量子力学-无限深势井
一维对称无限深方势阱的波函数表达式
一维对称无限深方势阱的波函数表达式在量子力学中，一维对称无限深方势阱是一种经典的势阱模型，它在研究粒子在受限空间内的运动和能级结构等方面有很好的应用。
对于一维对称无限深方势阱来说，波函数的表达式是非常重要的，它可以帮助我们理解粒子在势阱内的行为以及计算其能级。
1. 势阱模型的基本假设一维对称无限深方势阱模型假设了以下几点：势阱的宽度为a，势阱内部的势能为0，而在势阱外部势能为无穷大，这意味着粒子在势阱内运动自由，在势阱外不能存在。
这是一个理想化的模型，但对于研究粒子在受限空间内的行为却是非常有用的。
2. 薛定谔方程的求解根据薛定谔方程，我们可以求解一维对称无限深方势阱中的波函数。
薛定谔方程的一般形式为：-ħ²/2m * d²Ψ/dx² + V(x)Ψ = EΨ其中，ħ是普朗克常数，m是粒子的质量，V(x)是势能函数，Ψ是波函数，E是能量。
对于无限深方势阱来说，势能函数V(x)在势阱内为0，在势阱外为无穷大，因此薛定谔方程可以简化为：-ħ²/2m * d²Ψ/dx² = EΨ4. 波函数的边界条件在一维对称无限深方势阱中，波函数的边界条件非常明确，因为势能在势阱外为无穷大，粒子无法透过势垒逃逸出去，故波函数在势阱外为0。
而在势阱内部，波函数要满足Ψ(0) = Ψ(a) = 0，这是因为势阱的边界为0。
5. 波函数的表达式根据边界条件，我们可以求解出一维对称无限深方势阱中的波函数表达式。
在势阱内部，波函数的一般形式为：Ψ(x) = Asin(kx) + Bcos(kx)其中，A和B是待定系数，k是波数，根据波函数的边界条件，我们可以求解出波函数的具体形式。
在势阱内部，波函数的波数k为：k = sqrt(2mE) / ħ对于一维对称无限深方势阱，能级是分立的，即E = n²π²ħ² / (2ma²)，其中n为正整数。
量子力学2.6一维无限深势阱
2008.5
Quantum Mechanics
a、偶宇称态 由于这里内外解
(
2 (x)
x)和 '(
~ cos kx
x)在 | x | a
| x | a 2
处是连续的，
2
更方便的方法是取 ' 连续或 (ln )' 连续。
因此在x
a 处，有 2
ln(cos
kx)
' x a
2
ln(
ex
)
' x
a
，得
2
k tan ka
2
（5）
在x a 处，结果同上。 2
2008.5
Quantum Mechanics
令 则(5)式化为
ka， a
2
2
tan
（6）
（7）
由
2m(V0
E)
,
k
2mE
有
2mV0 2k 2
再利用(6)式,有
2
2
mV0 a 2 2 2
2008.5
(8)
2008.5
Quantum Mechanics
写出分区定态方程 在阱外(经典禁介区)
d2 dx 2
1
2m 2
(V0
E ) 1
0
(1)
令
方程(1)变为
其解为
2m(V0 E)
(2)
1'' 21 0
1 ~ ex
都是方程的解？
2008.5
Quantum Mechanics
考虑到束缚态边界条件：| x | 时 0，有
2008.5
Quantum Mechanics
量子力学中的无限深势阱问题
量子力学中的无限深势阱问题量子力学是描述微观世界的物理学理论，它在解释和预测微观粒子行为方面具有重要的作用。
其中，无限深势阱问题是量子力学中的一个经典问题，它帮助我们理解波函数的性质以及粒子在势场中的行为。
无限深势阱问题是指一个粒子被限制在一个势能在某个区域内为无限大，在区域外为零的势场中运动。
这个问题可以用一维的情况来描述，假设势阱的宽度为L，那么势阱内的势能函数可以表示为：V(x) = 0, 0 < x < LV(x) = ∞, x < 0 或者 x > L在经典力学中，粒子在势场中的运动是由牛顿第二定律描述的，而在量子力学中，粒子的运动状态由波函数来描述。
波函数是量子力学中的基本概念，它是一个复数函数，可以用来描述粒子的位置和动量。
对于无限深势阱问题，我们可以使用定态薛定谔方程来求解。
定态薛定谔方程可以表示为：-ħ²/2m * d²ψ(x)/dx² + V(x)ψ(x) = Eψ(x)其中ħ是普朗克常数的约化形式，m是粒子的质量，E是粒子的能量，ψ(x)是粒子的波函数。
在势阱内部，势能V(x)为零，因此定态薛定谔方程可以简化为：-ħ²/2m * d²ψ(x)/dx² = Eψ(x)这是一个简化的定态薛定谔方程，可以通过求解这个方程来得到粒子在势阱内部的波函数。
