一维无限深势阱的能量
量子力学2.6一维无限深势阱
2008.5
Quantum Mechanics
a、偶宇称态 由于这里内外解
(
2 (x)
x)和 '(
~ cos kx
x)在 | x | a
| x | a 2
处是连续的，
2
更方便的方法是取 ' 连续或 (ln )' 连续。
因此在x
a 处，有 2
ln(cos
kx)
' x a
2
ln(
ex
)
' x
a
，得
2
k tan ka
2
（5）
在x a 处，结果同上。 2
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Quantum Mechanics
令 则(5)式化为
ka， a
2
2
tan
（6）
（7）
由
2m(V0
E)
,
k
2mE
有
2mV0 2k 2
再利用(6)式,有
2
2
mV0 a 2 2 2
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(8)
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Quantum Mechanics
写出分区定态方程 在阱外(经典禁介区)
d2 dx 2
1
2m 2
(V0
E ) 1
0
(1)
令
方程(1)变为
其解为
2m(V0 E)
(2)
1'' 21 0
1 ~ ex
都是方程的解？
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考虑到束缚态边界条件：| x | 时 0，有
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Quantum Mechanics
一维无限深势阱的能量
一维无限深方势阱的能量班级：姓名：学号：一维无限深方势阱的能量一、 引言：222220202()d E x d m dx d U x E x d ψ⎧-ψ=ψ<<⎪⎪⎨⎪-ψ+=ψ≥⎪ （1） （2）9/10m-020406080100120140160文案编辑词条B 添加义项?文案，原指放书的桌子，后来指在桌子上写字的人。
现在指的是公司或企业中从事文字工作的职位，就是以文字来表现已经制定的创意策略。
文案它不同于设计师用画面或其他手段的表现手法，它是一个与广告创意先后相继的表现的过程、发展的过程、深化的过程，多存在于广告公司，企业宣传，新闻策划等。
基本信息中文名称文案外文名称Copy目录1发展历程2主要工作3分类构成4基本要求5工作范围6文案写法7实际应用折叠编辑本段发展历程汉字"文案"(wén àn)是指古代官衙中掌管档案、负责起草文书的幕友,亦指官署中的公文、书信等;在现代，文案的称呼主要用在商业领域，其意义与中国古代所说的文案是有区别的。
在中国古代，文案亦作" 文按"。
公文案卷。
《北堂书钞》卷六八引《汉杂事》:"先是公府掾多不视事，但以文案为务。
"《晋书·桓温传》:"机务不可停废，常行文按宜为限日。
" 唐戴叔伦《答崔载华》诗:"文案日成堆，愁眉拽不开。
"《资治通鉴·晋孝武帝太元十四年》:"诸曹皆得良吏以掌文按。
"《花月痕》第五一回:" 荷生觉得自己是替他掌文案。
"旧时衙门里草拟文牍、掌管档案的幕僚，其地位比一般属吏高。
《老残游记》第四回:"像你老这样抚台央出文案老爷来请进去谈谈，这面子有多大!"夏衍《秋瑾传》序幕:"将这阮财富带回衙门去，要文案给他补一份状子。
"文案音译文案英文:copywriter、copy、copywriting文案拼音:wén àn现代文案的概念:文案来源于广告行业，是"广告文案"的简称，由copy writer翻译而来。
一维无限深势阱
n*dx
=
a −a
A sin ⎢⎣⎡
nπ 2a
(x
+
a)⎥⎦⎤dx
= aA2 = 1
A= 1 a
ψn =
1 a
sin
⎡ ⎢⎣
nπ 2a
(
x
+
a)⎥⎦⎤
ψ
n
( x, t )
=
ψ
− i Et
ne h
=
1 a
sin
⎡ ⎢⎣
nπ 2a
(x
+
a)⎥⎦⎤
⋅
−i
eh
Et
En
=
n2π 2h 2 8μA2
ΔEn
=
En +1
§2.6 一维无限深势阱 （1） 序
一维运动 相互作用用势函数 U 表示
势场
⎧散射场 ⎩⎨束缚态
势垒
方形势阱
⎧方形势阱 ⎪⎪谐振子势阱 ⎪⎨δ 阱 ⎪⎩周期阱
一维无限深势阱，图 2.1 所示
Fig 2.1 一维无限深势阱
