一阶微分方程的解法
一阶微分方程解法
y x0 4
的特解.
解 分离变量, 得 sinydy sinxdx
cos y cosx
两边积分,得 ln c o sy ln c o s x ln c
于是原方程的通解为 c o sy c c o sx
3
又将初始条件
y x0 4
代入通解中, 得 c
2 2
故满足初始条件的特解为 cosy 2cosx
12
将 y与y’代入方程, 并整理, 得 c'(x) ex
两端积分, 得 c(x)ex c
故原方程的通解为 y = ex + c (x+1)2
例8 求方程 sin2y + xcoty dy = dx 的通解及满足初始 条件 y|x=1 = π / 2 的特解.
解 将方程改写为 dx xcot y sin2 y
dx
解 将方程恒等变形为 dy y ln y
dx x x
令uy, 即yux 则得 dy x du u
x
dx dx
7
代入原方程,
得
du x
u
ulnu
dx
分离变量, 得
du dx u(ln u 1) x
两端积分, 得 ln (ln u 1 ) ln x ln c
即 lnucx1 将 u y代 入 上 式 , 并 化 简 得 方 程 的 通 解 为
x
y xecx1
8
三. 一阶线性微分方程 形如 y’+ pxy = q(x)的方程,称为一阶线性微分方程. 若 qx = 0 , 则称方程 y’+ p(x)y = 0 为一阶齐次线性微分方程 若 qx ≠ 0 , 则称方程 y’+ p(x)y = q(x) 为一阶非齐次线性微分方程. 1.一阶齐次线性微分方程的通解 方程 y’+ pxy = 0 是变量可分离的方程, 其通解为
一阶微分方程的解法
一阶微分方程的解法一、分离变量法：分离变量法适用于可分离系数的方程，即可以将微分方程变换成关于未知函数的形式。
例如，考虑一阶微分方程dy/dx = f(x)g(y)，我们可以将方程变换为dy/g(y) = f(x)dx的形式，然后对方程两边同时积分，即可求解出未知函数y(x)的表达式。
二、齐次方程法：齐次方程是指一阶微分方程可以表示为dy/dx = f(y/x)的形式。
对于这种类型的方程，我们可以通过变量替换来将其转化为可分离变量的方程。
设y = vx，其中v是未知函数。
将y = vx代入原方程，对方程进行求导得到dy/dx = v + x*dv/dx。
将这两个式子代入原方程，得到v +x*dv/dx = f(v)。
将此方程化简为可分离变量的形式后，进行变量分离、积分的步骤，即可得到未知函数v(x)的表达式。
进一步代回y = vx，即可求得原方程的解。
三、一阶线性方程法：一阶线性方程是指可以表示为dy/dx + P(x)y = Q(x)的方程。
对于这种类型的方程，我们可以利用积分因子法来求解。
设积分因子为μ(x) = exp[∫P(x)dx]，其中P(x)是已知的系数。
对原方程两边同时乘以μ(x)，可以得到μ(x)*dy/dx + P(x)μ(x)y =Q(x)μ(x)。
左边这个式子是一个恰当方程的形式，我们可以将其写成d(μ(x)y)/dx = Q(x)μ(x)的形式。
对上述方程进行积分后，再除以μ(x)，即可得到未知函数y(x)。
四、可化为可分离变量的方程：有一些一阶微分方程虽然不能直接分离变量，但是可以通过一些代换或适当变量变换后化为可分离变量的方程。
例如，对于方程dy/dx = f(ax + by + c)，我们可以设u = ax + by + c，将其转化为关于u和x的方程。
然后对方程两边进行求导，并代入y = (u - ax - c)/b，即可得到关于u和x的可分离变量方程。
最后通过分离变量、积分等步骤，计算出未知函数y(x)的表达式。
一阶微分方程解法
一阶微分方程解法在数学的世界中，微分方程是一个非常重要的领域，它在物理、工程、经济等众多学科中都有着广泛的应用。
一阶微分方程作为微分方程的基础类型之一，掌握其解法对于深入理解和解决更复杂的问题具有关键意义。
一阶微分方程的一般形式可以表示为：＄y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄，其中＄P(x)＄和＄Q(x)＄是已知的关于＄x$ 的函数，＄y'＄表示＄y$ 对＄x$ 的导数。
接下来，我们将介绍几种常见的一阶微分方程的解法。
一、可分离变量的一阶微分方程如果一阶微分方程可以写成＄g(y)dy ＝ f(x)dx$ 的形式，那么我们就称它为可分离变量的一阶微分方程。
这种类型方程的解法相对简单，只需要分别对等式两边进行积分即可。
例如，考虑方程＄y' ＝ 2xy$，将其变形为＄＼frac{dy}｛y} ＝2xdx$。
