15.6 波函数 一维定态薛定谔方程
一维薛定谔方程表达式
一维薛定谔方程表达式一维薛定谔方程是描述量子力学中粒子在一维空间中运动的基本方程。
它的表达式为：iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m ∂²ψ/∂x² + V(x)ψ(x)其中，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，t是时间，ψ是波函数，m是粒子的质量，x是空间坐标，V(x)是势能函数。
这个方程描述了粒子的波函数随时间的演化，以及波函数在空间中的变化。
左边表示波函数随时间的变化率，右边第一项是动能算符，描述了粒子动力学的贡献；第二项是势能算符，描述了势能对波函数的影响。
薛定谔方程的解决方案是波函数，它包含了粒子在一维空间中的所有信息。
波函数的模的平方表示了找到粒子在某个位置的概率密度。
因此，波函数的演化可以用来预测粒子在空间中的位置和动量。
薛定谔方程是量子力学的核心方程之一，它提供了描述微观粒子行为的基础。
通过求解薛定谔方程，我们可以获得粒子的波函数，从而了解粒子的性质和行为。
薛定谔方程在实际应用中有广泛的应用。
例如，在原子物理中，薛定谔方程可以用来计算原子的能级和波函数。
在固体物理中，薛定谔方程可以用来研究电子在晶格中的行为。
在量子力学中，薛定谔方程是研究微观粒子行为的基础方程。
薛定谔方程的求解可以使用不同的数值和解析方法。
对于简单的问题，可以使用分离变量法或者定态薛定谔方程来求解。
对于复杂的问题，可以使用数值方法如有限差分法或者变分法来求解。
薛定谔方程的解决方案也可以用来解释一些量子力学的现象。
例如，波函数叠加原理可以用来解释双缝干涉实验中的干涉图样。
量子隧穿效应可以通过薛定谔方程计算出来。
一维薛定谔方程是描述量子力学中粒子在一维空间中运动的基本方程。
通过求解薛定谔方程，我们可以获得粒子的波函数，从而了解粒子在空间中的行为。
薛定谔方程在物理学的各个领域都有广泛的应用，是理解微观世界的重要工具。
一维定态薛定谔方程求解的两种方法（matlab）
⼀维定态薛定谔⽅程求解的两种⽅法（matlab）量⼦⼒学中，薛定谔⽅程是核⼼。
薛定谔的猫描述了态的概念，但实际研究中，要想细致地研究⼀个原⼦，分⼦，甚⾄⼀块物质，都需要从薛定谔⽅程的求解开始。
下⾯将会以我的⼀次作业的题⽬为例，向⼤家展⽰整个求解过程。
薛定谔⽅程的完整形式为：以上⽅程有对时间的微分，还有对空间的微分。
⽽对于定态的薛定谔⽅程，我们只需考虑某⼀时刻的波函数，所以直接可将能量算符替代为E（⼀个常数）。
(1)分段势能法对于空间的梯度，如果只是⼀维情况的话，可以直接将梯度算符改为微分。
所以⼀维定态薛定谔⽅程就显得很简单：就是⼀个简单的⼆阶微分⽅程。
此⽅程的解想必⼀眼就可以看出来。
就是这个解是假设U(x)与x⽆关，是⼀个常数才得出这个⾃由波的解。
类似与微积分中的⽅法，对于⼀个任意势场函数，我们可以假设在某⼀个极⼩的dt范围内，势函数是不变的，因此可以将任意⼀个势函数⽤有限个⼀定宽度的恒定势场来代替。
如下图所⽰：其中的各个⼩段的波函数就可以表⽰为这样就会有2N个⽅程，然后利⽤内部的n-1个边界条件（界⾯处波函数连续，波函数的倒数连续），和两端的衔接（假设⼊射为1，则A1=1, B1=r；且最终透射端没有反射波，AN=t, BN=0. ），就可以写出2N个线性⽆关的⽅程，从⽽可以将系数都求解出来。
注意，这种情况下，我们⽆从得知基态的能量值，以及能量的分⽴的特性。
但是从这种⾓度出发，我们可以很容易计算出波在这样的势函数中传输特性，可以计算出⼊射端的反射系数R，以及不同能量所对应的⼊射波的透射系数T。
下⾯将以⼀个例⼦应⽤上述关系。
根据上图中所⽰的势函数求解薛定谔⽅程，得到透射系数和反射系数随温度的变化关系为(2)差分法现在我们从另外⼀个⾓度出发，⼀维定态薛定谔⽅程如下在这⾥，我们要求的是，可以将分为N份，采⽤数值计算⽅法，将微分⽅程变成差分⽅程。
