定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子
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量子力学2.6一维无限深势阱
2008.5
Quantum Mechanics
a、偶宇称态 由于这里内外解
(
2 (x)
x)和 '(
~ cos kx
x)在 | x | a
| x | a 2
处是连续的，
2
更方便的方法是取 ' 连续或 (ln )' 连续。
因此在x
a 处，有 2
ln(cos
kx)
' x a
2
ln(
ex
)
' x
a
，得
2
k tan ka
2
（5）
在x a 处，结果同上。 2
2008.5
Quantum Mechanics
令 则(5)式化为
ka， a
2
2
tan
（6）
（7）
由
2m(V0
E)
,
k
2mE
有
2mV0 2k 2
再利用(6)式,有
2
2
mV0 a 2 2 2
2008.5
(8)
2008.5
Quantum Mechanics
写出分区定态方程 在阱外(经典禁介区)
d2 dx 2
1
2m 2
(V0
E ) 1
0
(1)
令
方程(1)变为
其解为
2m(V0 E)
(2)
1'' 21 0
1 ~ ex
都是方程的解？
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考虑到束缚态边界条件：| x | 时 0，有
2008.5
Quantum Mechanics
量子力学(二)习题参考答案
2µ (U1 − E ) h2 2µ E h2
ψ 2 '' ( x) + k 2ψ 2 ( x ) = 0, k =
西华师大物理与电子信息学院
4
四川省精品课程——量子力学补充习题参考答案
ψ 3'' ( x) − β 2ψ 3 ( x) = 0, β =
其解分别为：
2µ (U 2 − E ) h2
ψ 1 ( x) = A1eα x + B1e −α x ψ 2 ( x) = C sin(kx + δ ) ψ 3 ( x ) = A2e β x + B2 e− β x
2
2
⑤
而透射系数
⑥
2） 、当 E＜U0 时，有ψ 2 '' ( x ) − k3 2ψ 2 ( x ) = 0 ， k3 = 其解为：ψ 2 ( x ) = Ce
− k3 x
+ De k3 x = Ce − k3 x （ψ 2 有限条件）
⑦
以下可以重复前面的求解过程。 不过， 为了简单我们亦可以在前面得到的结果⑤中做代 换 k2 ＝i k3 ，得到
由（18）式， （16） 、 （17）变成 或由 （19） 式， （16） 、 （17） 变成
（20）或（21）式就是讲义上习题 2．7 的结果。 a) 将 δ = 0 代入ψ 2 ( x) 中有：ψ 2 ( x) = C sin kx 由连续性条件：ψ 2 ( a) = ψ 3 ( a ) → C sin( ka ) = B2 e − β a
ψ m (ϕ ) =
除了 m=0 的态之外， E m 圴是二重简并的。 5、梯形式——— U ( x ) =
0, x < 0 U 0 , x > 0
清华大学物理-量子物理.第27章.薛定谔方程
第二十七章薛定谔方程§27.1 薛定谔方程§27.2 无限深方势阱中的粒子§27.3 势垒穿透§27.4 一维谐振子*§27.5 力学量算符§27.1 薛定谔方程薛定谔方程是决定粒子波函数演化的方程。
薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，在量子力学中的地位如同牛顿方程在经典力学中的地位。
和牛顿方程一样，薛定谔方程不能由其它的基本原理推导得到，是量子力学的一个基本的假设，其正确性也只能靠实验来检验。
▲薛定谔方程是线性的，满足解的叠加原理。
▲薛定谔方程关于时间是一阶的，经典波动方程关于时间是二阶的。
▲薛定谔方程是量子力学的一个“基本假定”，是非相对论形式的方程。
