微分方程奇解研究
微分方程的奇解
微分方程的奇解微分方程是描述函数变化规律的数学工具，它在物理学、工程学和经济学等领域具有广泛的应用。
对于微分方程而言，一般解可由通解和特解构成。
通解是包含所有解的解集，而特解是满足特定条件的解。
在特解中，可以有一类特殊的解，称为奇解。
本文将详细介绍什么是奇解以及它们的性质。
奇解是指微分方程的特解中具有非常特殊性质的解。
与常规解不同，奇解通常在解空间中分布得较为稀疏，形态上也具有特殊的规律性。
在微分方程的求解过程中，奇解常常起到补充通解的作用，为特定问题提供了特殊的解决方案。
奇解的研究与理解对于深入理解微分方程的性质和解的结构具有重要意义。
在物理学中，奇解的存在使得我们能够描述一些具有非常特殊性质的物理现象，例如宇宙中的黑洞形成与演化。
在工程学和经济学中，奇解的研究能够帮助我们解决一些复杂的控制问题和市场行为模型。
那么，奇解的存在性如何保证呢？一般而言，奇解通常被定义为非齐次微分方程的特解。
在非齐次微分方程中，我们可以将其分解为两部分，一部分是齐次微分方程的解，另一部分则是特定的非齐次项。
奇解往往出现在非齐次项的选择上具有特殊规律的情况下。
举个例子来说明，考虑一阶线性非齐次微分方程y' + P(x)y =Q(x)，其中P(x)和Q(x)是已知函数。
这个微分方程的通解y(x)可以通过分离变量、积分和解特征方程等方法求得。
但如果我们考虑特定形式的非齐次项，例如Q(x) = e^(αx)，其中α是常数，那么这个非齐次微分方程的通解中就会出现奇解。
奇解的存在对于微分方程的求解与应用带来了很大的挑战。
由于奇解通常具有非常特殊的性质，我们不能直接应用常规的求解方法来求得其具体形式。
相反，我们需要采用一些特殊的技巧和方法来研究和求解奇解。
这就需要我们具有一定的数学知识和经验，对微分方程的理论和应用有深入的了解。
奇解在微分方程的稳定性和解的分布等问题上也具有重要作用。
通过研究奇解的性质，我们可以进一步刻画微分方程解的分布和变化规律，有助于我们更好地理解和应用微分方程的结果。
总结一阶常微分方程奇解的求法
总结一阶微分方程奇解的求法摘要：利用有关奇解的存在定理，总结出求一阶微分方程奇解的几种方法，并通过一些具体的例题说明这几种方法的应用Using relevant theorems to develop several methods of finding singular solution of ordinary differential equation. In addition, illustrate the application of these methods through the concrete examples.关键词：常微分方程 奇解 c-判别式 p-判别式方法一：利用c-判别式求奇解设一阶微分方程0,,=⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy y x F ①可求出方程①的通解为()0,,=c y x φ ②如果()()⎩⎨⎧==0,,0,,'c y x c y x c φφ③是微分方程①的解，且对③式满足：()()02'2'≠+yx φφ ④则③是微分方程①的奇解，且是通解②的包络。
例1：方程()222x xy dydx dydx +-=的奇解 解：首先，本具题意求出该微分方程的通解为222c cx y x ++=与42x y =其中c 为任意常数 当时222c cx y x ++=， ()y c cx x c y x -++=222,,φ 其相应的c -判别式为⎩⎨⎧=+=-++02022x 2c x y c cx易得到： ⎩⎨⎧=-=22cy c x代入原微分方程，可知⎩⎨⎧=-=22c y cx 不是原微分方程的解； 当42x y =时，易求出2,1''xy x ==φφ，则有()()02'2'≠+yx φφ故42x y =为原微分方程的奇解例2：试求微分方程()()y y dydx 94221=-的奇解解：首先，根据题意求出微分方程的通解为：()()0322=---y y c x 其中c 为任意常数 再由相应的c-判别式：()()()⎩⎨⎧=--=---020322c x y y c x易求出：⎩⎨⎧==0y c x 或 ⎩⎨⎧==3y c x当⎩⎨⎧==0y c x 时，代入原微分方程成立；所以⎩⎨⎧==0y c x 为原微分方程的解且有()02'=--=c x x φ；()()93232'-=---=y y y y φ满足(Φ‘x )2+(Φ‘y )2≠0易验证⎩⎨⎧==3y c x 不是原微分方程的解故x=c, y=0 是元微分方程的奇解。
求微分方程奇解时p的相容性问题
２ ８
Ｓ ＴＵＤＩ Ｎ ＥＳ Ｉ Ｃ０Ｌ ＬＥＧＥ ＡＴＨ ＥＭ ＡＴｌ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ ． ３． ． １ １ ＮＯ ３
Ｍ ａｖ． ０１ ２ ０
求微 分 方 程奇 解 时 Ｐ的相 容 性 问题
孔 志 宏 ，王 辉 。
（ ． 原 师 范 学 院 数 学 系 ， 原 ，３ ０ ２ ２ 西 安 邮 电学 院 自动 化 学 院 ． 安 ，１０ １ １太 太 ００ １； ． 西 ７０６）
摘
要 在 利 用 判 别 式 寻 求 及 判 别 奇解 时 。 不 可 少 的 一 个 步 骤 ， 是 必 须 考 虑 的 一 个 问 题 ， 是 对 Ｐ的 必 也 就
相容性（ 或合理性 ） 进行 检验 ， 而此点却 常常被人们所应 当
） （） （ ２ 消去 ｐ 得 到 的函数
Ｙ 一 （ （ ∈ Ｊ） ｚ） （） ６
的解具 有形式 （ ） 如果 （ ） 使得 １． １式
