一阶常微分方程的奇解
一阶常微分方程的解法
一阶常微分方程的解法摘要：常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中，在整个数学中占有重要的地位。
本文对一阶常微分方程的解法作了简要的总结，并举例加以分析了变量可别离方程，线性微分方程，积分因子，恰当微分方程，主要归纳了一阶微分方程的初等解法，并以典型例题加以说明。
关键词：变量别离;积分因子;非齐次微分方程;常数变易法Solution of first-order differential equationAbstract: Differential equations, important parts of calculus, are widely used in the research of practical problems, which also play important role in mathematics. The solution of a differential equation is summarized briefly, and illustrates the analysis of variable separable equation, linear differential equation, integral factor, exact differential equation, mainly summarizes the elementary solution of first order differential equations, and the typical examples to illustrate.Keywords: variable separation; integral factor; non-homogeneous differential equation; constant variation method1. 引言一阶常微分方程初等解法,就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题, 能用这种方法求解的微分方程称为可积方程. 本文通过对一阶微分方程的初等解法的归纳与总结，以及对变量别离，积分因子，微分方程等各类初等解法的简要分析，同时结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题，进行求解.2. 一般变量别离 2.1 变量可别离方程形如()()dyf xg y dx= 〔1.1〕 或 1122()()()()M x N y dx M x N y dy = 〔1.2〕 的方程，称为变量可别离方程。
总结一阶常微分方程奇解的求法
总结一阶微分方程奇解的求法摘要：利用有关奇解的存在定理，总结出求一阶微分方程奇解的几种方法，并通过一些具体的例题说明这几种方法的应用Using relevant theorems to develop several methods of finding singular solution of ordinary differential equation. In addition, illustrate the application of these methods through the concrete examples.关键词：常微分方程 奇解 c-判别式 p-判别式方法一：利用c-判别式求奇解设一阶微分方程0,,=⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy y x F ①可求出方程①的通解为()0,,=c y x φ ②如果()()⎩⎨⎧==0,,0,,'c y x c y x c φφ③是微分方程①的解，且对③式满足：()()02'2'≠+yx φφ ④则③是微分方程①的奇解，且是通解②的包络。
例1：方程()222x xy dydx dydx +-=的奇解 解：首先，本具题意求出该微分方程的通解为222c cx y x ++=与42x y =其中c 为任意常数 当时222c cx y x ++=， ()y c cx x c y x -++=222,,φ 其相应的c -判别式为⎩⎨⎧=+=-++02022x 2c x y c cx易得到： ⎩⎨⎧=-=22cy c x代入原微分方程，可知⎩⎨⎧=-=22c y cx 不是原微分方程的解； 当42x y =时，易求出2,1''xy x ==φφ，则有()()02'2'≠+yx φφ故42x y =为原微分方程的奇解例2：试求微分方程()()y y dydx 94221=-的奇解解：首先，根据题意求出微分方程的通解为：()()0322=---y y c x 其中c 为任意常数 再由相应的c-判别式：()()()⎩⎨⎧=--=---020322c x y y c x易求出：⎩⎨⎧==0y c x 或 ⎩⎨⎧==3y c x当⎩⎨⎧==0y c x 时，代入原微分方程成立；所以⎩⎨⎧==0y c x 为原微分方程的解且有()02'=--=c x x φ；()()93232'-=---=y y y y φ满足(Φ‘x )2+(Φ‘y )2≠0易验证⎩⎨⎧==3y c x 不是原微分方程的解故x=c, y=0 是元微分方程的奇解。
数学专业毕业论文选题 (1)
