非线性薛定谔方程的五种差分格式
光学课程中一个数值仿真例子光折变离散孤子
1引言差分方法作为求解偏微分方程的基本方法有着直观、明、白容易上手的作用．在物理学中，许多的基本方程，如力学中的拉格朗日方程和哈密顿方程，电磁学或光学中的麦克斯韦方程以及量子力学中的薛定谔方程等，其本质都是一系列的偏微分方程．因此，对偏微分方程的构造和求解，成为物理学中间的一个核心内容，同时也是物理学科教学和学习的主要任务．在以往的教学实践中，许多教材以及教师的讲解往往过分注重于数学上解析方法的讲述，使得很多学生在繁重数学公式面前迷失了物理的本质，并由此产生了不知道自己到底在学物理还是在学习数学的困惑．特别现在许多高校在数学、物理等基础课程学时数遭到压缩的时候，不少学生数学和物理素养不够扎实，这一现象就更为凸显．因此，如何结合目前高校物理学课程设置的现状，探索更有效的教学模式，缓解学生在学习过程中产生不必要的困惑以及提高学习效率，成为了物理学教学环节研究中的一个重要问题．近年来，随着计算机技术和计算机课程的普及，许多基础类或工程类的学科都引入了计算机仿真等模块进行教学，这些模块的引入，使得学生可以更加直观明白有效地理解他们所学习的内容，同时，学生在这些课程和环境的熏陶下，普遍都具有较好的计算机能力．因此，在物理课程中适当引入计算机仿真的模块，对舒缓学生在学习过程中迷失于枯燥的数学公式有一定的作用，而且，引入仿真模块也使得学生更深入地理解数学背后的物理本质有积极的意义．目前，国内对于物理计算机仿真的课程也逐步增多，例如很多高校都开设了计算物理课程的选修或者必修课程．在这些课程中，我们除了讲解一些基本的算法知识，其核心内容就是介绍各类物理学偏微分方程仿真和求解的数值方法．我们在开展这类课程的时候，需要许多实际的例子或者习题对学生进行讲解和训练．而这些例子或者习题，如果能够和前沿领域挂钩，则既可增加学生的科研能力和学习兴趣，又可以让学生快速地了解和把握物理前沿问题．本论文这里所讲的４步差分格式Ｐｅａｃｅｍａｎ－Ｒａｃｈｆｏｒ差分方案，是在简单的Ｃｒａｎｋ－Ｎｉｃｏｌｓｏｎ差分方案的思路上，基于最简单的差分格式延伸而来的二维差分方案［１］．该差分格式通过把二维问题化成一维问题，具有较好的运算效率，而且直观明白，适合课堂中进行讲解及课后进行实践．下面，我们将以离散系统中的非线性薛定方程为例子，讲述这个差分格式与虚时间方法结合在求解二维非线性薛定方程中的仿真运用．众所周知，光波在线性周期离散系统中传播时会出现一些反常衍射、反常折射及分立衍射等反常现象．这些现象在连续，均匀介质中是从来未有遇见到的［２－３］．在传播过程中，当光波与相邻波导之间的线性耦合以及非线性效应平衡的时候，就会形成自局域态．这种自局域态也叫做离散孤子（Ｄｉｓｃｒｅｔｅｓｏｌｉｔｏｎ）［４－７］．在许多科学领域中，离散孤子的研究都是非常热门的研究课题［８］．长期以来，人们对离散系统的研究都局限在一维的系统中，近年来通过利用全息技术，在光折变晶体中产生二维的周期的阵列波导并产生离散孤子，使得二维离散系统得以在实验建立［７］．由于二维系统要比一维系统展示出更加强大的优越性，使它得到了越来越多科学工作者的关注．