Ｆ （ Ｙ， ｚ， ｐ）一 ０
４ 而 （ ） 是微 分方 程 （ ）的解 ． 且设 条件 ３
Ｆ （ （ ， （ ）≠ ｏ ｚ， ） ｚ） ，
，
当然 更不 可 能在利 用 ｐ 判别 式求 － 进行 检验 ．
个 习题 以说 明这个 条 件 是 不 可 缺 少 的 ， 际上 ， 实 只
微 分方程 的奇解 时对 Ｐ是 否等 于
要在讨 论 中注 意检验 Ｐ的相 容性 （ Ｐ的合理 性） 就 或 ，
可知道 这个增 加 的条 件实 质 上仍是 对 判别式 中条 事实 上 ， Ｐ的引 入 来 看 ， 自始 至 终 都 是 ， 件（ ）的检验 ． 从 它 ３
不说是 一种遗 憾．
收 稿 日期 ： ０ ９ Ｏ ２ ０ 一 ４— ２ ； 改 日期 ： ０ ０一 Ｏ Ｏ修 ２１ １一 Ｏ ． ７
全部数学家的故事(数学家传记5拉格朗日)
全部数学家的故事（数学家传记5拉格朗日）全部数学家的故事拉格朗日（1736—1813），法国著名的数学家、力学家、天文学家，变分法的开拓者和分析力学的奠基人他曾获得过18世纪“欧洲最大之希望、欧洲最伟大的数学家”的赞誉，接下来我们就来聊聊关于全部数学家的故事以下内容大家不妨参考一二希望能帮到您!拉格朗日（1736—1813），法国著名的数学家、力学家、天文学家，变分法的开拓者和分析力学的奠基人。
他曾获得过18世纪“欧洲最大之希望、欧洲最伟大的数学家”的赞誉。
拉格朗日出生在意大利的都灵。
由于是长子，父亲一心想让他学习法律，然而，拉格朗日对法律毫无兴趣，偏偏喜爱上文学。
直到16岁时，拉格朗日仍十分偏爱文学，对数学尚未产生兴趣。
在数学家雷维里的教导下，拉格朗日喜爱上了几何学，16岁那年，他偶然读到一篇介绍牛顿微积分的文章《论分析方法的优点》，感觉到“分析才是自己最热爱的学科”，从此他迷上了数学分析，开始专攻当时迅速发展的数学分析。
也使他对牛顿产生了无限崇拜和敬仰之情，于是，他下决心要成为牛顿式的数学家。
18岁时，拉格朗日用意大利语写了第一篇论文，是用牛顿二项式定理处理两函数乘积的高阶微商，他又将论文用拉丁语写出寄给了当时在柏林科学院任职的数学家欧拉。
不久后，他获知这一成果早在半个世纪前就被莱布尼茨取得了。
这个并不幸运的开端并未使拉格朗日灰心，相反，更坚定了他投身数学分析领域的信心。
拉格朗日星的摄动理论》而获得双倍奖金。
在柏林科学院工作期间，拉格朗日对代数、数论、微分方程、变分法和力学等方面进行了广泛而深入的研究。
他最有价值的贡献之一是在方程论方面。
他的“用代数运算解一般n次方程（n＞4）是不能的”结论，可以说是伽罗华建立群论的基础。
最值得一提的是，拉格朗日完成了自牛顿以后最伟大的经典著作，《论不定分析》。
此书是他历经37个春秋用心血写成的，出版时，他已50多岁。
在这部著作中，拉格朗日把宇宙谱写成由数字和方程组成的有节奏的旋律，把动力学发展到登峰造极的地步，并把固体力学和流体力学这两个分支统一起来。
5.3 解的不唯一性：奇解
不具有解的唯一性但非奇解的例子： (dy/dx)^2=1
16
二 判定奇解的存在性和确定奇解 （不解方程，通过方程） A 方程具有奇解的必要条件
17
奇解的必要条件：定理5.7
方程
dy F ( x , y , ) 0, (5.15) dx 假设F三元连续， 对y, p有连续的偏导数。若有一个 奇解y=\phi(x), 则奇解一定满足
14
由此可以看出： （1） 奇 解 是 方 程 的 某 一 解 个 （2） 这 个 解 的 每 一 点 的 域 邻内都有别的不同 于此解的其他解和它切 相。 从而奇解上每一点都具 不有解的唯一性。 注意：奇解的重要特是 点：切着相交
15
• 判断下列叙述是否正确： • 微分方程的一个解y=φ(x),x∈J．如果对任何 x0∈J，满足初值条件 φ(x0)=y0的解不唯一， 则称这个解是方程的奇解(singular solution)．
O
yx R
y R
11
• (dy/dx)^2+(x+1)*dy/dx-y=0;
12
4 2 8 3 x y y y 9 2 有 一 特 解 y ( x ). 如果对于其上每一点 Q ( x , ( x )),在Q的 任何邻域内都有原方不 程同于 ( x )的 解 在 Q 点与其相切，则称 y ( x )为 奇 解 。
第三节 奇解， 解的不唯一性
1
第三节 解的不唯一性：奇解
2
内容提要
1 奇解的定义: 已经见过的奇解的例子 2奇解的判断： 不解方程，通过方程判定奇解 的存在性和确定奇解 A 方程具有奇解的必要条件 B 找方程奇解的充分条件
3
1 奇解的定义，以及已经见过的奇解的例子 从而，掌握奇解的定义判定法。主题：
常微分方程课件奇解和包络.ppt
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。
提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车， 近代的小火轮、火车同时使用)。 原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发 展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展；
政府及各阶层人士的提倡与推动。
[串点成面· 握全局]
因此, 求得此解的过程正好与从通解中求包络的手续一样. 易验证, 此参数曲线恰为通解的包络 结果: Clairaut方程
dy dy y x f dx dx
此直线族的包络
的通解
y cx f( c )是一直线族,
或
x f '(p) 0 y xp f (p)
x f '(c) 0 y xc f (c)
是Clairaut方程的奇积分曲线, 所对应的解是奇解.