数学专业毕业论文选题一、计算机1.数据库图书查询管理设计2.最优轧板成品率的VFP6编程3.基于VFP6的通讯录设计4.基于Mathematicn的课件设计5.用Mathematica帮助理解中数问题6.基于VFP6的成绩统计7.实用的网上共享数据库录入程序8.通用答卷统计系统的总体设计方案9.通用答卷统计系统的录入编程10.通4用答卷统计系统的统计编程11.通用答卷统计系统的报表设计12.通用答卷统计系统的帮助系统设计二、常微分方程1.一阶常微分方程的奇解的求法(或判定)1.微分方程中的补助函数3.关于奇解的运用4.曲线的包络与微分方程的奇解5.用微分方程定义初等函数6.常微分方程唯一性定理及其应用7.求一阶显微分方程积分因子的方法8.二阶线性微分方程另几种可积类型9.满足某些条件黎卡提方程的解法10.一阶常微分方程方向场与积分曲线11.变换法在求解常微分方程中用应用12.通解中任意常数C的确定及意义13.三阶常系数线笥齐次方程的求解14.三维线性系统15.二阶常系数线性非齐次方程新解法探讨16.非线性方程的特殊解法17.可积组合法与低阶方程(方程组)三、数学分析1.多元函数连续、偏导数存在及可微之间的关系2.费尔马最后定理初探3.求极值的若干方法4.关于极值与最大值问题5.求函数极值应注意的几个问题6.n元一次不定方程整数解的矩阵解法7.导数的运用8.泰勒公式的几种证明法及其应用9.利用一元函数微分性质证明超越不等式10.利用柯西——施瓦兹不等式求极值11.函数列的各种收敛性及其相互关系12.复合函数的连续性初探13.关于集合的映射、等价关系与分类14.谈某些递推数列通项公式的求法15.用特征方程求线性分式递推数列的通项16．谈用生成函数法求递归序列通项17.高级等差数列18.组合恒等式证明的几种方法19.斯特林数列的通项公式20.一个递归数列的极限21.关于隶属函数的一些思考22.多元复合函数微分之难点及其注意的问题23.由数列递推公式求通项的若干方法24.定积分在物理学中的应用25.一个极限不等式的证明有及其应用26.可展曲面的几何特征27.再谈微分中值公式的应用28.求极限的若干方法点滴29.试用达布和理论探讨函数可积与连续的关系30.不定积分中的辅助积分法点滴四、复变函数1.谈残数的求法2.利用复数模的性质证解某些问题3.利用复函数理论解决中学复数中的有关问题3.谈复数理论在中学教学中的运用4.5.谈解析函数五、实变函数1.可测函数的等价定义2.康托分集的几个性质3.可测函数的收敛性4.用聚点原理推证其它实数基本定理5.可测函数的性质及其结构6.6.凸函数性质点滴7.凸(凹)函数在证明不等式中的应用8.谈反函数的可测性9.Lebesgue积分与黎曼广义积分关系点滴10.试用Lebesgue积分理论叙达黎曼积分的条件11.再谈CANTOR集六、高等几何1.二阶曲线渐近线的几种求法2.笛沙格定理在初等数学中的运用3.巴斯加定理在初等数学中的运用4.布里安香定理在初等数学中的运用5.二次曲线的几何求法6.二维射影对应的几何定义、性质定义、代数定义的等价性7.用巴斯加定理证明锡瓦一美耐劳斯定理8.仿射变换初等几何中的运用9.配极理论在初等几何中的运用10.二次曲线的主轴、点、淮线的几种求法11.关于巴斯加线和布利安香点的作图12.巳斯加和布利安香定理的代数证明及其应用13.关于作第四调和点的问题14.锡瓦一美耐劳斯定理的代数证明及应用15.关于一维几何形式的对合作图及应用七、概率论1.态分布浅谈3.用概率思想计算定视分的近似值3.欧拉函数的概率思想证明4.利用概率思想证明定积分中值定理5.关于均匀分布的几个问题6件概率的几种类型解题浅析7．概率思想证明恒等式8.古典概率计算中的模球模型9.独立性问题浅谈八、近世代数①集合及其子集的概念在不等式中的作用②论高阶等差数列②谈近世代数中与素数有关的重点结论④商集、商群与商环⑤关于有限映射的若干计算方法⑥关于环(Z2×2,+,、)⑦关于环(ZP2×2,+,、)(这里Zp是模p的剩余环,p为素数)⑧关于环(Z23×3,+,、)⑨关于环(zPQ2×2,+,、)(这里p、q是两个素数)⑩关于环(Znxn, +、)九、高等代数1.关于循环矩阵2.行列式的若干应用3.行列式的解法技巧4.欧氏空间与柯两不等式5.《高等代数》在中学数学中的指导作用6.关于多项式的整除问题7.虚根成对定理的又一证法及其应用8.范德蒙行列式的若干应用9.几阶行列式的一个等价定义10.反循环矩阵及其性质11.矩阵相似及其应用12.矩阵的迹及其应用13.关于整数环上的矩阵14.关于对称矩阵的若干问题15.关于反对称短阵的性质16.关于n阶矩阵的次对有线的若干问题17.关于线性映射的若干问题18.线性空间与整数环上的矩阵十、教学法1.关于学生能力与评价量化的探索2.浅谈类比在教学中的若干应用3.浅谈选择题的解法4.谈谈中学数学课自学能力的培养5.怎样培养学生列方程解题的能力6.谈通过平面几何教学提高学生思维能力7.谈数列教学与培养学生能力的体会8.创造思维能力的培养与数学教学9.数学教学中的心理障碍及其克服10.关于启发式教学11.浅谈判断题的解法12.对中学数学教学中非智力因素的认识13.数学教学中创新能力培养的探讨14.计算机辅助数学教学初探15.在数学课堂教学中运用情感教育16.在数学教学中恰当进行数学实验17.数学语言、思维及其教学18.在平面几何教学中渗透为类比、猜想、归纳推理的思想方法19.试论数学学习中的迁移20.数学例题教学应遵循的原则十一、初等数学1.数学证题中的等价变换与充要条件2.关于充要条件的理解和运用3.参数方程的运用4.极坐标方程的运用5.怎样证明条件恒等式6.不等式证明方法7.极值与不等式8.证明不等式的一种重要方法9.谈中学二次函数解析式的求法10.二元二次方程组的解11.谈数列求和的若干12.谈立体几何问题转化为平面几何问题的方法13.求异面直线距离的若干方法14.利用对称性求平面几何中的极值15.浅谈平面几何证明中的辅助线16.浅谈对称性在中学数学解题中的运用17.浅谈韦达定理的运用18.论分式方程的增根19.数列通项公式的几种推导方法20.函数的周期及其应用21.数学归纳法的解题技巧22.等价关系的几种判定方法23.数学归纳法及其推广和变形24.浅谈用几何方法证明不等式25.浅谈初等数学中的不等式与极值26.几个不等式的推广27.函数的概念及发展28.组合恒等式的初等证明法29.谈用生成函数计算组合与排列30.试论一次函数的应用。
