常微分方程 奇解与包络
微分方程中包络的定义及求奇解时必须注意的一个问题
274
孔志宏
组求 c—判别曲线之前必须补充定义函数值：x = c 时，y = 0 。 否则 y = 0 与积分曲线族(10) (其中，x > c ， 从而 y > 0 )没有公共点！谈何相切？ 例 4 判断方程
Φ′ − cos ( x − c ) 。 已 知 y = 1 是 方 程 的 解 ， 而 在 通 解 中 当 x − c → c ( x, y , c ) =
π− 时 y →1 ， 补 充 定 义 2
π yc + = 1 ；同理，补充定义 2
π yc − = −1 ，解方程组(c—判别式) 2
Keywords
Envelope, Tangent, Singular Solution, Supplement Function Value
微分方程中包络的定义及求奇解时必须注意的 一个问题
孔志宏
太原师范学院数学系，山西 晋中
收稿日期：2017年6月18日；录用日期：2017年7月3日；发布日期：2017年7月10日
y = 0.
)
(3)
及
= y
1 2 ( x − c) , 4
(4)
272
孔志宏
还有一个特解为 y = 0 。
x 对积分曲线族(3)由于 Φ′ y c = e ≠ 0 ，所以(3)没有包络。对积分曲线族(4)， Φ ( x, y , c ) =−
1 2 ( x − c) ， 4
Φ′ 2 ( x c ) 。c—判别式为 c ( x, y , c ) =−
Open Access
包络和奇解
曲线族包络的求法： 曲线族包络的求法：
Φ( x , y , c ) = 0 ' Φc ( x, y, c ) = 0
Φ( x, y, c) = 0,
(2.10)
曲线族(2.10)的包络包含在下列两方程 曲线族(2.10)的包络包含在下列两方程 (2.10)
( 2.11)
消去参数c而得到的曲线F ( x, y ) = 0之中,
包络和奇解定义对某些常微分方程存在着一条特殊的积分曲线他不属于这方程的积分曲线族但是在这条特殊的曲线上的每一点处都有积分曲线族中的一条曲线和他在此相切在几何学上这条特殊的积分曲线称为积分曲线族的包络
包络和奇解的MATLAB做法 做法 包络和奇解的
10073211 张丽萍
• 1.包络和奇解定义 包络和奇解定义 对某些常微分方程， 对某些常微分方程，存在着一条特殊的积分曲 他不属于这方程的积分曲线族，但是， 线，他不属于这方程的积分曲线族，但是，在这 条特殊的曲线上的每一点处， 条特殊的曲线上的每一点处，都有积分曲线族中 的一条曲线和他在此相切，在几何学上， 的一条曲线和他在此相切，在几何学上，这条特 殊的积分曲线称为积分曲线族的包络。 殊的积分曲线称为积分曲线族的包络。在微分方 程里， 程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为该方 程的奇解。 程的奇解。 一阶微分方程的通解的包络一定是奇解（ 一阶微分方程的通解的包络一定是奇解（如果 存在的话），反之，微分方程的奇解（ ），反之 存在的话），反之，微分方程的奇解（如果存在 的话）一定是微分方程通解的包络。因此， 的话）一定是微分方程通解的包络。因此，为了 求微分方程的奇解，要先求出它的通解， 求微分方程的奇解，要先求出它的通解，然后求 通解的包络。 通解的包络。
具体m文件如下： 具体 文件如下： 文件如下 clear hold on x=-300:0.1:300; for c=-100:17:100 y1=c*(x+1)+c.^2; plot(x,y1, ‘r') end • hold on • y=-1/4*(x+1).^2; • • • •
大学课件常微分方程第7章奇解理论
第7章 奇 解 理 论
7.1 一阶隐式微分方程 7.2 奇解 7.3 包络 7.4 奇解的存在定理
7.1 一阶隐式微分方程
作为对初等积分法的补充，本节讨论一阶隐式方程
F(x, y, d y ) 0
(7.1)
dx
的几个特殊解法.这里所谓隐式的含义，是指在方程中未知 函数的微商 p d y 没有预先表示为(x,y)的显函数.