例4: 解:
求解方程
1 y xy' . y'
其中
这是Clairaut方程,
因而它有通解: 因为
f (c) , 所以 c 1 x 2 0 从 c 1 y cx c
注:
p 判别曲线是否为方程的 奇解 , 尚需进一步 .
例3:
解:
dy 2 求微分方程 y 10 dx p2 y2 1 0, 从 2p 0.
消去p(实际上p=0), 得到p-判别曲线 即
2
的奇解.
y 2 1,
y 1.
y sin( x c ), c 为任常数
现在l 上任取一个固定点M, 则M在某一条曲线 l c 上. 由于
l与 l c
在M点有相同的切线, 而
l 与 lc
关于奇解的若干探讨
关于奇解的若干探讨摘要：对于一阶常微分方程奇解的有关问题，本文针对有关一阶常微分方程奇解的定义和求法进行了系统的归纳和总结，列举了求奇解的两类方法；并根据p-判别曲线求奇解的方法，讨论了克莱罗（Clairaut）微分方程和两类特殊类型的一阶常微分方程的奇解以及奇解存在的充分条件。
关键词：一阶常微分方程；奇解；包络；C-判别曲线；P-判别曲线1.引言求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解，也可以由通解的表达式了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。
后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。
当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。
一个常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有几个呢？这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。
因为如果没有解，而我们要去求解，那是没有意义的；如果有解而又不是唯一的，那又不好确定。
因此，存在唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。
而奇解是微分方程的一种特殊的解，类似微分几何中的包络，奇解对应的积分曲线上每一点还有方程的另一个解存在，则存在唯一性定理被破坏。
但是，并不是任何微分方程都有奇解，奇解存在的条件还有待进行更深入的探讨和研究。
2.奇解的定义及求法2.1 奇解的定义我们知道对某些微分方程，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但是，在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和它在此点相切。
在微分方程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。
定义1：微分方程的一个解称为奇解，如果在这个解的每一个点上还有方程的另外一个解存在，也就是说奇解是这样的一个解，在它上面的每一个点唯一性都不成立。
或者说，奇解对应的曲线上每一点至少有方程的两条积分曲线通过。
一阶微分方程的奇解及其逆问题
一阶微分方程的奇解及其逆问题摘要介绍了导数已解出的一阶微分方程和导数未解出的一阶微分方程的奇解问题，通过相关实例进行了说明.同时.考虑了常微分方程奇解的逆问题.关键词奇解;包络;通解;P-判别曲线;C-判别曲线;逆问题The singular solution of first oder ordinary differential equationand its inverse problemAbstract In this paper, we introduce the singular solution of the first oder ordinary differential equation by giving corresponding examples. Meanwhile, we also consider the inverse problem of the singular solution of ordinary differential equation.Keywords Singular solution; envelope; general solution; P-judging curve; inverse problem一阶微分方程的奇解及其逆问题1 概念例1.1.1 求微分方程 2-)(22xdxdy xdxdy y += 的解.解 令 dxdy p =代入方程得2-22xxp p y +=. （1）两边对x 求导 0)-2)(1-(--2=→+=x p dxdp x p dxdp x dxdp pp .由c x p x p +=→=0-2 代入（1）得方程的通解 222c cx xy ++=. （2）由20-2x p x p =→=代入（1）得42xy =，经验证此为原方程的解. 从图1中我们可以看到，此解与方程通解（2）中的每一条积分曲线均相切.对某些微分方程，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这方程的积分曲线族中，但是，在这条特殊的积分曲线上的每个点处，都有积分曲线族的一条曲线和它在此点相切，在几何中，这条特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络，在微分方程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为微分方程的奇解.下面我们分别给出曲线族包络和微分方程奇解的定义.