常微分方程考研讲义 一阶微分方程解的存在定理

第三章一阶微分方程解的存在定理

[教学目标]

1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练

近似解的误差估计式。

2.了解解的延拓定理及延拓条件。

3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。

[教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的

证明。

[教学方法] 讲授，实践。

[教学时间] 12学时

[教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延

拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。

[考核目标]

1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。

2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。

3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。

§1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法

微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客

观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一

阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法

求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初

值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值

问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定

性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。

例如方程

过点(0,0)的解就是不唯一，易知0

y=是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2

=或更一般地，函数

y x

都是方程过点(0,0)而且定义在区间01

<<的任一数。

c

≤≤上的解，其中c是满足01

x

解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。

1．存在性与唯一性定理： （1）显式一阶微分方程 ),(y x f dx

dy

= （3.1）

这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2） 上连续。

定理1：如果函数),(y x f 满足以下条件：1）在R 上连续：2）在R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数0L >，使对于R 上任何一对点1(,)x y ，2(,)x y 均有不等式1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-成立，则方程（3.1）存在唯一的解()y x ?=，在区间0||x x h -≤上连续，而且满足初始条件

00()x y ?=

（3.3） 其中,min(,),max (,)x y R b

h a M f x y M

∈==,L 称为Lipschitz 常数.

思路：

1） 求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程 的连续解。

2） 构造近似解函数列{()}n x ?

任取一个连续函数0()x ?，使得00|()|x y b ?-≤，替代上述积分方程右端的

y ，得到

如果10()()x x ??≡，那么0()x ?是积分方程的解，否则，又用1()x ?替代积分方程右

端的y ，得到

如果21()()x x ??≡，那么1()x ?是积分方程的解，否则，继续进行，得到

01()(,())x

n n x x y f x x dx ??-=+?

（3.4）

于是得到函数序列{()}n x ?.

3） 函数序列{()}n x ?在区间00[,]x h x h -+上一致收敛于()x ?，即 存在，对(3.4)取极限,得到 即00()(,())x

x x y f x x dx ??=+?.

4) ()x φ是积分方程0

0(,)x

x y y f x y dx =+?在00[,]x h x h -+上的连续解.

这种一步一步求出方程解的方法——逐步逼近法.在定理的假设条件下,分五个命题来证明定理.

为了讨论方便,只考虑区间00x x x h ≤≤+,对于区间00x h x x -≤≤的讨论完全类似.

命题1 设()y x ?=是方程(3.1)定义于区间00x x x h ≤≤+上,满足初始条件

00()x y ?= （3.3）

的解,则()y x ?=是积分方程

00(,)x

x y y f x y dx =+? 00x x x h ≤≤+

(3.5)

的定义于00x x x h ≤≤+上的连续解.反之亦然.

证明 因为()y x ?=是方程(3.1)满足00()x y ?=的解,于是有 两边取0x 到x 的积分得到

即有00()(,())x

x x y f x x dx ??=+? 00x x x h ≤≤+

所以()y x ?=是积分方程0

0(,)x

x y y f x y dx =+?定义在区间00x x x h ≤≤+上的连续解.

反之,如果()y x ?=是积分方程(3.5)上的连续解,则

00()(,())x

x x y f x x dx ??=+? 00x x x h ≤≤+

（3.6）

由于),(y x f 在R 上连续,从而(,())f x x ?连续,两边对x 求导,可得 而且 00()x y ?=,

故()y x ?=是方程(3.1)定义在区间00x x x h ≤≤+上,且满足初始条件00()x y ?=的解. 构造Picard 的逐次逼近函数序列{()}n x ?.

0000100()()(,()) x n

n x x y x y f d x x x h ??ξ?ξξ-=??