若和是方程的解，),(1t r Ψ ),(2t r Ψ 则也是方程的解。
),(),(2211t r Ψc t r Ψc ▲方程含有虚数i ，其解是复函数，不可直接测量，是概率密度，可直接测量。
Ψ2||Ψ一. 一维无限深方势阱模型极限理想化U (x )U =U 0U =U 0E U =0x 0§27.2 无限深方势阱中的粒子表面电子运动限于区间aa金属无限深方势阱U =0EU →∞U (x )x 0U →∞-a /2a /2n 很大时，阱内粒子概率分布趋于均匀| n|2E n-a/2a/2玻尔对应原理：大量子数极限下，量子体系行为向经典过渡。
§27.3 势垒穿透一.粒子进入势垒⎩⎨⎧>≤=)0( , )0( ,0 )(0x U x x U 金属与半导体接触处，势能隆起形成势垒。
势垒的物理模型：xII 区I 区U 0U (x )1.一维势垒模型粒子从x = - 处以特定能量E (E < U 0) 入射，xII 区0I 区U 0U (x )2.问题经典图像：量子图像：粒子无法跃上台阶，只能反射。
粒子具有波动性，波不仅被反射，而且能透射进入势垒区，只要U 0有限。
量子力学概论第2章 定态薛定谔方程
E0=12ћω(2.60) 现在我们安全地站在梯子的最底部(量子谐振
子的基态)，从而我们可以反复应用升阶算 符生成激发态,20 每升一步增加能量ћω ψn(x)=An(a+)nψ0(x)，和En=n+12ћω， (2.61)
例题2.4 求出谐振子的第一激发态。 解：利用式2.61
ψ1(x)=A1a+ψ0=A12ћmω-ћddx+mωxmωπћ1/4emω2ћx2=A1mωπћ1/42mωћxe-mω2ћx2.(2.62)
我们可以直接用“手算”对它进行归一化：
∫ψ12dx=A12mωπћ2mωћ∫+∞-∞x2e-mωћx2dx=A12, 恰好，A1=1。 我们不想用这种方法去计算ψ50(那需要应用升阶算符
(式２.５)称为定态(time-independent)薛定谔方程； 如果不指定V(x)我们将无法继续求它的解。
Ψ(x，t)=∑∞n=1cnψn(x)e-iEnt/ћ=∑∞n=1cnΨn(x， t).(2.17)
尽管分离解自身是定态解，
Ψn(x,t)=ψn(x)e-iEnt/ћ,(2.18)
即，概率和期望值都不依赖时间，但是需要强调的 是，一般解(式2.17)并不具备这个性质；因为不同 的定态具有不同的能量，在计算Ψ2的时候，含时指 数因子不能相互抵消
f(x)=∑∞n=1cnψn(x)=2a∑∞n=1cnsinnπax.(2.32)
例题2.2 在一维无限深方势阱中运动的粒子，其初始波函数 是Ψ(x,0)=Ax(a-x), (0≤x≤a),A是常数(如图2.3)。设在势阱外 Ψ=0。求Ψ(x,t)。
解：首先需要归一化波函数Ψ(x,0)求出A 1=∫a0Ψ(x,0)2dx=A2∫a0x2(a-x)2dx=A2a530， 所以A=30a5. 第n项的系数(式2.37)是 cn=2a∫a0sinnπax30a5x(a-x)dx
子的基态)，从而我们可以反复应用升阶算 符生成激发态,20 每升一步增加能量ћω ψn(x)=An(a+)nψ0(x)，和En=n+12ћω， (2.61)
例题2.4 求出谐振子的第一激发态。 解：利用式2.61
ψ1(x)=A1a+ψ0=A12ћmω-ћddx+mωxmωπћ1/4emω2ћx2=A1mωπћ1/42mωћxe-mω2ћx2.(2.62)
我们可以直接用“手算”对它进行归一化：
∫ψ12dx=A12mωπћ2mωћ∫+∞-∞x2e-mωћx2dx=A12, 恰好，A1=1。 我们不想用这种方法去计算ψ50(那需要应用升阶算符
(式２.５)称为定态(time-independent)薛定谔方程； 如果不指定V(x)我们将无法继续求它的解。
Ψ(x，t)=∑∞n=1cnψn(x)e-iEnt/ћ=∑∞n=1cnΨn(x， t).(2.17)
尽管分离解自身是定态解，
Ψn(x,t)=ψn(x)e-iEnt/ћ,(2.18)