定义1 设给定单参数曲线族 Φ（x,y,c ）=0其中c 是参数，Φ（x,y,c ）是x,y,c 的连续可微函数，曲线族Φ（x,y,c ）=0 的包络是指这样的曲线，它本身并不包含在这曲线族Φ（x,y,c ）=0 中但这曲线的每一点，都有曲线族Φ（x,y,c ）=0 中的一条曲线和它在这点相切.定义2 设有微分方程的一条积分曲线，若在它上面的每一点处方程的解的唯一性都被破坏，则称这条积分曲线所对应的解是微分方程的奇解.根据定义我们可以得出：对某些微分方程，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这方程的积分曲线族.但是，在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和它在此点相切.在几何学中，这条特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络.在微分方程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解. 2 对于导数已解出的一阶微分方程的奇解本节给出寻找导数已解出的一阶微分方程（3）的奇解的方法和步骤.按定义，奇解就是破坏了微分方程解的唯一性的解，我们知道，导数已解出的一阶微分方程的解的存在唯一性定理为.定理 2.1 给定微分方程，若函数满足如下条件：1）函数在闭区域≤，≤b(a 、b>0)上是连续的.2）函数在R 上满足利普希茨条件，即存在常数L>0，对于所有的点∈R 都有≤，则方程（3）存在唯一的解上，连续且满足初始条件，这里,.由于利普希茨条件难于检验，常用在R 上有对y 的连续偏导数来代替，因为若在R 上,存在且连续，则yf ∂∂在R 上有界，设在R 上Lyf ≤∂∂，则yy y y x f y x f y x f ∂+∂=))-(,(),(-),(12221θ,,其中R y x y x ∈),(),,(2110<<θ, 即若),(y x f 在R 上有连续偏导数，则在R 上),(y x f 一定满足利普希茨条件，但反之不成立.(,)dy f x y dx=(,)dy f x y dx=(,)f x y (,)f x y 0:R x x -a 0y y -(,)f x y 12(,),(,)x y x y 12(,)(,)f x y f x y -12L y y -y =φ(x)0x x h -≤00 φ()y x =m in(,),m ax{(,)}b h a M f x y M==(,)x y R ∈(,)f x y 1212y y L y y --≤通过上面的分析知，当yf ∂∂的有界性被破坏时，方程（3）的解的唯一性将有可能被破坏.因此若要寻求导数已解出的方程（3）的奇解，只能在使得yf ∂∂的有界性被破坏的函数)(x y φ=中去寻找，这样我们就得到寻求方程（3）奇解的步骤：A 求使yf ∂∂为正无穷的函数)(x y φ=)),((连续y x fB 验证函数)(x y φ=是否为方程（3）的解C 若)(x y φ=是方程（3）的解，再验证唯一性，若)(x y φ=中的每一点的唯一性都不成立，则此)(x y φ=为方程的解.例2.1.1 求微分方程2y -1=∂∂yf 的奇解.解 方程右端2-1),(y y x f =在11-≤≤y 内连续，2y-1y -=∂∂yf 在直线1±=y 上，yf ∂∂为无穷大，显然1±=y 为方程的解，可以看出在直线1±=y 上的每一点，都有原方程通解)sin(c x y +=中的一条曲线与它们相切，所以1±=y 为方程的奇解.3 对于导数未解出的一阶微分方程的奇解3.1利用c-判别曲线求奇解我们知道，微分方程积分曲线族的包络所对应的解一定是奇解，现在我们讨论曲线族的包络应满足的条件.设0),,(=c y x φ （4） 为一曲线族，由微分几何学可知，曲线族（4）的包络包含在由下列方程组),,(,0),,({'==c y x c y x φφ 消去C 而得到的曲线之中，此曲线称为曲线族（4）的C-判别曲线.我们注意到，在C-判别曲线中有时除去包络外，还有其它曲线.C-判别曲线中究竟哪一条是包络尚需实验检验.例3.1.1 求曲线族 2c cx y +=的包络，在这里C 是参数.解 将2c cx y +=对C 求导数，得到02=+c x . 从02{2=++=c x ccx y 中消去C ，得到042=+y x .所以，曲线族2c cx y +=的包络为042=+y x .例3.1.2 求曲线族01-22=+cx y c 的包络，在这里C 是参数.解 将01-22=+cx y c 对C 求导，得到022=+x cy ，从⎩⎨⎧=+=+，01-,02222cx y c x cy 中消去C ，得到044=+y x .所以，曲线族01-22=+cx y c 的包络为044=+y x .3.2 利用p-判别曲线求奇解 首先我们引入一个定理.定理 3.2 如果在点),,('000y y x 的某一邻域中，a) ),,('y y x F 对所有变元),,('y y x 连续，且存在连续偏导数； b) ),,('000y y x F =0； c)0),,(''000≠∂∂yy y x F ，则方程),,('y y x F =0存在唯一解h x x x y y ≤=0-),(（h 为足够小的正数）满足初值条件'00'00)(,)(y x y y x y ==.由上述定理知道，如果),,('y y x F 关于',,y y x 连续可微，则只要0≠∂∂yF 就能保证解的唯一性，因此，奇解（如果存在的话）必须同时满足下列方程),,('y y x F =0，0),,(''=∂∂yy y x F .于是我们有以下结论：方程0),,(=dxdy y x F （5）的奇解包含在由方程组)(0),,(0),,({'dxdy p p y x F p y x F p ===消去P 而得到的曲线中，这里),,(p y x F 是p y x ,,的连续可微函数.