根据边界条件，当x=0或者x=L时，势能V(x)为无穷大，因此波函数必须为零。
这意味着在势阱的两个边界处，波函数的值为零。
根据上述条件，我们可以得到波函数的一般形式为：ψ(x) = A * sin(kx)其中A是归一化常数，k是波数，可以通过边界条件来确定。
当x=0时，波函数为零，因此有sin(0) = 0，这意味着kx = 0，即k = 0。
当x=L时，波函数为零，因此有sin(kL) = 0，这意味着kL = nπ，其中n是一个整数。
通过边界条件，我们可以得到k的取值为：k = nπ/L由于波函数必须是归一化的，我们可以通过归一化条件来确定归一化常数A。
量子力学-无限深势井
当粒子在势场U(x,y,z) 中运动时，其定态Schrö dinger 方程为：
令 ψ(x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) E = Ex + Ey + Ez 于是S-方程化为三个常微分方程：
一维运动就是指在某 一方向上的运动。
4
第二章
（二）一维无限深势阱
0, U ( x) | x | a | x | a
n 1,2,3,
（1）n = 1, 基态，
2 2 E1 8a
与经典粒子不同，粒子的最低能量不为零，这个最低能 量称为 “零点能”，这是量子效应，微观粒子具有波动 性的表现。从波的角度是可以理解的，因为“静止的波” 没有意义。
13
第二章 （2）n = 0 , E = 0, ψ = 0，态不存在，无意义。
1 A , a
能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类 推。 11
第二章
（三）宇称
（1）空间反射：空间矢量反向的操作。 r r (r , t ) ( r , t ) ( r , t ) (r , t ) （2）此时如果有： ( r , t ) (r , t ) 称波函数具有正宇称（或偶宇称）； ( r , t ) (r , t ) 称波函数具有负宇称（或奇宇称）； ( r , t ) (r , t ) （3）如果在空间反射下， 则波函数没有确定的宇称。
2 d 2 [ U 1 ( x )]X ( x ) E x X ( x ) 2 dx2 2 d 2 [ U 2 ( y )] ( y ) E yY ( y ) Y 2 dy2 [ d U 3 ( z )]Z ( z ) E z Z ( z ) 2 dz2
无限深方势阱的能量本征值方程
无限深方势阱的能量本征值方程
无限深方势阱是一个理论模型，用于描述粒子在一个无限深的势阱中运动的情况。
在量子力学中，我们可以使用能量本征值方程来计算粒子在这个势阱中可能存在的能量值。
能量本征值方程可以写为：
Ψ''(x) + (2m/h^2)(E - V(x))Ψ(x) = 0
其中，Ψ(x) 是波函数，表示粒子在位置x的概率幅。
Ψ''(x) 是波函数的二阶导数。
m 是粒子的质量。
h 是普朗克常数。
E 是粒子的能量。
V(x) 是势能函数，对于无限深方势阱，V(x) 在势阱内为0，在势阱外为无穷大。
解这个方程可以得到能量本征值E 对应的波函数Ψ(x)。
根据量子力学的原理，粒子的能量只能取离散的值，而这些离散的能量值就是能级。
对于无限深方势阱，能级可以表示为：
E_n = (n^2 * h^2)/(8mL^2)
其中，n 是一个正整数，表示能级的序号，L 是势阱的宽度。
这个能级公式告诉我们，粒子在无限深方势阱中的能量是离散的，并且随着能级的增加而增加。
每个能级上存在一个对应的波函数，描述了粒子在势阱内的行为。
需要注意的是，虽然能级是离散的，但是在每个能级中，波函数可以取到不同的形态，表示粒子在势阱内的不同状态。
这些波函数可以通过数学计算得到，并用于描述粒子的运动和性质。
5.2 无限深球方势阱
J
l
1 2
()
()
) 2
nl ( ) ( 1)
π 2
J
(l
1
（12）
5.2 无限深球方势阱
量子力学教程(第二版)
球方势阱内的解应取为
R ( r ) j ( kr )
l l
式中k由边条件（10）确定，即
粒子的能量本征值为
（13）
jl ( ka) 0
2 2
（14）
ka (nr 1) π,
EE π ( nr 1)
2 2 2
解得 sin ka 0, 即
nr 0,1, 2,
, nr 0,1, 2, ...