即，概率和期望值都不依赖时间，但是需要强调的 是，一般解(式2.17)并不具备这个性质；因为不同 的定态具有不同的能量，在计算Ψ2的时候，含时指 数因子不能相互抵消
f(x)=∑∞n=1cnψn(x)=2a∑∞n=1cnsinnπax.(2.32)
例题2.2 在一维无限深方势阱中运动的粒子，其初始波函数 是Ψ(x,0)=Ax(a-x), (0≤x≤a),A是常数(如图2.3)。设在势阱外 Ψ=0。求Ψ(x,t)。
解：首先需要归一化波函数Ψ(x,0)求出A 1=∫a0Ψ(x,0)2dx=A2∫a0x2(a-x)2dx=A2a530， 所以A=30a5. 第n项的系数(式2.37)是 cn=2a∫a0sinnπax30a5x(a-x)dx
§3-2薛定谔方程 一维谐振子问题
度为a。则冲力为
F
2px
vx 2a
p
2 x
me a
将算符
pˆ
2 x
(i )2 x
2
x 2
代入上式，得
F
2 me a
2 x2
因电子是处于基态，则
1
1
2 sin x aa
6
电子对阱壁的平均冲力为
F
a
0
1
Fˆ
1dx
2π22 me a 4
a
0
sin
2
πx dx
a
2π 2 me a3
π
0
sin
由图可见，量子数n较小时，粒子位置的概率密度 分布与经典结论明显不同。随着量子数n的增大，概 率密度的平均分布将越来越接近于经典结论。
5
例1 一个电子被束缚在一维无限深势阱内，势阱宽度 为1.011010m。求当电子处于基态时对阱壁的平均冲 力。
解 设电子的质量为me，速度为vx，动量为px，势阱宽
§3-2 薛定谔方程
一维谐振子问题
一、一维谐振子的定态薛定谔方程
经典力学中，简谐振动为 x Acos(t )
系统的势能为 U( x) 1 kx2 1 2 x2
2
2
简谐振子的能量为 E 薛定谔方程，得
[
2
2
d2 dx 2
1 2
2 x2 ] ( x)
(
x)
n
( x)dx
1
，得
Nn
( 1
2 2n
)1 n!
2
时间因子的一维谐振子的定态波函数为
n (x,t) n (x)eiEnt/
Nn (x)e2x2 2Hn (x)eiEnt/
16-4 一维谐振子问题
I p x p x 2 p x
电子与阱壁碰撞一次，阱壁所受到的冲量：
I I 2 px
'
电子连续两次碰撞同一 侧阱壁所需要的时间： 单位时间内电子碰撞同 一侧阱壁的次数：
2a T vx
1 vx f T 2a
2 px
单位时间内电子对同一侧阱壁的冲量，即冲力为
,
考虑一维谐振子的基态：
1 E 0 2 2 1 x
=
1 U ( x ) 2 x 2 2
——谐振子的特征长度
1 1
按照经典理论，
x , 经典允许区； x , 经典禁区.
按照量子力学中波函数的统计诠释，基态粒子处于经 典禁区中的概率为：
最简单的几个厄米多项式为： n=0,
H 0 ( ) 1,
n=1,
H1 ( ) 2 ,
iE n t /
n=2,
H 2 ( ) 4 2 2 ,
一维谐振子的波函数的一般形式为
n ( x, t ) n ( x)e
N ne
2 x 2 2
H n ( x ) e
2 d2 1 2 2 x ( x ) E ( x ) 2 2 2 dx
————一维谐振子的定态薛定谔方程 ————一维谐振子的能量本征值方程
2 d2 1 2 2 x ( x ) E ( x ) 2 2 2 dx
由（2.7.2）可知方程(2.7.1)有解的条件为
1 2n, n 0,1,2,3,
2.7.3
d 2 Hn dH n 此时，有 2 2nH n 0 2 d d
解定态薛定谔方程的一般方法
得到分解利用分离变量法将的波函数这样可以求出任意时刻???????????????????????????????????????????????????北京邮电大学理学院原子物理33量子力学中的一些理论与方法引论热学平均能量dppxipdppppppppdppxiteipedxheaaennnnnnnnnnnnnnnnpnnnnnnnnnnnn????????????????????????expexp?