一阶常微分方程解法总结
故 G ( x, y ) = x + 3 x y + y ，由 dG = 0 ，得到
x 3 + 3 x 2 y 2 + y 4 = C , (C为常数)
(5)、积分因子法： 方程 M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0, $µ ( x, y ), s.t. µMdx + µNdy = 0是一个恰当方程 ， 那么称 µ ( x, y ) 是原方程的积分因子；积分因子不唯一。
解：由题意得到， M ( x, y ) = 3 x + 6 xy , N ( x, y ) = 6 x y + 4 y
2 2 2
3
由
¶M ¶N = 12 xy = 得到，原方程是一个恰当方程； ¶y ¶x ¶G ( x, y ) ¶G ( x, y ) = M ( X , y ), = N ( x, y ) ¶x ¶y
2 2
y x dy = 2 dx 两边积分得到 2 1- y x -1
ln x 2 - 1 + ln y 2 - 1 = ln 2 - 1)( y 2 - 1) = C
(C ¹ 0) ；
当 ( x - 1)( y - 1) = 0 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为 ( x - 1)( y - 1) = C
以上都可以化为变量可分离方程。 例 2.1、
dy x - y + 5 = dx x - y - 2
解：令 u = x - y - 2 ，则 dy = dx - du ，代入得到 1 -
du u + 7 = ，有 udu = -7 dx dx u
(C为常数) 。
所以
u2 = -7 x + C 2
一阶微分方程奇解的两个判别式
）
例 ４ 、求
的奇解。
解：方程的通解为
，
法二，方程的通解为 Ｙ ＝ Ｃ ｘ ＋ Ｃ２，
既然某些一阶微分方程的奇解既可以用Ｐ－ 判别式来求又可以用 Ｃ－ 判别式来求，那么能否 将 Ｐ－ 判别式和 Ｃ－ 判别式联合来求奇解呢？
例 ６ 、求 解：令 ｙ ′＝ ｐ ，
的奇解。
；用 Ｃ－ 判别式求出的解满足非
创新意识与能力的客观条件。作为人民教师， 肩负振兴民族教育的重任，不仅要有无上的光 荣感，更要有强烈的责任感、使命感，不断 提高自身素质，勇于探索、努力创新，为振 兴教育，推进素质教育打下坚实地基础，承 担起知识和技术创新以及创新人才培养的伟大 历史使命。
参考文献： ［１］ 吴丽萍．增强主体意识培养创新能力［Ｊ］．青 海教育论坛．２００４年 ６月 ［２］ 惠淑英，徐贵友．师继续教育应注重教师 创造素质的培养［Ｊ］．中国教育和科研．２００３年７ 月 ［３］ 朱永新，杨树兵．创新教育与教育创新［Ｊ］． 江苏教育研究．９９ 年 ５月 ［４］ 高淑贤．面向未来．培养具有创新精神的师 资队伍［Ｊ］．２０００年１０月（第４期 ）
总之，时代呼唤创新人才的培养，创新 人才的培养呼唤创新教育。真正意义上的创 新教育必须要有一支具有很强创新意识和创新 能力的教师队伍，尤其是承担高等教育和职 业教育的大学教师队伍。教育机构和教育管 理机构，在制订各项制度时应更为人性化， 为教师增强创新意识与能力提供必要的环境和 条件，积极鼓励创新，这些是增强大学教师
１ ，问题的提出
对于一个一阶微分方程，如果此方程有除了
通解之外的奇解，则此奇解一定满足两个判别式，
即 Ｐ－ 判别式和 Ｃ－ 判别式。
定理一［１］ 设函数Ｆ（ｘ，ｙ，ｐ）对（ｘ，ｙ，ｐ）∈Ｇ是连
试论常微分方程的奇解
试论常微分方程的奇解摘要: 一阶微分方程拥有含有一个任意常数的通解,另外可能还有个别不含于通解的特解,即奇解,利用P-判别法和C-判别法可以求出奇解,而这两种判别法是否适用于求每一个一阶微分方程的奇解?此文中举了几个例子来说明这个问题.并给出另外三种求奇解的方法.关键词: 一阶微分方程,奇解,P-判别式,C-判别式,C-P消去法,拾遗法,自然法.Discussing Singular Solution about First OrderDifferential EquationZHU Yong-wang(Class 1, Grade 2006, College of Mathematics and Information Science)Advisor: Professor LI Jian-minAbstract: First order differential equation has a general solution which contains an arbitrary constant, but sometimes it has special solution that is singular solution, which can be solved by the P-judgment method and C-judgment method．While whether the two judgments can be applied to get every singular solution to the first order differential equation? This paper intends to illustrate this problem with several examples．Key words: Singular solution, P-judgment, C-judgment, C-P elimination method, The supplement method, Natural method.1．