常微分方程-奇解与包络共36页文档
第五讲常微分方程PPT课件
5. 求lim x0
1 cos x
.
1
6.
求
lim
xe
x e
xe
.
7.
设
y
x2
sin
1 x
,
x 0,
存在. 0,
x 0,
求y 0
8. 计算积分
x3 dx.
1 x2
并讨l论im y x x0
是否
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综合练习
9. 计算下列积分.
1
arctan x
x dx;
2
ln x 1 x2 dx.
任给有理数a,
函数
f(x)满足 f
x
x
0
f
a t dt 1,
求
f(x).
练 (2008年高数二)
求微分方程
d2y dx 2
dy dx
0
的通解.
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3.掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 二阶常系数非齐次线性微分方程：
ay by cy f x
的通解为
y Y x y* x
y 4 y 0 的通解.
例: 求齐次方程
4
d2x dt 2
20
dx dt
25 x
0
的通解.
例: 求初值问题
y 4 y 29 y 0
y
x0
0
,
y
x0
15
的解.
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练 (2006年高数二)
微分方程
y 4 y 5 y 0 的通解为___________
练 (2007年高数一)
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二阶齐次线性方程解的结构
常微分方程 奇解与包络
y
c0
从图形可以看到，有无数 条积分曲线过初始点。
0
1
2
x
例2：求方程 dy 2 1 y dx 的所有解。
§2.4 singularly solution
解：该方程有通解 y sin( x c) 此外还有两个特解y=1和y=-1
§2.4 singularly solution
y
x
§2.4 singularly solution
定义2.3 如果方程存在某一解，在它所对应 的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏， 则称此解为微分方程的奇解。奇解对应的积 分曲线称为奇积分曲线
§2.4 singularly solution
一 包络和奇解的定义 曲线族的包络：是指这样的曲线，它本身并不包
§2.4 singularly solution
例1
dy 2 y dx y (0) 0
解： 容易看到 y=0是解，并且满足给定的初始条件
由
得通解
dy dx 2 y y x c y ( x c )2 , xc
利用通解和特解可以构造解：
xc 0, y 2 ( x c ) , xc
注:并不是每个曲线族都有包络. 例如: 单参数曲线族:
§2.4 singularly solution
x y c
2 2
2
(其中c为参数)表示一族同心圆. 如图
从图形可见, 此曲线族没有包络.
二、不存在奇解的判别法
•假设方程(1.9)的右端函数
上有定义，如果
§2.4 singularly solution
x
o
§2.4 singularly solution
《常微分方程》全套课件(完整版)
例1 物体下落问题 设质量为m的物体，在时间t=0时，在距
地面高度为H处以初始速度v(0) = v0垂直地面 下落，求ss此物体下落时距离与时间的关系.
有恒等式
因此，令
，则有
因此，所谓齐次方程，实际上就是方程(1.9)的右端函数 是一个关于变元x，y的零次齐次式.
如果我们把齐次方程称为第一类可化为变量分离的方程，那么我们 下面要介绍第二类这种方程.
1.3.2 第二类可化为变量可分离的方程 形如 (1.30) 的方程是第二类可化为变量可分离的方程.其中， 显然，方程(1.30)的右端函数，对于x，y并不
是方程(1.5)在区间（-1,+1）
上的解，其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显
的常数解y =±１，这两个解不包含在上述解中.
3. 函数
是方程(1.6)在区间(-∞，
+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
4. 函数
是方程(１.７)在区间(-
∞，+∞)上的解，其中和是独立的任意常数.
这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上，
（1.13）
显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程 (1.6)是二阶线性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程.
通解与特解
微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.
定义1.１ 设函数 在区间I上连续，且有直
到n阶的导数.如果把
代入方程(1.11)，得到在
区间I上关于x的恒等式，
大学课件常微分方程第7章奇解理论
第7章 奇 解 理 论
7.1 一阶隐式微分方程 7.2 奇解 7.3 包络 7.4 奇解的存在定理
7.1 一阶隐式微分方程
作为对初等积分法的补充，本节讨论一阶隐式方程
F(x, y, d y ) 0
(7.1)
dx
的几个特殊解法.这里所谓隐式的含义，是指在方程中未知 函数的微商 p d y 没有预先表示为(x,y)的显函数.
f (x, y)) f (x, y))
因此由皮卡定理可知，微分方程(7.25)满足初值条件y(x0)=y0 的解是存在而且唯一的.由此可见，y=φ(x)在x=x0处的某一邻 域内是微分方程(7.25)经过(x0,y0)点的唯一解.这就证明了，在 (x0,y0)点附近不可能存在微分方程(7.22)的其他解在该点与 y=φ(x)相切.这个结论与y=φ(x)是奇解的假设不能相容.因此，
y cos(C x)
(7.17)
对于方程(7.15)，除了参数表达式(7.16)，还有
y 1, d y 0. dx
易知y=1和y=-1是微分方程(7.15)的两个特解；对于方程(7.15)
还可设
y 0, d y 1
dx
但是，y=0不是微分方程(7.15)的解.