从上式，有: i E , 2 p2
(4)
t
x
对于u(x) 0时,由(1)知 :
(i t
2 2m
2 x 2
)
(E
p2 )
2m
0
(5)
对于一般情形,作如下变换: E i ; p i
(6)
t
x
作用于波函数上得一维的薛定谔方程
第三章 量子力学基础
【内容】 1. 薛定谔方程 2. 势垒贯穿 3. 量子力学中的一些理论与方法 4. 氢原子
【重点】 薛定谔方程 态叠加原理
氢原子能量本征值与本征函数
北京邮电大学理学院 原子物理
§3.1 薛定谔方程
一、薛定谔方程的引入
我们希望找到一个类似于牛顿方程的方程来描述这种新的量子现象，而且这个 方程应当能完全描述各种系统的状态。我们可从自由粒子出发，假定一个质量
§3.1 薛定谔方程
四、 态叠加原理
态叠加原理是量子力学中一个重要的基本概念，我们知道量子力学中波函 数是用来描述一个体系的量子态。如此态叠加原理显的很重要了，它是 “波叠加性”和“波函数完全描述一个体系的量子态”两个概念的概括。
若一个波函数可以表示为 cnn (r)
从上式，有: i E , 2 p2
(4)
t
x
对于u(x) 0时,由(1)知 :
(i t
2 2m
2 x 2
)
(E
p2 )
2m
0
(5)
对于一般情形,作如下变换: E i ; p i
(6)
t
x
作用于波函数上得一维的薛定谔方程
第三章 量子力学基础
【内容】 1. 薛定谔方程 2. 势垒贯穿 3. 量子力学中的一些理论与方法 4. 氢原子
【重点】 薛定谔方程 态叠加原理
氢原子能量本征值与本征函数
北京邮电大学理学院 原子物理
§3.1 薛定谔方程
一、薛定谔方程的引入
我们希望找到一个类似于牛顿方程的方程来描述这种新的量子现象，而且这个 方程应当能完全描述各种系统的状态。我们可从自由粒子出发，假定一个质量
§3.1 薛定谔方程
四、 态叠加原理
态叠加原理是量子力学中一个重要的基本概念，我们知道量子力学中波函 数是用来描述一个体系的量子态。如此态叠加原理显的很重要了，它是 “波叠加性”和“波函数完全描述一个体系的量子态”两个概念的概括。
若一个波函数可以表示为 cnn (r)
第二章一维无限势阱模型
dt
Hˆ(r) E(r)
E是不依赖r和t的常数
i df Ef
f (t) C exp[iEt / ]
dt
体系处于
(r,t)
(r)
exp[
iEt
/
]
所描写的状态时
能量有确定的值，称这种状态为定态
在分离变量过程中引入的常数 E 为粒子的能量
(r,t) (r) exp[iEt / ] 定态波函数
1 一维线性谐振子 如果粒子的势能具有如下形式 U (x) 1 m 2 x2
2
这样绕平衡位置做周期性振动的粒子称为一维线性谐振子
➢ 任何在平衡位置附近的微振动(三维振动)都可以分解成 几个独立的一维谐振子
➢ 固体中原子的振动可以用这种模型近似地研究
➢ 晶体中格点的振动、分子与分子间的互作用势、核子之 间的核力势等等都可近似为线性谐振子问题
• 在粒子能量E<<U0时的情况下，透射系数不为零经典理论无 法解释。
入射波＋反射波
U(x)
透射波
x
隧道效应的实质
1 隧道效应
• 粒子能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 • 类似一列火车通过隧道穿过山峰，这里不存在有形的山峰， 只存在一条无形的势垒曲线
2 原因
微观粒子具有波动、粒子二象性；波原则上可以透过不同物理 性质的两空间的界面，例如，光波的透射
1 0
由定态波函数的边界条件
x a
(U )
1(a) 2 (a),1(a) 2 (a)
4 薛定谔方程的解
首先，引入符号
定态薛氏方程化为
2mE 2
1/ 2
d 2(x) 2(x) 0
dx 2
它的解为
