无限深方阱之争

当比值 a 很大（或n很大）向经典趋近时， Landau 解将逐渐演变为Pauli 解。这充分说明 Pauli 解是对大阱宽、高激发态时的近似解。
显然，指数上的量±πnh/2a 也不是严格的物理动量（特别 当a或n较小时）。
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四，设想实验的佐证
一块无穷大并足够厚的 z 平板，取厚度方向为z轴，板 上沿y方向开一条无限长的缝， x 沿x轴的缝宽为2a。电子束由 板的下方入射。分离掉电子 在y和z方向的自由运动，单 e 就电子在x方向运动而言， 便是一个（沿x方向）无限深方阱问题。在板上方放一接收 电子的探测屏，观察狭缝穿出的电子在此探测屏上沿x方向 的偏转，偏转大小将和电子在x方向的动量 px 数值有关。由 此知：
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三，矛盾分析与结论
按量子力学基本原理，波函数、动量算符及Schrödinger方程都应当定义在整 个（空间）实轴上，而不是只定义在（有限空间的）势阱内。事实上，
正确的边界条件应当是 而不是
ψ(x)＝0(|x|≥a)； ψ(x)＝0(|x|=a)。
如果相反，认为边界条件可以用后者，并认为物理量算符可以“只”定义在 势阱|x|<a 内，这不仅会给量子力学基本原理解释以及很多算符（比如，动量算符 及相关的动能算符、轨道角动量算符等）的厄密性、完备性带来许多不必要的混 乱和麻烦，理论上很不合适；而且给动量波函数解带来了歧义——结果有两种！
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ndau做法（*）：将上面定义在全实轴上的基态坐标波函数作富 里叶积分变换，便得到无限深方阱中粒子的动量波函数φ 1(p)：
px px i i 1 1 1 1 p dxe x dxe sin x a 1 2 2 a a 2a 代入ψ 1(x)表达式，注意阱外ψ 1(x)为零，即得阱中粒子动量几率连续分布 a

a cos2
a p 1 1 2 2 2 a p a p 2 a p 2 2
2 a p 2 a p sin sin 1 2 2 2 4 p a p 2 a p 2 2 4p
[附录] 当 时，Landau结果趋近于Pauli结果 证：利用 -函数的一个表达式：
a
由Landau结果出发(注意最后极限时
1 p
2
sin 2 x x lim x 2
p

