15.6 波函数 一维定态薛定谔方程

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第15章 量子物理基础
二、薛定谔方程
1926年薛定谔提出了适用于低速情况下的, 描述微观粒子在外力场中运动的微分方程，称 为薛定谔方程。
2 2 2 Ψ r , t 2 2 V r , t Ψ r , t i 2 t 2m x y z
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第15章 量子物理基础
势阱内波函数是传播方向相反的两列相干 波叠加而成的驻波。 波长n 满足条件 a n , n 1 , 2 , 2
Ψ n ( x)
n3 n2 n 1
Ψn
2
n3 n2 n 1
O
O
ax
ax
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Ψ 0 0 , 则 B = 0 。 利用边界条件 x = 0，
Ψ x A sin kx
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Ψ a 0 , 则 再利用边界条件 x = a ，
a A sin ka 0
一般来讲 A ≠ 0 , 只有 sin ka = 0 。 有 或 能量
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15.6 波函数 一维定态薛定谔方程
一、波函数及其统计解释 微观粒子具有波动性，1925年奥地利物 理学家薛定谔首先提出用物质波波函数描述 微观粒子的运动状态。 波函数 量子力学中用以描述粒子运动状 态的数学表达式。 自由粒子 不受外力场的作用, 其动量和 能量都不变的粒子。
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Ψ x, t 0e
i
2 E t px h
2
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Ψ x, t 0e
i Et
i
2 E t px h
px
式中 0 是待定常数, 0e 的复振幅, e
i
相当于x 处波函数
反映波函数随时间的变化。
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第15章 量子物理基础
平面机械波波函数的复数形式
y x, t Ae
x i 2 π t
类似, 自由粒子的物质波的波函数也可表示为
Ψ x, t 0e
x i 2 π t
利用 h p , E h
波函数也可表示为
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o
a
x
势能曲线
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第15章 量子物理基础
薛定谔方程
2
d Ψ x 2mE , 0 x a Ψ x 0 2 2 dx 2 d Ψ x 2 2m E k Ψ x 0 令 k 则 2 dx 2
方程通解
Ψ x A sin kx B cos kx
* Ψ 式中 x, t 是波函数 Ψ x, t 的共轭复数。
波函数绝对值平方 Ψ x, t 代表t 时刻，粒子 在空间r 处的单位体积中出现的概率，又称概率 密度， 这是波函数的物理意义。 物质波又称概 率波。
2
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第15章 量子物理基础
在空间某处波函数的二次方跟粒子在该处 2 出现的概率成正比。如果在空间某处 Ψ x, t 的 值越大，粒子出现在该处的概率也越大; Ψ x, t 2 的值越小，则粒子出现在该处的概率就越小。 2 无论 Ψ x, t 如何小，只要不为零，粒子总有可 能出现在该处。 电子双缝干涉图样 单个粒子的出现是偶然 事件, 大量粒子的分布 有确定的统计规律。
物质波波函数是复数，它本身并不代表任 何可观测的物理量。 波函数是怎样描述微观粒子运动状态的？
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1926年德国物理学家波恩提出了物质波的 统计解释：实物粒子的物质波是一种概率波, t 时刻粒子在空间 r 处附近的体积元 dV 中出现的 概率dW与该处波函数绝对值的平方成正比。 2 * dW Ψ r , t dV Ψ r , t Ψ r , t dV
2 2 2
i t
E
2m x 2 y 2 z 2 Ψ(r ) 2 E V Ψ(r ) 0 若粒子在一维空间运动，则
d 2Ψ x 2m 2 E V Ψ x 0 2 dx
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ka nπ , n 1 , 2 ,
nπ 2mE k , n 1, 2 , 2 a
π En n 2 2ma
2
2
2
, n 1, 2 ,
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n 为主量子数，表明粒子的能量是量子化的。
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nπ 波函数 Ψ n x A sin x , n 1 , 2 , a 由于粒子被限制在势阱内运动, 所以 a a 1 2 2 2 2 nπ x dx A a 1 0 Ψ n x dx 0 A sin 2 a 得 A 2 a 2 nπ Ψ n x sin x , n 1 , 2 , 波函数 a a 2 2 nπ 2 概率密度 Ψ n x sin x , n 1 , 2 , a a
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注意
（1）t 时刻 , 粒子在 r 处 dV 内出现的概率
2 dW | Ψ(r , t ) | dV
（2）归一化条件
2 | Ψ(r , t ) | dxdydz 1
粒子在整个空间出现的概率为 1。 （3）概率密度在任一处都是唯一、有限的, 并在整个空间内连续。
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第15章 量子物理基础
讨论 波函数的合理解应满足条件：
（ 1 ）
r
dV 有限、可归一化 。
连续 。
2
（2） , , , x y z
（ 3 ） Ψ x, y, z 为单值函数。
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其中，V = V ( r, t ) 是粒子的势能。 薛定谔方程是量子力学的基本方程，是关 于r 和 t 的线性偏微分方程。
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第15章 量子物理基础
粒子在稳定力场中运动，势能V 、能量 E 不随时间变化，粒子处于定态，波函数写为
Ψ (r , t ) Ψ (r )e
定态薛定谔方程
8ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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在微观粒子的各种定态问题中，将势能函 数 V ( r ) 的具体形式 2 1 e 如，氢原子中的电子 V r 4π 0 r 1 一维线性谐振子 V x m 2 x 2 2 代入薛定谔方程, 可以求得定态波函数, 同 时也就确定了概率密度的分布以及能量和角动 量等。
三、一维无限深势阱中的粒子
设粒子沿 x 轴作一维运动，势能函数为
V x 0 , 0 x a V x , x 0 或 x a
V(x) ∞
∞
束缚于金属内的自由电 子只能在金属内运动，而不 能逃逸出金属表面，可以近 似地认为金属内的自由电子 在一维无限深势阱内运动。