参考相应书籍可知可以化为对于上述波函数也可以转化为类似的形式，所以可以由矩阵T的特征值对应能量，特征向量对应于波函数在每⼀个节点的解。
15.6 波函数 一维定态薛定谔方程
2
2mE
2
2
, n 1, 2 ,
En n
π
2 2
,
n 1, 2 ,
2ma
n 为主量子数，表明粒子的能量是量子化的。
大学物理 第三次修订本
13
第15章 量子物理基础
波函数
nπ Ψ n x A sin a
2 a
x , n 1, 2 ,
i t Ψ (r , t ) Ψ (r )e
E
定态薛定谔方程
2m 2 2 2 Ψ( r ) 2 E V Ψ(r ) 0 x y z
2 2 2
若粒子在一维空间运动，则
d Ψ x
2
dx
2
2m
大学物理 第三次修订本
o
a
x
势能曲线
11
第15章 量子物理基础
薛定谔方程
d Ψ x
2
dx
2
2mE
2
Ψ x 0
d Ψ x
2
,0 xa
k Ψ x 0
2
令 k
2 mE
2
则
dx
2
方程通解
Ψ x A sin kx B cos kx
Ψ 利用边界条件 x = 0， 0 0 , 则 B = 0 。
物质波波函数是复数，它本身并不代表任 何可观测的物理量。 波函数是怎样描述微观粒子运动状态的？
大学物理 第三次修订本
3
第15章 量子物理基础
1926年德国物理学家玻恩提出了物质波的 统计解释：实物粒子的物质波是一种概率波, t 时刻粒子在空间 r 处附近的体积元 dV 中出现的 概率dW与该处波函数绝对值的平方成正比。
一维薛定谔方程求解
一维薛定谔方程求解
薛定谔方程是研究量子力学的基本方程之一，用于描述微观粒子（如电子、原子、分子等）在时间和空间中的运动和状态。
在一维情况下，薛定谔方程可以写为：
iψ(x,t)/t = -^2/2m ^2ψ(x,t)/x^2 + V(x)ψ(x,t) 其中，ψ(x,t)是波函数，描述了粒子在时空中的状态；m是粒子的质量；V(x)是势能函数，描述了粒子在不同位置的势能。
这个方程可以通过一些数值方法来求解，例如有限差分法、谱方法等。
其中，有限差分法是一种简单易懂的数值求解方法，它将微分方程转化为差分方程，通过在空间和时间上进行离散化，用有限差分代替微分，从而得到数值解。
在求解一维薛定谔方程时，我们可以采用中心差分法或向前/向后差分法来进行空间和时间上的离散化，并利用迭代法或解析法来求解差分方程。
另外，谱方法也是一种常用的数值求解方法，它将波函数表示为一组基函数的线性组合，通过对基函数的选择和系数的计算，得到波函数的数值解。
在求解一维薛定谔方程时，我们可以选择正交多项式作为基函数，例如拉盖尔多项式、切比雪夫多项式等，利用计算机进行系数的计算，从而得到波函数的数值解。
总之，在求解一维薛定谔方程时，我们可以利用有限差分法或谱方法进行数值求解，得到粒子在时空中的波函数和状态。
这些数值解可以用来研究微观粒子的运动和相互作用，对于理解和设计材料、药物、电子器件等具有重要的理论和实际意义。
波函数薛定谔方程一维无限深势阱
En
En1
En
(2n 1)
h2 8ma 2
En En
2n 1 n2
n
En 0 En
能量可认为是连续的。经典物理可以看成是量子物
理在量子数n时的极限。
*五、一维方势垒 隧道效应
设想一维方势垒如图。一粒子处于 x < 0 的区域内，其
能量小于势垒高度Ep0。
经典物理：粒子不可能越过势垒进入 x>0 的区域。
15-8波函数 薛定锷方程一维无限深势阱
仙女座
背景 二十世纪20~30年代，经过德布罗意、薛定
谔、海森堡、玻恩、狄拉克等科学家的努力，建立 了描述微观粒子运动规律的量子力学。
德布罗意
海森伯
狄拉克
波恩
一、物质波波函数
微观领域常用实物粒子在空间出现的概率分布来描述 其运动状态，该概率分布函数称为物质波的波函数。 波函数记作Ψ ( x, y, z, t )，常用复数形式来表示!
