本思想是将通解表示为一个形式相同但常数不同的一组解的线性组合。
设y1和y2是方程的两个解，那么它们的线性组合可以写成y = C1y1 +C2y2的形式，其中C1和C2为常数。
一阶常微分方程的求解
一阶常微分方程的求解微积分是数学中非常重要的一个分支，它研究的是函数的极限、导数、积分以及微分方程等。
在微分方程的研究中，一阶常微分方程是最基本也是最常见的类型。
本文将介绍一阶常微分方程的求解方法。
一、分离变量法分离变量法是一种常用的求解一阶常微分方程的方法。
其思想是将微分方程中的变量分开，然后分别对两边进行积分，最终得到解析解。
例如，考虑一阶常微分方程形式为dy/dx=f(x)g(y)，其中f(x)和g(y)分别是关于x和y的函数，我们希望求解y的表达式。
首先，我们将方程重新排列为dy/g(y)=f(x)dx，然后对两边同时进行积分，得到∫dy/g(y)=∫f(x)dx。
接下来，我们可以通过求解这两个积分来得到问题的解析解。
二、常数变易法当一阶常微分方程形式为dy/dx=f(x,y)时，常数变易法是一种常用的求解方法。
其基本思想是假设y的解可表示为y=uv，其中u和v都是关于x的函数。
通过对y=uv进行求导，将其代入原微分方程，可以得到一个新的方程，其中v和其导数可以互相约去。
然后，我们可以求解新方程得到v的表达式，再将其代入y=uv中，即可得到问题的解析解。
三、齐次微分方程法齐次微分方程是指方程右端项为0的一阶常微分方程。
对于形如dy/dx=f(y/x)的齐次微分方程，我们可以引入一个新的变量v=y/x，通过对v进行求导，将其代入原微分方程，可以得到一个只含有v的方程。
然后，我们可以通过对新方程进行积分求解v的表达式，再将其代入v=y/x中，即可得到问题的解析解。
四、一阶线性微分方程法一阶线性微分方程是指方程可以写成dy/dx+p(x)y=q(x)的形式。
对于这种类型的微分方程，我们可以使用一阶线性微分方程的解法来求解。
具体来说，我们可以通过乘以一个积分因子，将其变为一个恰当微分方程，然后再进行求解。
综上所述，一阶常微分方程的求解可以通过分离变量法、常数变易法、齐次微分方程法和一阶线性微分方程法等方法进行。
一阶常微分方程
一阶常微分方程在数学领域，微分方程是一种描述变量及其变化率之间关系的方程。
一阶常微分方程是指方程中包含未知函数的一阶导数，并且未知函数只出现一次的微分方程。
本文将详细介绍一阶常微分方程的定义、解法和应用。
一、定义一阶常微分方程可以用以下一般形式表示：dy/dx = f(x, y)其中，y是未知函数，x是独立变量，f是已知函数，称为方程的右端函数。
二、解法对于一阶常微分方程，常见的解法有分离变量法和常数变易法。
1. 分离变量法分离变量法的思想是将方程中的变量分开，使得其中一个变量只与自身有关，然后积分求解。
步骤如下：(1) 将微分方程写成dy/dx = g(x)h(y)的形式，其中g(x)和h(y)分别表示x和y的函数。
(2) 将方程两边同时乘以h(y)，并将包含y的项移到方程的一边，包含x的项移到另一边。
(3) 对两边同时积分，并加上常数C，得到方程的通解。
(4) 若已知初始条件y(x0) = y0，将初始条件代入通解中，求解得到特解。
2. 常数变易法常数变易法是通过对方程中的未知函数引入一个待定的参数，然后通过求解该参数的值来得到方程的解。
步骤如下：(1) 将微分方程写成dy/dx + p(x)y = q(x)的形式，其中p(x)和q(x)为已知函数。
(2) 设y = u(x)v(x)，其中u(x)为待定的函数，v(x)为积分因子，通常取v(x) = exp(∫p(x)dx)。
(3) 将上述表达式代入原方程，得到关于u(x)和v(x)的方程。
(4) 解关于u(x)的方程，并代入v(x)求得y的通解。
三、应用一阶常微分方程在自然科学和工程领域有广泛的应用。
下面介绍其中几个常见的应用：1. 经济学经济学中常常用微分方程来描述经济系统的变化。
例如，人口增长、资源利用和市场供求关系等都可以用一阶常微分方程来模拟和预测。
2. 物理学物理学中常用微分方程来描述物体的运动和变化。
例如，牛顿第二定律F = ma可以写成二阶微分方程形式，而一阶微分方程则可以描述电路中的电荷、电流等量的变化。
一阶常微分方程解法总结
一阶常微分方程解法总结1.可分离变量法：可分离变量法适用于能够将微分方程分离成自变量和因变量的乘积形式的情况。
具体步骤如下：（1）将方程两边分离变量；（2）对分离后的变量进行积分，得到两边的原函数；（3）解得的原函数通常包含一个未知常数c；（4）如果已知初始条件，代入原函数求解常数c。
2.齐次方程法：齐次方程法适用于能够将微分方程转化成齐次方程的情况。
具体步骤如下：（1）将方程化为齐次形式，即将自变量和因变量分别除以一些函数；（2）引入新的未知函数y/x=u，并对其求导；（3）将方程转化为u的微分方程，通常是可分离变量方程；（4）解出u的方程后，再回代u，得到原方程的解。
3.线性方程法：线性方程法适用于形如y'+p(x)y=q(x)的一阶常微分方程，其中p(x)和q(x)是已知函数。
具体步骤如下：（1）确定常系数线性微分方程形式，即观察到y'+p(x)y=q(x)形式的方程；（2）找到方程的积分因子，通常是乘以一个指数函数，使得方程变得可积分；（3）将方程两边乘以积分因子，并利用乘积法则进行变换；（4）对两边进行积分，并解出原方程的解。