?=+≤≤+???(1,2,)n =L

（3.7）

命题2 对于所有的n ，（3.6）中的函数()n x ?在00x x x h ≤≤+上有定义，连续且

满足不等式

0|()|n x y b ?-≤ （3.8）

证明 用数学归纳法证明

当1n =时，0100()(,)x

x x y f y d ?ξξ=+?，显然1()x ?在00x x x h ≤≤+上有定义、

连续且有 即命题成立.

假设n k =命题2成立，也就是在00x x x h ≤≤+上有定义、连续且满足不等式 当1n k =+时，

由于),(y x f 在R 上连续,从而(,())k f x x ?在00x x x h ≤≤+上连续，于是得知1()k x ?+在00x x x h ≤≤+上有定义、连续,而且有

即命题2对1n k =+时也成立.由数学归纳法知对所有的n 均成立.

命题3 函数序列{()}n x ?在00x x x h ≤≤+上是一致收敛的.

记lim ()()n n x x ??→∞

=,00x x x h ≤≤+

证明 构造函数项级数

011()[()()]k k k x x x ???∞

-=+-∑ 00x x x h ≤≤+

(3.9) 它的部分和为

于是{()}n x ?的一致收敛性与级数(3.9)的一致收敛性等价. 为此，对级数

(3.9)的通项进行估计.

01000|()()||(,())|()x

x x x f d M x x ??ξ?ξξ-≤≤-?

(3.10)

由Lipschitz 条件得知 设对于正整数n ,有不等式

成立,则由Lipschitz 条件得知,当00x x x h ≤≤+时,有 于是由数学归纳法可知, 对所有正整数k ,有

1110|()()|() !!

k k k

k k k ML ML x x x x h k k ??----≤-≤ 00x x x h ≤≤+

(3.11)

由正项级数1

1!

k

K k h ML

k ∞

-=∑ 的收敛性,利用Weierstrass 判别法,级数(3.9)在00x x x h ≤≤+上一致收敛.因而序列{()}n x ?在00x x x h ≤≤+上一致收敛.

设lim ()()n n x x ??→∞

=,则()x ?也在00x x x h ≤≤+上连续,且

命题4 ()x ?是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的连续解.

证明 由Lipschitz 条件

以及{()}n x ?在00x x x h ≤≤+上一致收敛于()x ?,可知(,())n f x x ?在00x x x h ≤≤+上一致收敛于(,())f x x ?.因此

即 00()(,()) x

n x x y f d ?ξ?ξξ=+?

故()x ?是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的连续解.

命题5 设()x ψ是积分方程(3.5)的定义在00x x x h ≤≤+上的一个连续解,则

()()x x ?ψ≡,00x x x h ≤≤+.

证明 设()|()()|g x x x ?ψ=-,则()g x 是定义在00x x x h ≤≤+的非负连续函数,由于 而且(,)f x y 满足Lipschitz 条件,可得

令0()()x

x u x L g d ξξ=?,则()u x 是00x x x h ≤≤+的连续可微函数,且0()0u x =,

0()()g x u x ≤≤,()()u x Lg x '=,()()u x Lu x '≤,(()())0Lx u x Lu x e -'-≤,

即(())0Lx u x e -'≤,于是在00x x x h ≤≤+上, 0

0()()0Lx Lx u x e u x e --≤=

故()()0g x u x ≤≤,即()0g x ≡,00x x x h ≤≤+,命题得证.

对定理说明几点:

(1)存在唯一性定理中min(,

)b

h a M

=的几何意义. 在矩形域R 中(,)f x y M ≤,故方程过00(,)x y 的积分曲线()y x ?=的斜率必介于M -与M 之间,过点00(,)x y 分别作斜率为M -与M 的直线.

当b M a ≤

时，即b

a M ≤,（如图(a)所示），解()y x ?=在00x a x x a -≤≤+上有定义；当

b M a ≥时,即b

a M

≤,（如图(b)所示），不能保证解在00x a x x a -≤≤+上有定义，

它有可能在区间内就跑到矩形R 外去，只有当00b b

x x x M M

-≤≤+才能保证解

()y x ?=在R 内，故要求解的存在范围是

0||x x h -≤.