此曲线称为方程（5）的P-判别曲线.P-判别曲线是否是方程的奇解，尚需进一步检验.例3.2.1 求方程01-)(22=+y dxdy 的奇解.解 从⎩⎨⎧==+0201-22p y p 中消p 得到p-判别曲线1±=y .经验证，此两直线都是方程的奇解.因为容易求得原方程的通解为)sin(c x y +=，而1±=y 是微分方程的解，且正好是通解的包络.3.2.1应用p-判别曲线一般性的求解微分方程的奇解用这个定理来求解以下两类一阶微分方程的奇解 （A ） 0)()(-))((1-=+x b dxdy y dx dy x a n n.（B ）)())(())((1-x c dxdy x b dxdy x a y n n++=.首先来讨论微分方程（A ），其中a(x),b(x)在区间I 上是连续可导的，且.0≠)(,0≠)(x b x a 这时0)(-)(),,(1-=+=x b yp p x a p y x F n n 0]1)-(-)([)1-(-)(),,(2-2-1-'===y n p x na pyp n px na p y x F n n n消去p 得到的函数),()(1-_x d x a n n y •=其中.0)()()1-()(≠=x na x b n x d n)()(-))((),,(1-_'__'_'_x b y y y x a y y x F n +=)]()(1-)()(-[))(()(1--))((1-_'_'x d x a n n x d x a y x d x a n n y x a nnn n++=))]()()((1--)()()][()[(∑∑2-0-2-_'1-0-1-_'_'x d y x d n n x d y x d y x a in i in in i in ===因此，0(x)-_'=d y 时，_y 是微分方程（A ）的解，而且又有)](-[))(()())((-))((),,(_'2-_'2-_'1-_'_'_'_'x d y y x na x d y x na y x na y y x Fn n n y==.0)(-),,(1-_'_'_'_≠=n y y y y x F 由于)(_'x d y =则)())(())(()()2-(-))(()1-(),,(3-_'3-_'2-_'_'_''_'_'≠•==x d y x na y x d x a n n y x a n n y y x Fn n n yy由此可知，对于微分方程（A ），假设a(x),b(x)在区间I 上是连续可导的，且.0)(,0)(≠≠x b x a 若满足.0)(-_'=x d y 即.0)(-)]()(1-['=x d x d x a n n其中.)()()1-()(x na x b n x d n=则微分方程有奇解：).()(1-_x d x a n n y •=再来讨论微分方程（B ），对于微分方程（B ）其中a(x),b(x),c(x)在区间I 上是连续可导的，且.0≠)(,0≠)(x b x a 这时0-)()()(),,(1-=++=y x c p x b p x a p y x F n n)]()1-()([)()1-()(),,(2-2-1-'=+=+=x b n p x na ppx b n px na p y x Fn n n p消去p 得到函数：)()()()()(1-_x dx b x d x a x c y n n+•+=，其中.0)()(1)-(-)(≠=x na x b n x d))]()()(())()()(()][(-[)()(-)()(-))(())((-)())(())((),,(∑∑2-0-2-_'1-0-1-_'_'1-1-_'_'_1-_'_'_'_x d y x b x d y x a x d y x dx b x d x a y x b y x a yx c y x b y x a y y x F in i in in i in n nn nn n==+=+=++=因此，当.0)(-_'=x d y 时，_y 是微分方程（B ）的解.又.0))(()1-(-),,(01-),,(0)](-[))((),,(2-_'_'_''_'_'_'2-_'_'_'_'_'__'≠=≠===n yy y n yy x b n y y x Fy y x F x d y y x na y y x F从而，对于微分方程（B ），假设a(x),b(x),c(x)在I 上连续可导，且.0)(,0)(≠≠x b x a 又满足条件.0)(-_'=x d y 即0)(-)]()()()()(['1-=++x d x d x b x d x a x c n n其中.0)()(1)-(-)(≠=x na x b n x d 则（B ）有奇解：).()()()()(1-_x dx b x d x a x c y n n +∙+=3 .3克莱罗方程的奇解 我们把形如)(p f xp y += （6）的方程，称为克莱罗方程，其中)(,p f dxdy p =是p 的连续可微函数.-下面讨论克莱罗方程的奇解.将)(p f xp y +=两边对x 求导，并以dxdy p =代入得dxdp p f p dxdp xp )('++= 即0))(('=+p f x dxdp1、若=dxdp cp =⇒，所以原方程的通解为)(c f cx y +=；2、若0)('=+p f x 将此与原方程合起来有 ⎩⎨⎧+==+)(0)('p f xp y p f x .消去P 也得到方程的一个解.分析 1）从1知克莱罗方程的通解是一族直线. 2）通解的形式就是在原方程中用C 代P 而得到的.3）从2知，求此解的过程正好与从通解)(c f cx y +=中求包络的步骤一样（也和求（6）的P-判别曲线的过程一样），并且此解为积分曲线族)(c f cx y +=的包络)01),,(('≠=c y x y φ，因此克莱罗方程总有解.4）从（3）知，对克莱罗方程而言，P-判别曲线和方程通解的C-判别曲线都是方程通解的包络，从而为方程的奇解.