f (x, y)) f (x, y))
因此由皮卡定理可知，微分方程(7.25)满足初值条件y(x0)=y0 的解是存在而且唯一的.由此可见，y=φ(x)在x=x0处的某一邻 域内是微分方程(7.25)经过(x0,y0)点的唯一解.这就证明了，在 (x0,y0)点附近不可能存在微分方程(7.22)的其他解在该点与 y=φ(x)相切.这个结论与y=φ(x)是奇解的假设不能相容.因此，
y cos(C x)
(7.17)
对于方程(7.15)，除了参数表达式(7.16)，还有
y 1, d y 0. dx
易知y=1和y=-1是微分方程(7.15)的两个特解；对于方程(7.15)
还可设
y 0, d y 1
dx
但是，y=0不是微分方程(7.15)的解.
因此，微分方程(7.15)有通解式(7.17)，另外还有特解
同样，克莱罗方程(7.4)的奇解式(7.7)也满足相应的p判别式:
xp f ( p) y 0, x f ( p) 0.
这里须注意，由p判别式确定的函数y=ψ(x)不一定是相应微 分方程的解；即使是解，也不一定是奇解.
例如，微分方程(7.21)的p判别式为
p 2 y x 0, 2 p 0;
dx
常微分方程的几何解释
(2.2)
a x b, y ,
假设函数 f x, y在给定区域上连续且有界.于是
它在这个区域上确定了一个线素场.下面利用线素场
求出经过 x0, y0 的近似积分曲线.把
x0 ,b n 等分,其分点为:
xk x0 kh, k 0,1, , n
h b x0 , n
xn b
常微分方程
绵阳师范学院
先求出 f x0, y0
用经过 x0, y0 斜率为
y
x1
,
y1
x2
,
y2
f x0, y0 的直线段来近
y0
似积分曲线,其方程为
y y0 f x0, y0 x x0
x0 x1 x2
bx
求出直线上横坐标 x1 处的点的纵坐标
y1 y0 f x0, y0 x1 x0 y0 f x0, y0 h
如果 h 很小 x1, y1 就很接近积分曲线上的点 x1, y x1
因 f x, y 连续.于是由点 x1, y1 出发的斜率为
f x1, y1 的直线段又近似于原积分曲线.它的方程为
了线素场.
y k x
易见在点 x, y 的线素与
过原点与该点的射线重合.
常微分方程
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定理2.1 L为(2.1)的积分曲线的充要条件是: 在L 上任一点,L 的切线方向与(2.1)所确定的线 素场在该点的线素方向重合;即L在每间点均与 线素场的线素相切.
证明 必要性 设L为(2.1)的积分曲线,其方程为
20
若初值问题
dy dx
f ( x, y),的解是存在,是否唯一?
关于奇解与包络的一点补充
【 】 题意 设所求曲 切 程为：÷ 一＝ 法二 依 ， 线的 线方 十Ｖ ｌ
其 中， 分别 是切线 在 与 ， 轴 轴上 的截距 ，且满 足 ， ＝ ＋
（ １ ）
（） ２
由（） ＝ － ２得， ａｍ，代入（） １ 得—± 十 ＝ｌ 即 ｍ ＋向 叫 向－ ） 一 ｘ 一 ｍ ＝０
解：
［ 法一】 设所求曲线的方程为 ‘ 砷，在此曲线上任一点（ 处，曲线的切线方程是： ｒ ＝ 工 ＿
一
一
（ ｙ ） 表切线上的动 点，令ｒ 可得切线在 上的截距 ＝ ，夸 Ｄ ＝０ — ｒ 可得切线在 — 轴上的截距 ． 一
Ｙ
依 意 所 曲 满 的 分 程 题 得求线足 微方为
一
定是奇解 ：反 之 ，微 分方 程 的奇解（ 若存 在 的活） 是微 分方程 的通解 的包 络 ，因此 ，为了求微 分方程 的奇解 ， 也
பைடு நூலகம்
可 求 出它 的通 解 ，然后 求通 解 的包 络 ． 利 用上述 结论 解某 些几 何 问题 时，如下 述 的例 ｌ ，一般 是先 建立所 求 曲线满 足的微 分方 程 ，再 求微 分方程 的
解；依题意，设所求曲 线的切线的方程为 ＋ ｌ 亭＝
收稿 日期 ：２ ０ ２２ ０ １１ ３
（ ５ ）
作 者简介 ：赵邦杰（ ４ ． １ ４） ９ ．男．成都信息工程学院计算机科学系副教授
维普资讯
第２ 期
赵邦杰等 ： 关于奇解与包络的一点补充
摘
要 给出了末一阶隐式微分方程通解的包络（ 如果它存在的话） 的另一种方法，它通常比按常规方法求包络来得简单．直接
关键词 ．微分 方程 通解 ：奇解； 包络
中 图分 类号 ：Ｏ１ ５１ ７． 文 献 标 识 码 ：Ａ
§3.3 奇解 常微分方程课件 高教社
• 消去c得到的曲线是包络，积分曲线是奇解。
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c-判別曲线法 (x,y,c)=0, c’(x,y,c)=0
例1 解方程
•
令 pdy
dx
方程变为
y
d d
y x
2
x
d d
y x
x2 2
.