4.变量代换法：变量代换法是通过引入新的未知函数来将微分方程转化为更简单的形式。
具体步骤如下：（1）通过变量代换，将微分方程转化为新的未知函数和新的自变量；（2）求出新的微分方程的解；（3）将新的解代回原来的未知函数和自变量，得到原方程的解。
5.恰当微分方程法：恰当微分方程法适用于能够通过乘以适当的积分因子使得微分方程成为恰当微分方程的情况。
具体步骤如下：（1）判断初始微分方程是否是恰当微分方程；（2）计算方程的积分因子；（3）乘方程的积分因子，并判断是否为恰当微分方程；（4）解恰当微分方程。
以上是一阶常微分方程解法的五种常用方法的总结。
对于不同类型的微分方程，选择合适的解法可以更好地求解方程，但也需要多加练习和实践，熟练掌握方程的转化和求解技巧。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
页脚内容1第 一 章 一阶微分方程的解法的小结⑴、可分离变量的方程： ①、形如)()(y g x f dxdy= 当0)(≠y g 时，得到dx x f y g dy)()(=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。
例1.1、xy dxdy= 解：当0≠y 时，有xdx ydy=，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y +=所以)(11212C x e C C e C y ±==为非零常数且0=y 显然是原方程的解；综上所述，原方程的解为)(1212为常数C e C y x =②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M当0)()(≠y N x P 时，可有dy y N y Q dx x P x M )()()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=）x P 时，0x x =为原方程的解。
例1.2、0)1()1(22=-+-dy x y dx y x页脚内容2解：当0)1)(1(22≠--y x 时，有dx x xdy y y 1122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C Cy x ；当0)1)(1(22=--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(22为常数C C y x =--。
⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如)(xyg dx dy = 解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dxdux =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x xyf =。
②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dxdy解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G badx du b =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。
③、形如)(222111c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：01、02211=b a b a ，转化为)(by ax G dxdy+=，下同①； 02、02211≠b a b a ，⎩⎨⎧=++=++00222111c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令⎩⎨⎧-=-=00y y v x x u页脚内容3得到，)()()(22112211u v g uv b a u vb a f v b u a v b u a f du dv =++=++=，下同②； 还有几类：xy u dy xy xg dx xy yf ==+,0)()(xy v xy f dx dy x ==),(222),(xy w x y xf dx dy == θθsin ,cos ,0))(,())(,(r y r x ydx xdy y x N ydy xdx y x M ===-++以上都可以化为变量可分离方程。
例2.1、25--+-=y x y x dx dy 解：令2--=y x u ，则du dx dy -=，代入得到uu dx du 71+=-，有dx udu 7-= 所以)(722为常数C C x u +-=，把u 代入得到)(7222为常数）（C Cx y x =+--。