(2)、 由于李普希兹条件的检验是比较费事的，而我们能够用一个较强的，但却易于验证的条件来代替他，即如果函数),(y x f 在矩形域R 上关于y 的偏导数),('y x f y 存在并有界，即'(,)y f x y L ≤，则李普希兹条件条件成立. 事实上 这里12(,),(,),01x y x y R θ∈<<. 如果),('y x f y 在R 上连续，它在R 上当然满足李普希兹条件.但是,满足李普希兹条件的函数),(y x f 不一定有偏导数存在.例如函数(,)||f x y y =在任何区域都满足李普希兹条件,但它在0y =处没有导数. (3)、设方程(3.1)是线性的,即方程为

易知,当(),()P x Q x 在区间[,]αβ上连续时,定理1的条件就能满足,且对任一初值000(,),[,]x y x αβ∈所确定的解在整个区间[,]αβ上有定义、连续.

实际上,对于一般方程(3.1),由初值所确定的解只能定义在0||x x h -≤上,是因为在构造逐步逼近函数序列{()}n x ?时,要求它不越出矩形域R ,此时,右端函数对y 没有任何限制,只要取0[,]

max |()()|x M P x y Q x αβ∈=+.

(4)、Lipschitz 条件 是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件. 例如 试证方程

经过xoy 平面上任一点的解都是唯一的.

证明 0y ≠时, (,)ln ||f x y y y =,在0y ≠上连续, (,)1ln ||y f x y y '=+也在

0y ≠上连续,因此对x 轴外的任一点00(,)x y ,方程满足00()y x y =的解都是唯一存在

的.又由

可得方程的通解为 x ce y e =±,其中x

ce y e =为上半平面的通解, x

ce y e =-为下半平面的通解,它们不可能与0y =相交.注意到0y =是方程的解,因此对x 轴上的任一点0(,0)x ,只有0y =通过,从而保证xoy 平面上任一点的解都是唯一的. 但是

因为0

lim |ln |||y y →=+∞,故不可能存在0L >,使得

所以方程右端函数在0y =的任何邻域并不满足Lipschitz 条件.

此题说明Lipschitz 条件 是保证初值问题解惟一的充分条件，而非必要条件.

2)考虑一阶隐方程

(,,)0F x y y '= (3.12)

由隐函数存在定理,若在000

(,,)x y y '的某一邻域内F 连续且000(,,)0F x y y '=,而0F

y ?≠'

?,则必可把y 唯一地表为,x y 的函数

(,)y f x y '= (3.13)

并且(,)f x y 于00(,)x y 的某一邻域连续,且满足0

00(,)y f x y '= 如果F 关于所有变元存在连续的偏导数,则(,)f x y 对,x y 也存在连续的偏导数,

并且

/f F F

y y y ???=-'

??? (3.14)

显然它是有界的,由定理1可知,方程(3.13)满足初始条件的0()0y x =解存在且唯一.从而得到下面的定理.

定理2 如果在点000

(,,)x y y '的某一邻域中: ⅰ) (,,)F x y y '关于所有变元(,,)x y y '连续,且存在连续的偏导数；

ⅱ）000

(,,)0F x y y '=

ⅲ）

000

(,,)0F x y y y '?≠'

?

则方程（3.12）存在唯一的解

0() || y y x x x h =-≤（h 为足够小的正数） 满足初始条件

0000

(), ()y x y y x y ''== （3.15）

1、 近似计算和误差估计

求方程近似解的方法——Picard 的逐次逼近法

对方程的第n 次近似解()n x ?和真正解()x ?在0||x x h -≤内的误差估计式

1

|()()|(1)!

n n n ML x x h n ??+-≤

+ （3.16）

此式可用数学归纳法证明. 设有不等式 成立,则

例1 讨论初值问题

22dy

x y dx

=+, (0)0y = 解的存在唯一性区间,并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解,其中, :11,11R x y -≤≤-≤≤.

