一维定态薛定谔方程的宏观模拟解法
一维定态薛定谔方程求解的两种方法（matlab）
⼀维定态薛定谔⽅程求解的两种⽅法（matlab）量⼦⼒学中，薛定谔⽅程是核⼼。
薛定谔的猫描述了态的概念，但实际研究中，要想细致地研究⼀个原⼦，分⼦，甚⾄⼀块物质，都需要从薛定谔⽅程的求解开始。
下⾯将会以我的⼀次作业的题⽬为例，向⼤家展⽰整个求解过程。
薛定谔⽅程的完整形式为：以上⽅程有对时间的微分，还有对空间的微分。
⽽对于定态的薛定谔⽅程，我们只需考虑某⼀时刻的波函数，所以直接可将能量算符替代为E（⼀个常数）。
(1)分段势能法对于空间的梯度，如果只是⼀维情况的话，可以直接将梯度算符改为微分。
所以⼀维定态薛定谔⽅程就显得很简单：就是⼀个简单的⼆阶微分⽅程。
此⽅程的解想必⼀眼就可以看出来。
就是这个解是假设U(x)与x⽆关，是⼀个常数才得出这个⾃由波的解。
类似与微积分中的⽅法，对于⼀个任意势场函数，我们可以假设在某⼀个极⼩的dt范围内，势函数是不变的，因此可以将任意⼀个势函数⽤有限个⼀定宽度的恒定势场来代替。
如下图所⽰：其中的各个⼩段的波函数就可以表⽰为这样就会有2N个⽅程，然后利⽤内部的n-1个边界条件（界⾯处波函数连续，波函数的倒数连续），和两端的衔接（假设⼊射为1，则A1=1, B1=r；且最终透射端没有反射波，AN=t, BN=0. ），就可以写出2N个线性⽆关的⽅程，从⽽可以将系数都求解出来。
注意，这种情况下，我们⽆从得知基态的能量值，以及能量的分⽴的特性。
但是从这种⾓度出发，我们可以很容易计算出波在这样的势函数中传输特性，可以计算出⼊射端的反射系数R，以及不同能量所对应的⼊射波的透射系数T。
下⾯将以⼀个例⼦应⽤上述关系。
根据上图中所⽰的势函数求解薛定谔⽅程，得到透射系数和反射系数随温度的变化关系为(2)差分法现在我们从另外⼀个⾓度出发，⼀维定态薛定谔⽅程如下在这⾥，我们要求的是，可以将分为N份，采⽤数值计算⽅法，将微分⽅程变成差分⽅程。
参考相应书籍可知可以化为对于上述波函数也可以转化为类似的形式，所以可以由矩阵T的特征值对应能量，特征向量对应于波函数在每⼀个节点的解。
一维定态薛定谔方程的宏观模拟解法
8期
刘剑波等： 一维定态薛定谔方程的宏观模拟解法
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这就是所设系统的运动方程 ! 与相对论性量子 论的 012#$345675$ 方程数学形成上完全一样， 比一 维含时薛定谔方程 （8） 在时间变量上多一次偏导 ! " # " （ #） （8） # # %$ ’ & , ) $! ,$ + * " "# （ #） " 在方程 （/） 中的作 重要的是力函数 ( ’ & " 用与薛定谔方程中的势函数 * （ #） 完全一样， 正是 这一点， 保证了我们能够模拟一维定态薛定谔方程 ! 下面将证明这一点 !