（6）
（7）
代入（5）式,得出粒子能量本征值
nr 0
2m a
2
相应的归一化波函数可表示为
(r )
n 0
r
(n sin a 2
2rrrnneena??????相应的归一化波函数可表示为012rsin0rrnnrraaa???????????786解得sin0ka?1012rrkann????解得即sinrkr?再利用边界条件3b量子力学教程第二版52无限深球方势阱?其次考虑l0情况此时径向方程为2dd2llrrrr??222100lllkrrradrrdrr???????????9边条件为kr0lra???10222dd21100d?d?lllrrllrl????????????????11此为球贝塞尔方程其两个特解可取为球贝塞尔函数12??2lljj???球诺伊曼函数112?1?2lllnj??????12则方程9变为引进无量纲变量量子力学教程第二版52无限深球方势阱球方势阱内的解应取为llrrjkr?13式中k由边条件10确定即0ljka?14粒子的能量本征值为220122rrnlnlrena??????15相应的能量本征函数表示为1211320r2rrrrdrrrrrrrrr?rr?nlnllnlnllnllnlanlnlnnrcjkrcjkajkaar?????????????????????16当a时为自由粒子
通过无限深势阱来理解量子力学非定域性
通过无限深势阱来理解量子力学非定域性一，最简单的量子力学体系——一维无限深势阱通过对量子力学的初步学习，很明显一维无限深势阱是最简单的量子力学体系。
通过对多种教材的了解，我认为周世勋先生的《量子力学教程》是中国物理学教材中的经典，我非常感激这本教材，是它把我带进了量子力学的大门。
该书概念性错误极少，但有两个小错误必须订正。
其一就是p.37中，有如下一句话，无限深势阱中的定态波函数“是由两个沿相反方向传播的平面波叠加而成的驻波”。
这句话错误的根源在于忽略了量子力学波函数具有非定域性。
很高兴看到国内越来越多的教材（例如曾谨言先生（第三版），张永德先生等），都不采用周世勋先生的讲法。
一维空间中的无限深势阱体系，无疑是最简单的量子力学体系。
任何理工科大学生都会首先学到它。
并且我们从近十年的量子力学考验真题中也发现这类题目很少有学生打不出来的！不过，只有聪明的学生能准确回答如下3个中等难度问题。
三个中等难度问题：1. 写出体系的位置算符，动量算符和哈密顿算符的定义域。
2. 体系的动量算符和哈密顿算符不对易的根源何在？3. 在经典物理和量子物理中，如何定义这个问题的空间？当然，不是每一位量子力学博士教授都能回答如下三个问题：4. 在某一状态上的动量分布可以取任意大的数值，是否意味作粒子的速度会超光速?5. 定态波函数是局域的(localized)吗?6. 定态波函数是非局域的(nonlocal)吗?二，问题的答案和量子力学非定域这六个问题的正确答案如下：1，位置算符，动量算符和哈密顿算符的定义域都是。
2，动量算符定义在全空间,而(全空间的)哈密顿算符包含有势能，这是这一势能导致了动量算符哈密顿算符不对易。
或者说，边界条件本身意味着势分布的不均匀。
3，数学上似乎可以有一种处理：处理为一个[0,a]空间中的问题，此时波函数只定义在这个空间，没有外部。
但是，在量子物理中，绝对不可以只把空间定义在[0,a]上，而必须定义为全空间。
量子力学中一维无限深势阱问题两种解题方法的比较
量子力学中一维无限深势阱问题两种解题方法的比较一维无限深势阱是量子力学中一个经典的问题，可以用两种方法进行求解：定态微扰论和定态井底近似。
1. 定态微扰论：定态微扰论是量子力学中解决简单势场问题常用的一种方法。
在无限深势阱问题中，可以将无穷深方势阱视为定态问题的微扰，将该势场加入到系统的哈密顿量中，然后使用微扰论进行求解。