解 (,)1

max |(,|2,1,1,min{,

}2

x y R

b M f x y a b h a M ∈======,由于|||2|2f y L y ?=≤=?,根

据误差估计式(3.16)

可知3n =.于是

3()x ?就是所求的近似解,在区间11

22

x -≤≤上,这个解与真正解得误差不超过0.05.

§2 解的延拓

上节我们学习了解的存在唯一性定理，当

),(y x f dx dy

=的右端函数),(y x f 在R 上满足解的存在性唯一性条件时，初值问题?????==)

()

,(00x y y y x f dx

dy

的解在0||x x h -≤上存在且唯一. 但是，这个定理的结果是局部的，也就是说解的存在区间是很小的.

可能随着),(y x f 的存在区域的增大，而能肯定的解得存在区间反而缩小。例如，上一节的例1，当定义区域变为:22,22R x y -≤≤-≤≤时，218,min{2,}84

M h ===，解的范围缩小为01||4

x x -≤. 在实际引用中，我们也希望解的存在区间能尽量扩大，下面讨论解的延展概念，尽量扩大解的存在区间，把解的存在唯一性定理的结果由局部的变成大范围的.

1、饱和解及饱和区间

定义1 对定义在平面区域G 上的微分方程 ),(y x f dx

dy

= (3.1)

设()y x ?=是方程(3.1)定义在区间1I R ?上的一个解,如果方程(3.1)还有一个定义在区间2I R ?上的另一解()y x ψ=,且满足 (1) 12I I ?；但是12I I ≠ （2）当1x I ∈时，()()x x ?ψ≡

则称1(),y x x I ?=∈是可延拓的，并称()y x ψ=是()y x ?=在2I 上的延拓.否则如果不存在满足上述条件的解()y x ψ=,则称1(),y x x I ?=∈是方程(3.1)的不可延拓解或饱和解,此时把不可延拓解的区间1I 称为一个饱和区间.

2、局部李普希兹条件

定义2 若函数),(y x f 在区域G 内连续，且对G 内每一点P ，都存在以P 点为中心，完全含在G 内的闭矩形域p R ，使得在p R 上),(y x f 关于y 满足李普希兹条件（对于不同的点，闭矩形域p R 的大小和李普希兹常数L 可能不同），则称),(y x f 在G 上关于y 满足局部李普希兹条件.

定理3 （延拓定理）如果方程

),(y x f dx

dy

=的右端函数),(y x f 在（有界或无界）区域2G R ∈上连续，且在关于y 满足局部李普希兹条件，则对任意一点00(,)x y G ∈，

方程

),(y x f dx

dy

=以),(00y x 为初值的解)(x ?均可以向左右延展，直到点(,())x x ?任意接近区域G 的边界.

以向x 增大的一方来说，如果()y x ?=只能延拓到区间上，则当x m →时，(,())x x ?趋于区域G 的边界。

证明 00(,)x y G ?∈，由解的存在唯一性定理，初值问题

?????==)

()

,(00x y y y x f dx dy

（1）

存在唯一的解()y x ?=，解的存在唯一区间为00||x x h -≤.取100x x h =+,

11()y x ?=,以11(,)x y 为中心作一小矩形1R G ∈,则初值问题

11(,)

()

dy

f x y dx y y x ?=???=?

(2)

存在唯一的解()y x ψ=，解的存在唯一区间为11||x x h -≤.

