实验三 定态薛定谔方程的矩阵解法
薛定谔方程组及其解法
薛定谔方程组及其解法薛定谔方程组（Schrodinger Equation）是量子力学的基础方程之一，描述了量子系统的波动性质和粒子运动的规律。
在量子力学发展的过程中，人们通过不断地尝试和探索，发现了各种各样的解法，使得该方程的应用范围越来越广，成为了现代物理学的重要工具之一。
1. 薛定谔方程组及其含义薛定谔方程组最初是由奥地利物理学家薛定谔（Erwin Schrodinger）于1926年提出的，他通过研究光谱现象，认为物理系统的运动可以用波函数来描述。
而波函数则可以通过一个方程来求解，这个方程就是薛定谔方程组。
薛定谔方程组描述了微观粒子的运动规律和波动性质，用于计算微观尺度下的物理量，如粒子的位置、速度、动量、能量等。
方程中的波函数可以归一化，即保证粒子存在的概率为1。
因此，波函数可以被解释为一个粒子的存在概率密度。
2. 薛定谔方程组的解法薛定谔方程组的解法主要基于两种方法：定态微扰理论和变分法。
定态微扰理论是通过在原方程中加入微小扰动项，逐步展开波函数的级数，来求得精确的解。
而变分法则通过尝试不同的波函数形式来寻找最优解，从而得到薛定谔方程组的解。
此外，还有一些基于计算机算法的数值解法应用于薛定谔方程组，如有限元方法、有限差分法和网格方法等。
3. 应用范围和意义薛定谔方程组的应用范围非常广泛，涉及到各种物理现象和工程问题。
在纳米技术领域，薛定谔方程组可以用于描述纳米材料的电子结构和催化反应的机理，从而辅助设计新型材料和开发高效催化剂。
在化学领域，薛定谔方程组可以用于计算化学反应的机理和产物的构成，帮助人们预测化学反应过程和控制反应的产物。
在固态物理学中，薛定谔方程组可以用来解释材料的电、光、热、声等性质，帮助人们研发新型的半导体材料和纳米电子器件。
总之，薛定谔方程组在物理学、化学、材料学等领域有着广泛的应用和重要的意义，对推动人类社会的发展发挥着重要的作用。
薛定谔方程的含义和求解方法
薛定谔方程的含义和求解方法薛定谔方程是量子力学中的基本方程之一，描述了微观粒子（如电子）的行为。
本文将介绍薛定谔方程的含义及其求解方法。
一、薛定谔方程的含义薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，用来描述微观粒子的运动和性质。
该方程是一个偏微分方程，包含粒子的波函数（Ψ）和哈密顿量（H）。
薛定谔方程的一般形式为：iℏ∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，ℏ是约化普朗克常数，t是时间。
Ψ是粒子的波函数，H是系统的哈密顿量。
薛定谔方程描述了一个量子系统的演化过程。
通过对波函数的求解，我们可以得到粒子在不同位置和时间的概率分布，从而理解其行为和性质。
二、薛定谔方程的求解方法薛定谔方程是一个高度复杂的偏微分方程，一般情况下无法通过解析方法求解。
但可以通过一些近似方法和数值方法来求解。
1. 解析方法对于简单的系统，可以通过解析方法求解薛定谔方程。
例如，对于自由粒子，可以得到平面波的解。
对于一维谐振子，可以得到谐振子波函数的解。
然而，对于复杂的系统，如多电子体系或相互作用体系，解析方法往往不适用。
因此，需要使用近似方法和数值方法来求解。
2. 近似方法常用的近似方法包括变分法、微扰法和量子力学近似等。
变分法通过选取适当的波函数的形式和参数，使得波函数的能量最小化。
微扰法将系统的哈密顿量分解为一个已知的部分和一个微扰项，通过级数展开的方式求解波函数。
3. 数值方法数值方法是求解薛定谔方程的重要手段之一。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和动态变分法等。
这些方法通过将波函数和哈密顿量离散化，将偏微分方程转化为一组代数方程，然后通过迭代求解来得到波函数的数值解。
数值方法的优点是适用于各种复杂系统，并且可以提供较高的精度。
但需要注意选择合适的离散化方法和参数，以及控制误差和收敛性。
总之，薛定谔方程是研究微观粒子的基本工具之一，可以描述粒子的运动和性质。