由于弦作微小振动， 形变很小， 故 $ ,# "(， "#$ %） ! ! # $（ # #， 同理 "#$ %） ! ! # $（ # # + !# ， （,） （-） ， 式代入 （(） 式， 得 ［ （ ］ ! $# # + !# ， % ）& $（ %） # #， （ #） ・ $ ・!# ’ "・!# ・ $%% ! & " 应用中值定理： ［ $（ ］’ $## ・!# ， % ）& $（ %） # # + !# ， # #， 得 （ #） ・ $ ・!# ’ "・!# ・ &%% ! !$## ・!# & " 式中， $## 是 $ 对空间变量 # 的二阶偏导数， $%% 是 $ 对时间变量 % 的二阶偏导数 ! 令 !# $.， 上式化为 （ #） ! " ・$ ! $## & " " （ #） ! " 记 ’ ’, ， 上式写成 & ’ (， " " $%% ’ ’ , $## + ( ・ $ ! $%% ’
15.6 波函数 一维定态薛定谔方程
Ψ ( x, t ) Ψ 0e
x i 2 π ( t )
Ψ 0e
i ( Et px)
波函数的物理意义：
2 | Ψ(r , t ) | —— t 时刻，粒子在空间 r 处
的单位体积中出现的概率，又称为概率密度
说明
• 单个粒子的出现是偶然事件； 大量粒子的分布有确定的统 计规律。
2 2
2mE k 2
2 1
三个区域的波函数分别为
Ⅰ区
Ψ1 ( x) A1eik1x B1eik1x
U0
Ⅰ E Ⅱ Ⅲ
Ⅱ区
Ⅲ区
Ψ 2 ( x) A2eik2 x B2eik2 x
Ψ 3 ( x) A3e
ik1 x
B3e
ik1x
B3 = 0
0
波函数在 x = 0 ，x = a 处连续 x=0 处 x=a 处
(1)E > U0 , R≠0, 即使粒子总能量大于势垒高度，入射粒子并非 全部透射进入 III 区,仍有一定概率被反射回 I 区。
(2)E < U0 , T≠0, 虽然粒子总能量小于势垒高度，入射粒子仍
可能穿过势垒进入 III 区 — 隧道效应。
(3) 透射系数T 随势垒宽度a、粒子质量m 和能量差变化， 随着势垒的加宽、加高透射系数减小。
Ψ 0 A sin k 0 B cos k 0 0
0
所以
a
x
B0
因此
Ψ x A sin kx
nπ k a
2
在 x = a 处连续，有
Ψ a A sin ka 0
2mE 其中 k 2 2 粒子 h 2 2 E n n E1 能量 n 2 8ma
薛定谔方程的含义和求解方法
薛定谔方程的含义和求解方法薛定谔方程是量子力学中的基本方程之一，描述了微观粒子（如电子）的行为。
本文将介绍薛定谔方程的含义及其求解方法。
一、薛定谔方程的含义薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，用来描述微观粒子的运动和性质。
该方程是一个偏微分方程，包含粒子的波函数（Ψ）和哈密顿量（H）。
薛定谔方程的一般形式为：iℏ∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，ℏ是约化普朗克常数，t是时间。
Ψ是粒子的波函数，H是系统的哈密顿量。
薛定谔方程描述了一个量子系统的演化过程。
通过对波函数的求解，我们可以得到粒子在不同位置和时间的概率分布，从而理解其行为和性质。
二、薛定谔方程的求解方法薛定谔方程是一个高度复杂的偏微分方程，一般情况下无法通过解析方法求解。
但可以通过一些近似方法和数值方法来求解。
1. 解析方法对于简单的系统，可以通过解析方法求解薛定谔方程。
例如，对于自由粒子，可以得到平面波的解。
对于一维谐振子，可以得到谐振子波函数的解。
然而，对于复杂的系统，如多电子体系或相互作用体系，解析方法往往不适用。
因此，需要使用近似方法和数值方法来求解。
2. 近似方法常用的近似方法包括变分法、微扰法和量子力学近似等。
变分法通过选取适当的波函数的形式和参数，使得波函数的能量最小化。