Im
b A
) o
a Re
Ψ(x,y, z, t) Acos iAsin
Ψ(x,y, z, t) Aei A: 称为该复数的模 θ : 称为该复数的幅角
例如，沿+x方向传播的平面简谐波的波动方程：
y(
x,
t
)
Acos(2t x2xt
00
)
也可用复数形式来表示：
Im
b A
) o
a Re
Ψ(x,y, z, t) Acos iAsin
现的概率为：dG = wdx = |Ψ ( x, t ) |2dx ③ 粒子在全空间出现的概率为1，即：
Ψ(x,y, z, t)2dv 1 （归一化条件） 对于一维： Ψ(x,y, z, t) 2 dx 1
薛定谔方程与波函数的解析方法
薛定谔方程与波函数的解析方法量子力学是描述微观世界的基本理论，而薛定谔方程是量子力学的核心方程之一。
薛定谔方程描述了量子体系的波函数随时间的演化规律。
本文将介绍薛定谔方程的基本概念，并讨论一些解析方法。
薛定谔方程是由奥地利物理学家艾尔温·薛定谔于1925年提出的。
它描述了量子体系的波函数ψ(x,t)随时间和空间的变化情况。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m∂²ψ/∂x² + V(x)ψ(x,t)其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常数的约化形式，m是粒子的质量，V(x)是势能函数。
这个方程可以看作是能量守恒和动量守恒的量子版本。
解析求解薛定谔方程是量子力学中的一个重要课题。
一般来说，薛定谔方程是一个偏微分方程，求解起来相对复杂。
但是对于一些特定的势能函数，我们可以使用一些特殊的解析方法来求解。
首先，对于一维自由粒子，即势能函数V(x)为常数的情况，薛定谔方程可以简化为：iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m∂²ψ/∂x²这是一个简单的波动方程，可以用分离变量法求解。
假设波函数可以表示为ψ(x,t) =Φ(x)Ψ(t)，将其代入方程中得到：iħΨ(t)dΦ(x)/dt = -ħ²/2mΦ''(x)Ψ(t)将方程两边同时除以ψ(x,t)，得到：iħ/Ψ(t)dΨ(t) = -ħ²/2m/Φ(x)Φ''(x)由于左边只含有t的变量，右边只含有x的变量，所以它们必须等于一个常数，记作E。
这样我们就得到了两个方程：iħdΨ(t)/dt = EΨ(t)-ħ²/2m d²Φ(x)/dx² = EΦ(x)第一个方程是一个简单的一阶常微分方程，可以直接求解。
第二个方程是一个二阶常微分方程，可以通过代入试探解的方法求解。
最终我们可以得到波函数的解析表达式。
波函数及薛定谔方程详解课件
03ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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薛定谔方程在量子力学中的应用
无限深势阱
无限深势阱模型描述粒子被限 制在一定空间范围内运动的情 形，通常用于描述微观粒子在
势能无限高区域的行为。
在无限深势阱中，波函数具有 特定的边界条件，即在势阱边
界处波函数为零。
薛定谔方程在无限深势阱中的 解为分段函数，表示粒子在不 同势阱内的能量状态。
波函数及薛定 谔 方程详解课件
contents
目录
• 波函数简介 • 薛定谔方程概述 • 薛定谔方程在量子力学中的应用 • 波函数与薛定谔方程的关系 • 实验验证与实例分析 • 总结与展望
01