例2.2、1212+-+-=y x y x dx dy 解：由⎩⎨⎧=+-=+-012012y x y x 得到⎪⎩⎪⎨⎧=-=3131y x ，令⎪⎩⎪⎨⎧-=+=3131y v x u ，有⎩⎨⎧==du dx dv dy ，代入得到uvu vv u v u du dv 21222--=--=，令u v t =，有udt tdu dv +=，代入得到t t du dt u t 212--=+，化简得到，)1(2)1(22221222t t t t d dt t t t u du +-+--=+--=，有)(2)1ln(ln 2为常数C Ct t u ++--=，所以有页脚内容4)(1121C e C tt C u ±=+-=，，故代入得到)0(,31313131131121≠⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++--=+C x y x y C x（3）、一阶线性微分方程： 一般形式：)()()01x h y x a dxdyx a =+（ 标准形式：)()(x Q y x P dxdy=+ 解法：1、直接带公式：))(()()()()()()(⎰⎰+⎰⎰=⎰⎰+⎰=---C dx x Q e e dx x Q e e Ce y dx x P dx x P dx x P dx x P dx x P 2、积分因子法：])()([)(1)(⎰+=C dx x Q x x x y μμ，⎰=dx x P e x )()(μ 3、IVP ：)()(x Q y x P dxdy=+，00)(y x y = ⎰⎰⎰+⎰=+⎰⎰=--x x dss P dss P x x dss P dss P dt e t Q ey y dt e t Q ey tx tx xx xx 000)()(00)()()())((例3、1)1()1(++=-+n x x e ny dxdyx 解：化简方程为：n x x e y x n dx dy )1(1+=+-，则;)1()(,1)(n x x e x Q x n x P +=+-= 代入公式得到n dx x ndx x P x e ex -1)()1()(+=⎰=⎰=+-μ页脚内容5所以，)()()1(])1()1([)1()(为常数C C e x C dx x e x x x y x n n x n n ++=++++=⎰- (4)、恰当方程：形如dy y x N dx y x M dG t s y x G dy y x N dx y x M ),(),(..),,(,0),(),(+=∃=+ 解法：先判断是否是恰当方程：如果有x y x N y y x M ∂∂=∂∂),(),(恒成立，那么原方程是个恰当方程，找出一个 ),(),(),,(),(.),,(y x N yy x G y X M x y x G ts y x G =∂∂=∂∂, 有)(,),(为常数C C y x G =；例4、0)46()63(3222=+++dy y y x dx xy x解：由题意得到，322246),(,63),(y y x y x N xy x y x M +=+=由xNxy y M ∂∂==∂∂12得到，原方程是一个恰当方程； 下面求一个),(),(),,(),(.),,(y x N yy x G y X M x y x G ts y x G =∂∂=∂∂ 由2263),(),(xy x y X M xy x G +==∂∂得)(3),(223y y x x y x G ϕ++=，两边对y 求偏导得到32246)(6y y x y y x yG+='+=∂∂ϕ，得到34)(y y ='ϕ，有4)(y y =ϕ， 故42233),(y y x x y x G ++=，由0=dG ，得到页脚内容6)(,34223为常数C C y y x x =++(5)、积分因子法：方程是一个恰当方程0..),,(,0),(),(=+∃=+Ndy Mdx t s y x dy y x N dx y x M μμμ，那么称),(y x μ是原方程的积分因子；积分因子不唯一。
①当且仅当)(x N xNy M ϕ=∂∂-∂∂，原方程有只与x 有关的积分因子，且为⎰=dx x e y x )(),(ϕμ，两边同乘以),(y x μ，化为恰当方程，下同(4)。
②当且仅当)(y M xNy M φ=-∂∂-∂∂，原方程有只与y 有关的积分因子，且为⎰=dy y e y x )(),(φμ，两边同乘以),(y x μ，化为恰当方程，下同(4)。
例5.1、02)3(2=++xydy dx y e x解：由xy y x N y e y x M x 2),(,3),(2=+=得y y y x N y M 426=-=∂∂-∂∂，且有xx N xNy M 2)(==∂∂-∂∂ϕ，有22),(x ey x dxx =⎰=μ，原方程两边同乘2x ，得到,02)3(322=++ydy x dx y e x x 化为0))22((232=++-y x e x x d x ，得到解为)(,)22(232为常数C C y x e x x x =++-例5.2、0)(3=+-dy y x ydx页脚内容7解:由题意得到，)(),(,),(3y x y x N y y x M +-==，有2)1(1=--=∂∂-∂∂xNy M 有yy M xNy M 2)(-==-∂∂-∂∂φ，有22)(),(--=⎰=⎰=y e e y x dy y dy y φμ，原方程两边同乘2-y ，得到0)2()(22=-=--+y y x d dy y y x y dx ，得到原方程的解为： )(,22为常数C C y y x =- (6)、贝努力方程： 形如n y x Q y x P dxdy)()(=+, 解法：令n y u -=1，有dy y n du n --=)1(，代入得到)()1()()1(x Q n u x P n dxdu-=-+，下同（3） 例6、26xy xydx dy -= 解：令1-=y u ，有dy y du 2--=，代入得到x u x dx du =+6，则x x Q xx P ==)(,6)(， 有6)()(x e x dx x P =⎰=μ，)(,8][)(6266为常数C xC x C xdx x x x u +=+⋅=⎰-，把u 代入得到)(,8162为常数C xC x y +=. (7)、一阶隐式微分方程：一般形式：0),,(='y y x F ，解不出y '的称为一阶隐式微分方程。