因为 11()()x x ?ψ=,有唯一性定理,在两区间的重叠部分应有()()x x ?ψ=,即当

111x h x x -≤≤时()()x x ?ψ=.定义函数

则()y x ?*=是方程(3.1)满足(1)(或(2)) 的,在0011[,]x h x h -+上有定义的唯一的解.这样,把方程(3.1)满足(1)的解()y x ?=在定义区间上向右延伸了一段.即把解()y x ?*=看作方程(3.1)的解()y x ?=在定义区间00||x x h -≤的向右延拓,延拓到更大区间00001x h x x h h -≤≤++.同样的方法,也可把解()y x ?=向左延拓.这种将曲线向左右延拓的办法可继续进行下去,最后将得到一个解~

()y x ?=,不能再向左右延拓了.这个解称为方程(3.1)的饱和解. 推论1 对定义在平面区域G 上的初值问题

?????==)

()

,(00x y y y x f dx dy

其中00(,)x y G ∈

若),(y x f 在区域G 内连续且关于y 满足局部Lipschtiz 条件,则它的任一非饱和解

均可延拓为饱和解.

推论2 设~

()y x ?=是初值问题

?????==)

()

,(00x y y y x f dx dy

其中00(,)x y G ∈

的一个饱和解，则该饱和解的饱和区间I 一定是开区间.

证明 若饱和区间I 不是开区间,不妨设(,]I αβ=,则~

(,())G β?β∈,这样解~

()y x ?=还可以向右延拓,从而~

()y x ?=是非饱和解,矛盾.对[,)I αβ=时,同样讨论,即

x β-→(或x α+→)时, (,())x x G ?→?.

推论3 如果G 是无界区域,在上面解的延拓定理的条件下,方程(3.1)通过00(,)x y 点的解()y x ?=可以延拓,以向x 增大(减小)一方的延拓来说,有以下两种情况:

(1) 解()y x ?=可以延拓到区间0[,)x +∞(或0(,]x -∞)；

(2) 解()y x ?=只可延拓到区间0[,)x m (或0(,]m x )，其中为有限数，则当x m

→时，或者()y x ?=无界,或者点(,())x x G ?→?.

例1讨论方程21

2dy y dx -=分别通过点(0,0)和点(ln 2,3)-的解的存在区间.

解 此方程右端函数21

(,)2

y f x y -=在整个xy 平面上满足解的存在唯一性定理

及解的延拓定理的条件.易知方程的通解为

故通过点(0,0)的解为(1)/(1)x x y e e =-+,这个解的存在区间为x -∞<<+∞； 通过点(ln 2,3)-的解为(1)/(1)x x y e e =+-,这个解的存在区间为0x <<+∞ (如图所示).注意, 过点(ln 2,3)-的解为(1)/(1)x x y e e =+-向右方可以延拓到

+∞,但向左方只能延拓到0,因为当0x +→时,y →-∞.

例2讨论方程

1ln dy

x dx

=+过(1,0)点的解的存在区间. 解 方程右端函数(,)1ln f x y x =+在右半平面0x >上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件.区域G (右半平面)是无界开域，y 轴是它的边界.

易知问题的解为ln y x x =,它于区间0x <<+∞ 上有定义、连续且当0x →时, 0y →,即所求问题的解向右方可以延拓到+∞,但向左方只能延拓到0,且当0x →时积分曲线上的点(,)x y 趋向于区域G 的边界上的点.

例3 考虑方程

),()(22y x f a y dx

dy

-=,假设(,)f x y 和),('y x f y 在xoy 平面上连续，试证明：对于任意0x 及a y <0，方程满足00)(y x y =的解都在),(+∞-∞上存在.

证明 根据题设,易知方程右端函数在整个xoy 平面上满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件.又y a =±为方程在(,)-∞+∞上的解,由延拓定理可知,对00,||x y a ?<,满足00)(y x y =的解()y y x =应当无限远离原点,但是,由解的唯一性, ()y y x =又不能穿过直线y a =±,故只能向两侧延拓,而无限远离原点,从而解应在(,)-∞+∞存在.

注: 如果函数(,)f x y 于整个xoy 平面上定义、连续和有界,同时存在关于y 的一阶连续偏导数,则方程(3.1)的任一解均可以延拓到区间x -∞<<+∞.