例3.3.1 求方程pxp y 1+=（其中dxdy p =）的奇解解 此方程为克莱罗方程，因此其通解为ccx y 1+=从⎪⎩⎪⎨⎧+==c cx y c x 101-2 中消去C 得到x y 42=.由前后讨论知x y 42=为方程的奇解.4 微分方程奇解的逆问题我们考虑微分方程奇解的逆问题：求一微分方程已一个已知函数)(x y φ=为奇解.下面，用上述方法和结论来解决微分方程奇解的逆问题.4.1 求以x y sin =为奇解的常微分方程满足以x y sin =为奇解的常微分方程非常多，下面给出三种类型的常微分方程. 4.1.1求克莱罗型方程设克莱罗方程有奇解x y sin =， 即⎩⎨⎧+==)()(sin )(-''p f p p f p f x 因此，)(sin p f xp x +=.下面求出)(p f 的表达式.求导得)(cos '''p f x p x x x ++=•. 令p x =cos 则p p p xp x xp x p f •===arccos --1-cos -1-sin )(2'故以x y sin =为奇解的克莱罗常微分方程为dxdy dxdy dxdy dxdy xy arccos-)(-12+=2．求)(A 型方程为简单起见，取n=2.已知x y sin _=，由条件0)(-'y _=x d 得x x d cos )(=. 由)()(2,)()()(_2x d x a y x a x b x d ==得 x x a x x a x b x cos )(2sin ,)()(cos2==解之得x x x b x x a sin cos 2)(,tan 2)(==.因此，以x y sin =为奇解的)(A 型常微分方程为0sin cos 2)(-)(tan 22=+x x dxdy y dx dy x3．求)(B 型方程取n=3.已知xy sin _=.由条件0)(-'_=x d y 得x x d cos )(=.又)(27)(4)(,)(3)(2-)(23_x ax b x c x a x b x d y +==则)(27)(4)(sin ,)(3)(2-cos 23x a x b x c x x a x b x +==.特别取c(x)=0,解之得 xx x b xx x a 23cos sin 3)(,cos sin 2-)(==.因此，以x y sin =为奇解的)(B 型常微分方程为 2233)(cos sin 3)(cos sin 2-dxdy x x dx dy x x y +=. 4.2 求以xe y =为奇解的常微分方程 4.2.1求克莱罗型方程设克莱罗方程有奇解x e y =，即⎩⎨⎧+==)()()(-''p f p p f e p f x x 因此)(p f xp e x+=.求导化简得xe p =，则p p p pf ln -)(=.故以xe y =为奇解的克莱罗型常微分方程为)ln()(-dx dy dx dy dx dy dx dy xy +=4.2.2 求)(A 型方程取n=2.已知奇解xey =_，由条件0)(-'_=x d y 得xe x d =)(.由xe x a x a x b x d y)(2,)()()(_==得 xxxe x a e x a x b e)(2,)()(2==，进而21)(=x a ，xe x b 221)(=.故以xe y =为奇解的)(A 型常微分方程为021)(-)(2122=+xedxdy y dxdy .4.2.3 求)(B 型方程取n=2.已知xe y=_，由条件0)(-'_=x d y得x e x d =)(. 由)(4)(-)(,)(2)(-)(2_x a x b x c x a x b x d y ==，得)(2)(-,)(4)(-2x a x b e x a x b e xx==，解之得2)(,-)(-==x b e x a x.因此，以xey =为奇解的)(B 型常微分方程为)(2)(-2-dxdy dxdy e y x+=.同理，可以求出其他类型函数或者复合函数作为常微分方程的奇解.因此有奇解的常微分方程是非常多的.此外，在上述求解过程中，由于n 与c(x)有许多不同的取法，因此，以同一奇解的常微分方程也是非常多的.5 总结本文对一阶微分方程通过分为导数已解出的、导数未解出的、克莱罗方程，以及利用P-判别曲线对一般的类似于（A ）、（B ）的微分方程的奇解的求法做出了讨论，应用各种方式算出它们的奇解，对解法进行了较全面的分析，并给出了相应的求解方法和求解步骤.最后讨论了微分方程奇解的逆问题，带入一般的微分方程（A）、（B）讨论微分方程的逆问题.参考文献[1] 丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].2版.北京：高等教育出版社，2004:94-110.[2] 王五生，付美玲，侯宗毅.一阶非线性常微分方程奇解的求法[J].高等数学研究，2010（7）：65-67 .[3] 何永葱.关于常微分方程奇解的逆问题[J].重庆教育学院学报，2008（5）：5-10.[4] 何永葱.关于常微分方程奇解判别的注记[J].内江师范高等专科学校学报，2000（2）.[5] 何永葱.两类一阶常微分方程有奇解的条件[J].重庆教育学院学报，2007（6）[6] 王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程[M].3版.北京.高等教育出版社.[7] 李育俭.一阶微分方程的奇解[J].武汉工程专业技术学院学报，2005（9）：83-87.[8] 艾利斯哥尔兹著.微分方程[M].北京.高等教育出版社.1959年.- 12 -。