通过适当的求解方法，我们可以获得粒子的波函数，从而深入理解量子力学中的各种现象和行为。
第三章_某些定态体系薛定谔方程的解
决
定
轨道角动量
大
小 轨道磁矩
uB 9.2741024 J T 1 玻尔磁子
例:Li2+激发态2p1,l =1,电子轨道角动量大小为
。
③ m — 磁量子数
电子所在的轨道
m = 0, 1, 2, l
(2 l+1个可能的取值 )
决
定
轨道角动量在z 轴的分量 M lz m
轨道磁矩在z轴的分量 ulz mu B
有关，故每项只有分别为常数才能成立。
设三项分别为 Ex , Ey , Ez , 则:
(1)
(2)
(3)(1),(2)Fra bibliotek(3) 形式类似，有类似的解 . 方程(1)有如下通解:
结合边界条件， 以及归一化条件
可得:
综上，方盒中的自由质点的运动状态及其能量为：
1.一维势箱的自由质点
其解为：
Ψ0，n 0
2
3. R(r)方程的解
n l 1 整数 E 13.6 Z 2 (eV )
n2
联属拉盖尔方程
2Zr
na0
拉盖尔函数
显然，Rn,l ( r )为实函数, 具有指数函数的形式。
R(r) 函数中
项决定 n 值.
R1,0
(r)
2(
Z a0
)
3 2
e
Zr a0
R2,0 (r)
中，10个电子的体系的多重度。
解：在该势场中，能级如下，
Enx ,ny
nx2h2 8ma2
n 2y h 2 8mb2
nx2h2 32mb2
n 2y h 2 8mb2
求解薛定谔方程的一般步骤
求解薛定谔方程的一般步骤嘿，朋友们！今天咱就来唠唠求解薛定谔方程的那些事儿。
你说这薛定谔方程啊，就像是一个神秘的宝藏盒子，咱得想办法打开它，找到里面的宝贝。
那怎么打开呢？咱先得有那个决心和勇气，就像你要去攀登一座高峰，不能还没开始就打退堂鼓了呀！然后呢，得了解这个方程到底是啥样儿的。
它可不是随随便便就能搞定的，就像一道特别难的谜题。
接下来，你得掌握一些工具和方法。
这就好比你去开锁，你得有合适的钥匙或者工具吧。
对于薛定谔方程，那就是各种数学知识和物理概念啦。
你得把这些东西玩转了，才能试着去解开这个方程。
比如说，你得熟悉那些波函数啊，能量啊之类的概念。
这就好像你要认识一个新朋友，你得知道他的喜好、性格啥的，才能更好地跟他相处嘛。
然后呢，你就得开始动手啦！一步一步地去推导，去计算。
这过程可不容易哦，就像在黑暗中摸索，有时候可能会觉得迷茫，不知道自己走得对不对。
但别灰心呀，这都是正常的。
你想想看，要是那么容易就解开了，那还叫什么难题呢？在这个过程中，可能会遇到很多困难和挫折，但咱不能怕呀！就像走路会摔跤一样，摔了咱爬起来继续走呗。
而且哦，多尝试几次，说不定就突然找到灵感了呢。
这就跟你找东西似的，找半天找不到，突然一下子就看到它在那儿了。
当你慢慢接近答案的时候，那种兴奋感，哎呀，真的是无法形容！就好像你终于找到了宝藏的入口，那种激动的心情，只有经历过的人才懂。
总之呢，求解薛定谔方程可不是一件容易的事儿，但也不是不可能完成的任务。
只要咱有决心，有耐心，有方法，就一定能慢慢地解开这个神秘的谜题。
别害怕失败，别害怕困难，大胆地去尝试吧！就像那句话说的，世上无难事，只怕有心人。
咱就朝着那个目标，一步一个脚印地前进，相信总有一天，能真正理解和掌握这个神奇的薛定谔方程！。
高中奥赛---薛定谔方程及其求解方法
E t / 2
不确定关系的数学表示与物理意义
1927年，海森堡首先推导出不确定关系： ： x表示粒子在x方向上的位置的不确 x px / 2 定范围，px表示在x方向上动量的不 确定范围，其乘积不得小于一个常数。
t E 2
h 2
若一个粒子的能量状态是完全确定的， 即E=0 ，则粒子停留在该态的时间 为无限长， t= 。
y( x, t ) A cos2 nt l
y( x, t ) Ae
x i 2 nt l
2、自由粒子的波函数
一个自由粒子有动能E和动量p。对应的德布罗意波具有频率 和波长：
n E/h
波函数可以写成
l h/ p
i 2 nt x / l