y p2 xp x2
• 两边求导
2
p 2 p d p x d p p x, dx dx
但过包络曲线的每一点有曲线族中的一条曲 线在该点与其相切。
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曲线族的包络 (x,y,c)=0,
c’(x,y,c)=0
• 单参数曲线族 (x-c)2+(y-c)2=R2
其包络为y=R和y=-R
• 一般的曲线族不一定有包络:同心园族平行线族。
• c-判別曲线
(x, y,c) 0, 'c (x, y,c) 0.
• 得通解 y x2 cx c2
2
• 另由 2 p x 0 得
y x2 4
• 此为奇解
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（续）例1
y
dy dx
2
x
dy dx
x2 2
• 用c-判別曲线法 (x,y,c)=0, c’(x,y,c)=0
•
由通解 y x2 cx c2
2
•得
y
x2
cx
c2,
2
0 x 2c.
• 有包络
y x2 4
• 它是解(积分曲线) ，故是奇解。
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例2 求直线轴 xcosa+ysina-p=0 的包 络
试论常微分方程的奇解
试论常微分方程的奇解摘要: 一阶微分方程拥有含有一个任意常数的通解,另外可能还有个别不含于通解的特解,即奇解,利用P-判别法和C-判别法可以求出奇解,而这两种判别法是否适用于求每一个一阶微分方程的奇解?此文中举了几个例子来说明这个问题.并给出另外三种求奇解的方法.关键词: 一阶微分方程,奇解,P-判别式,C-判别式,C-P消去法,拾遗法,自然法.Discussing Singular Solution about First OrderDifferential EquationZHU Yong-wang(Class 1, Grade 2006, College of Mathematics and Information Science) Advisor: Professor LI Jian-minAbstract: First order differential equation has a general solution which contains an arbitrary constant, but sometimes it has specialsolution that is singular solution, which can be solved by the P-judgment method and C-judgment method(Whilewhether the two judgments can be applied to get every singularsolution to the first order differential equation? This paper intends to illustrate this problem with several examples(Key words: Singular solution, P-judgment, C-judgment, C-Pelimination method, The supplement method, Natural method.1(引言一般来说一阶常微分方程拥有任意常数的通解,另外还有个别不含于通解的特解.这种特解可以理解为通解的一种蜕化现象.它在几何上往往表现为解的唯一性遭到破坏.早在1649年莱布尼兹就已经观察到解族的包络也是一个解.克莱络和欧拉对奇解作了某些讨论,得出了P,判别式求奇解的方法.拉格朗日对奇解和通解的联系作了系统的研究,给出C,判别式求奇解的方法和奇解的积分曲线族的包络这一几何解释.2(奇解、包络、C-判别式、P-判别式的定义及问题出近几年许多学者对常微分方程这方面特别关注,在一阶常微分方程有奇解的条件、常微分方程奇解的求法、摆线的构成和奇解的联系、Cornwall不等式的应用及微分方程的奇解等方面有大量的文章发表,由此可见,人们对微分方程的奇解有了很深的认识.微分方程的奇解在常微分方程的解中具有特殊的地位.