引言一般来说一阶常微分方程拥有任意常数的通解,另外还有个别不含于通解的特解.这种特解可以理解为通解的一种蜕化现象.它在几何上往往表现为解的唯一性遭到破坏.早在1649年莱布尼兹就已经观察到解族的包络也是一个解.克莱络和欧拉对奇解作了某些讨论,得出了P －判别式求奇解的方法.拉格朗日对奇解和通解的联系作了系统的研究,给出C －判别式求奇解的方法和奇解的积分曲线族的包络这一几何解释.2．奇解、包络、C-判别式、P-判别式的定义及问题出近几年许多学者对常微分方程这方面特别关注,在一阶常微分方程有奇解的条件、常微分方程奇解的求法、摆线的构成和奇解的联系、Cornwall 不等式的应用及微分方程的奇解等方面有大量的文章发表,由此可见,人们对微分方程的奇解有了很深的认识.微分方程的奇解在常微分方程的解中具有特殊的地位.奇解的定义:微分方程的某一个解称为奇解,如果在这个解的每一个点上至少还有方程的另外一个解存在,也就是说奇解是这样的一个解,在它上面的每一个点唯一性都不成立,或者说奇解对应的曲线上每一个点至少有方程的两条积分曲线通过.包络的定义:设在平面上有一条连续可微的曲线Γ,q ∈Γ.在曲线族(),,0V x y C =中都有一条曲线()*K C 通过q 点并在该点与Γ相切,而且()*K C 在q 点的某一邻域内不同与Γ,则称曲线Γ为曲线族(),,0V x y C =的一支包络.从奇解和包络的定义容易知道一阶微分方程的通解的包络（如果它存在的话）一定是奇解;反之,微分方程的奇解（若存在的话）也是微分方程的通解的包络.因而,为了求微分方程的奇解,可以先求出它的通解,然后求通解的包络.对于一阶微分方程,如果此方程有除了通解之外的奇解,则此奇解一定满足两个判别式,即P －判别式和C －判别式.定理[]11:设函数F(x,y,p)对(x,y,p)G ∈是连续的,而且对y 和p 有连续的偏微商'y F 和'p F ,若函数y= (x) (x J)ϕ∈是微分方程'(,,)0F x y y =的一个奇解,并且()'x. (x). (x)G (x J)ϕϕ∈∈则奇解y=ϕ(x)满足一个称之为P-判别式的联立方程(,,)0F x y p = , ()',,0p F x y p =其中p y =.定理[]12:设微分方程(,,)0F x y y =有通积分(,,)0V x y c =又设积分曲线(,,)0V x y c =有()y= (x) x J ψ∈则y= (x)ψ满足C －判别式的联立方程 (,,)0V x y c = ,'(,,)0c V x y c =.以上两个定理是奇解的必要条件,也就是说用C －判别式和P －判别式求出的解不一定是微分方程的解,如果是微分方程的解也不一定是奇解,但是在求一阶微分方程的奇解时通常都会采用这两个判别式.由[]1中奇解部分的定理2和定理5知,只要求解是微分方程的解,用P －判别式求出的解满足:'''(,,)0(,,)0y pp F x y p F x y p ⎧≠⎪⎨≠⎪⎩, 用C-判别式求出的解满足非蜕化条件:()()()()()()'''',0,0,0,0x y C C V V ϕψ⎧≠⎪⎨≠⎪⎩,则此解就是奇解,既然C －判别式和P －判别式是求奇解的方法,那么是不是这两个判别式（C －判别式和P －判别式）对所有一阶微分方程求奇解都有效?3．几个例子利用P －判别式和C －判别式对一些一阶微分方程进行求解的运算,看看会出现什么样的结果?【例1】: 求的奇解()2'0y y x +-=解: 令'y p =,利用P －判别式:2020p y x p ⎧+-=⎨=⎩; 消去P 得y x =,但y x =不是微分方程的解, 所以原方程无奇解.我们可以发现利用P －判别式求出的解不一定是奇解.那么利用C －判别式所求出的解是不是一定是方程的奇解呢?我们接着看下一个例子.【例2】: 求2'33y 5y -=的奇解.解:原方程的通解为:()35y x c =+C －判别式为:()()35230305y x cx c -⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩ ; 消去C 得y=0,但y=0不是方程的解,所以原方程无奇解.以上两个例子充分说明了C －判别式和P －判别式是求奇解的必要条件.【例3】: 求微分方程()2'1xyy y ye ⎡⎤-=⎣⎦的奇解.解: 原方程的P －判别式为:()()22210210xy y p ye p y ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩ ; 消去P 得y=0易知y=0是微分方程的解. 而且:'''(,,)10(,,)20y pp F x y p F x y p ⎧=-≠⎪⎨=≠⎪⎩所以y=0是微分方程的奇解.【例4】[]1: 求()2'419y y y ⎡⎤-=⎣⎦. 解: 首先我们不难求出微分方程的通积分:()()2230x c y y ---= ()* 由C －判别式:()()()223020x c y y x c ⎧---=⎪⎨--=⎪⎩（其中C 为任意常数） 确定二支连续可微的曲线0y =和3y =,对他们分别作如下形式的参数表示式:1A :x c = 0y = ()c -∞<<∞ 2A : x c = 3y = ()c -∞<<∞ 容易验证1A 满足相应的非蜕化条件:()()()()()()'''',0,0,0,0x y C C V V ϕψ⎧≠⎪⎨≠⎪⎩, 因此1A 是积分曲线族()*的一支包络,从而它是微分方程的奇解.而2A 不满足相应的非蜕化条件,所以还不能断言2A 是否为包络,不过我们可以利用简单的作图得知2A 不是曲线族()*的包络,因此它不是奇解,虽然它是微分方程的解.