为归一化常数11精品文档第n激发态的概率密度有n1个极大值波函数和概率密度如图315和图316精品文档精品文档精品文档精品文档331力学量的平均值33量子力学中的力学量当测量粒子的位置的时候每次所得结果可能是不同的但其概率密度分布是正确的也就是位置的平均值是确定的如粒子的位置坐标改成以下由归一化后的我们可求出在空间处发现粒子的平均值为的概率密度为dx361势能函数是粒子位置坐标的函数势能的平均值362精品文档下面来求动量的分量的平均值但是在量子力学中根据不确定关系动量不可能是坐标的函数
h 6.625 1034 l 2.0 1010 m mv 1.67 10 27 2.0 103
(3) 动能为 1.6 107 J 的电子 1 P2 E K mv 2 2 2m
P 2mEK
h l3 P h 2mE K 1.2 1010 m
狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac，1902-1984）
定态薛定谔方程
n
2a
x,
0
n为偶数 x a xa
利用sin( ) sin cos cos sin
sin n (x a) sin( n x n )
2a
2a 2
sin n x cos n cos n x sin n
2a
2
2a
2
s c
in n
2a
os n
x， x，
2a
n为偶数 n为奇数
∴势阱中波函数可写为
i [ (r) f (t)] [ 2 2 U (r)] (r) f (t)
t
2
两边同时除以 (r,t) (r) f (t)
i
1 f (t)
t
f (t)
1 (r)
[
2
2
2
U (r)] (r)
上式两边各有不同的变量 t, r ，它们是独立
变化的，要使上式对任意的变量 t, r 都成立，
两边必须等于一个常数，设常数为E，则
dx 2
通解为 (x) Asin(x) B cos(x)
由波函数的连续性和边界条件确定A、B （1）当x＝a时
(x) 0 Asina B cosa 0
（2）当x＝－a时，
(x) 0 Asina B cosa 0
两式相加及相减，得到
Asina 0 B cosa 0
A.B不能同时为零，否则为零解。解有两组
Ae e
（5）
（5）式中E有明确的物理意义，是粒子能量。 而（4）式中E是作为常数引入的，对比两式， 发现此常数E应是粒子的能量，这个常数是不 随时间改变的。
综上：作用于粒子上的力场不随时间改变， 即体系的哈密顿量H不显含时间， U U (r)
薛定谔方程的求解过程
薛定谔方程的求解过程
薛定谔方程是量子力学中描述粒子运动的基本方程之一。
它描述的是粒子在势场中的运动状态，即波函数随时间的演化。
薛定谔方程的求解过程是量子力学中的一个重要内容，也是理解量子力学的基础。
薛定谔方程的求解过程通常分为两个步骤：首先是确定问题的边界条件和势能函数，然后再用合适的数学方法求解方程。
在实际应用中，求解薛定谔方程的难度通常取决于势能函数的形式和边界条件的复杂程度。
一般来说，薛定谔方程的求解可以采用分离变量法、变换法、微扰法、数值计算法等多种方法。
其中，分离变量法是最常用的求解方法之一，它将波函数表示为空间和时间的乘积形式，然后通过分离变量的方式将薛定谔方程转化为两个独立的方程，进而求解。
除了分离变量法以外，变换法也是一种经典的求解薛定谔方程的方法。
变换法通过对薛定谔方程进行变换，将其转化为另一种更容易求解的形式，然后再进行求解。
微扰法是一种基于微小势场对波函数的影响进行分析的方法，它适用于势能函数比较复杂或难以精确求解的情况。
微扰法通过将势能函数分解为一个小的扰动和一个已知的精确解，然后将扰动的作用逐步放大，逐步求解波函数。
数值计算法主要适用于比较复杂的势场和边界条件情况下的求解。
数值计算法通过将薛定谔方程转化为一个矩阵方程，然后采用数值方法求解矩阵方程，进而得到波函数的数值解。
总之，求解薛定谔方程是量子力学中的一个核心问题。
合适的求解方法取决于具体的问题情况和求解的精度要求。
通过对薛定谔方程的求解，我们能够深入理解量子力学的基本概念和原理，进而应用于各种实际问题的研究中。
三维氢原子定态薛定谔方程的求解