练习 试证对任意0x ，0y ，方程1

222

++=y x x dx dy 满足初始条件00)(y x y =的解

都在),(+∞-∞上存在.

§3 解对初值的连续性和可微性定理

在初值问题?????==)()

,(00x y y y x f dx dy

中我们都是把初值),(00y x 看成是固定的数值，然后

再去讨论方程),(y x f dx

dy

=经过点),(00y x 的解.但是假如00(,)x y 变动，则相应初值

问题的解也随之变动，也就是说初值问题的解不仅依赖于自变量x ,还依赖于初值00(,)x y .例如：y y x f =),(时,方程y y ='的解是x ce y =,将初始条件00)(y x y =带入,可得0

0x x e y y -=.很显然它是自变量x 和初始条件00(,)x y 的函数.因此将对初值问题

?????==)

()

,(00x y y y x f dx

dy

的解记为),,(00y x x y ?=,它满足0000(,,)y x x y ?=. 当初值发生变化时，对应的解是如何变化的？当初始值微小变动时，方程解的变化是否也很小呢？为此就要讨论解对初值的一些性质.

1、解关于初值的对称性

设方程(3.1)满足初始条件00()y x y =的解是唯一的,记为),,(00y x x y ?=,则在此关系式中, (,)x y 与00(,)x y 可以调换其相对位置.即在解的存在范围内成立关系式

证明 在方程(3.1)满足初始条件00()y x y =的解的存在区间内任取一点1x ,显然1100(,,)y x x y ?=,则由解的唯一性知,过点11(,)x y 的解与过点00(,)x y 的解是同一条积分曲线,即此解也可写为

并且,有0011(,,)y x x y ?=.又由11(,)x y 是积分曲线上的任一点,因此关系式00(,,)y x x y ?=对该积分曲线上的任意点均成立. 2、 解对初值的连续依赖性

由于实际问题中初始条件一般是由实验 测量得到的，肯定存在误差. 有的时候误差比较大，有的时候误差比较小，在实际应用中我们当然希望误差较小，也就是说当00(,)x y 变动很小的时候，相应的方程的解也只有微小的变动，这就是解对初值的连续依赖性所要研究的问题：在讨论这个问题之前，我们先来看一个引理：

引理：如果函数(,)f x y 于某域D 内连续，且关于y 满足Lipschtiz 条件

（Lipschtiz 常数为L ），则对方程（3.1）的任意两个解()x ?及()x ψ，在它们公共存在的区间内成立着不等式

||00|()()||()()|L x x x x x x e ?ψ?ψ--≤- （3.17）

其中0x 为所考虑区域内的某一值.

证明 设()x ?, ()x ψ于区间a x b ≤≤上均有定义,令 则

于是 ()|()|2|()()||(,)(,)|2()V x V x x x f x f x LV x ?ψ?ψ''≤=--≤ 从而

2(())0Lx d

V x e dx

-≤ 所以,对0[,]x a b ?∈,有

对于区间0a x x ≤≤,令x t -≤,并记00x t -≤,则方程(3.1)变为 而且已知它有解()y t ?=-和()y t ψ=-. 类似可得0

2()00()(),L x x V x V x e a x x -≤≤≤

因此, 0

2||00()(),,L x x V x V x e a x b a x b -≤≤≤≤≤

两边开平方即得(3.17).

利用此引理我们可以证明解对初值的连续依赖性：

解对初值的连续依赖定理

假设),(y x f 在区域G 内连续，且关于y 满足局部李普希兹条件，如果

00(,)x y G ∈，初值问题?????==)

()

,(00x y y y x f dx dy

有解00(,,)y x x y ?=，它于区间b x a ≤≤上有定义

(0a x b ≤≤),则对任意0>ε， (,,)0a b δδε?=>，使得当2220000()()x x y y δ-+-≤时,

方程(3.1)满足条件00()y x y =的解00(,,)y x x y ?=在区间b x a ≤≤上也有定义，并且有

0000(,,)(,,),x x y x x y a x b ??ε-<≤≤.