（2） 一维无限深势阱 在一维空间中运动的粒子，粒子在一定区域内（x=-a 到 x=a）为零，而在此区域外，势能为无
a −a
⎢⎣⎡cos
n
+ n′ 2a
(
x
+
a)
−
cos
n
− n′ 2a
(
x
+
a)⎥⎦⎤
dx
=0
——此即为波函数的正交条件。
8．波函数可视为两波波函数的迭加
ψ = c e + c e i h
(
nπh 2a
−
Ent
)
−
19.8一维无限深势阱
( x 0, x a)
2 nπ sin x , (0 x a) a a
19.8 一维无限深势阱
概率密度
2 2 nπ ( x) sin x a a
2
能量
h En n 2 8ma
2
2
讨论：
19.8 一维无限深势阱
(1) 粒子能量量子化 能 量
2 h En n 2 2 8ma
Ep
o
a
a
x
2
dx dx 1
* 0
nπ xdx 1 a
2 A a
19.8 一维无限深势阱
2 nπ ( x) sin x , (0 x a ) a a
波动方程 波函数
0,
d 2 8 π 2 mE 0 2 2 dx h
( x)
nπ k , n 1, 2, 3, a
8π mE k h2
2
o
a
x
量子数
2 2
h En 2 8ma
19.8 一维无限深势阱
( x) A sin kx
nπ k , n 1, 2, 3, a nπ ( x) A sin x a
归一化条件
2 a 2 A sin 0
2 nπ sin x a a
概率密度
2 2 nπ ( x) sin ( x) a a
2
例如,当 n =1时,粒子在 x = a /2处出现的 概率最大
19.8 一维无限深势阱
(3) 波函数为驻波形式,阱壁处为波节,波腹 的个数与量子数 n 相等
( x ) A sin
n4
n
nπ x a
一维无限深势阱
A e ikx B e ikx , ( x ) F e k3 x G e k3 x , C e ikx ,
2 2
x0 0 xa xa
(k k3 ) sh k3a B 2 , 2 A (k k3 ) shk3a 2ikk3chk3a
1 x x 1 x x shx (e e ), chx (e e ). 2 2
ik1 x
2
x0 0 xa xa
2 Beik x B e ik x
ik1 x 3 Ce C e (C 0) ik1 x
这里 k1 因子
ikx e 波数为K的平面波， 则是向左运动的平面波。在I、II两
x 0,
2mE ，k 2 2m( E V0 ) 。考虑到时间 ikx iEt / i t ，因此 代表向右运动的 e e
2
1 2
所以几率密度与 (1
2
/a )
2
1 2
成比例。
一、方势垒
1.方势垒是：
§3.3势垒贯穿 U(x)
U0
x 0 or 0, U ( x) U 0 0 0 x a
xa
0 a x
其特点是： (1)对于势阱，波函数在无穷远处趋于零，能谱是分立的。但 对于势垒，波函数在无穷远处不为零。下面将看到，粒子能量 可取任意值。 (2)按照经典力学观点，若E<U0 ,则粒子不能进入势垒,在x=0处 全被弹回；若 E> U0, 则粒子将穿过势垒运动。 但从量子力学的观点，由于粒子的波动性，此问题将与波 透过一层介质相似，总有一部分波穿过势垒，而有一部分波被 反射回去。因此，讨论的重点是反射和透射系数。
一维无限深方势阱中的能量本征态
一维无限深方势阱中的能量本征态1. 引言在量子力学中，一维无限深方势阱是一个经典的问题。
研究一维无限深方势阱中的能量本征态，可以帮助我们更好地理解量子力学中的基本概念和原理。
通过对这一问题的深入探讨，我们可以揭示能量本征态的性质、数学描述以及物理意义，从而为我们理解更为复杂系统的量子行为奠定基础。
2. 能量本征态的概念能量本征态是指在某一势场中，系统的波函数满足薛定谔方程，并且具有确定的能量值。
在一维无限深方势阱中，系统的势能在有限区间内为无穷大，而在无限远处为零。
在区间内，粒子的动能足够克服势能，所以能量本征态中的波函数不为零，在无穷远处趋于零。
3. 数学描述对于一维无限深方势阱，我们可以通过薛定谔方程来描述能量本征态。
薛定谔方程可以写作：\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \] 其中 \( E \) 为能量本征值，\( \psi(x) \) 为能量本征态的波函数，\( m \) 为粒子的质量，\( \hbar \) 为约化普朗克常数。
在一维无限深方势阱中，我们可以通过求解该薛定谔方程得到能量本征态的波函数形式和能量值。