页脚内容8下面介绍四种类型：),()1(y x f y '= ),()2(y y f x '= 0),()3(='y x F 0),()4(='y y F①、形如),(dxdy x f y =， 一般解法：令dxdyp =，代入得到),(p x f y =，两边对x 求导得到dx dp p f x f p ∂∂+∂∂=，这是关于x ，p 的一阶线性微分方程，仿照(3)，1、得出解为为常数C C x p ),,(ϕ=，那么原方程的通解为为常数C C x x f y )),,(,(ϕ=2、得出解为为常数C C p x ),,(φ=，那么原方程的通解为为常数C p C p f y C p x ,)),,((),(⎩⎨⎧==φφ 3、得出解为为常数C C p x ,0),,(=Φ，那么原方程的通解为为常数C p x f y C p x ,),(0),,(⎩⎨⎧==Φ ②、形如),(dxdy y f x = 一般解法：令dxdyp =，代入有),(p y f x =，两边对y 求导，得到dy dp p f y f p ∂∂+∂∂=1，此方程是一阶微分方程，可以按照以上(1)—(5)求出通解为常数C C p y ,0),,(=Φ，那么原方程的通解为页脚内容9为常数C p y f x C p y ,),(0),,(⎩⎨⎧==Φ ③、形如0),(='y x F一般解法：设)(,)()(为参数t t y t x ⎩⎨⎧='=φϕ，dt t t dx y dy )()(ϕφ'='=，两边积分得到⎰+'=为常数C C dt t t y ,)()(ϕφ，于是有原方程的通解为为常数C t x Cdt t t y ,)()()(⎩⎨⎧=+'=⎰ϕϕφ ④、形如0),(='y y F一般解法：设)(,)()(为参数t t y t y ⎩⎨⎧='=φϕ，由关系式dx y dy '=得dx t dt t )()(φϕ='，有dt t t dx )()(φϕ'=，两边积分得到⎰+'=为常数，C C dt t t x )()(φϕ，于是有 ⎪⎩⎪⎨⎧=+'=⎰为常数，C t y C dt t t x )()()(ϕφϕ 例7.1 y y x '+='13解：令y p '=，得到31p p x +=，两边对y 求导，得到dydpp p p p ))1(31(143+-=，有dp p p dy )32(32--=，得到为常数C C p p y ,2322++=，于是通解为页脚内容10为常数，C C p p y p p x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=232321 例7.2 y e y y ''=2解：令y p '=，得到pe p y 2=，两边对x 求导，得到dxdpe p p p p)2(2+=，有 dp e p dx p )2(+=，两边积分得到为常数C C e p x p ,)1(++=，于是通解为为常数C e p y Ce p x pp ,)1(2⎩⎨⎧=++= 例7.3 122='+y x解：设,sin cos ⎩⎨⎧='=t y t x 有dt t dt t t dx y dy 212cos )sin (sin -=-⋅='=，所以 为常数C C tt y ,242sin +-=于是通解为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=为常数C t x Ct t y ,cos 242sin 例7.4 1)1(22='-y y解：设,cos 1sin ⎪⎩⎪⎨⎧=='t y t y 有)tan (cos sin 1cos sin 22t d t dt dt t t t y dy dx -=-=-='=，所以 为常数C C t x ,tan +-=页脚内容11于是通解为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=为常数C t y C t x ,cos 1tan (8)、里卡蒂方程： 一般形式：)()()(2x R y x Q y x P dxdy ++= 一般解法：先找出一个特解)(0x y ，那么令z y y 10+=，有dx dz z dx dy dx dy 201-=，代入原方程得到 )()1)(()1)((102020x R zy x Q z y x P dx dz z dx dy ++++=-， 化简得到 0)())()(2(0=+++x P z x Q y x P dxdz ，为一阶线性微分方程，解出 为常数C C x x z ),,()(ϕ=那么原方程的通解为为常数C C x y y ,),(10ϕ+= 例8 0)2(22=-+'xy y x 解：我们可以找到一个特解xy 10=，验证：201x y -='，代入满足原方程。