从例3、例4两题中,可以发现,如果利用P －判别式来求奇解可以直接从方程出发,而如果要用C －判别式需要求出通解,但是无论用哪一判别式要使求得的解为奇解,则此解一定满足:用P －判别式时满足:'''(,,)0(,,)0y pp F x y p F x y p ⎧≠⎪⎨≠⎪⎩; 用C －判别式时满足:()()()()()()'''',0,0,0,0x y C C V V ϕψ⎧≠⎪⎨≠⎪⎩. 对于一些微分方程既能用P －判别式又能用C －判别式求奇解,我们接着看一道例题.【例5】[]5: 求20dy dy x y dx dx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的奇解．解: 法一:令dyp dx=,则P-判别式: 2020p xp y p x ⎧+-=⎨+=⎩ ; 消去P 得24x y =-.法二:方程的通解为2y cx c =+ C －判别式:2020y cx c x c ⎧--=⎨+=⎩ ; 消去C 得24x y =-,满足非蜕化条件:()()()()()()()()'''',2,20,0,,10,0x y C C V V c ϕψ⎧=-≠⎪⎨=-≠⎪⎩ 所以24x y =-是奇解.由例5知:既然某些一阶微分方程既可用P －判别式来求奇解又可用C －判别式求奇解.那么能否将P －判别式和C －判别式联合起来求奇解呢?4．新判别法在我们的教材和资料中我们通常采用P －判别式和C －判别式来求一阶微分方程的奇解,然而对于某些问题,P －判别式和C －判别式这两种方法求奇解比较困难.因此还有其他方法来求奇解,这些新方法用起来比较方便,通过查阅资料和文献,人们对新解法研究的比较少,在此介绍三种新的解法,方便对一阶微分方程求奇解.4.1. C －P 消去法【例6】[]9: 求()()23''48927x y y y -=-的奇解. 解: 令'y p = P －判别式:()23248927809x y p p p p ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩; 消去P 得:y x =及427y x =-方程的通解为:()()23y c x c -=-C －判别式:()()()()2320230y c x c y c x c ⎧---=⎪⎨---=⎪⎩; 消去C 得427y x =-.则427y x =-为奇解. 例6中介绍了一种新方法, C －P 消去法:定义:联合P-判别式和C-判别式,从P －判别式得到解(),0x y ϕ=和从P －判别式得到解(),0x y ψ=中寻得公共单因式,令其为零,一般就是奇解.在例6中,由P －判别式得到()4027y x y x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭,由C －判别式得到4027y x -+=,它们的公共单因式为4027y x -+=,令其为零,即427y x =-. 【例7】: 求220xp xp y +-=的.解: 从220xp xp y +-=和220xp x +=中消去P 得:y=-x 再求通解,将方程写成22y xp xp =+211(222)dx dy p dy pxdp pdx xdp p p==+++ 即 2d x d px p-= 通积分为: 2()4y c xc -= 从2()4y c xc -=和 2()4y c c --=中消去C 得:0x =及y x =- 按C －P 消去法知y x =-是奇解.就特殊方程:(),dyf x y dx= 假设(),f x y 连续.给出以下两种特殊的求奇解的方法.即自然法和拾遗法.4.2. 自然法[]6定义:当点集L ＝(,)|fx y y ⎧⎫∂=∞⎨⎬∂⎩⎭不是孤立点集,而是有分支()y x ϕ=时,则()y x ϕ=可能是奇解.对于(),dy f x y dx = 当(),f x y 连续,则只要f y∂∂有界,就能保证(),dyf x y dx =的解存在唯一,所以当fy∂=+∞∂时,他就可能破坏了解的唯一性. 【例8】: 求'21y y =- （|y|≤1）的奇解. 解: ()2,1f x y y =-21f yy y∂-=∂- 当1y =±时,fy∂=+∞∂ 所以 1y =±可能破坏解的唯一性,它可能是奇解.验证: (1) 1y =± 显然是方程的解.(2) 由分离变量法求得通解是:sin()y x c =+ ()22x c ππ-≤+≤在1y =上任取一点()0,1x 通解表达式中有解00sin()cos()2y x x x x π=+-=-通过点()0,1x 且其上导数'0y = ,即此解与1y =相切,故1y =是奇解.同理:1y =-也是方程的奇解.4.3. 拾遗法[]7定义:当方程(),dyf x y dx=在求通积分的过程中,经常遇到分离变量,方程两边需要同时除以不含导数的因式,则令这个因式等于零,可能得到奇解.因为方程两边同时除以含有x 、y 的因式时,原方程可能遗失了解,当然有可能遗失了方程的奇解.【例9】: 求210x x dy dx --= ()1x ≤的奇解. 解: 除以因式21x x -得:21dx dy x x=-积分后得通解:2ln ||11x y c x=++-但令消去因子为零,即210x x -=得0x =;1x =±验证: (1) 它们都是方程的解;(2) 有2limln ||11x x x→=-∞+-2211lim ln ||lim ln ||01111x x x x xx-+→→==+-+-前者说明通解表达式中没有解与0x =相交;后者说明通解表达式中有解与1x =±.相交,且从方程本身看出交点上的斜率都是'y =±∞ 因此得结论:0x =是正常解,1x =±是奇解.5．