奇解的定义:微分方程的某一个解称为奇解,如果在这个解的每一个点上至少还有方程的另外一个解存在,也就是说奇解是这样的一个解,在它上面的每一个点唯一性都不成立,或者说奇解对应的曲线上每一个点至少有方程的两条积分曲线通过.,包络的定义:设在平面上有一条连续可微的曲线,.在曲线族q,,**,KCKCq中都有一条曲线通过点并在该点与相切,而且在VxyC,,0,，，，，，，,,q点的某一邻域内不同与,则称曲线为曲线族的一支包VxyC,,0,，，络.从奇解和包络的定义容易知道一阶微分方程的通解的包络(如果它存在的话)一定是奇解;反之,微分方程的奇解(若存在的话)也是微分方程的通解的包络.因而,为了求微分方程的奇解,可以先求出它的通解,然后求通解的包络.对于一阶微分方程,如果此方程有除了通解之外的奇解,则此奇解一定满足两个判别式,即P,判别式和C,判别式.1,,1定理:设函数F(x,y,p)对(x,y,p)G,是连续的,而且对y和p有连续的偏微'''Fxyy(,,)0,商和,若函数y= (x) (xJ),,是微分方程的一个奇解,并且FFyp 'x. (x). (x)G (xJ),,,,,则奇解y=(x)满足一个称之为P-判别式的联立方程，，'Fxyp(,,)0,py, , 其中. Fxyp,,0,，，p1,,'2Fxyy(,,)0,定理:设微分方程有通积分Vxyc(,,)0,又设积分曲线Vxyc(,,)0,y= (x),有包络为则奇解满足C,判别式的联y= (x) xJ,,，，'立方程 ,. Vxyc(,,)0,Vxyc(,,)0,c以上两个定理是奇解的必要条件,也就是说用C,判别式和P,判别式求出的解不一定是微分方程的解,如果是微分方程的解也不一定是奇解,但是在求一阶微分方程的奇解时通常都会采用这两个判别式.由中奇解部分的定理2和定理51,, 知,只要求解是微分方程的解,用P,判别式求出的解满足:',Fxyp(,,)0,y, , ,''Fxyp(,,)0,,pp,用C-判别式求出的解满足非蜕化条件:'',,,CC,0,0,，，，，，，，，, , ,''VV,0,0,，，，，,xy,则此解就是奇解,既然C,判别式和P,判别式是求奇解的方法,那么是不是这两个判别式(C,判别式和P,判别式)对所有一阶微分方程求奇解都有效? 3(几个例子利用P,判别式和C,判别式对一些一阶微分方程进行求解的运算,看看会出现什么样的结果?2'yyx，,,0【例1】: 求的奇解，，'yp, 解: 令,利用P,判别式:2,pyx，,,0; ,20p,,yx,yx,消去P得,但不是微分方程的解, 所以原方程无奇解.我们可以发现利用P,判别式求出的解不一定是奇解.那么利用C,判别式所求出的解是不是一定是方程的奇解呢?我们接着看下一个例子.2,3'3,yy【例2】: 求的奇解. 535解:原方程的通解为:yxc,，，，C,判别式为:3,5yxc,，,0，，, ; ,23,3,xc，,0，，5,消去C得y=0,但不是方程的解,所以原方程无奇解. y=0以上两个例子充分说明了C,判别式和P,判别式是求奇解的必要条件.2xy'，，yyye,,1【例3】: 求微分方程的奇解. ，，，，解: 原方程的P,判别式为:2xy2,ypye,,,10，，, ; ,2210py,,，，,,消去P得 y=0易知是微分方程的解. y=0而且:',Fxyp(,,)10,,,y, ,''Fxyp(,,)20,,,pp,所以y=0是微分方程的奇解.1,,24'，，【例4】: 求. yyy,,1，，，，9解: 首先我们不难求出微分方程的通积分:22xcyy,,,,30 (),，，，，由C,判别式:22,xcyy,,,,30，，，，,(其中C为任意常数) ,,,,20xc，，,,确定二支连续可微的曲线y,0和y,3,对他们分别作如下形式的参数表示式:,y,0 :xc, ,,,,,c，，1,y,3 : xc, ,,,,,c，，2,容易验证满足相应的非蜕化条件: 1'',,,CC,0,0,，，，，，，，，,, ,''VV,0,0,，，，，,xy,,因此是积分曲线族的一支包络,从而它是微分方程的奇解. (),1,,而不满足相应的非蜕化条件,所以还不能断言是否为包络,不过我们22(),,可以利用简单的作图得知不是曲线族的包络,因此它不是奇解,虽然它是2 微分方程的解.