∇2ψ+2m ℏ2(E +e 24πε01r)ψ=0 嗯，这个方程普普通通，在数学家眼中也就是一个二阶三元变系数偏微分方程，也就是说求解比较麻烦（事实上是相当麻烦！），仅此而已。
但是，若说这个方程是整个量子力学的核心，恐怕没有人会对之产生景仰之情。
原因是非常简单的——方程的形式，至少和矩阵力学相比，非常简洁。
海森堡矩阵的成功让我们相信，量子力学的核心应当是需要通过彻底改变描述原子体系所用的数学工具并展开极为复杂的数学运算最终形成的；这个不起眼的、原始形式非常简洁的、没有任何数学创新的方程——尽管是很难解的方程——看来不像是具有为神秘的量子力学所专美的气质。
尽管如此，处于对薛定谔焦头烂额三个星期的工作的尊重，我们还是不胜其烦地先把这个方程解出来再说，看看方程里头到底有什么东西值得我们汲取。
不过，动手之前先要做好两个准备工作，首先就是，∇2是什么？自然，它的名字我们很熟悉——这玩意儿叫做拉普拉斯算符。
但关键的问题是，拉普拉斯算符长什么样子？按照数学分析的场论部分，拉普拉斯算符的空间直角坐标系下的形式为：∇2=ð2ðx 2+ð2ðy 2+ð2ðz 2 但是，由于氢原子大约是一个类似于球状的客观存在的物体（事实上一谈到“原子”，我们的头脑中就浮现出一个匀质的球体，这是很自然的假设，也将被初步证明是正确的），因此，最好把算符取为极坐标的形式：∇2=1r 2ððr (r 2ððr )+1r 2sinθððθ(sinθððθ)+1r 2sin 2θð2ðφ2我已经可以想象，特别热衷于数学的读者们一定会问，这两者是如何互推的？可是，由于推导实在太烦琐，我不准备在正文里描述，而把它挪到文后的附注里去；另外由于推导三元的形式实在太繁琐了，我只以二元的为例进行推导，三元和它是完全类似的。
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实验三 定态薛定谔方程的矩阵解法
一．实验目的
1．掌握定态薛定谔方程的矩阵解法。
2．掌握几种矩阵特征值问题数值解法的原理，会调用相应的子程序求解具体问题。
二．实验内容
1．问题描述
以/2ω/()m ω为长度单位，一维谐振子的哈密顿量为
2
202d H x dx
=-+, 其本征值为21n E n =+，本证波函数为
2
/2)()n n x H x ϕ=-， 其中()n H x 为厄米多项式，满足递推关系
11()2()2()n n n H x xH x nH x +-=-。
用矩阵方法求
2
22d H x x dx
=-++ 的本证能量和相应的波函数。
2．问题分析
H E ψψ=
0()|j j j t c ψϕ∞
==>∑
0||i i j i j i j c E c x Ec ϕϕ∞
=+<>=∑
11|j j j x ϕϕϕ-+>=>>
11||/2,||(1)/2j j j j x j x j ϕϕϕϕ-+<>=
<>=+ 0010010
112111,211,11,1
n n n n n n n n n n n n E x c c x E x c c E x E x c c x E c c -------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣
⎦
3．程序编写
子程序及调用方法见《FORTRAN 常用算法程序集（第二版）》第三章 徐士良，P97
4．实验要求
◆用恰当的算法求解以上实对称三对角矩阵的特征值问题。
◆取n=8，给出H 的全部特征值和相应的特征向量。
5．实验步骤
● 启动软件开发环境Microsoft Developer Studio 。
● 创建新工作区shiyan03。
● 创建新项目xm3。
● 创建源程序文件xm3.f90，编辑输入源程序文本。
● 编译、构建、运行、调试程序。
6．实验结果
程序设计：
DIMENSION Q(9,9),B(9),C(9)
DOUBLE PRECISION Q,B,C,I
N=9
Q=0
DO I=1,N
Q(I,I)=1
END DO
DO I=1,N
B(I)=2*(I-1)+1
ENDDO
DO I=1,N-1
C(I)=SQRT(I/2.)