然后，对两边积分：＄＼int\frac{dy}｛y} ＝＼int 2xdx$，得到＄＼ln|y| ＝ x^2 ＋ C$（＄C$ 为常数），进而可以得到＄y ＝＼pm e^｛x^2 ＋ C} ＝ Ce^｛x^2}＄（＄C ＝＼pm e^C$）。
二、一阶线性微分方程一阶线性微分方程是形如＄y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄的方程。
我们可以使用积分因子法来求解。
首先，求出积分因子＄＼mu(x) ＝ e^｛＼int P(x)dx}＄。
然后，将原方程两边乘以积分因子，得到：＄e^｛＼int P(x)dx}y' ＋ P(x)e^｛＼int P(x)dx}y ＝ Q(x)e^｛＼intP(x)dx}＄可以发现等式左边是＄（e^｛＼int P(x)dx}y)＇＄，所以对上式两边积分可得：＄e^｛＼int P(x)dx}y ＝＼int Q(x)e^｛＼int P(x)dx}dx ＋ C$最后，解出＄y$ 即可。
例如，对于方程＄y' ＋ 2y ＝ 3e^｛－2x}＄，这里＄P(x) ＝ 2$，＄＼int P(x)dx ＝ 2x$，积分因子＄＼mu(x) ＝ e^｛2x}＄。
一阶微分方程解法
解法概述
01
一阶微分方程的解法主要包括分离变量法、常数变易法、积分因子法 等。
02
分离变量法适用于可以将方程改写为$frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$形式的 方程。
03
常数变易法适用于形如$frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$的线性方程， 通过设定一个合适的常数变易，将方程转化为易于求解的形式。
06
可降阶的高阶微分方程解法
可降阶的高阶微分方程的概念
定义
可降阶的高阶微分方程是指可以通过适当的变换，将其化为较低阶的微分方程进行求解的一类高阶微 分方程。
分类
可降阶的高阶微分方程主要包括y''=f(x)型、y''=f(x,y')型和y''=f(y,y')型三种类型。
可降阶的高阶微分方程的解法
01
y''=f(x)型的解法
通过积分将二阶微分方程化为一阶微分方程进行求解。
02
y''=f(x,y')型的解法
通过适当的变量代换，将原方程化为关于新变量的一阶微分方程进行求
解。
03
y''=f(y,y')型的解法
令y'=p，将原方程化为关于y和p的一阶微分方程组进行求解。
可降阶的高阶微分方程的应用举例
常数变易法的步骤
第一步
观察原方程，确定需要变易的常数及其形式。
第二步
引入新的变量，将原方程中的常数替换为相应的函数，得到新方程。
第三步
求解新方程，得到通解或特解。
第四步
将通解或特解中的新变量还原为原方程的常数，得到原方程的解。
一阶微分方程的解法
一阶微分方程的解法
一阶微分方程的通解形式为：
$${\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)$$。
其中$P(x)$和$Q(x)$是已知函数。
解法有以下几种：
1. 变量分离法：将 $dy$ 和 $dx$ 分离到方程两边，然后积分得到$y$ 的通解。
2. 齐次方程法：当 $Q(x)=0$ 时，方程被称为齐次方程。
通过将$y$ 转化为 $u=\frac{y}{x}$ 的方式，将齐次方程转化为分离变量的形式，然后积分得到 $u$ 的通解，再将 $u$ 转化为 $y$。
3.一阶线性非齐次方程法：对于一阶线性非齐次方程，可以通过求解齐次方程的解和特解的方式得到通解。
4. 一阶恰当方程法：对于一个形如 $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ 的微分方程，如果 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial
N}{\partial x}$，那么该方程就是恰当方程。
此时，可以通过求解方程的积分因子，将恰当方程变为恰好可积分的形式，然后求解得到通解。
5.变系数线性微分方程法：如果$P(x)$或$Q(x)$是$x$的函数，那么可以通过变量代换将其转化为常数系数的线性微分方程，然后采用常数系数线性微分方程的解法求解得到通解。
这些解法都有其适用的场合，具体应根据问题的特点来选择相应的方法。
一阶常微分方程
一阶常微分方程在数学领域，微分方程是一种描述变量及其变化率之间关系的方程。
一阶常微分方程是指方程中包含未知函数的一阶导数，并且未知函数只出现一次的微分方程。
本文将详细介绍一阶常微分方程的定义、解法和应用。