2 Asin x B cosx
Hˆ(r) E(r)
E是不依赖r和t的常数
i df Ef
f (t) C exp[iEt / ]
dt
体系处于
(r,t)
(r)
exp[
iEt
/
]
所描写的状态时
能量有确定的值，称这种状态为定态
在分离变量过程中引入的常数 E 为粒子的能量
(r,t) (r) exp[iEt / ] 定态波函数
1 一维线性谐振子 如果粒子的势能具有如下形式 U (x) 1 m 2 x2
2
这样绕平衡位置做周期性振动的粒子称为一维线性谐振子
➢ 任何在平衡位置附近的微振动(三维振动)都可以分解成 几个独立的一维谐振子
➢ 固体中原子的振动可以用这种模型近似地研究
➢ 晶体中格点的振动、分子与分子间的互作用势、核子之 间的核力势等等都可近似为线性谐振子问题
• 在粒子能量E<<U0时的情况下，透射系数不为零经典理论无 法解释。
入射波＋反射波
U(x)
透射波
x
隧道效应的实质
1 隧道效应
• 粒子能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 • 类似一列火车通过隧道穿过山峰，这里不存在有形的山峰， 只存在一条无形的势垒曲线
2 原因
微观粒子具有波动、粒子二象性；波原则上可以透过不同物理 性质的两空间的界面，例如，光波的透射
1 0
由定态波函数的边界条件
x a
(U )
1(a) 2 (a),1(a) 2 (a)
4 薛定谔方程的解
首先，引入符号
定态薛氏方程化为
2mE 2
1/ 2
d 2(x) 2(x) 0
dx 2
它的解为
2 Asin x B cosx
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2 d E ,0 x a 2 2 d x 2
2 d U 0 E , x 0, x a 2 2 d x 2
当势壁无限高是，不可能 在势阱外发现能量有限的 粒子，故阱外波函数为0
2. 引入参数简化方程，得到含待定系数的解；
令
2E k
2 势阱内定态薛定谔方程为： x k x 0
x
量子力学中把在势 1 2 U x kx 场 中运 2 动的微观粒子称为 线性振子 ，其势能 曲线为抛物线
讨论谐振子的意义：
（1）许多物理体系的 势能曲线可以近似看 作抛物线，双原子分 子的势能曲线在稳定 平衡点a附近的势能曲 线。 （2）复杂的振动可以 分解为相互独立的谐振 动动；
（3)处理线性谐振子的方法适用于：坐标表象、 粒子表象和电磁场量子化。
线性谐振子的哈密顿量
d 当， p i 时， dx
p2 1 H 2 x 2 2 2
线性谐振子的哈密哈密顿算符
2 d 2 1 2 2 x H 2 2 dx 2
故，定态薛定谔方程为
2 d 2 1 2 2 - 2 dx2 2 x x E x
2
1. 单调性；
2. 有限性；
在有限的空间范围内发现粒子的概率有限
3. 连续性；
V0
x, t
2
d 有限值
定态薛定谔方程包含 x, t 对坐标的二阶导数， 要求 x, t 及其对坐标的一阶导数连续。
1.5.2 一维无限深势阱 设质量为 的粒子在势场中运动
0,0 x a (势阱内） U x （1.5.1） , x 0, x a（时间外）
2 2 2n 1 En 2 2a
当量子n数很大时，能级可以看作是连续的， 量子效应消失，并过渡到经典情况。
当n
En 2n 1 时， E n 2 0 n
（4）激发态的能级
2 nx n x sin a a
n x 0
n x
（1.5.11）
6. 解的物理意义。
（1）束缚态与离散能级 由
2 nx sin ,0 x a n x a a 0, x 0, x a
可以知道，粒子不可能达到无穷远处 粒子被束缚在有 限的空间区域的 状态称为束缚态 粒子可达到无 限远处的状态 称为非束缚态