证明 记积分曲线段00:(,,)(),S y x x y x a x b ??=≡≤≤是xy 平面上一个有界闭集. 第一步:找区域D ,使S D ?,而且(,)f x y 在D 上关于y 满足Lipschitz 条件. 由已知条件,对(,)x y S ?∈,存在以它为中心的开圆,C C G ?,使(,)f x y 在其内关于y 满足Lipschitz 条件.因此,根据有限覆盖定理,可以找到有限个具有这种性质的圆(1,2,,)i C i N =L (不同的i C ,其半径i r 和Lipschitz 常数i L 的大小可能不同),

它们的全体覆盖了整个积分曲线段S ,令1N

i

i G C ==%U ,则S G G ??%,对0ε?>,记1(,),min(,2),max(,)N d G S L L L ρηερ=?==%L ,则以S 上的点为中心,以η为半径的圆的全体及其边界构成包含S 的有界闭域D G

G ??%,且(,)f x y 在D 上关于y 满足Lipschitz 条件, Lipschitz 常数为L .

第二步:证明(,,)0()a b δδεδη?=><，使得当2220000()()x x y y δ-+-≤时,解00()(,,)y x x x y ψ?==在区间a x b ≤≤上也有定义.

由于D 是一个有界闭域,且(,)f x y 在其内关于y 满足Lipschitz 条件,由解的延拓定理可知, 解00()(,,)y x x x y ψ?==必能延拓到区域D 的边界上.设它在D 的边界上的点为(,())c c ψ和(,())d d ψ,c d <,这时必有,c a d b ≤≥.否则设,c a d b ><,由引理有

利用()x ?的连续性,对()112

L b a e δη--=,必有20δ>存在,使当02||x x δ-≤时有

01|()()|x x ??δ-<,取12min(,)δδδ=,则当2220000()()x x y y δ-+-≤时就有

000

2||

22002||

200002||2200002101|()()||()()|2

(|()()||()()|) 2(|()()||()()|) 2(|L x x L x x L x x x x x x e x x x x e x x x x e y ?ψ?ψ???ψ???ψδ----≤-≤-+-≤-+-<+-22()

022()21|) 4 ()

L b a L b a y e e c x d δη--≤=≤≤

(3.18)

于是对一切[,],|()()|x c d x x ?ψη∈-<成立,特别地有 |()()|c c ?ψη-<,|()()|d d ?ψη-<

即点(,())c c ψ和(,())d d ψ均落在域D 的内部,这与假设矛盾,故解()y x ψ=在区间[,]a b 上有定义.

第三步 证明|()()|,x x a x b ?ψε-<≤≤.

在不等式（3.18）中将区间[,]c d 换成[,]a b ，可知当

2220000()()x x y y δ-+-≤时，就有

0000(,,)(,,),x x y x x y a x b ??ηε-<≤≤≤. 根据方程解对初值的连续依赖定理及解对自变量的连续性有 3、解对初值的连续性定理

若函数),(y x f 在区域G 内连续，且关于y 满足局部李普希兹条件,则方程(3.1) 的解00(,,)y x x y ?=作为00,,x x y 的函数在它的存在范围内是连续的.

证明 对00(,)x y G ?∈,方程(3.1)过00(,)x y 的饱和解00(,,)y x x y ?=定义于0000(,)(,)x y x x y αβ≤≤上,令

下证00(,,)y x x y ?=在V 上连续.

对00(,,)x x y V ?∈,[,]a b ?,使解00(,,)y x x y ?=在[,]a b 上有定义,其中0,[,]x x a b ∈. 对10,0εδ?>?>,使得当22200001()()x x y y δ-+-≤时,

又00(,,)y x x y ?=在[,]x a b ∈上对x 连续,故20δ?>,使得当2||x x δ-≤时有 取12min(,)δδδ=,则只要22220000()()()x x x x y y δ-+-+-≤就有 从而得知00(,,)y x x y ?=在V 上连续.