从例3、例4两题中,可以发现,如果利用P,判别式来求奇解可以直接从方程出发,而如果要用C,判别式需要求出通解,但是无论用哪一判别式要使求得的解为奇解,则此解一定满足:用P,判别式时满足:',Fxyp(,,)0,y,; ,''Fxyp(,,)0,,pp,用C,判别式时满足:'',,,CC,0,0,，，，，，，，，,. ,''VV,0,0,，，，，,xy,对于一些微分方程既能用P,判别式又能用C,判别式求奇解,我们接着看一道例题.5,,2dydy,,，,,xy0【例5】: 求的奇解( ,,dxdx,,dy解: 法一:令,则P-判别式: ,pdx2,pxpy，,,0 ; ,20px，,,2xy,,消去P得. 42ycxc,，法二:方程的通解为C,判别式:2,ycxc,,,0 ; ,xc，,20,2x消去C得y,,,满足非蜕化条件: 4'',,,CC,2,20,0,,,，，，，，，，，，，, ,''VVc,,10,0,,,，，，，，，,x y,2xy,,所以是奇解. 4由例5知:既然某些一阶微分方程既可用P,判别式来求奇解又可用C,判别式求奇解.那么能否将P,判别式和C,判别式联合起来求奇解呢? 4(新判别法在我们的教材和资料中我们通常采用P,判别式和C,判别式来求一阶微分方程的奇解,然而对于某些问题,P,判别式和C,判别式这两种方法求奇解比较困难.因此还有其他方法来求奇解,这些新方法用起来比较方便,通过查阅资料和文献,人们对新解法研究的比较少,在此介绍三种新的解法,方便对一阶微分方程求奇解.4.1. C,P消去法9,,2348''【例6】: 求的奇解. xyyy,,,，，，，927'yp,解: 令P,判别式:48,23xypp,,,,,927; ,82,pp,,0，，,9,消去P得:4yx,及 yx,,27方程的通解为:23ycxc,,, ，，，，C,判别式:23,ycxc,,,,0，，，，,; ,2230ycxc,,,,，，，，,,44消去C得.则为奇解. yx,,yx,,2727例6中介绍了一种新方法, C,P消去法::联合P-判别式和C-判别式,从P,判别式得到解和从P,判定义,xy,0,，，中寻得公共单因式,令其为零,一般就是奇解. 别式得到解,xy,0,，，4,,yxyx,,，,0在例6中,由P,判别式得到,由C,判别式得到，，,,27,,444,它们的公共单因式为,令其为零,即. yx,,yx,，,0yx,，,02727272xpxpy，,,20【例7】: 求的奇解.2xpxpy，,,20解: 从和中消去P得:y=-x 220xpx，,2yxpxp,，2再求通解,将方程写成112dxdypdypxdppdxxdp,,，，，(222) ppdxdp,,即 2xp2()4ycxc,,通积分为:从2()4ycxc,,,,,2()4ycc和中消去C得:yx,, 及 x,0yx,,按C,P消去法知是奇解.就特殊方程:dy ,fxy,，，dx假设连续.给出以下两种特殊的求奇解的方法.即自然法和拾遗法. fxy,，，6,,4.2. 自然法,,,f定义:当点集L,不是孤立点集,而是有分支时,则 yx,,(,)|xy,,，，,,,y,, 可能是奇解. yx,,，，,fdydy对于当连续,则只要有界,就能保证的,fxy,fxy,,fxy,，，，，，，,ydxdx,f解存在唯一,所以当时,他就可能破坏了解的唯一性. ,，,,y'2,yy,,1【例8】: 求 (|y|1)的奇解.,,fy2fxyy,1,,, 解: ，，2,y1,y,f当y,,1时, ,，,,y所以可能破坏解的唯一性,它可能是奇解. y,,1验证: (1) 显然是方程的解. y,,1,, (2) 由分离变量法求得通解是:yxc,，sin() (),,，,xc22,在y,1上任取一点通解表达式中有解 x,1yxxxx,，,,,sin()cos()，，0002 'y,0通过点且其上导数 ,即此解与y,1相切,故y,1是奇解. x,1，，0同理:y,,1也是方程的奇解.7,,4.3. 拾遗法dy定义:当方程在求通积分的过程中,经常遇到分离变量,方程两边,fxy,，，dx 需要同时除以不含导数的因式,则令这个因式等于零,可能得到奇解.