一、定义一阶常微分方程可以用以下一般形式表示：dy/dx = f(x, y)其中，y是未知函数，x是独立变量，f是已知函数，称为方程的右端函数。
二、解法对于一阶常微分方程，常见的解法有分离变量法和常数变易法。
1. 分离变量法分离变量法的思想是将方程中的变量分开，使得其中一个变量只与自身有关，然后积分求解。
步骤如下：(1) 将微分方程写成dy/dx = g(x)h(y)的形式，其中g(x)和h(y)分别表示x和y的函数。
(2) 将方程两边同时乘以h(y)，并将包含y的项移到方程的一边，包含x的项移到另一边。
(3) 对两边同时积分，并加上常数C，得到方程的通解。
(4) 若已知初始条件y(x0) = y0，将初始条件代入通解中，求解得到特解。
2. 常数变易法常数变易法是通过对方程中的未知函数引入一个待定的参数，然后通过求解该参数的值来得到方程的解。
步骤如下：(1) 将微分方程写成dy/dx + p(x)y = q(x)的形式，其中p(x)和q(x)为已知函数。
(2) 设y = u(x)v(x)，其中u(x)为待定的函数，v(x)为积分因子，通常取v(x) = exp(∫p(x)dx)。
(3) 将上述表达式代入原方程，得到关于u(x)和v(x)的方程。
(4) 解关于u(x)的方程，并代入v(x)求得y的通解。
三、应用一阶常微分方程在自然科学和工程领域有广泛的应用。
下面介绍其中几个常见的应用：1. 经济学经济学中常常用微分方程来描述经济系统的变化。
例如，人口增长、资源利用和市场供求关系等都可以用一阶常微分方程来模拟和预测。
2. 物理学物理学中常用微分方程来描述物体的运动和变化。
例如，牛顿第二定律F = ma可以写成二阶微分方程形式，而一阶微分方程则可以描述电路中的电荷、电流等量的变化。
高等数学8.3.一阶线性微分方程的解法
i|t00．
方程 di R i Em sinw t 为非齐次线性方程，由其通中解公式，得
dt L L
i(t)e PP((tt))ddtt (
Q(t)e PP((tt))ddtt
dtC)
e
RRddtt LL
(
Emm
s in w
t
e
RRddtt LL
两边积分得 ln|y|ln|x2|lnC，
方程的通解为
这就是齐次线性方程和通解
yC(x2)．
（积分中不再加任意常数）．
非齐次线性方程的解法： 将齐次线性方程通解中的常数换成 x 的未知函数u(x)，把
y u(x) e P(x)dx
设想成非齐次线性方程的通解．代入非齐次线性方程求得
uln |u1|xC． yln |xy1|C，
或
xC 1ey y1 (C 1 e C )．
§8.3一阶线性微分方程的解法
一、线性方程
线性方程、齐次线性方程的解法 非齐次线性方程的解法
一、 一阶微分线性方程
线性方程：
下列方程各是什么类型方程？
方程 dy P(x)y Q(x) dx
叫做一阶线性微分方程．
(1) 3x25x5y0； (2) dy 10xy ；
dx
如果Q(x)0 ，则方程称为齐
R 2 w 2 L2
经过变量代换，某些方程可以化为变量可分离的方程，或化 为已知其求解方法的方程．
例 5 解方程dy 1 ． dx x y
解 令xyu，则原方程化为
du 11 ，即 du u 1 ．
dx u
dx u
分离变量，得
u du dx， u 1
两端积分得 以uxy代入上式，得
微积分-一阶线性微分方程的解
一阶线性微分方程的解你也许想先阅读 微分方程 和 分离变量法！微分方程是有 函数 及其一个或以上的 导数 的方程：dydxy x+5=微分方程（导数）例子：这个方程有函数 y 和它的导数dy dx在这里我们会了解怎样解一种特别的微分方程：一阶线性微分方程一阶"一阶" 的意思是只有dy dx ，而没有 d 2y dx 2 或 d 3y dx3 等线性若微分方程可以写成以下的格式，它便是一阶微分方程：dy + P(x)y = Q(x)dx其中， P(x) 和 Q(x) 是 x 的函数。
我们可以用一个特别的方法来解：建立两个新的 x 的函数，叫 u 和 v ，并设 y=uv 。