因此，微分方程(7.15)有通解式(7.17)，另外还有特解
同样，克莱罗方程(7.4)的奇解式(7.7)也满足相应的p判别式:
xp f ( p) y 0, x f ( p) 0.
这里须注意，由p判别式确定的函数y=ψ(x)不一定是相应微 分方程的解；即使是解，也不一定是奇解.
例如，微分方程(7.21)的p判别式为
p 2 y x 0, 2 p 0;
dx
常微分方程的几何解释
(2.2)
a x b, y ,
假设函数 f x, y在给定区域上连续且有界.于是
它在这个区域上确定了一个线素场.下面利用线素场
求出经过 x0, y0 的近似积分曲线.把
x0 ,b n 等分,其分点为:
xk x0 kh, k 0,1, , n
h b x0 , n
xn b
常微分方程
绵阳师范学院
先求出 f x0, y0
用经过 x0, y0 斜率为
y
x1
,
y1
x2
,
y2
f x0, y0 的直线段来近
y0
似积分曲线,其方程为
y y0 f x0, y0 x x0
x0 x1 x2
bx
求出直线上横坐标 x1 处的点的纵坐标
y1 y0 f x0, y0 x1 x0 y0 f x0, y0 h
如果 h 很小 x1, y1 就很接近积分曲线上的点 x1, y x1
因 f x, y 连续.于是由点 x1, y1 出发的斜率为
f x1, y1 的直线段又近似于原积分曲线.它的方程为
了线素场.
y k x
易见在点 x, y 的线素与
过原点与该点的射线重合.
常微分方程
绵阳师范学院
定理2.1 L为(2.1)的积分曲线的充要条件是: 在L 上任一点,L 的切线方向与(2.1)所确定的线 素场在该点的线素方向重合;即L在每间点均与 线素场的线素相切.
证明 必要性 设L为(2.1)的积分曲线,其方程为
20
若初值问题
dy dx
f ( x, y),的解是存在,是否唯一?
常微分第三章第4节(奇解)
y cx f (c)
' x f ( p) 0 ' 如果 x f ( p) 0，则 y xp f ( p) 消去 p 得到方程的另一个解。
这里
c 是任意常数。
25
注意，求得此解的过程正好与从通解
y cx f (c)
可以验证，此解的确是通解 中求包络的过程一样。 的包络。
注1：包络一定包含在 c-判别曲线中。 注2：c-判别曲线不一定为包络。
2 充分但不必要。 2 x y 0
15
C 判别曲线法求方程奇解的一般步骤： （1）求出方程的通解（积分曲线族）； （2）求积分曲线族的 c 判别曲线；
（3）检验 c 判别曲线是否为包络，若是，则 为方程的奇解。
16
y 1
其中
容易求得原方程的通解为 y sin( x c)
c 为任意常数。而 y 1 是通解的包络。
所以此两直线都是方程的奇解。
22
例4
求方程
dy dy 2 y 2x ( ) 的奇解。 dx dx
y 2 xp p 2 解 从 2 x 2 p 0
消去
这是克莱罗方程，因而它的通解是 1 y cx c 1
27
y2 4x
O
图(3.5)
28
例6
求一曲线,使在其上每一点的切线截割坐
标轴而成的直角三角形的面积都等于2 。 y A
O 图(3.6)
B
x
29
依题意有ab 4，而
dy 2 dy 得 ( y x ) 4 dx dx
现在求曲线族的包络，亦即微分方程的奇解。
30
y 2c c 2 x 从 中消去 c 得微分方程的奇解 1 cx 0
常微分方程教程第四章奇解
常微分方程教程第四章奇解第四章的主题是奇解。
奇解是指常微分方程的特解，它们具有非常特殊的性质。
在这一章中，我们将讨论奇解的定义、性质和求解方法。
首先，我们来看奇解的定义。
对于一个常微分方程，如果一些函数既是它的解，又满足该方程的初值条件，那么这个解就是初值问题的特解。
如果一个特解在一些区间上唯一地存在，且不能由其他解表示，那么它就是奇解。
奇解是一种与常解不同的特殊解，它在数学研究和应用中具有重要的意义。