因为方程两边同时除以含有x、y的因式时,原方程可能遗失了解,当然有可能遗失了方程的奇解.2x,1【例9】: 求的奇解. xxdydx10,,,，，2解: 除以因式得: xx1,dx dy,2xx1,积分后得通解:xyc,，ln|| 211，,x2但令消去因子为零,即得; xx10,,x,0x,,1验证: (1) 它们都是方程的解;xlimln||,,,(2) 有 2x,011，,xxxlimln||limln||0,, 22xx,,11,，1111，,，,xx前者说明通解表达式中没有解与相交; x,0后者说明通解表达式中有解与.相交,且从方程本身看出交点上的斜率x,,1'y,,,都是因此得结论:是正常解,是奇解. x,0x,,15(结论以上五种是判定奇解的方法,都需验证所得曲线是否真是奇解,这个验证步骤有时比较麻烦,若C,判别式和P,判别式容易求得时,,xy,0,,xy,0,，，，，方法C,P 削去法常是可取的.从以上的几个例子中,在利用两个判别式求一阶微分方程的奇解时,会出现以下几种情况:(1) P,判别式和C,判别式均可用来求奇解;(2) P,判别式与C,判别式联合可求方程的奇解;(3) 当一阶微分方程的一阶导数的次数为一次时,P,判别式不可求奇解,但C,判别式未必失效;(4) 当一阶微分方程的通解中常数C的次数为一次时,C,判别式不可求奇解,并且导致P,判别式也不可求奇解,此时只能另找他法.参考文献丁同仁、李承志.常微分方程教程.高等教育出版社,1991年. 1M,,,,钱祥征.常微分方程解题方法.湖南科学技术出版社,1984年. 2M,,,,王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松.常微分方程.高等教育出版,1978年 .3M,,,,何永葱.关于常微分方程奇解判别的注记.内江师范高等专科学校学4J,,,,报,2000年第15卷第2期:1,3.路畅、智婕.一阶微分方程奇解的两个判别式.科学教育论坛,2005年第5J,,,,24期:207,211.张维琪.浅谈奇解的求法.吉安师专学报,1989年第6期:5,10. 6J,,,,谷丽彦.微分方程奇解的求法及存在性的条件.河北师范学院学,1993年7J,,,,第3期:27,31.曾庆健.一类常微分方程奇解的求法.安徽电子信息职业技术学院学报 8J,,,, 2004第5、6期第225页.张少霞.常微分方程奇解的讨论J.工科数,第13卷第4期,1997年8月:1339,,,,,136.。
常微分第三章第4节(奇解)
y cx f (c)
' x f ( p) 0 ' 如果 x f ( p) 0，则 y xp f ( p) 消去 p 得到方程的另一个解。
这里
c 是任意常数。
25
注意，求得此解的过程正好与从通解
y cx f (c)
可以验证，此解的确是通解 中求包络的过程一样。 的包络。
注1：包络一定包含在 c-判别曲线中。 注2：c-判别曲线不一定为包络。
2 充分但不必要。 2 x y 0
15
C 判别曲线法求方程奇解的一般步骤： （1）求出方程的通解（积分曲线族）； （2）求积分曲线族的 c 判别曲线；
（3）检验 c 判别曲线是否为包络，若是，则 为方程的奇解。
16
y 1
其中
容易求得原方程的通解为 y sin( x c)
c 为任意常数。而 y 1 是通解的包络。
所以此两直线都是方程的奇解。
22
例4
求方程
dy dy 2 y 2x ( ) 的奇解。 dx dx
y 2 xp p 2 解 从 2 x 2 p 0
消去
这是克莱罗方程，因而它的通解是 1 y cx c 1
27
y2 4x
O
图(3.5)
28
例6
求一曲线,使在其上每一点的切线截割坐
标轴而成的直角三角形的面积都等于2 。 y A
O 图(3.6)
B
x
29
依题意有ab 4，而
dy 2 dy 得 ( y x ) 4 dx dx
现在求曲线族的包络，亦即微分方程的奇解。
30
y 2c c 2 x 从 中消去 c 得微分方程的奇解 1 cx 0
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y
c0
从图形可以看到，有无数 条积分曲线过初始点。
0
1
2
x
例2：求方程 dy 2 1 y dx 的所有解。
§2.4 singularly solution
解：该方程有通解 y sin( x c) 此外还有两个特解y=1和y=-1
§2.4 singularly solution
y
x
§2.4 singularly solution