微扰法将系统的哈密顿量分解为一个已知的部分和一个微扰项，通过级数展开的方式求解波函数。
3. 数值方法数值方法是求解薛定谔方程的重要手段之一。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和动态变分法等。
这些方法通过将波函数和哈密顿量离散化，将偏微分方程转化为一组代数方程，然后通过迭代求解来得到波函数的数值解。
数值方法的优点是适用于各种复杂系统，并且可以提供较高的精度。
但需要注意选择合适的离散化方法和参数，以及控制误差和收敛性。
总之，薛定谔方程是研究微观粒子的基本工具之一，可以描述粒子的运动和性质。
通过适当的求解方法，我们可以获得粒子的波函数，从而深入理解量子力学中的各种现象和行为。
第一章 薛定谔方程,一维定态问题
第一章薛定谔方程,一维定态问题
薛定谔方程是描述量子力学中微观粒子运动的基本方程，也是研究原子、分子、固体等微观粒子体系行为的重要工具。
在一维定态问题中，我们假设粒子在一个长度为L的有限区域内运动，边界处满足一定的边界条件。
这种假设简化了问题的复杂性，使得我们能够更加深入地研究粒子在有限区域内的定态行为。
一维定态问题的薛定谔方程可以写成如下的形式：
$$-
\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\Psi(x)}{dx^{2}}+V(x)\Psi(x)=E \Psi(x)$$
其中，$\hbar$为约化普朗克常数，m为粒子的质量，V(x)为粒子在x位置处的势能，E为粒子的总能量，$\Psi(x)$为描述粒子波函数的解析函数。
一维定态问题中，由于波函数只与一个坐标x有关，因此我们可以采用分离变量的方法将波函数表示为如下形式：
$$\Psi(x)=\psi(x)e^{ikx}$$
其中，$\psi(x)$为关于x的解析函数，k为波矢。
将上式代入薛定谔方程，可将其简化为如下形式：
$$-\frac{\hbar^{2}}{2m}\psi''(x)+(V(x)-E)\psi(x)=0$$
这个简化后的方程可以通过求解得到波函数的解析表达式及对应的能量。
对于有限区域内的粒子，我们需要根据边界条件来限定波函数的形状，在定态问题中，我们通常采用周期性边界条件或硬壳边界条件。
通过分析一维定态问题的波函数和能谱，我们可以深入理解原子、分子、固体等复杂体系中微观粒子的行为规律，同时也可以为设计新的材料、光电子器件等提供理论基础和指导。
定态薛定谔方程解的算例
E
)
(
x)
0
I区 V 0
d2
dx2
例题
根据叠加原理，几个波函数的叠加仍是一个波函数。 假设在无限深势阱中粒子的一个叠加态是有基态和 第一激发态叠加而成，前者的幅是1/2 ，后者的幅 是 （这3 /就2 意味着基态的基本概率是1/4，第一激 发态的基本概率是3/4）。 试求这一叠加态的概率分布。
3、阶跃势
粒子在阶跃势场中的运动
0, V (x) V0
X<0，波函数可以看成向右和向左传播的行波的叠加。由于它 们振幅的绝对值相等，叠加后将形成驻波。因此波函数是随 时间 t 振荡的函数。
• X>0，它们的概率密度为：
( x, t) ( x, t) DDe2k2x
1
k2 2m(V0 E)
它常称为：透入距离
在此区域随x的增大而随指数快速衰减，但在x=0的附近不为零。 表明，在X>0的区域有一定的几率能够发现或找到粒子！ 由上式可知，出现这种几率只在x=0的很小的区域内，即
2
粒子的能量本征 函数与坐标关系
(x)
(x)
n5
n6
E 25E0
E 36 E0
x
E 9E0 n 3
n4
E 16 E0
x
n 1
E E0
a
0
2
n2 E 4E0
a a
0
2
2
ax
2
2 cos n x ，n奇数 aa
2 sin n x , n偶数
aa
偶宇称
奇宇称
ψ(ξ)=A e-1/2ξ2 0
谐振子—势能为V(x)、 质量为m的粒子
d 2 d 2
[
2mE
一维薛定谔方程求解
一维薛定谔方程求解