结论以上五种是判定奇解的方法,都需验证所得曲线是否真是奇解,这个验证步骤有时比较麻烦,若C －判别式(),0x y ψ=和P －判别式(),0x y ϕ=容易求得时,方法C －P 削去法常是可取的.从以上的几个例子中,在利用两个判别式求一阶微分方程的奇解时,会出现以下几种情况: (1) P －判别式和C －判别式均可用来求奇解; (2) P －判别式与C －判别式联合可求方程的奇解;(3) 当一阶微分方程的一阶导数的次数为一次时,P－判别式不可求奇解,但C－判别式未必失效;(4) 当一阶微分方程的通解中常数C的次数为一次时,C－判别式不可求奇解,并且导致P－判别式也不可求奇解,此时只能另找他法.参考文献[]1丁同仁、李承志.常微分方程教程[]M.高等教育出版社,1991年. []2钱祥征.常微分方程解题方法[]M.湖南科学技术出版社,1984年.[]3王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松.常微分方程[]M.高等教育出版,1978年 . []4何永葱.关于常微分方程奇解判别的注记[]J.内江师范高等专科学校学报,2000年第15卷第2期:1－3.[]5路畅、智婕.一阶微分方程奇解的两个判别式[]J.科学教育论坛,2005年第24期:207－211.[]6张维琪.浅谈奇解的求法[]J.吉安师专学报,1989年第6期:5－10.[]7谷丽彦.微分方程奇解的求法及存在性的条件[]J.河北师范学院学,1993年第3期:27－31.[]8曾庆健.一类常微分方程奇解的求法[]J.安徽电子信息职业技术学院学报2004第5、6期第225页.[]9张少霞.常微分方程奇解的讨论[]J.工科数,第13卷第4期,1997年8月:133－136.。
高考数学冲刺一阶常微分方程的解法与类型
高考数学冲刺一阶常微分方程的解法与类型在高考数学中，一阶常微分方程是一个重要的考点，掌握其解法和类型对于提高数学成绩至关重要。
接下来，让我们一起深入探讨这个关键知识点。
一阶常微分方程，简单来说，就是含有一个自变量及其一阶导数的方程。
它在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用。
首先，我们来了解一下一阶常微分方程的常见类型。
第一种是可分离变量的一阶常微分方程。
形如$dy/dx ＝ f(x)g(y)＄的方程就是可分离变量的方程。
其解法是将方程两边分别除以$g(y)＄，然后将变量$x$和$y$分离到等式两边，接着分别对两边进行积分，就可以得到方程的解。
例如，方程$dy/dx ＝ x/y$就是可分离变量的方程。
我们将其变形为$ydy ＝ xdx$，然后两边分别积分：＄＼int ydy ＝＼int xdx$，得到$＼frac{1}｛2}y^2 ＝＼frac{1}｛2}x^2 ＋ C$，即$y^2 ＝ x^2 ＋ 2C$。
第二种类型是一阶线性常微分方程。
它可以分为一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程。
一阶线性齐次方程的形式为$dy/dx ＋ P(x)y ＝ 0$，其解为$y ＝ Ce^｛＼int P(x)dx}＄。
而一阶线性非齐次方程的形式为$dy/dx ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄，我们可以使用常数变易法来求解。
先求出对应的齐次方程的通解，然后设非齐次方程的解为$y ＝ u(x)e^｛＼int P(x)dx}＄，代入非齐次方程求出$u(x)＄，从而得到非齐次方程的通解。
例如，方程$dy/dx ＋ 2xy ＝ 2x$，这里$P(x) ＝ 2x$，＄Q(x) ＝ 2x$。
先求对应的齐次方程$dy/dx ＋ 2xy ＝ 0$的通解，即$y ＝ Ce^｛＼int2xdx} ＝ Ce^｛x^2}＄。
然后设非齐次方程的解为$y ＝ u(x)e^｛x^2}＄，代入原方程求出$u(x)＄，最终得到非齐次方程的通解。
除了以上两种常见类型，还有一些特殊的一阶常微分方程，比如伯努利方程。
一阶常微分方程的解法
一阶常微分方程的解法微积分是数学的重要分支之一，常微分方程是微积分中的重要内容。
在微积分中，我们经常遇到一阶常微分方程的求解问题。
本文将介绍一阶常微分方程的解法及其应用。
1. 分离变量法一阶常微分方程常常可以通过分离变量的方法求解。
具体步骤如下：（1）将方程中的未知函数和其导数分离到方程的两侧；（2）对方程两边同时积分，得到未知函数的通解；（3）根据方程的边界条件，确定通解中的常数。
例如，考虑一阶常微分方程 dy/dx = x^2。
我们可以将方程重写为 dy = x^2dx，并对其两边同时积分。
通过求不定积分，我们得到 y = x^3/3+ C，其中 C 是常数。
这样我们就求得了方程的通解。
2. 齐次方程的解法对于一些特殊的一阶常微分方程，我们可以使用齐次方程的解法。
如果方程可以重写为 dy/dx = f(y/x)，其中 f 是一个只与 y/x 相关的函数，那么我们可以通过变量代换 y = vx，化简方程并求解得到原方程的解。
例如，考虑一阶常微分方程 y' = y/x。
我们可以通过变量代换 y = vx，其中 v 是关于 x 的函数。
将代换后的方程进行化简，得到 xdv/dx + v = v，整理后得到xdv/dx = 0。
显然，这是一个齐次方程，其解为v = C1，其中 C1 是常数。
将 v 代回原方程中，得到 y = C1x，即为方程的解。
3. 一阶线性方程的解法一阶线性方程是一种常见的一阶常微分方程形式，可以写作 dy/dx+ P(x)y = Q(x)，其中 P(x) 和 Q(x) 是已知函数。