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微分方程奇解研究摘要：该文章我们主要讨论的是常微分方程奇解的求法。
一个常微分方程有没有它的奇解，有了奇解怎么求是该文章的主要目的。
在这里我们讨论不存在奇解的判别法。
如果方程有了它的奇解，一般有五种方法可以求它的奇解，即自然法，拾遗法，C -判别曲线(C-消去法)，P-判别曲线（P-消去法），C-P判别法。
我们最常用的，方便的方法是后面的三个，在这里对这三个方法进行详细的讨论。
关键词：奇解；判别式；包络线Studing on singular solution of DEAbstract: This article mainly discussed ordinary differential equation, the solution is also given. A differential equation whether exits solution, a singular how to find the solution is the main purpose of the article. Here we discuss the discriminant method does not exist. If equation with it's singular solution, generally have five methods can find it's the solution, namely natural law, method of poems, C-discriminant curve (C-elimination technique), P-discriminant curve (P-elimination technique), C-P discriminant method. The most commonly used, convenient method is the back of the three, in here to the three methods are discussed in detail.Key words: Singular solution; discriminant; envelope前言我们看到对某些微分方程，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这方程的积分曲线族。
但是，在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和它在此点相切。
在几何学上，这条特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络。
在微分方程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。
若一个微分方程它有奇解，那我们怎么求它的奇解是该文章主要讨论的问题。
1 奇解的基本概念与性质1.1奇解的定义设一阶隐式方程),,(,y y x F =0有一特解)(:x y ψ=Γ，j x ∈如果对每一点Γ∈P ，在P 点的任何一个领域内，方程),,(,y y x F =0都有一个不同于Γ的解在P 点与Γ相切，则称Γ是微分方程的),,(,y y x F =0的奇解。
定义：如果一个一阶微分方程的一个特解的积分曲线上的每一点都至少和这个微分方程的不同的积分曲线相切，并且这相切的积分曲线在切点的任何邻域内都不重合，则称这个特解为这个微分方程的奇解。
1.2奇解产生的必要条件先看一个例子，求方程023=-⎪⎭⎫ ⎝⎛y dx dy （1） 或与它等价的方程 32y dx dy = 的解。
经分离变量后，可得（1）的通解3)(271c x y += 容易看出，y=0也是原方程的一个解。
现在来研究这个解y=0有什么特殊的地方。
由图我们看到，在解y=0上的每一点)0,(0x 处相切，这种特殊的积分曲线y=0称为奇积分曲线，他所对应的解就是奇解，这就是奇解的产生。
1.3奇解的一般求法自然法:找出方程不满足唯一性条件的点集合L ，例如{(,)|}f L x y y ∂==∞∂，再验证它是否是奇解。
拾遗法:在求通解过程中，方程两边约去的不含导数的因式，令其为零，可能得到奇解。
1.4奇解的基本性质性质１ 设),,(p y x F 及其各一阶偏导数是),,(p y x 的连续函数，若方程),,(dxdy y x F 有奇积分曲线，则它必包含在P-判别曲线0),,(=y x ϕ之中。
性质２ 从定义知道，一阶微分方程的通解的包络一定是奇解；反之，微分方程的奇解（若存在的话）也是微分方程通解的包络。
性质３ 设),,(c y x Φ及其各一阶偏导数是连续函数，若),,(c y x Φ=0有包络，并且该包络是一条连续曲线，且有连续转动的切线，则它必包含在C-判别曲线0),(=y x ϕ之中。
2 包络的求法我们现在给出曲线族包络的定义：某些微分方程，存在一些特殊的积分曲线，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。
在几何学里，这些特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络，在微分方程里，这些特殊的积分曲线所对应的解酒称为方程的奇解。
设给定单参数曲线族0),,(=Φc y x （1）其中c 是参数，),,(c y x Φ是x,y,c 连续可微函数。
曲线族（1）的包络是指这样的曲线，他本身并不包含在曲线族（1）中，但过这曲线的每一点，有曲线族（1）中的一条曲线和他在这点相切。