薛定谔方程是研究量子力学的基本方程之一，用于描述微观粒子（如电子、原子、分子等）在时间和空间中的运动和状态。
在一维情况下，薛定谔方程可以写为：
iψ(x,t)/t = -^2/2m ^2ψ(x,t)/x^2 + V(x)ψ(x,t) 其中，ψ(x,t)是波函数，描述了粒子在时空中的状态；m是粒子的质量；V(x)是势能函数，描述了粒子在不同位置的势能。
这个方程可以通过一些数值方法来求解，例如有限差分法、谱方法等。
其中，有限差分法是一种简单易懂的数值求解方法，它将微分方程转化为差分方程，通过在空间和时间上进行离散化，用有限差分代替微分，从而得到数值解。
在求解一维薛定谔方程时，我们可以采用中心差分法或向前/向后差分法来进行空间和时间上的离散化，并利用迭代法或解析法来求解差分方程。
另外，谱方法也是一种常用的数值求解方法，它将波函数表示为一组基函数的线性组合，通过对基函数的选择和系数的计算，得到波函数的数值解。
在求解一维薛定谔方程时，我们可以选择正交多项式作为基函数，例如拉盖尔多项式、切比雪夫多项式等，利用计算机进行系数的计算，从而得到波函数的数值解。
总之，在求解一维薛定谔方程时，我们可以利用有限差分法或谱方法进行数值求解，得到粒子在时空中的波函数和状态。
这些数值解可以用来研究微观粒子的运动和相互作用，对于理解和设计材料、药物、电子器件等具有重要的理论和实际意义。
定态薛定谔方程的解法一维无限深势阱与线性谐振子
2 d U 0 E , x 0, x a 2 2 d x 2
当势壁无限高是，不可能 在势阱外发现能量有限的 粒子，故阱外波函数为0
2. 引入参数简化方程，得到含待定系数的解；
令
2E k
2 势阱内定态薛定谔方程为： x k x 0
x
量子力学中把在势 1 2 U x kx 场 中运 2 动的微观粒子称为 线性振子 ，其势能 曲线为抛物线
讨论谐振子的意义：
（1）许多物理体系的 势能曲线可以近似看 作抛物线，双原子分 子的势能曲线在稳定 平衡点a附近的势能曲 线。 （2）复杂的振动可以 分解为相互独立的谐振 动动；
（3)处理线性谐振子的方法适用于：坐标表象、 粒子表象和电磁场量子化。
线性谐振子的哈密顿量
d 当， p i 时， dx
p2 1 H 2 x 2 2 2
线性谐振子的哈密哈密顿算符
2 d 2 1 2 2 x H 2 2 dx 2
故，定态薛定谔方程为
2 d 2 1 2 2 - 2 dx2 2 x x E x
2
1. 单调性；
2. 有限性；
在有限的空间范围内发现粒子的概率有限
3. 连续性；
V0
x, t
2
d 有限值
定态薛定谔方程包含 x, t 对坐标的二阶导数， 要求 x, t 及其对坐标的一阶导数连续。
1.5.2 一维无限深势阱 设质量为 的粒子在势场中运动
0,0 x a (势阱内） U x （1.5.1） , x 0, x a（时间外）
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( + ’ & -+ ! ’, （ #） , ! " 将 (’ & ， ’ ’ 代入上式得 " " （ #） " （=） +; & + ’ & -+ ! " 就是图 ( 所设系统的定态方程 ! 为了方 方程 （=） 式写成 便与一维定态薛定谔方程的比较， 将 （8） ,) ,) （ #） ・$ ’ & , ・ .$ ! （(.） , * # # 现在比较 （=） ， （(.） 式， 很显然 （=） ， （(.） 两式左 边第一项都是关于空间的二阶导， 第二项函数都乘 以一个只与 # 有关的变系数， 右侧的函数都乘以一 个常数， 所以有如下的模拟关系： （((） $ $ +， （ #） " ,) （ /） （(,） & , * $& ! ， # ,) （(-） & , . $& - ! # 可见， 定态的薛定谔方程 （(.） 与定态的齐次弦 振动方程 （=） 在数学形式上完全一样， 可以利用 （ =） 式在宏观上的行为模拟薛定谔方程的微观量子行 为!