ENDDO
ESP=0.000001
CALL CSSTQ(N,B,C,Q,EPS,L)
!WRITE(*,*)
!WRITE(*,10)
10FORMAT(1X,'MAT A IS:')
!WRITE(*,50) ((A(I,J),J=1,N),I=1,N) IF (L.NE.0) THEN
!WRITE(*,*)
! WRITE(*,30)
30 FORMAT(1X,'MAT Q IS:')
WRITE(*,50) ((Q(I,J),J=1,N),I=1,N) WRITE(*,*)
! WRITE(*,40)
40 FORMAT(1X,'MAT B IS:')
WRITE(*,50) (B(I),I=1,N)
50 FORMAT(1X,9F8.3)
END IF
WRITE(*,*)
END
SUBROUTINE CSSTQ(N,B,C,Q,EPS,L) DIMENSION B(N),C(N),Q(N,N)
DOUBLE PRECISION B,C,Q,D,H,P,R,F,E,S,G C(N)=0.0
D=0.0
F=0.0
DO 50 J=1,N
IT=0
H=EPS*(ABS(B(J))+ABS(C(J)))
IF (H.GT.D) D=H
M=J-1
10 M=M+1
IF (M.LE.N) THEN
IF (ABS(C(M)).GT.D) GOTO 10
END IF
IF (M.NE.J) THEN
15 IF (IT.EQ.60) THEN
L=0
WRITE(*,18)
18 FORMAT(1X,' FAIL')
RETURN
END IF
IT=IT+1
G=B(J)
P=(B(J+1)-G)/(2.0*C(J))
R=SQRT(P*P+1.0)
IF (P.GE.0.0) THEN
B(J)=C(J)/(P+R)
ELSE
B(J)=C(J)/(P-R)
END IF
H=G-B(J)
DO 20 I=J+1,N
20 B(I)=B(I)-H
F=F+H
P=B(M)
E=1.0
S=0.0
DO 40 I=M-1,J,-1
G=E*C(I)
H=E*P
IF (ABS(P).GE.ABS(C(I))) THEN E=C(I)/P
R=SQRT(E*E+1.0)
C(I+1)=S*P*R
S=E/R
E=1.0/R
ELSE
E=P/C(I)
R=SQRT(E*E+1.0)
C(I+1)=S*C(I)*R
S=1.0/R
E=E/R
END IF
P=E*B(I)-S*G
B(I+1)=H+S*(E*G+S*B(I))
DO 30 K=1,N
H=Q(K,I+1)
Q(K,I+1)=S*Q(K,I)+E*H
Q(K,I)=E*Q(K,I)-S*H
30 CONTINUE
40 CONTINUE
C(J)=S*P
B(J)=E*P
IF (ABS(C(J)).GT.D) GOTO 15
END IF
B(J)=B(J)+F
50CONTINUE
DO 80 I=1,N
K=I
P=B(I)
IF (I+1.LE.N) THEN
J=I
60 J=J+1
IF (J.LE.N) THEN
IF (B(J).LE.P) THEN K=J
P=B(J)
GOTO 60
END IF
END IF
END IF
IF (K.NE.I) THEN
B(K)=B(I)
B(I)=P
DO 70 J=1,N
P=Q(J,I)
Q(J,I)=Q(J,K)
Q(J,K)=P
70 CONTINUE
END IF
80CONTINUE
L=1
RETURN
END。