一阶线性方程的解法如下：（1）求出方程的积分因子μ(x) = e^(∫P(x)dx)；（2）将方程两侧同时乘以积分因子μ(x)；（3）对方程两侧同时积分，得到y = (∫Q(x)μ(x)dx + C)/μ(x)，其中C 是常数。
例如，考虑一阶线性方程 dy/dx + 2xy = x。
首先，我们求出方程的积分因子μ(x) = e^(∫2xdx) = e^(x^2)。
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摘要 (2)1.何谓奇解 (2)2.奇解的产生 (3)3.包络跟奇解的关系 (4)4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法 (5)4.1 克莱罗微分方程 (9)5.奇解的基本性质 (12)5.1 定理１ (12)5.2 定理２ (14)5.3 定理３ (14)6.小结 (14)参考文献： (15)一阶常微分方程的奇解摘要在常微分方程中，我们知道方程的解可以有多种，现在我们来讨论求奇解的方法。
我们看到某些微分方程，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。
从而我们引出了积分曲线族的包络，而为了求微分方程的奇解，，我们应先求出他的通解，然后求通解的包络。
关键词：奇解，包络，C-判别式，P-判别式1.何谓奇解设一阶隐式方程),,(,y y x F =0有一特解)(:x y ψ=Γ，j x ∈如果对每一点Γ∈P ，在P 点的任何一个领域，方程),,(,y y x F =0都有一个不同于Γ的解在P 点与Γ相切，则称Γ是微分方程的),,(,y y x F =0的奇解定义：如果一个一阶微分方程的一个特解的积分曲线上的每一点都至少和这个微分方程的不同的积分曲线相切，并且这相切的积分曲线在切点的任何邻域都不重合，则称这个特解为这个微分方程的奇解2.奇解的产生先看一个例子，求方程033=-⎪⎭⎫ ⎝⎛y dx dy （1） 或与它等价的方程 3y dxdy = 的解。
经分离变量后，可得（1）的通解3)(271c x y += 容易看出，y=0也是原方程的一个解。
现在来研究这个解y=0有什么特殊的地方。
由图我们看到，在解y=0上的每一点)0,(0x 处相切，这种特殊的积分曲线y=0称为奇积分曲线，他所对应的解就是奇解，这就是奇解的产生。
我们现在给出曲线族包络的定义某些微分方程，存在一些特殊的积分曲线，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。
在几何学里，这些特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络，在微分方程里，这些特殊的积分曲线所对应的解酒称为方程的奇解。
设给定单参数曲线族0),,(=Φc y x （1）其中C 是参数，),,(c y x Φ是x,y,c 连续可微函数。
曲线族（1）的包络是指这样的曲线，他本身并不包含在曲线族（1）中，但过这曲线的每一点，有曲线族（1）中的一条曲线和他在这点相切。
例如，单参数曲线族222)(R y c x =+-（这里的R 是常数，C 是参数）表示圆心为（C ，0）而半径为R 的一族圆，此曲线族显然有包络y=R 和 y=-R（见图1）3.包络跟奇解的关系由奇解和包络的定义显然可知，若方程0),,(,=y y x F 的积分曲线族（即通解所对应的曲线族）的包络如果存在，则必定是方程0),,(,=y y x F 的奇解。
事实上，在积分曲线族包络上的点（x,y ）处的x,y 和,y （斜率）的值和在该点与包络相切的积分曲线上的x,y 和,y 满足方程0),,(,=y y x F 。
这就是说，包络是积分曲线。
其次，在包络的每一点，积分曲线族中都至少有一条曲线与包络相切。
因此，包络是奇解，由此可知，如果知道了微分方程0),,(,=y y x F 的通积分，那么该通积分的包络就是奇解。
4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法但是，一般的曲线族并不一定有包络，例如同心圆族、平行直线族都是没有包络的，从而我们引出了C-判别曲线与P-判别曲线。
从奇解的定义可知，奇解是一种具有特殊几何意义的特解。
正如我们已见到的例子，在求解微分方程时只要注意一些例外情况就会得到这种特解. 这些奇解都是由定义来判定的. 但是由定义来判定奇解比较麻烦，下面介绍两种判别同时也是求奇解的方法：由微分几何学可知，曲线族（1）的包络包含在由下列方程组⎩⎨⎧=Φ=Φ0),,(0),,(,c y x c y x c 消去 c 得到所谓 c -判别曲线．必须注意，在C-判别式曲线中有时出去包络外，还有其他曲线。
例1 求直线族0sin cos =-+p y x αα (1)的包络，这里的α是参数，P 是常数。
解：将（1）对α求导，得到0cos sin =+-ααy x （2）为了从（1），（2）中消去α，将（2）移项，然后平方，有22222sin cos 2sin cos P =++ααααxy y x （3）将（2）平方，又得0sin cos 2cos sin 2222=-+ααααxy y x（4） 将（3），（4）相加，得到222P y x =+（5）容易检验，（5）是直线（1）的包络（见图2）例2 求曲线族0)(32)(22=---c x c y （6）的包络。
解：将（6）对C 求导数。