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波函数简介
波函数的定 义
波函数是一种描述微观粒子状 态的函数，它包含了粒子在空 间中的位置和动量的信息。
06
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总结与展望
波函数与薛定谔方程的意义
波函数
波函数是描述微观粒子状态的函数， 它包含了粒子在空间中的位置、动量 和自旋等所有信息。通过波函数，我 们可以计算出粒子在给定条件下的行 为和性质。
薛定谔方程
薛定谔方程是描述波函数随时间变化 的偏微分方程，它反映了微观粒子在 运动过程中所遵循的规律。通过求解 薛定谔方程，我们可以预测粒子在不 同条件下的行为和性质。
时间相关形式
在有限域中，薛定谔方程的形式为 ifrac{dpsi}{dt}=Hpsi，其中H为哈密 顿算子。
薛定谔方程的解
分离变量法
对于具有周期性势能的情况，可以将波函数分离为几个独立的函数，分别求解 后再组合得到原方程的解。
微扰法
对于势能存在微小扰动的情况，可以通过微扰法求解薛定谔方程，得到近似解。
波函数薛定谔方程
(r .t )
0e
i
(
Et
pr )
波函数Ψ是复数，模的平方可表示为
2 *
5
4 、波函数的统计解释: (1)概率密度: 玻恩假定：概率波的波函数Ψ，模的平方
| r,t|2 r,t* r,t
代表 t 时刻，在空间 r 点处单位体积元中发现一个粒子的概 率，称为概率密度。
t 时刻在空间 r 附近体积 dv 内发现粒子的概率为：
为物质波能够干涉)。
薛定谔提出了波函数Ψ(x,y,z,t)所适用的（在非相对论） 动力学方程：
2 2 U x, y, z,t i
2m
t
（１）式中 2 2 2 2 称之为拉普拉斯算符， x2 y 2 z 2
11
（２）U x, y, z, t
表示微观粒子受到的作用势能，它一般的是 r 和 t 的函数， （３） m 是微观粒子的质量。
薛定谔方程既不能由经典理论导出，也不能用严格的逻辑推 理来证明，它的正确与否只能用实验来验证。
1 、一般的薛定谔方程 微观粒子的运动状态用波函数
Ψ(x,y,z,t)描述，薛定谔认为，这 个波函数应该是适用于微观粒子的波 动方程的一个解。
10
•必须能满足德布罗意波公式的要求，
E , h
h
p
•必须是线性微分方程,即其方程的解必须能满足叠加原理 (因
的原理可以证明它的正确性。 从薛定谔方程得到的结论正确与否，需要用实验事实去验证。
薛定谔方程是量子力学的一条基本假设。
14
例 15-23 将波函数在空间各点的振幅同时增大 D 倍,则粒子在 空间的分布概率将
(A)增大Ｄ２倍;(B)增大 2 D 倍;(C)增大 D 倍;(D)不变。
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(1)E > U0 , R≠0, 即使粒子总能量大于势垒高度，入射粒子并非 全部透射进入 III 区,仍有一定概率被反射回 I 区。
(2)E < U0 , T≠0, 虽然粒子总能量小于势垒高度，入射粒子仍
可能穿过势垒进入 III 区 — 隧道效应。
(3) 透射系数T 随势垒宽度a、粒子质量m 和能量差变化， 随着势垒的加宽、加高透射系数减小。
d 2Ψ x 2mE 2 Ψ x 0 2 dx
2mE 令 k 2
2
d 2Ψ x 2 k Ψ x 0 2 dx 解为
V(
r)
Ψ x A sin kx B cos kx
波函数在 x = 0 处连续，有
Ψ( x) 0
( x)
Ψ( x) 0
e2 V 4π 0 r