用波函数标准条件和归一化条件求解上述势 场的定态薛定谔方程这类问题的求解步骤：
1. 写出分区的定态薛定谔方程；
2. 引入参数简化方程，得到含待定系数的解； 3. 有波函数标准条件确定参数k； 4. 有波函数的归一化条件确定归一化常数A； 5. 由参数k得粒子的能量E；
6. 解的物理意义。
1. 写出分区的定态薛定谔方程；
由此得到0<x<a区间内的解：
x Asin；
x A sinkx
由势阱外波函数：
0 a A sinkx ， 0
n k , n 1,2, a
x 0
当k=0;
nx 代入， x A sin kx 得： n x A sin , n 1,2, a
当n<0时，得到的解与n>0的线性相关，舍去
由0 0 0 c得 x Bx
由0 0 a Ba得B 0
0 x （舍去） 0
一般情况下束缚态的能谱为离散谱
（2）基态的能级不为零，是微观粒子波动性的表现
2 2 E1 0 2 2 a
在经典物理中，粒子的动量可以为零，有确 定的坐标值和动量为零。
在量子力学中，坐标和动量不同时具有确定值。
能级分别不均匀。 （3）激发态的能级 En与n 成正比，
2
En En 1
4. 有波函数的归一化条件确定归一化常数A；
1 n x dx
2
a
0
nx a 2 A sin dx A a 2
2 2
取A为实数，则 A
a ,则 2
2 nx sin ,0 x a n x a a 0, x 0, x a
薛定谔方程的解题步骤： 1.引入参数简化方程
ax,a
2 d d d d d 2 2 d a , 2 a dx d dx d dx d 2
引人 2 E 则，定态薛定谔方程可化为
- 0
cn
2
1.5.3 线性谐振子
1 2 1 2 2 势场， U x kx x 2 2
（1）许多物理体 系的势能曲线可以 近似看作抛物线， 双原子分子的势能 曲线在稳定平衡点 a附近的势能曲线。
经典力学中，粒子 受到弹力F=-kx作 用时的势能
1 2 U x - F x dx kx 0 2
（5）薛定谔方程的解的线性组合
n x，t cn n x e
n 1
i En t
在一维无限深势阱中粒子可能的态： 定态： n x e E nt
i
线性叠加态： n x，t cn n x e
n 1
i En t
粒子处于定态的概率为：
2
2.求方程 - 2 0在 的渐进解
1.5.1 波函数的标准条件
波函数的条件解释指出，归一化的波函数是概 率波的振幅。在数学上应满足：
1. 单调性；
2. 有限性； 3. 连续性；
这是指 x, t 应该是 x ，t 的单值函数。因为 x, t 是t 时刻在 x处发现粒子的概率密度，即要求 x, t 为单 值函数，但不要求 x, t 是单值函数。
2 d U 0 E , x 0, x a 2 2 d x 2
当势壁无限高是，不可能 在势阱外发现能量有限的 粒子，故阱外波函数为0
2. 引入参数简化方程，得到含待定系数的解；
令
2E k
2 势阱内定态薛定谔方程为： x k x 0
x
量子力学中把在势 1 2 U x kx 场 中运 2 动的微观粒子称为 线性振子 ，其势能 曲线为抛物线
讨论谐振子的意义：
（1）许多物理体系的 势能曲线可以近似看 作抛物线，双原子分 子的势能曲线在稳定 平衡点a附近的势能曲 线。 （2）复杂的振动可以 分解为相互独立的谐振 动动；
（3)处理线性谐振子的方法适用于：坐标表象、 粒子表象和电磁场量子化。
线性谐振子的哈密顿量
d 当， p i 时， dx
p2 1 H 2 x 2 2 2
线性谐振子的哈密哈密顿算符
2 d 2 1 2 2 x H 2 2 dx 2
故，定态薛定谔方程为
2 d 2 1 2 2 - 2 dx2 2 x x E x