定态微扰论的步骤如下：- 首先，将无限深方势阱问题的哈密顿量记为H0，并找到H0的本征函数和本征能量。
- 然后，将无穷深势阱视为微扰，将微扰项H'加入到哈密顿量。
- 使用微扰论的公式，展开本征函数和本征能量的泰勒级数，得到微扰的一阶修正项。
- 最后，将微扰项的一阶修正项加到H0的本征能量上，得到精确的能级修正。
2. 定态井底近似：定态井底近似是另一种求解一维无限深势阱问题的常用方法。
该方法的核心思想是将无穷深方势阱问题看作是薛定谔方程在势能井底附近的近似解。
定态井底近似的步骤如下：- 首先，将无限深方势阱的势能井底近似为一个宽度为a的矩阵势阱，且矩阵势阱的势垒高度为无穷大。
- 然后，将定态薛定谔方程在矩阵势阱内求解，得到在该势阱内的本征函数和本征能量。
- 最后，将势能井底趋于无穷深，即将势阱的势垒高度取极限使其趋于无穷大，此时得到的本征函数和本征能量就是无限深方势阱问题的精确解。
比较两种方法：- 定态微扰论适用于一般情况下的微扰问题，可以求得很多物理量的修正。
但是在计算过程中需要进行级数展开，需要考虑到每一阶的修正项，计算较为复杂。
- 定态井底近似是一种近似方法，适用于无穷深方势阱问题的求解。
它将无穷深方势阱问题转化为一个简单的矩阵势阱问题，简化了问题的求解过程。
- 在求解一维无限深势阱问题时，定态井底近似更加简单快速，能够直接得到问题的精确解。
而定态微扰论的应用范围更广，在求解一些复杂问题时更具有优势。
综上所述，定态井底近似适用于一维无限深势阱问题的精确解，而定态微扰论适用于更一般的微扰问题，并具有更广泛的应用范围。
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ψ (-a) = ψI(-a)=0；
ψ(a) = ψIII(a) = 0。
0, 0.
7
A sin x B cos x
第二章 （3）使用波函数标准条件 这三段的解必须在 x=±a 处衔接起来。在势能有无限大跳跃 的地方，衔接条件只有 本身的连续性。现在
A cosa B sina 0, A cosa B sina 0,
x
I C1e x
B2 e
x
I ( a ) l i mC1e a 0
从物理考虑，粒子不能透过无穷高的 势壁。
根据波函数的统计解释，要求在阱壁 上和阱壁 外波函数为零，特别是
所以 同理：
I 0 III 0
则解为：
I II III
V(x)
I
II
III
-a
l
0
a
l
l l
l
求解 Schrö dinger — 方程 分四步： （1）列出各势域的一维Schrö dinger—方程 （2）解方程 （3）使用波函数标准条件定解 （4）定归一化系数
5
第二章
（1）列出各势域的 S — 方程
2 2 d2 2 ( x ) 2 [U ( x ) E ] ( x ) 0 2 dx 2
2
势能U(x)分为三个区域， 用 I 、 II 和 III 表示， 其上的波函数 d2 ( x ) U ( x ) ( x ) E ( x ) 分别为 ψI(x),ψII(x) 和 ψIII (x)。 2 dx 则方程为：
d 2 I ( x ) 2 (U E ) I ( x ) 0 x a 2 dx d2 2 II ( x ) 2 E II ( x ) 0 a x a dx2 d2 2 III ( x ) 2 (U E ) III ( x ) 0 xa dx2
2
2 E 2
1 x ( x) A cos n . (偶宇称) 2 a
(2) A 0, sin a 0 所以， n 2 2 2 2 2 , 2 , 2n E n 2 2 a 2a 8a (n 1,2,3, ) nx ( x) B sin . （奇宇称） 9 a
A cosa 0, B sina 0.