4、解对初值和参数的连续依赖定理

讨论含有参数λ的微分方程 (,,)dy

f x y dx

λ :(,),G x y G λαλβ∈<< (3.19)

如果对(,,)x y G λλ?∈，都存在以(,,)x y λ为中心的球C G λ?，使得对任何12(,,),(,,)x y x y C λλ∈，成立不等式

其中L 是与λ无关的正数，称函数(,,)f x y λ在G λ内关于y 一致地满足局部的李普希兹条件.由解的唯一性，对每一0(,)λαβ∈，方程（3.19）通过点00(,)x y G ∈的解是唯一确定的，记这个解为000(,,,)y x x y ?λ=.

设(,,)f x y λ在G λ内连续,且在G λ内关于y 一致地满足局部的李普希兹条件, 000000(,,),(,,,)x y G y x x y λλ?λ∈=是方程(3.19)通过00(,)x y 的解,在区间a x b ≤≤上有定义,其中0a x b ≤≤,则对0,(,,)0a b εδδε?>?=>,使得当

时,方程(3.19)通过点00(,)x y 的解00(,,,)y x x y ?λ=在区间a x b ≤≤上也有定义,并且

5、解对初值和参数的连续性定理

设函数(,,)f x y λ在区域G λ内连续，且在G λ关于y 一致地满足局部李普希兹条件,则方程(3.19) 的解00(,,,)y x x y ?λ=作为00,,,x x y λ的函数在它的存在范围内是连续的.

6、 解对初值的可微性定理

如果函数),(y x f 以及y y x f ??),(都在区域G 内连续，则对初值问题?????==)

()

,(00x y y y x f dx

dy

的解),,(00y x x y ?=作为 00,,x x y 的函数，在它有定义的范围内有连续可微的. 证明 由

y

y x f ??)

,(在区域G 内连续，可知),(y x f 在G 内关于y 满足局部Lipschitz 条件，根据解对初值的连续性定理，),,(00y x x y ?=在它的存在范围内

关于00,,x x y 是连续的.

下面证明函数00(,,)y x x y ?=在它的存在范围内的任一点偏导数

00

,,x x y ?????????存在且连续.

(,),f x x

?

??=?显然存在且连续.

x ?

??先证

存在且连续. 即 0

0(,),x

x y f x dx ??≡+?00

0(,),x

x x y f x dx ψψ+?≡+?

于是 00

(,)(,)x

x

x x x f x dx f x dx ψ?ψ?+?-≡-?

?

010100,00.x r x r ?→→?==这里当时,且时,类似有

即 0

z x ψ?

-=

?是初值问题

的解，00,x ?=显然当时上述初值问题仍然有解.根据解对初值和参数的连续性定理

0000

,,,,z x x z x x ψ?

-=

??知是的连续函数从而存在

的解,容易得到

00,,x x y 显然它是的连续函数.

y ?

??同样可证

存在且连续. 类似上述方法可证0

z y ψ?

-=?是初值问题

的解.因而

其中3r 具有性质:030300,00.y r y r ?→→?==当时,且时,所以有

00,,x x y 显然它是的连续函数.

故

00(,(,,))f x x x y x

?

??=? 例1已知方程为)sin(xy dx

dy

=试求00000==??y x y ?，00000==??y x x ?.

解：方程右端函数(,)sin()f x y xy =在xy 平面内连续，且)cos('xy x f y =也在xy 平面内连续，且其满足0)0(=y 的解为0y =.

于是2

02

10cos 000),,(x ds s e e y y x x y x

=?=??，

00sin ),,(00cos 0

00=?-=??x

ds s e x y x x y .