球坐标的定态薛定谔方程
1 2 1 (r ) 2 (sin ) 2 r r r r sin 1 2 2m e2 2 2 2 (E ) 0 2 r sin 4π 0 r
1. 能量量子化 能量 电子云
Ψ 0 A sin k 0 B cos k 0 0
0
所以
a
x
B0
因此
Ψ x A sin kx
nπ k a
2
在 x = a 处连续，有
Ψ a A sin ka 0
2mE 其中 k 2 2 粒子 h 2 2 E n n E1 能量 n 2 8ma
2 2
2mE k 2
2 1
三个区域的波函数分别为
Ⅰ区
Ψ1 ( x) A1eik1x B1eik1x
U0
Ⅰ E Ⅱ Ⅲ
Ⅱ区
Ⅲ区
Ψ 2 ( x) A2eik2 x B2eik2 x
Ψ 3 ( x) A3e
ik1 x
B3e
ik1x
B3 = 0
0
波函数在 x = 0 ，x = a 处连续 x=0 处 x=a 处
L l (l 1)
l = 0 , 1 , 2 , … , n-1
3. 角动量空间量子化
角动量 L 的在外磁场方向Z 的投影
Lz ml
磁量子数
ml = 0 , ±1 , ±2 , … , ±l
例
l = 2 电子角动量的大小及可能的空间取向 ？ L 的大小
磁量子数
L 2(2 1) 6
15.6 波函数 一维定态薛定谔方程
一、波函数及其统计解释
微观粒子 具有波动性
1925年薛定谔
用物质波波函数描述 微观粒子状态
例如 自由粒子沿 x 轴正方向运动，其能量 E 、动量 P 为常 量，所以 v (= E / h ) 、 ( = h / P ) 不随时间变化，其 物质波是单色平面波，波函数为
a
Ψ1 (0) Ψ 2 (0)
Ψ 2 (a) Ψ 3 (a)
dΨ1 dx dΨ 2 dx
x 0
dΨ 2 dx dΨ 3 dx
x 0
xa
x a
得到4个方程，求出常数 A1 、B1 、 A2 、B2 和 A3 间关系，从而得到反射 系数
R | B1 |2 / | A1 |2 和透射系数 T | A3 |2 / | A1 |2 分别为
dV
说明
• t 时刻 , 粒子在 r 处 dV 内出现的概率
Ψ(r , t )
dV
2 dW | Ψ(r , t ) | dV
• 归一化条件
r
o
2 | Ψ(r , t ) | dxdydz 1
粒子在整个空间出现的概率为 1 • 波函数必须单值、有限、连续
概率密度在任一处都是唯一、有限的, 并在整个空间内连续。
2 2 (k12 k 2 ) sin 2 (k 2 a) R 2 2 2 (k1 k2 ) sin 2 (k 2 a) 4k12 k 2 2 4k12 k 2 T 2 2 2 (k1 k2 ) sin 2 (k2 a) 4k12 k2
U0
Ⅰ
E
Ⅱ
Ⅲ
T R 1
讨论
0
a
入射粒子一部分透射到达 III 区，另一部分被势垒反射回 I 区 。
N=7 N=100 电子数 N=70000 电子数 N=3000 N=20000 电子 双缝 干涉 图样
• t 时刻 , 粒子在 r 处 dV 内出现的概率 2 dW | Ψ (r , t ) | dV * Ψ (r , t )Ψ (r , t )dV
Ψ(r , t )
r
o
1 me4 E1 En 2 ( 2 2 ) 2 n 8 0 h n
电子云密度
主量子数 n = 1 , 2 , 3 , …
概率密度ψnlm2（r,θ,）
电子在波尔轨道上 出现的概率最大 2. 角动量量子化
电子绕核转动的角动量 L 的大小 角量子数
r1 0.529 1010 m r2 4r1 r3 9r1 …
二、薛定谔方程 (描述微观粒子在外力场中运动的微分方程 )