2a
)：
a cos2
a p 2 2 2 a p 2 2
h2 d 2 ( x) E ( x), x a 2 2 m dx ( x) 0, x a
Schrödinger方程应当定义在整个 x 轴上，分为三个区域 ： 第 I 和 III 区 V(x)=+∞。为使方程成立，这两区中的波 函数ψ(x) 必须是零——即有边界条件ψ(x)＝0 (|x|≥a) ； 于是，求解坐标波函数只需对第 II 区进行。 有时这种边界条件被简单地写为ψ(x)＝0 (|x|=a)。这时对 阱外情况未作规定，提法是含混的。矛盾根源即生于此处：
问题的关键是： 不象坐标波函数是定域的， 动量波函数是非定域的！
边界条件的两种不同提法，对求解阱内坐标波函数没甚么影响，因为阱内坐标 波函数是定域解； 但对求解阱内粒子的动量波函数却有影响。因为动量波函
数是非定域的： 阱内动量波函数分布不仅依赖于阱内坐标波函数的形 状，而且依赖于阱外坐标波函数的形状。换句话说，它还取 决于对阱外坐标波函数的处理——坐标波函数边界条件的正 确拟定。
（“科学与假设” 科学出版社，1989年，第63、65页）。
按照他对几何学的深刻认识，我们也可以说：
V = ∞ 不是真实的，但是有用的。
从思想方法来说，全部困惑的根源正在此处：将势垒V = ∞这件 事看成是物理真实的了。对它过度的执着干扰了我们对实际物理 问题的认识，并且带来许多不必要的困惑和烦恼。 所以，每当遇到由数学简单化带来问题的时候，注重物理、 返回自然界的物理真实，再行观察。记住这点有时是很重要的。 12
“中国数学家挑战物理学 量子力学逻辑自相矛盾”
—— 择自 “文汇报” 1997 年 12 月 10 日 ， 头版重要通讯报 导。
以及不少文章、著作对量子力学的否定或曲解。
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一，无限深方阱模型及基态动量波函数
1）无限深方阱模型
写出相应的一维Schrödinger方程，
0, x a V x , x a
两种结果很不同！ 究竟那2 2 2 ap 2 1 p , p 2 2
或者，两个都对？
两个都错？
按几年来文献讨论情况，几种观点全有表述，分歧明显、争论热烈‡。
*Л .Д .朗道，E.M.栗弗席茨，《非相对论量子力学》（俄文第一版是1947年）；也见 E.费米 于1954年所写的《量子力学手稿》。 ‡ 部分文章：国内自1983.6开始。《一维无限深势阱内粒子的动量分布》有两篇文章，<大学物 理>1994，7；《关于同一问题的不同解法》；《编者的话》；《谈谈量子力学中的动量算 符》；《也谈正则动量算符之争》；《编者的话》； 《也谈一维无限深势阱内粒子（基态）的 动量概率分布》，1998，7； 《关于量子力学基础的一个质疑》，光子学报，1997，9；《也谈 量子力学的基础》，光子学报，1998，4；„„。
坐标波函数边条件这两种不同的提法，不影响求 解阱内坐标波函数，但却影响阱内粒子的动量波函 数！
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阱中粒子能级和波函数为
将正弦波函数ψn(x)用复指数来表示，并近似地配以因子exp(iEnt/h)，可得
1 n x, t 2i a
i n x a i n x a En t En t 2a 2a e e , 0,
这是最简单的势阱束缚态模型，是一种近似数学模型：势 能不可能真为无限大，也不会严格的阶跃。此模型的动量波函 数先由Pauli，后由Landau等人给出了不同的结果。此后，这个 模型动量波函数及其衍生问题先在国外少数非主流科学家中有 过讨论，接着引入国内，近数年有过不大不小的争论，并还导 致严重误解：
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Pauli 错误处理了阱外坐标波函数：由于并不影响阱 内坐标波函数求解，含糊的“两端点为零”边界条件被下 意识地推广为“周期零点”边界条件，得到了坐标波函数 的周期解。 Pauli解正是此周期解的动量分布——这等于 将阱内坐标波函数向全实轴作了周期性延拓。此周期解的 阱外部分显然不符合现在阱外要求，其动量分布当然也就 不符合阱内现在问题。 可证（见后面附录）：
a p a p 1 p p
2 2 2 2a 2a
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1 p
2
1 1 p p 2 2a 2 2a
这表明，阱中动量谱是两个（此式实际对应全实轴相向运动 的）单色de Broglie波叠加而成的驻波。
*W. Pauli:《Handbuch der Physik》, eds. by H. Geiger and K. Scheel, Vol.24/1, Springer, Berlin, 1933。 中译本《波动力学（第五卷）》。 他于1956-1958年在苏黎世联邦工业大学物理学位课程的两次授课中，依 然如此讲法。这种讲法也见L.N.Cooper,《物理世界（上、下）》，第 184页，杨基方等译，海洋出版社，1984。
*也见Fermi 于1954年所写的《量子力学讲稿》，罗吉庭译，西交大
出版社，1984， p.60-61。
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2）两种基态动量波函数表达式
由于坐标波函数边界条件设定的分歧，Landau 和Pauli 等人给出了不同结果，混乱由此引发。 Pauli等人求解（*）无限深方阱中处于基态的粒子的 动量波函数φ 1(p)时，直接采用前面ψ n(x)两个“单色波” 中的（n=1基态的）两个“动量”。由此， Pauli 认为,
n 2 2 2 En , n 1,2,3 8ma 2 1 n sin x a , x a n x a 2a 0, x a
x a x a
由此，仅就阱内来说，阱中粒子波函数是两个反向传播的de Broglie行波叠加而成的驻波，在边界处多次反射相干叠加， 类似于两端固定的一段弦振动。但这种说法虽然形象却是近 似的！ 因为这两个行波仅仅存在于有限区间[-a, a]内，并不 严格单色。有限长度光波波列不会是严格单色波*。
如a 值较小，必定是一个单缝衍射分布。
只当a值较大向宏观过渡时，分布才逐渐过渡到两条（平行y 轴的）细线。
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五，问题的根源
无限深阱问题只是个模型而已。此模型中用到势的突变和无 穷高势垒等假设。其实，物理学中许多常用的数学和物理概念， 如：质点、无头无尾巴的平面波、其小无内的点、其大无外的 ∞，等等，都只是一些人为抽象出来的、理想化的、绝对化的概 念。虽然用起来时常是简便的，但其实它们在自然界中并不真实 存在，有时甚至还会惹出麻烦。 Henri Poincare 说：几何点其实是人的幻想。甚至说：“几 何学不是真实的，但是有用的。”
量子力学专题
无限深方阱中粒子动量 波函数的争论
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目 录
一，Pauli 和 Landau 的矛盾——“量子力学的 数学是错的”？！ 二，无限深方阱模型及基态动量波函数 1）无限深方阱模型 2）两种基态动量波函数表达式 三，矛盾分析与结论 四，设想实验的佐证 五，问题的根源 [附录]
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一， Pauli 和 Landau 的矛盾—— “量子力学的数学是错的”？ ！