一维定态薛定谔方程的宏观模拟解法
刘剑波 蔡喜平
（哈尔滨工业大学应用物理系， 哈尔滨 （$### 年 !! 月 !% 日收到） !"###!）
将实验模拟法引入量子力学 & 设计了一个弦振动系统， 这个系统的定态方程与定态薛定谔方程数学形式一样， 为定态薛定谔方程的模拟解法提供了理论和实验途径 & 宏观模拟的结果为理解薛定谔方程提供了宏观类比 &
［8］ 张力 ! 的方向总是沿着弦的切线方向 & 受力分析：
图!
非齐次弦振动方程的推导
$
非齐次弦振动方程
（!） 作用在 &7 点上的张力 ! ， 它在 ) 轴方向的 分力为 ! 901 7& " （$） 作用在 & 点的张力 ! ， 它在 ) 轴方向的分 力为 - ! 901 "& （’） 作用在 &&7 上， 垂直于 $ 轴约束力为 " , （ $） ・ （ $） ， 其中 # （ $） 是作用于弦线上质 -# !$・ !) 量元 !$・ ! 的弹性约束力 " 的线密度， ! 是弦的质
由于弦作微小振动， 形变很小， 故 $ ,# "(， "#$ %） ! ! # $（ # #， 同理 "#$ %） ! ! # $（ # # + !# ， （,） （-） ， 式代入 （(） 式， 得 ［ （ ］ ! $# # + !# ， % ）& $（ %） # #， （ #） ・ $ ・!# ’ "・!# ・ $%% ! & " 应用中值定理： ［ $（ ］’ $## ・!# ， % ）& $（ %） # # + !# ， # #， 得 （ #） ・ $ ・!# ’ "・!# ・ &%% ! !$## ・!# & " 式中， $## 是 $ 对空间变量 # 的二阶偏导数， $%% 是 $ 对时间变量 % 的二阶偏导数 ! 令 !# $.， 上式化为 （ #） ! " ・$ ! $## & " " （ #） ! " 记 ’ ’, ， 上式写成 & ’ (， " " $%% ’ ’ , $## + ( ・ $ ! $%% ’
关键词：薛定谔方程，宏观模拟解法
!"##：#’("
!
引
言
（ $） 方向相反 （图 ! 所示） " 方向与 % & 下面用标准的 力学程序证明， 这个体系的运动规律符合 *./0123452 641 方程 &
在量子力学的局域性理论中， 薛定谔方程具有 核心地位 & 目前解这个方程有三种方法 & 一是在数学 上严格求解， 得到体系的能量本征值与本征波函数 （如著名的氢原子问题） ； 二是近似计算方法 （如微扰 法、 变分法、 ； 三是数值计算法， 由于计算 )*+ 法等） 机的 应 用， 目前有大量文献报道这种方法的使
设一柔软的细线， 线密度 !、 张力为 ! ， 处在一 种弹性 媒 质 中， 媒质对弦线仅提供形式为 " , （ $） ・% （ $） ・ （ $） 是弦线上任一点离 -# !$ 的力 & % 开平衡位置的位移， （ $） 是 $ 点的弹性系数， # !$ 是 万方数据 所研究弦线上的一小段在 $ 轴上的投影， 负号代表
（(/）
*##
物
理
学
34; 物 为势垒宽度 ! 弦振动方程将形成驻波： $ … # " !# ， $ " $， #， %， "弦
# #
总结以上讨论， 得到如下明确的模拟关系， 这种 模拟关系在后面的模拟实验中变得更加具体、 生动 ! （$&）
在 （$’） 式中令 $ " #， 即在势阱中形成一个电子 的德布罗意波 （波长!物 ） ， 即 " 物 "!物 ， （$’） 式化为 ・# %# " !" # ! #! !物
, , , 0 … .0 ’ ## , ， 0 ’ (， ,， -， , )1 物