定义2.3 如果方程存在某一解，在它所对应 的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏， 则称此解为微分方程的奇解。奇解对应的积 分曲线称为奇积分曲线
§2.4 singularly solution
一 包络和奇解的定义 曲线族的包络：是指这样的曲线，它本身并不包
§2.4 singularly solution
例1
dy 2 y dx y (0) 0
解： 容易看到 y=0是解，并且满足给定的初始条件
由
得通解
dy dx 2 y y x c y ( x c )2 , xc
利用通解和特解可以构造解：
xc 0, y 2 ( x c ) , xc
注:并不是每个曲线族都有包络. 例如: 单参数曲线族:
§2.4 singularly solution
x y c
2 2
2
(其中c为参数)表示一族同心圆. 如图
从图形可见, 此曲线族没有包络.
二、不存在奇解的判别法
•假设方程(1.9)的右端函数
上有定义，如果
§2.4 singularly solution
x
o
§2.4 singularly solution
2 p-判别曲线
结论：方程 F ( x, y, y) 0 的奇解包含在下列方程组
F ( x, y , p ) 0 Fp ( x, y , p ) 0 消去 p 而得到的曲线中。
注意： p-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需 检验。
含在曲线族中，但过这条曲线上的每一点，有曲
线族中的一条曲线与其在此点相切。 奇解：在有些微分方程中，存在一条特殊的积分 曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但在 这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲 线族中的一条曲线与其在此点相切。这条特殊的 积分曲线所对应的解称为方程的奇解。 注：奇解上每一点都有方程的另一解存在。
§2.4 singularly solution
1 y ( x)( xy y ) 2 2 y
( y xy)2 4 y
y xy 2 y
这是克莱罗方程，因而其通解为
y xy 2 y
2 2 c c x y c1x 2 c1
而 y 1
是方程的解，且正好是通解的包络。
§2.4 singularly solution
例4 求方程 y 2 x 解： 从
dy dy dx dx
2
的奇解。
y 2 xp p 2 2 x 2 p 0
消去 p，得到 p-判别曲线 经检验， y x 2 不是方程的解，故此方程没有奇解。 注意： 以上两种方法，只提供求奇解的途径，所得p-判 别曲线和C-判别曲线是不是奇解，必需进行检验。
在区域 在D上连续且
在D上有界(或连续)，那么由本章定理2.2，方程的 任一解是唯一的，从而在D内一定不存在奇解。
• 如果存在唯一性定理条件不是在整个
有定义的区域D内成立，那么奇解只能存在于不满 足解的存在唯一性定理条件的区域上.进一步如果 再能表明在这样的区域上不存在方程的解，那么 我们也可以断定该方程无奇解。
§2.4 singularly solution
例2：判断下列方程 dy 2 2 (a) x y dx dy (b ) y x 2 dx 是否存在奇解
§2.4 singularly solution
dy f ( x, y ), dx
(1.9)
定理2.6 方程(1.9)的积分曲线族(C)的包络 线L是(1.9)的奇积分曲线。
1 y xc c
从
消去 c，得到奇解
y 2 4x
此方程的通解是直线族:
y
2 y 4 x. 而奇解是通解的包络:
1 y cx , c
§2.4 singularly solution
如图:
O
y 2 4x
x
§2.4 singularly solution
例6 求一曲线，使在其上每一点的切线截割坐标
o
x
x 2 cos2 y 2 sin 2 2xy sin cos p 2 x 2 sin 2 y 2 cos2 2xy sin cos 0
相加，得 x 2 y 2 p 2 ，经检验，其是所求包络线。
§2.4 singularly solution
