量子力学-第二章-定态薛定谔方程教学提纲

空间波函数ψ(r)由方程
[ 2 2 V ] (r) E (r) 2
和具体的边界条件所确定。
该方程称为定态 Schrödinger 方程。
（二）能量本征值方程
[ 2 V ] E
2
或
Hˆ E
（1）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数 这与数学物理方法中的本征值方程相同。
数学物理方法中：微分方程 + 边界条件构成本征值问题；
n
m
e e c c iEnt / iEmt / * nm
nm
n
m
cn*cn
c2 n
n
n
从上面两个式子可以看出，
c2 n
具有几率的概念，当对
(x,t) 测量能量时，测到 En
的几率是
c2 n
也可以说体系
是部分地处于1, 2,...n ,... 态，各个态出现的几率分别是
c1 2, c2 2,..., cn 2,..
n
(r ,
t
)
nn
[ n exp( iEnt / )][ n exp( iEnt / )]
n
n
(erx)p(inE(rn)t
/
)
n
exp(iEnt
/
)
（2）几率流密度与时间无关
Jn(r , t)
i
2
[nn
nn ]
i
2
[ n
e xp( iEn t
/
)
n
e xp(iEn t
/
)
n
e
xp(iEnt
用 I 、II 和 III
表示，其上的波函数分 别为ψI(x),ψII(x) 和 ψIII (x)。则方程为：
/
)
n
e
xp(iEnt
/
)]
i
2
[
n
(r)
n
(r )
n
(r)
n
(r )]
Jn(r )
（3）处于定态时力学量（不显含时间）的期待值是常数
Q(x, p)
* n
(
x,
t
)
Q(
x,i
/
x)n
(
x,
t
)dx
* n
(
x)
Q(
ห้องสมุดไป่ตู้
x,i
/
x)
n
(
x)dx
常量（不随时间变化）
推论
x 常量 p 0
4. 能量本征函数是完备的正交归一系 可以证明（以后证明）
l 求解 S — 方程 分四步： l （1）列出各势域的一维S—方程 l （2）解方程 l （3）使用波函数标准条件定解 l （4）定归一化系数
-a 0 a
（1）列出各势域的 S — 方程
2
2
d2 dx 2
(
x)
V
(
x )
(
x)
E ( x)
d2 dx 2
( x)
2
2
[V
( x)
E ]
( x)
0
势V(x)分为三个区域，
2
2
V
(r )](r ,
t)
t
2
令：
(r ,
t
)
(r )
f
(t
)
代
入
两边同除
(r )
f
(t )
i (r) d f (t) f (t)[ 2 2 V ] (r)
dt
2
等式两边是相互无 关的物理量，故应
i
1d f (t) dt
f
(t
)
1 (r )
[
2
2
2
V
]
(r)
E
等于与 t, r 无关 的常数
H * ( x, t ) H ( x, t )dx
e e c c iEnt / iEmt /
* nm
* n
(
x)
H
m ( x)dx
n
m
e e c c iEnt / iEmt /
* nm
* n
(
x
)
Em
m ( x)dx
n
m
e e c c E iEnt / iEmt / * nm
i
d dt
f (t) Ef (t)
[
2
2 V ] (r) E (r)
2
f (t ) ~ eiEt /
于是：
(r ,
t
)
(r )e
i Et
(r,
t
)
(
r)e
i
Et
此波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率ω=2πE/h。 由de Broglie关系可知： E 就是体系处于波函数Ψ(r,t)所描写 的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这 种状态称为定态，波函数Ψ(r,t)称为定态波函数。
（2）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物 理方法中的边界条件，称为波函数的自然边界条件。
因此，在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。 常量 E 称为算符 H 的本征值；Ψ称为算符 H 的本征函数。
（3）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写 的状态（简称能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数 值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。
本征值问题，得：
本征函数
（3）写出定态波函数即得
1， 2 , , n ,
到对应第 n 个本征值 En 的定态波函数
n
(r ,
t
)
n
(r )
exp[
iEnt
/
]
（4）通过归一化确定归一化系数 Cn
| Cn n (r) |2 d 1
（四）定态的性质
（1）粒子在空间几率密度分布与时间无关
第二章 定态薛定鄂方程
（一）定态Schrödinger方程，定态 （二）能量本征值方程 （三）求解定态问题的步骤 （四）定态的性质
（五）如何由定态得到一般解
（一）定态Schrödinger方程，定态
讨论有外场情况下的 Schrödinger 方程：
V(r)与t无关时，可以 分离变量
i
(r , t) [
* m
(r)
n
(r)dr
mn
正交归一性
薛定鄂方程的通解可以用定态波函数的叠加表示为
(x,t)
cnn (x,t)
c eiEnt / n
n (x)
其中展开系数由初n始条件定
n
(x,0) cnn (x,0) cn n (x)
n
n
由定态波函数的正交归一性
cn *(x)(x,0)dx
我们来求处在 (x,t) 能量的期待值
需要注意的是，尽管分离解自身是定态解，
n (x,t) n ( x)eiEnt h , 其几率和期望值都不依赖时间，但是一般解并不具备这个性质；
因为不同的定态具有不同的能量，在计算时含时指数因子不能相互抵消
2.2一维无限深势阱
0, V ( x)
| x | a | x | a
V(x)
I
II
III
（三）求解定态问题的步骤
讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数 Ψ(r,t)和在这些态中的能量 E。其具体步骤如下：
（1）列出定态 Schrodinger方程 [ 2 2 V ] (r) E (r) 2
（2）根据波函数三个标准 本征值： 条件求解能量 E 的
E1, E2 , , En ,
m nm
n
m
cn*cn En
cn
E 2 n
n
n
我们在来看(x,t) 的归一化
1 * ( x, t )( x, t )dx
e e iEnt / iE mt /
cn*cm
* n
(
x
)
m ( x)dx
n
m
e e iEnt / iE mt /
cn*cm
* n
(
x
)
m ( x)dx