(at x a ) (at x a )
因而，
有两种情形的解：
（1）
B 0, cosa 0, 所以，
8
1 (n ) 2 , a
2 2 2
第二章
(n 0,1,2,)
1 2 2 2n 1, E n 2 2 2a 2 8a
1 A , a
能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类 推。 11
第二章
（三）宇称
（1）空间反射：空间矢量反向的操作。 r r (r , t ) ( r , t ) ( r , t ) (r , t ) （2）此时如果有： ( r , t ) (r , t ) 称波函数具有正宇称（或偶宇称）； ( r , t ) (r , t ) 称波函数具有负宇称（或奇宇称）； ( r , t ) (r , t ) （3）如果在空间反射下， 则波函数没有确定的宇称。
n 1,2,3,
（1）n = 1, 基态，
2 2 E1 8a
与经典粒子不同，粒子的最低能量不为零，这个最低能 量称为 “零点能”，这是量子效应，微观粒子具有波动 性的表现。从波的角度是可以理解的，因为“静止的波” 没有意义。
13
第二章 （2）n = 0 , E = 0, ψ = 0，态不存在，无意义。
1
第二章
一维定态问题
§6 §7 §8
l
一维无限深势阱 一维线性谐振子 一维势散射问题
l
l l
l
在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 Schrödinger 方程来处理一类简单的问题—— 一维 定态问题。其意义： （1）有助于具体理解已学过的基本原理； （2）有助于进一步阐明其他基本原理； （3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细 致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问题 中展现出来； （4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。
x
I
2 2
I
0 0 0
II
II
1.单值，成立； 2.有限：当x - ∞ ， 有限条件要求 C2=0。
2
2 (U E ) 2
III
2
x
III
I II III
C1e
C 2e
A s i nx B cosx B1e
d2 2 方程可简化为： dx d2 dx 2 d2 2 dx
I
2 2
I
0 0 0
2 I -a
V(x)
II
II
II 0 a
III
6
III
2
III
第二章 (2) 解方程
d2 dx 2 d2 dx 2 d2 dx 2
而n = ± k, k=1,2,...
k k n k A s i n 2a x A s i n 2a x k k x A cos x k A cos n 2a 2a
可见，n取负整数与正整数描写同一状态。
14
2 2
当粒子在势场U(x,y,z) 中运动时，其定态Schrö dinger 方程为：
令 ψ(x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) E = Ex + Ey + Ez 于是S-方程化为三个常微分方程：
一维运动就是指在某 一方向上的运动。
4
第二章
（二）一维无限深势阱
0, U ( x) | x | a | x | a
12
（四）讨论
0 1 n n sin x 2a a 1 n co s x 2a a 其能量本征值为： En n 2 2 2 8a
一维无限深 第二章 势阱中粒子 的状态
| x | a; n even, n o d d, | x | a; | x | a.
10
第二章 二者合起来可写为：
n n , 2a
(n 1,2,3,)
n n ( x) A sin ( x a). 2a
2
2 2 2 En 2 n , 8a
（4）由归一化条件定系数
a
a
| ( x) | dx 1
所以，
1 n sin ( x a ). 最后，波函数是： n ( x ) 2a a
第二章
第二章 波函数和薛定谔方程
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7 §8 波函数的统计解释 态叠加原理 Schrö dinger 方程 粒子流密度和粒子数守恒定律 定态Schrö dinger方程 一维无限深势阱 线性谐振子 势垒贯穿(一维势散射问题)
Luo Yilin Department of Physics, STU March, 2012 Email: ylluo@
2
第二章
§6
l
一维无限深势阱
l
l l
（一）一维运动 （二）一维无限深势阱 （三）宇称 （四）讨论
3
第二章
（一） 一维运动
2 2 ˆ H [ U ( x, y, z )] ( x, y, z ) E ( x, y, z ) 2
此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成： U(x,y,z) = U1(x) + U2(y) + U3(z) 则 S-方程可在直角坐标系中分离变量。
第二章 综合 I 、II 结果，最后得： n 2 2 2 En 8a 2
n
I
IIIຫໍສະໝຸດ 0 n 0的偶数II
n A sin x 2a
III
I
0 n奇数。
II
n A cos x 2a
对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限 远处，ψ = 0 。这样的状态，称为束缚态。一维有限运动 能量本征值是分立能级，组成分立谱。(粒子能量取值是分 立的,能级组成分立谱，即能量是量子化的。)