（8） 对时间一阶偏导不一致， 但下面可以证明， 不含 时的定态方程 （/） 与一维定态薛定谔方程数学形式 完全一致 ! 由于研究的是 （ /） 式的定态形式即驻波 万方数据 解， 力函数 （ 仅与空间有关， 所以可以考虑方程 ( #）
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（/）
这就是所设系统的运动方程 ! 与相对论性量子 论的 012#$345675$ 方程数学形成上完全一样， 比一 维含时薛定谔方程 （8） 在时间变量上多一次偏导 ! " # " （ #） （8） # # %$ ’ & , ) $! ,$ + * " "# （ #） " 在方程 （/） 中的作 重要的是力函数 ( ’ & " 用与薛定谔方程中的势函数 * （ #） 完全一样， 正是 这一点， 保证了我们能够模拟一维定态薛定谔方程 ! 下面将证明这一点 !
・ 通解为 （ * (） " ,・ /0" + ， % 是定态能量， -%
(
)
% " "- 物 ! 程的时间方程 （*） 的通解为 （ + ）" / ・ 234 "# ・ 0+ 5 1 4-6 "# ・ 0+ ! . 即此弦振动的圆频率为 - 弦 " "# ・ 0 ， 写成
（#1）
的共振驻波几乎出现不了 ! 可以预料， 如果将这个装 置放于真空中， 更高次的驻波一定可以观察到， 实验
8期
刘剑波等： 一维定态薛定谔方程的宏观模拟解法
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量密度 ! 根据牛顿第二定律 （ #） ・ $ ・!# ’ "・!# ・ $%% ! ! "#$ % & ! "#$ ! !& " （(） 因 )* 故 "#$ ! ’ $# ， !’ $# )* ! ’ ! , , !( + )* ! !( + $ # （,） （-）
# # #
$ ! 2， （ (） （ (） ， ’ !) !物 !!弦 ，
- 物 ! -# 弦 ! （##）
（$(）
在 （$&） 式中令 $ " #， 即在弦的势阱中形成一个 驻波 （波长!弦 ） （$&） ， 式化为 ・# （$)） ## " ! # ! !弦 （$(） （$)） ， 式代入对应关系 （$%） 式， 并整理得
第 "# 卷 第 " 期 $##! 年 " 月 （#"） !###2’$:#;$##!;"# ;#<$#2#"
物
理
学
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［!—’］ 用 即将微分方程的 & 本文将研究另外一种方法，
实验模拟法引入量子力学 & 建立一个宏观波动体系， 这个体系所服从的波动方程在数学形式上与薛定谔 方程一样， 那么， 我们就可以用实验的方法研究这个 宏观体系在各种边界条件下所表现出的现象， 这些 宏观现象在数学上对应量子体系的行为 & 这样， 就通 过研究宏观现象巧妙地研究了微观现象 & 这样做有 三点好处： 一是使难以理解的量子现象有了一个宏 观类比； 二是宏观实验可以模拟任意形状的定态势 场约束下德布罗意波的行为， 这是严格求解法和近 似计算法做不到的； 三是通过宏观模拟可以洞察一 些至今没有发现的量子现象 & 对于定态的薛定谔方 程， 本文介绍的工作达到了上述目的 & 在弦上任取一小段 &&7 & 由于弦的振动是微小 的， 故可以认为弦在振动过程中并未伸长， 即可以认 为 &&7 的弧长 !’ , !$ ， 这时张力 ! 是一个常数， 它 与位置 $ 和时间 ( 均无关 & 又由于弦是柔软的， 所以
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