例如，单参数曲线族222)(R y c x =+-（这里的R 是常数，C 是参数）表示圆心为（C ，0）而半径为R 的一族圆，此曲线族显然有包络y=R 和 y=-R（见图1）2.1包络跟奇解的关系由奇解和包络的定义显然可知，若方程0),,(,=y y x F 的积分曲线族（即通解所对应的曲线族）的包络如果存在，则必定是方程0),,(,=y y x F 的奇解。
事实上，在积分曲线族包络上的点（x,y ）处的x,y 和,y （斜率）的值和在该点与包络相切的积分曲线上的x,y 和,y 满足方程0),,(,=y y x F 。
这就是说，包络是积分曲线。
其次，在包络的每一点，积分曲线族中都至少有一条曲线与包络相切。
因此，包络是奇解，由此可知，如果知道了微分方程0),,(,=y y x F 的通积分，那么该通积分的包络就是奇解。
但是，一般的曲线族并不一定有包络，例如同心圆族、平行直线族都是没有包络的，从而我们引出了C-判别曲线与P-判别曲线：2.2 P-判别曲线2.2.1 P-判别曲线的充分条件假设)p ,,(y x F 是一个二阶连续微分方程，如果积分曲线)x (y ϕ=是P-判别曲线，且满足下列方程：0),,(y ≠''ϕϕx F ，0),,(pp ≠'"ϕϕx F那么)x (y ϕ=是方程0)y ,,(='y x F 的奇解，且p y ='。
2.2.2 P-判别曲线的必要条件如果),,(y y x F '关于y y x ',,连续可微，则只要0≠'∂∂yF 就能保证解的唯一性，因此，奇解（存在的话）必须同时满足下列方程：0),,(='y y x F ，0),,(='∂'∂y y y x F 于是我们有下面的结论：方程0),,(=∂∂xy y x F 的奇解包含在由方程组 (,,)0(,,)0P F x y P F x y p =⎧⎨'=⎩ 消去p 而得到的曲线中，这里),,(P y x F 是P y x ,,的连续可微函数。
此曲线称为方程的P-判别曲线，P-判别曲线是否是方程的奇解，尚需进一步验证。
例2.1 求方程01)(22=-+y dxdy 的奇解。
解：从⎩⎨⎧==-+020122p y p 消去p 得到P-判别曲线1±=y容易验证，此两直线都是方程的奇解。
因为容易求得原方程的通解为：y=sin(x+c)而1±=y 是微分方程的解，且正好通解的包络。
这里介绍另外一种求奇解的方法：2.3 C-判别曲线2.3.1 C-判别曲线的充分条件由微分几何学可知，曲线族（1）的包络包含在由下列方程组⎩⎨⎧=Φ=Φ0),,(0),,(,c y x c y x c 消去 c 得到所谓 C-判别曲线．必须注意，在C-判别式曲线中有时出去包络外，还有其他曲线。
例2.2 求直线族0sin cos =-+p y x αα (2)的包络，这里的α是参数，P 是常数。
解：将（2）对α求导，得到0cos sin =+-ααy x （3）为了从（2），（3）中消去α，将（3）移项，然后平方，有22222sin cos 2sin cos P =++ααααxy y x （4）将（3）平方，又得sin cos 2cos sin 2222=-+ααααxy y x （5） 将（4），（5）相加，得到222P y x =+（6） 容易检验，（6）是直线（2）的包络（见图2）例2.3 求曲线族0)(32)(32=---c x c y（7） 的包络。
解：将（7）对C 求导数。
得到0)(3.32)(23=-+--c x c y即0)(2=---c x c y（8）为了从（7）和（8）消去C ，将（8）代进（7），得0)(32)(34=---c x c x 即 032)()(3=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---c x c x ， 从x-c=0得到y=x （9） 从032=--c x 得到 92-=x y （10） 因此，C-判别曲线包括两条曲线（8）和（9），容易检验直线y=x 不是包络，而直线92-=x y 是包络（见图3）值得注意的是，在C-判别曲线中除了可能有的包络(即奇解)外，还可能是曲线族中奇点的集合, 在奇点,曲线没有确定的切线. 因此这种C-判别曲线不是解；还可能是不与积分曲线族相切的曲线.2.3.2 C-判别曲线的必要条件定理4 若L 是曲线族（1）的包络线，则它满足如下的C-判别式(,,)0(,,)0c x y c x y c Φ=⎧⎨'Φ=⎩ （11） 反之，若从（3）解得连续可微曲线:(),()x c y c ϕψΓ==且满足非蜕化条件：0)()(22≠'+'c c ψϕ和0)),(),(()),(),((22≠Φ'+Φ'c c c c c c y x ψϕψϕ则Γ是曲线族的包络线。
证明：在L 上任取一点),(y x p ，由包络线的定义，有（C ）中一条曲线l 在p 点与L 相切，设l 所对应的参数为c ，故L 上的点坐标x 和y 均是c 的连续可微函数，设为)(),(c y c x ψϕ==又因为),(y x p 在l 上，故有恒等式0)),(),((=Φc c y c x （12）L 在p 点的切线斜率为)()(c x c y k L ''= l 在p 点的切线斜率为)),(),(()),(),((c c y c x c c y c x k y x l Φ'Φ'-= 因为l 为L 在p 点相切，故有l L k k =，即有关系式0)()),(),(()()),(),((='Φ'+'Φ'c y c c y c x c x c c y c x y x （13）另一方面，在（4）式两端对C 求导得 0)),(),(()()),(),(()()),(),((=Φ'+'Φ'+'Φ'c c y c x c y c c y c x c x c c y c x c y x 此式与（5）式比较，无论是在)(),(c y c x ''和y x Φ'Φ',同时为零还是不同时为零的情况下，均有下式)),(),((=Φ'c c y c x c （14）成立。