接着解 u ，再解 v ，最后整理一下就行了！我们也会利用 y=uv 的导数 （去看 导数法则 （积法则） ）：dy = udv + vdu dx dx dx步骤以下我们逐步来解释这个解法：一、 代入 y = uv 和dy = udv + vdu dxdx dx到dy + P(x)y = Q(x)dx二、因式分解有 v 的部分三、设 v 的项为零（结果是 u 和 x 的微分方程，我们在下一步来解）四、用 分离变量法 来解 u五、代入 u 到在第二步得到的方程六、解这个方程来求 v七、最后，代入 u 和 v 到 y = uv 来得到原来的微分方程的解！举个例会比较清楚：例子：解：dy− y x = 1dx首先，这是不是线性的？是，因为格式是dy+ P(x)y = Q(x)dx其中 P(x) = − 1x和 Q(x) = 1好，我们逐步去解：一、 代入 y = uv 和 dy dx = u dv dx + v du dx这个：dy dx − y x = 1变成这个： u dv dx + v du dx − uv x = 1二、因式分解有 v 的部分：因式分解 v：u dv dx + v( du dx − u x ) = 1三、设 v 的项为零v 的项 = 零：du dx − u x = 0所以：du dx = u x四、用 分离变量法 来解 u分离变量：du u = dx x加积分符号：∫du u = ∫dx x求积分：ln(u) = ln(x) + C设 C = ln(k)：ln(u) = ln(x) + ln(k)所以：u = kx五、代入 u 到在第二步得到的方程（v 的项等于 0，可以不理）：kx dv dx = 1六、解来求 v分离变量：k dv = dx x加积分符号：∫k dv = ∫dxx求积分：kv = ln(x) + C设 C = ln(c)：kv = ln(x) + ln(c)所以：kv = ln(cx)所以：v = 1k ln(cx)七、代入到 y = uv 来得到原来的微分方程的解。
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6.1 一阶微分方程的解法
引言：微分方程的应用（人口增长、自动 控制、市场控制、力学、电学） 6.1.1 微分方程的基本概念 一、两个实例
例 1 已知一曲线上任一点 P(x, y) 处的切线的斜
率为 e x ,且该一曲线通过点(0,2),求该曲线的
方程.
解 设所求曲线为 y y( x)
（3）把它代入方程，化简后得：C(x) sec2 x
两边积分，得 C(x) tan x C
（4）把C(x）代入，即得原方程的通解是：
y (tan x C) cosx
解二 我们也可以直接利用通解公式求解，此时
P(x) tan x , Q(x) sec x ，得通解
y
dy P( x) y Q( x) dx
当Q( x) 0, 上方程称为齐次的.
当Q( x) 0, 上方程称为非齐次的.
例如 dy y x2 , dx x sin t t 2 , 线性的;
dx
dt
yy 2xy 3, y cos y 1, 非线性的.
我们先讨论 一阶齐次线性微分方程的解法
e P( x)dx
Q(
x)e
P(
x ) dx
dx
C
e tan xdx
sec
xe
tan
xdx
dx
C
(tan x C) cosx
例6.9 求微分方程 x2dy+(2xy –x+1)dx= 0 满足初始
条件y(1) = 0的特解
解
dy 2 y x 1
令 v0
得 t 20 50(s) 0.4
s 500(m)
二、基本概念
1. 微分方程的定义
特点
x
可不出现
y
y′，y″，……y (n)
定义1 含有自变量、未知函数及未知函数的导数
(或微分)的方程，叫做微分方程.
未知函数是一元函数的微分方程叫做常微分方程.
2. 微分方程的阶 微分方程中未知函数的导数（或微分）的最高阶 数，称为微分方程的阶
3. 微分方程的解
定义2 如果一个函数代入微分方程后，方程两端 恒等，则称此函数为微分方程的解。
（1）通解：如果微分方程的解中含有任意常数， 且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相 同，这样的解叫做微分方程的通解。 （2）特解：在通解中，给任意常数以确定的值 而得到的解称为特解。
（3）初始条件：用来确定通解中任意常数的条件
故所求方程的特解为
y
1 2
1 x
1 2x2
.
补充：求微分方程(y 2- 6 x)dy + 2ydx = 0的通解
（y为自变量）
解 dx 3 x y dy y 2
P( y) 3 , Q(y) y ,
y
2
x
e
3 dy y
y 2
e
3 y
dy
dy
dx x
x2
P(x) 2 , x
Q(x)
x x2
1
,
y
e
2 x
dx
x x2
1
e
2 x
dx
dx
C
e2ln x
x x2
1
e
2
ln
x
dx
C
1 x2
1 2
x2
x C .
把初始条件 y(1) = 0 代入上式，得C = 1/2
线性齐次方程
dy P( x) y 0. dx
(使用分离变量法)
dy P( x)dx, y
dy y
P
(
x)dx,
ln y P( x)dx lnC,
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx .
下面我们用常数变易法在齐次线性方程的通解 式的基础上来求解非齐次线性方程式的通解， 即把齐次线性方程的通解式中的C看作是x的 函数C（x）.
s(0) 0; s(0) 20.
（1）式两边积分得： v
ds dt
0.4t
c1
两边再积分得： s 0.2t 2 c1t c2
将 s(0) 0; s(0) 20. 代入以上两式得：
c1 20, c2 0
Hale Waihona Puke v 0.4t 20, s 0.2t 2 20t
y x x0 y0
如例1
dy ex dx
y exdx 即 y ex C, （通解）
其中 x 0时, y 2（初始条件）
求得C 1,
所求曲线方程为 y ex 1. （特解）
例 3 验证:函数 x C1 cos kt C2 sin kt 是微分
方程d 2 dt
dx
y
解 分离变量 ydy x2dx,
两端积分 ydy x2dx,
1 2
y2
1 3
x3
C1
即
y2
2 3
x3
2C1
y 2 2 x3 c为方程的通解 （C = 2C1) 3
例6.6 求微分方程 xydy + dx =y 2dx + ydy 的通解
解
分离变量
ydy y2 1
故 x C1 coskt C2 sin kt 是原方程的解.
4. 指出微分方程的阶、通解或特解 练习：P.153 1. 2.
一阶微分方程的一般形式为 F（x，y， y′ ）=0
下面我们仅讨论几种特殊的一阶微分方程 及解法
6.1.2 分离变量法
如果一个一阶微分方程 F（x，y， y′ ）=0可化为
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y
e
P(
x ) dx
[
Q(x)e P(x)dxdx C]
Ce P( x)dx e P( x)dx Q( x)e P( x)dxdx
对应齐次
非齐次方程特解
方程通解
例 求微分方程 (cosx) y (sin x) y 1的通解.
1 dx, x 1
两端积分
ydy y2 1
1 dx, x 1
d ( y2 1)
y2 1
2
1 d (x 1), x 1
ln( y2 1) ln( x 1)2 ln C
故方程的通解为 y2 1 C(x 1)2
例6.7 求微分方程 (1 ex ) yy ex
满足初始条
件y（0）= 1的特解
解
分离变量
ydy
ex 1 ex
dx,
两端积分 1 y2 ln(1 ex ) C 2
由初始条件y（0）= 1，得 C 1 ln 2 2
故所求的特解为
y2 2 ln(1 ex ) 1 2 ln 2
6.1.3 常数变易法
一阶线性微分方程的标准形式:
g( y)dy f (x)dx 的形式，
则该微分方程称为可分离变量的微分方程
两边积分，得
g( y)dy f ( x)dx
设函数G( y)和F ( x) 分别为 g( y) 和 f ( x)的原函数,
则微分方程的通解为：
G( y) F(x) C
例6.5 求解微分方程 dy x 2 的通解。
判定下列等式是否微分方程？如果是，指出 它的阶数。
(1) y′+ 2xy = e x (2) y″- 5 y′= 2 x 2- x +1 (3) 2 y″- 3(y′)3 + 5y = 8x (4) y 2- x +1 = 0 (5) (sinx) ′= cosx (6) y″= 0 (7) (y′) 4 = e x – y
设 y C(x)e P(x)dx 是非齐次方程的通解
把它代入非齐次方程，由此来确定待定 函数C（x）. 这时
y C(x)eP(x)dx C(x)[P(x)]eP(x)dx ,
将y和y代入原方程得C(x)eP(x)dx Q(x),
两边积分得 C(x) Q(x)e P(x)dxdx C,
曲线上任意点的坐标为(x , y)，则
dy 2x dx
例6.3 列车在平直线路上以20m/s的速度行驶，
制动时列车获得加速度m/s. 问开始制动后多长
时间列车才能停住，在这段时间内列车行驶了多
少路程？
解 设列车开始制动的时刻为t=0，制动t 秒行驶了s米后停止，由导数的力学意义， 列车制动阶段运动规律的函数 s s(t) 应满 足 s(t) 0.4 (1) S(t)还应满足
解一 将原方程变形为 y (tan x) y sec x
（1）先求对应齐次方程 y (tan x) y 0 的通解.
y Ce P(x)dx Ce tan xdx Celn cosx C cos x
（2）把 C 换成 C(x) ，即设 y C(x) cosx
x
2
k
2
x
0的解.
解
dx dt
kC1
sin
kt
kC2
cos
kt ,