2
1. 单调性；
2. 有限性；
在有限的空间范围内发现粒子的概率有限
3. 连续性；
V0
x, t
2
d 有限值
定态薛定谔方程包含 x, t 对坐标的二阶导数， 要求 x, t 及其对坐标的一阶导数连续。
1.5.2 一维无限深势阱 设质量为 的粒子在势场中运动
0,0 x a (势阱内） U x （1.5.1） , x 0, x a（时间外）
2 2 2n 1 En 2 2a
当量子n数很大时，能级可以看作是连续的， 量子效应消失，并过渡到经典情况。
当n
En 2n 1 时， E n 2 0 n
（4）激发态的能级
2 nx n x sin a a
n x 0
n x
（1.5.11）
6. 解的物理意义。
（1）束缚态与离散能级 由
2 nx sin ,0 x a n x a a 0, x 0, x a
可以知道，粒子不可能达到无穷远处 粒子被束缚在有 限的空间区域的 状态称为束缚态 粒子可达到无 限远处的状态 称为非束缚态
用波函数标准条件和归一化条件求解上述势 场的定态薛定谔方程这类问题的求解步骤：
1. 写出分区的定态薛定谔方程；
2. 引入参数简化方程，得到含待定系数的解； 3. 有波函数标准条件确定参数k； 4. 有波函数的归一化条件确定归一化常数A； 5. 由参数k得粒子的能量E；
6. 解的物理意义。
1. 写出分区的定态薛定谔方程；
由此得到0<x<a区间内的解：
x Asin；
x A sinkx
由势阱外波函数：
0 a A sinkx ， 0
n k , n 1,2, a
x 0
当k=0;
nx 代入， x A sin kx 得： n x A sin , n 1,2, a
当n<0时，得到的解与n>0的线性相关，舍去
由0 0 0 c得 x Bx
由0 0 a Ba得B 0
0 x （舍去） 0
一般情况下束缚态的能谱为离散谱
（2）基态的能级不为零，是微观粒子波动性的表现
2 2 E1 0 2 2 a
在经典物理中，粒子的动量可以为零，有确 定的坐标值和动量为零。
在量子力学中，坐标和动量不同时具有确定值。
能级分别不均匀。 （3）激发态的能级 En与n 成正比，
2
En En 1
4. 有波函数的归一化条件确定归一化常数A；
1 n x dx
2
a
0
nx a 2 A sin dx A a 2
2 2
取A为实数，则 A
a ,则 2
2 nx sin ,0 x a n x a a 0, x 0, x a
薛定谔方程的解题步骤： 1.引入参数简化方程
ax,a
2 d d d d d 2 2 d a , 2 a dx d dx d dx d 2
引人 2 E 则，定态薛定谔方程可化为
- 0
cn
2
1.5.3 线性谐振子
1 2 1 2 2 势场， U x kx x 2 2
（1）许多物理体 系的势能曲线可以 近似看作抛物线， 双原子分子的势能 曲线在稳定平衡点 a附近的势能曲线。
经典力学中，粒子 受到弹力F=-kx作 用时的势能
1 2 U x - F x dx kx 0 2
（5）薛定谔方程的解的线性组合
n x，t cn n x e
n 1
i En t
在一维无限深势阱中粒子可能的态： 定态： n x e E nt
i
线性叠加态： n x，t cn n x e
n 1
i En t
粒子处于定态的概率为：
2
2.求方程 - 2 0在 的渐进解
1.5.1 波函数的标准条件
波函数的条件解释指出，归一化的波函数是概 率波的振幅。在数学上应满足：
1. 单调性；
2. 有限性； 3. 连续性；
这是指 x, t 应该是 x ，t 的单值函数。因为 x, t 是t 时刻在 x处发现粒子的概率密度，即要求 x, t 为单 值函数，但不要求 x, t 是单值函数。