接下来，我们将讨论奇解的性质。
首先，奇解的存在性和唯一性是奇解研究的基本问题。
对于一些常微分方程，它们可能具有奇解，而对于其他方程，则可能不存在奇解。
为了证明奇解的存在性和唯一性，我们需要运用一些相关的定理和方法，如皮卡逐步逼近法和柯西定理等。
这些定理和方法提供了解决奇解问题的有力工具。
其次，奇解的求解方法也是本章的重点内容。
对于一些特定的常微分方程，我们可以采用一些特殊的技巧和方法来求解它们的奇解。
例如，对于线性常微分方程，我们可以利用常系数线性微分方程的特征根和特征向量来求解奇解。
而对于一些非线性常微分方程，我们可以运用变量分离、积分因子和分离变量等方法来求解奇解。
这些求解方法的研究可以帮助我们更好地理解奇解的性质和特点。
最后，我们将讨论奇解的应用。
奇解不仅仅在数学研究中具有重要意义，它们还广泛应用于物理、化学、生物学等领域。
例如，在物理学中，奇解可以描述一些具有特殊性质或特殊行为的物理系统。
在化学反应动力学中，奇解也被广泛应用于描述化学反应过程中的特殊现象。
奇解的应用研究有助于我们更好地理解和掌握自然界中的现象和规律。
综上所述，第四章主要讨论了奇解的定义、性质和求解方法。
奇解是常微分方程中的特殊解，具有非常特殊的性质。
我们可以通过研究奇解的存在性、唯一性和求解方法，来更好地理解和应用常微分方程。
奇解的研究不仅在数学领域有重要意义，而且在物理、化学、生物学等领域也有广泛的应用。
通过学习和掌握奇解的知识，我们可以拓宽自己的数学视野，提高问题解决能力，并在实际应用中发挥奇解的作用。
浅谈常微分方程奇解与包络
浅谈常微分方程奇解与包络对常微分方程教科书中采用的不同方式来定义奇解，进行了讨论，指出了用包络定义奇解的不相容性，和用唯一性破坏定义奇解的合理性。
给出了求常微分方程以已知函数求奇解的多种方法，方法和实例表明，这对有奇解的常微分方程以及同一奇解的常微分方程都是非常多的.标签：常微分方程；定义；奇解；包络0 前言常微分方程，是一个有悠久历史发展迅速的学科，是一个理论和实际应用都很有价值的学科，它不但自身应用十分广泛，而且对其他学科都有非常大的帮助。
许多科学家都对微分方程有了不同程度的研究。
比如牛顿，莱布尼茨等。
常微分方程是17世纪和微积分同时诞生的一门理论性非常强，研究应用非常广泛的学科之一，常微分方程的发展分了四个发展阶段，这四个发展阶段对常微分方程非常关键。
牛顿和莱布尼茨创立的微积分是不严格的，18世纪的数学家们一方面努力探索微积分严格化的途径，一方面往往又不顾基础问题的困难而大胆前进，大大地扩展了微积分的应用范围，尤其是与力学的有机结合，当时几乎所有的数学家也是力学家.牛顿和莱布尼茨都处理过与常微分方程有关的问题. 微积分的产生的一个重要的动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求. 一般地，认识规律很难完全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观测到运动的全过程. 运动是服从一定的客观规律的，物质运动与瞬时变化率之间有着紧密的联系，而这种联系，用数学语言表述出来，即抽象为某种数学结构，其结果往往形成一个微分方程，一旦求出其解或研究清楚其动力学行为，运动规律就一目了然了。
为了便于讨论，现将第一种定义写出：1 奇解的定义在通常教科书中对奇解的定义采用两种方法：一种是用积分曲线族的包络（以下简称包络）定义奇解；另一种是用奇解的唯一性被破坏定义奇解.由下面的讨论可知，用第一种方法定义奇解将会产生混乱，甚至会出现不相容的情况.第二种定义则来源于微分方程本身内容，准确而不会产生歧义.为了便于讨论，现将第一种定义写出：1.1 定义1微分方程的一个解称为奇解，如果在这个解的每一点上还有方程的另外一些解存在，在它上面的每一点唯一性都不成立，奇解對应的曲线上每一点至少有方程的两条积分曲线通过[1]。