4. 能量本征态的求解与性质通过求解一维无限深方势阱中的薛定谔方程，我们可以得到一系列的能量本征态。
这些能量本征态之间呈现离散的能级，且能级间隔相等。
这一性质恰好符合了量子力学中的能量量子化条件，从而验证了能量本征态的物理意义。
5. 主题文字的再次提及通过以上对能量本征态的深入讨论，我们可以看到，一维无限深方势阱中的能量本征态不仅是一个重要的量子力学问题，更是我们理解量子力学基本原理的重要工具之一。
能量本征态的性质和数学描述为我们提供了在量子力学中理解和描述复杂系统的基础。
6. 总结与回顾通过本文对一维无限深方势阱中的能量本征态的全面评估，我们不仅了解了能量本征态的基本概念和数学表达，更深入地理解了能量本征态的物理意义。
一维定态问题无限深方势阱
例如：一维无限深方势阱
粒子的位置是不确定的，取值在[0, a]之间。 但粒子的概率分布是确定的，是
u(x)
2
=
2 sin2 nπ a a 0
x, ,
0≤ x≤a x < 0,or, x > a
n = 1, 2,3,
所以，可以得到粒子位置的平均值 (假设粒子处在基态 n =1 态)：
Spherical coordinates
(r,θ ,ϕ )
x = r sinθ cosϕ y = r sinθ sinϕ z = r cosθ
r = x2 + y2 + z2
θ = arccos
z
x2 + y2 + z2
ϕ = arctan y
x
§2.5 力学量的平均值、算符表示—算符表示
角动量算符 Lˆ= r × pˆ 在球坐标系中的三个分量为
§2.5 力学量的平均值、算符表示—平均值
粒子在外场 V(r)中运动，体系的
定态薛定谔方程：
−
2
2m
∇2
+
V
(r)
u (r)=Eu (r)
求解该方程，可以得到体系的波函数和能量E。
例如：粒子束缚在一维无限深方势阱中
波函数 能量
u(x)
=
2 sin nπ x , a a,
0
En
=
π2 2
则V(r, t)的平均值为：
∫ ∫ +∞
= V (r,t) = V (r,t)ρ (r,t)dτ
+∞
ψ
*
(r
,
t
)V
(r
一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率
一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率在量子力学中，一维无限深势阱是一个经典的模型系统，用于研究粒子在受限空间内的性质和行为。
其中，粒子的能量是一个非常重要的物理量，其可能的测量值和相应的几率分布是量子力学中的基本课题之一。
在本文中，我们将深入探讨一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率，并从简到繁地进行全面评估，帮助读者更深入地理解这一主题。
1. 一维无限深势阱的基本概念在一维无限深势阱中，粒子被限制在一个无限深的势阱内运动，即在势阱内能量为负无穷，在势阱外能量为正无穷。
这样的势阱能够构建一个简单而理想化的量子力学模型，便于对粒子的性质进行研究。
2. 粒子在一维无限深势阱中的波函数和能量本征态根据量子力学的基本原理，粒子在一维无限深势阱中的波函数可以用薛定谔方程进行描述。
解出薛定谔方程后，可以得到粒子的能量本征态和对应的波函数表达式，这些能量本征态对应着粒子可能的能量。
3. 能量的可能测量值和相应的几率分布在量子力学中，能量的测量值是一个物理量的可能取值，其对应的几率分布描述了在测量中可能得到某个值的概率。
对于粒子在一维无限深势阱中的能量，我们可以通过对波函数进行归一化处理，得到能量的可能测量值和相应的几率分布。
这些可能的测量值和几率分布将帮助我们理解粒子在势阱内的能量分布规律。
4. 总结与回顾通过对一维无限深势阱粒子能量的可能测量值和相应的几率进行全面评估，我们可以更深入地理解量子力学中的基本概念和原理。
这也有助于我们在实际研究或应用中更灵活地处理粒子能量的测量和分布问题。
个人观点和理解：量子力学中的一维无限深势阱模型是一个简单而重要的系统，通过对其粒子能量的可能测量值和相应的几率进行深入研究，我们可以更好地理解量子世界中的奇妙规律。
对于我而言，通过撰写本文并深入思考这一主题，我对量子力学中的能量测量和分布问题有了更全面的认识，并且能够更好地应用于我的研究和工作中。
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