质量 m 的粒子在外力场中运动，势能函数 V ( r , t ) ， 其运动微分方程为
2 2 2 2 (r , t ) 2m x 2 y 2 z 2 V (r , t ) (r , t ) i t
由于磁场作用, 原子附加能量为
E ml B B
• 能级分裂
其中
ml = 0, ±1, ± 2, …, ± l ml
1 0 -1 △E
无磁场
l=1
有磁场
← 能 级 简 并
B B
B B
0
l=0
v0
v0
0
0
v0-△v
v0+△v
ml = 0 , ± 1 , ± 2
L 在 Z 方向的投影 z
2
Lz 2, , 0, , 2
z
L 6
0
2
0
l2
l 1 L 2
4. 塞曼效应 (1) 实验现象
光源处于磁场中时，一条谱 线会分裂成若干条谱线。
光 源
N
摄谱仪
v0 +△v v0 v0 - △ v
势能函数 V (x) = 0 ， V (x) = ∞ ， 0<x<a 0<x或x>a
dV Fx dx
V(x)
Ψ( x) 0
Ψ( x) 0
0
a
x
0 > x 或 x < a 区域
Ψ ( x) 0
d 2Ψ( x) 2m 2 E V Ψ x 0 2 dx
0 < x < a 区域，定态薛定谔方程为
定态
薛定谔方程
一维定态薛定谔方程（粒子在一维空间运动)
d 2Ψ( x) 2m 2 E V Ψ x 0 2 dx
粒子能量 说明 (1) 势能函数 V 不随时间变化。 (2) 求解 E（粒子能量）
描 述 外 力 场 的 势 能 函 数
( r ) (定态波函数)
三、一维无限深势阱中的粒子
Ψ ( x, t ) Ψ 0e
x i 2 π ( t )
Ψ 0e
i ( Et px)
波函数的物理意义：
2 | Ψ(r , t ) | —— t 时刻，粒子在空间 r 处
的单位体积中出现的概率，又称为概率密度
说明
• 单个粒子的出现是偶然事件； 大量粒子的分布有确定的统 计规律。
可得
An a / 2
粒子能量
a
x
波函数
2 nπ Ψ n ( x) sin x a a
2 h 2 En n 2 n E1 2 8ma
四、隧道效应（势垒贯穿）
势垒 Ⅰ区 Ⅱ区 U(x) =0 U ( x ) = U0 x≤0 0≤ x ≤ a Ⅰ
U0 Ⅱ Ⅲ
E
0
Ⅲ区
U(x) =0
自然地得到了能量量子化结论
量子数为 n 的定态波函数为
E3 32 E1
nπ Ψ n x An sin kx An sin x a
由归一化条件
E2 22 E1
2 a 0
| Ψ n ( x) | dx | Ψ n ( x) |2dx 1
E1
0 波函数 概率密度分布
粒子类型 粒子能量 势垒高度 势垒宽度 透射系数
1 eV
电子 1 eV 质子 1 eV
2 eV
2 eV 2 eVபைடு நூலகம்
5×10-10 m 2×10-10 m 2×10-10 m
0.024
0.51
3×10-38
五、氢原子
2 2 2 2m ( 2 2 2 )Ψ 2 E V Ψ 0 x y z
薛定谔 方 程
粒子在稳定力场中运动，势能函数 V ( r ) 、能量 E 不随时间 变化，粒子处于定态，定态波函数写为
E i t
Ψ (r , t ) Ψ (r )e
得
2 2 2 2m x 2 y 2 z 2 Ψ(r ) 2 E V Ψ(r ) 0
x≥a
a
定态薛定谔方程：
x
Ⅰ区
Ⅱ区 Ⅲ区
d 2Ψ1 ( x) 2 k 1Ψ 1 ( x) 0 2 dx d 2Ψ2 ( x) 2 k 2Ψ2 ( x ) 0 2 dx d 2Ψ3 ( x) 2 k 1 Ψ3 ( x ) 0 2 dx