得到0)(3.32)(22=-•+--c x c y即0)(2=---c x c y （7）为了从（6）和（7）消去C ，将（7）代进（6），得0)(32)(34=---c x c x即032)()(3=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---c x c x ， 从x-c=0得到y=x （8）从032=--c x 得到 92-=x y （9） 因此，C-判别曲线包括两条曲线（8）和（9），容易检验直线y=x 不是包络，而直线92-=x y 是包络（见图3）值得注意的是，在 c 判别曲线中除了可能有的包络(即奇解)外，还可能是曲线族中奇点的集合, 在奇点,曲线没有确定的切线. 因此这种 c 判别曲线不是解；还可能是不与积分曲线族相切的曲线.这里介绍另外一种求奇解的方法。
由存在唯一定理知道，如果),,(,y y x F 关于x,y,,y 连续可微，则只要0,≠∂∂y F 就能保证解的唯一性，因此，奇解（存在的话）必须同时满足下列方程),,(,y y x F =0 0),,(,,=∂∂y y y x F （10） 于是我们有下面结论：方程0),,(=dxdy y x F 的奇解包含在由方程组⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(,p y x F p y x F p （11） 消去P 而得到的曲线中，这里F （x,y,p ）是x,y,p 的连续可微函数，此曲线称为方程（10）的P-判别曲线。
P-判别曲线是否是方程的奇解，需要进一步的检验例3 求方程01)(22=-+y dxdy 的奇解。
解：从 ⎩⎨⎧==-+020122p y p 消去P 得到P-判别曲线1±=y容易验证，此两直线都是方程的奇解。
因为容易求得原方程的通解为：y=sin(x+c)而1±=y 是微分方程的解，且正好通解的包络。
例4 求方程22⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dx dy dx dy x y 的奇解解：从 ⎩⎨⎧=--=02222p x p xp y消去P 得到P_判别曲线2x y =但2x y =不是方程的解，故此方程没有奇解强调指出：上面介绍的两种方法，只是提供求奇解的途径，所以C-判别曲线与P-判别曲线是不是奇解，必须进行检验补充：4.1 克莱罗微分方程形如 )(p f xp y += （12） 的方程，称为克莱罗微分方程，这里dx dy p =，)(p f 是P 的连续可微函数，现在我们进一步讨论：将（12）两边对x 求导，并以p dxdy =代入，即得 dx dp p f p dx dy xp )(,++=， 即0))((,=+p f x dx dp 如果0=dx dp ，则得到 P=C将它代入（12），得到)(c f cx y += （13）这里的C 是任意常数，这就是（12）的通解。
如果0)(,=+p f x ，将它和（12）合并起来⎩⎨⎧+==+)(0)(,p f xp y p f x （14） 消去P 也得到方程的一个解。
注意，求得此解的过程真好与从通解（13）中的求包络的手续一样。
可以验证，此解的确是通解的包络，由此，我们知道，克莱罗微分方程的通解就是一直线族（在原方程以C 代P 即得），此直线族的包络就是方程的奇解。
例5：求解方程p xp y 1+= 解：这就是克莱罗微分方程，因而它的通解就是cxc y 1+= 从 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==-c cx y c x 1012 中消去C ，得到奇解x y 42=这方程的通解就是直线族，而奇解就是通解的包络例6 求一曲线，使其在其上的每一点的切线截割坐标轴而成的直角三角形（见（图例6）中的三角形OAB ）的面积都等于2解：设所要求的曲线切线方程为 1=+by a x 依题意有 ab=4而 dxdy a b -= 由上述三式消去a,b 得dx dy dx dy x y 42-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- 或 dx dy dx dy xy -±=2 这是克莱罗微分方程，其通解为x c c c x c y 21122-=-±= )0(1<c ，这里1c c -±=为任意常数，易见此直线族的每一条直线都是满足题意的解。
现在求曲线族的包络，亦即微分方程的奇解，为此，从⎩⎨⎧=--=0122cx x c c y 中消去C 得到微分方程的奇解1=xy ，这是等腰双曲线，显然他就是满足要求的解。
现在，可以引进奇解的概念：微分方程的某一个解称为奇解，如果在这个解的每一点上至少还有方程的另外一个解的存在，也就是说奇解就是这样的一个解，在他上面的每一点至少有方程的两条积分曲线通过。
5.奇解的基本性质5.1 定理１ 设),,(p y x F 及其各一阶偏导数是),,(p y x 的连续函数，若方程),,(dxdy y x F 有奇积分曲线，则它必包含在P-判别曲线0),,(=y x ϕ之中 定理1 的性质是，在满足定理中连续可微的条件下，奇积分曲线必须从P-曲线中寻找，但是从P-判别曲线0),,(=y x ϕ中分解出来的一支或数支连续曲线是否就是),,(dxdy y x F 的奇积分曲线，尚需要进一步的依次验证：（1）该支曲线是),,(dx dy y x F 的积分曲线 ；（2）该支曲线上每一点处至少还有),,(dxdy y x F 的另外一条积分曲线经过，且两者在该点相切。
如果（1）不成立，则该支曲线仅是一般的积分曲线，不是奇积分曲线，只有当（1）和（2）都成立时，该支曲线才是奇积分曲线，而他所对应的解才是奇解 例 1 重新考虑：0)(23=-y dxdy 解 记p dxdy =，则 0),,(23=-≡y p p y x F032=-∂∂p pF 消去P ，即得到P-判别曲线y=0，由本节开始时的讨论可知，他是奇解如果把例1的0)(23=-y dx dy 改成032=-y dx dy ，仍记p dxdy =，可得 0),,(32=-≡y p p y x F01≠=∂∂pF 即从P-判别式得不到曲线。