§2.4 singularly solution
Φ x ( x(C), y(C), C) x (C) Φy ( x(C), y(C), C) y (C) 0
当 Φ 至少有一个不为零时 x ( x, y, C),Φy ( x, y, C) 有
Φ y(C ) x ( x(C ), y (C ), C ) , x(C ) Φ y ( x(C ), y (C ), C )
从
y 2c c 2 x 2 2cx 0
消去 c，得到奇解
xy 1
这是等腰双曲线，显然它就是满足要求的曲线。
§2.4 singularly solution
直线族及其包络线
§2.4 singularly solution
例7 求方程 x( y ') 2 yy ' 9 x 0 的解. 9 x xp 解 令 y ' p, y , 求导后整理得 2p 2
§2.4 singularly solution
dy 的奇解。 2 例3 求方程 y 1 0 dx 解： 从 p2 y2 1 0 2 p 0
消去 p，得到 p-判别曲线
2
y 1
经检验，它们是方程的奇解。 因为易求得原方程的通解为
y sin(x c)
证明： 应用定理2.1积分曲线与线素场的 关系的充要条件
§2.4 singularly solution
三 求奇解（包络线）的方法
C-判别曲线法 P-判别曲线法
设一阶方程 F ( x, y, y) 0 的通积分为 Φ( x, y, C ) 0。 1 C-判别曲线法 结论：通积分作为曲线族的包络线（奇解）包含在下 列方程组
或
Φ x(C ) y ( x(C ), y (C ), C ) , y(C ) Φ x ( x(C ), y (C ), C )
这表明曲线 L 在其上每一点 (x(C), y(C) ) 处均与曲线族
中对应于C的曲线Φ( x, y, C ) 0 相切。
注意： C-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需 检验。
§2.4 singularly solution
3 克莱罗方程 形式
y xp f ( p)
dy , f ( p ) 是 p 的连续函数。 其中 p dx 解法 p p xp f ( p) p
( x f ( p)) p 0
p 0
pc
通解 奇解
y cx f (c)
Φ ( x, y, C ) 0 ( x, y , C ) 0 ΦC
消去 C 而得到的曲线中。
§2.4 singularly solution
设由
Φ ( x, y, C ) 0 ( x, y , C ) 0 ΦC
能确定出曲线为
Байду номын сангаас
L : x x(C ), y y(C )
利用Maple可以得到这个方程的解曲线如下: 注意:y=3x和y=-3x是非常特殊的解, 其它解与这两条直线相切. restart: with(plots): for j from -5 to -1 do plot(j*x^2/2+9/2/j,x=-3..3,y=-10..10): y[j]:=%: end do: for j from 1 to 5 do plot(j*x^2/2+9/2/j,x=-3..3,y=-10..10): y[j]:=%: end do: plot(3*x, x=-3..3,y=-10..10, color=black): yy:=%: plot(-3*x, x=-3..3,y=-10..10, color=black): yyy:=%: display(y[1],y[2],y[3],y[4],y[5],y[-1],y[-2],y[-3],y[-4],y[-5],yy,yyy);
3
2 得 ( x c) [( x c) ] 0 3 yx 从 x c 0 得到 2 2 从 ( x c ) 0 得到 y x 9 3
2 9 是所求包络线。
检验， y x
§2.4 singularly solution
y
yx
2 y x 9
x f ( p) y f ( p) p ( p)
§2.4 singularly solution
结果: Clairaut方程
dy yx dx
的通解 y cx f (c) 是一直线族, 此直线族的包络
dy f dx
x f ' ( p) 0 y xp f ( p)
或
x f ' (c) 0 y xc f (c)