特别是近年来，随着全息技术在光子晶体制造方面的技术突破，例如可以通过全息技术制造带缺陷的功能型光子晶体材料［９－１０］．缺陷的存在对阵列波导中离散孤子的影响和潜在应用也进入了人们的视线［１１－１２］．由于缺陷的种类是多样的，这使得二维非线性薛定谔方程的有效求解也成为了其中一个重要的问题．一般来说，求解二维的薛定谔方程要比一维困难得多，而且耗费机时，占据内存，运算时间长．本文通过对传统的求解二维问题ＰＲ差分格式的修改，化成四步，用于求解非线性薛定谔方程，并且应用于模拟二维光折变离散孤子的研究．由于该方法不仅得到比较精确的结果，而且节约计算机时间和无条件稳定，这给人们提供了多一个研究此问题的有效手段，同时，该例子也是目Ｖｏｌ．２８Ｎｏ．９Ｓｅｐ．２０１２赤峰学院学报（自然科学版）ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｉｆｅｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）第２８卷第９期（下）２０１２年９月光学课程中一个数值仿真例子：光折变离散孤子陈桂华1，谭穗妍2，庞玮3（１．东莞理工学院电子工程学院，广东东莞５２３８０８；２．华南农业大学应用物理系，广东广州５１０６４２；３．广东工业大学实验教学部大学物理实验中心，广东广州５１０００６）摘要：本文用改进的Ｐｅａｃｅｍａｎ－Ｒａｃｈｆｏｒ（ＰＲ）的差分方案对二维非线性薛定谔方程进行研究，通过结合虚时间方法，以缺陷离散系统模型为例子，分别对带缺陷和不带缺陷光折变晶格波导中的离散孤子进行了模拟，所涉及的内容为目前非线性光学及其它非线性物理领域内的前沿问题．此外，这些内容也可以为计算物理课程、量子力学课程以及光学各类数值仿真模块的例子或习题．关键词：二维非线性薛定谔方程；4步Peaceman-Rachfor 差分方案；离散系统；离散孤子中图分类号：Ｏ４３文献标识码：Ａ文章编号：１６７３－２６０Ｘ（２０１２）０９－００１０－０３基金项目：国家自然科学基金项目（10947140，11104083）１０－－前非线性物理学界的前沿问题，有助于学生通过学习，更多地接触到前沿的物理知识．24步PR 差分方案的介绍标准形式的非线性薛定谔方程如下所示：ｉ鄣ｕ＝－１（鄣２＋鄣２）ｕ＋Ｖ（ｘ，ｙ）ｕ＋σ｜ｕ｜２ｕ（１）如图１所示，我们把２维空间（ｘ，ｙ）进行离散化．差分格式从传统Ｐｅａｃｅｍａｎ－Ｒａｃｈｆｏｒ（ＰＲ）格式出发，传统的ＰＲ差分格式如下：ｉｕｊ，ｍｎ＋１２－ｕｎｊ，ｍ＝－１（Ｄｘｕｊ，ｍｎ＋１＋Ｄｙｕｎｊ，ｍ）＋（Ｖｊ，ｍ＋σ｜ｕｎｊ，ｍ｜２）（ｕｊ，ｍｎ＋１２＋ｕｎｊ，ｍ）ｉｕｊ，ｍｎ＋１－ｕｊ，ｍｎ＋１２＝－１２ａ（Ｄｘｕｊ，ｍｎ＋１２＋Ｄｙｕｎ＋１ｊ，ｍ）＋（Ｖｊ，ｍ＋σ｜ｕｊ，ｍｎ＋１２｜２）（ｕｊ，ｍｎ＋１２＋ｕｎ＋１ｊ，ｍ）２（２）其中：Ｄｘｕｊ，ｍ＝ｕｊ＋１，ｍ－２ｕｊ，ｍ＋ｕｊ－１，ｍＤｙｕｊ，ｍ＝ｕｊ，ｍ＋１－２ｕｊ，ｍ＋ｕｊ，ｍ－１为ｘ，ｙ方向上的二阶分差分格式．我们把上式化成以下的四步：ｉｕｊ，ｍｎ＋１－ｕｎｊ，ｍτ＝１４［－１ａＤｙｕｊ，ｍｎ＋（Ｖｊ，ｍ＋σ｜ｕｎｊ，ｍ｜２）ｕｊ，ｍｎ］（３）ｉｕｊ，ｍｎ＋１２－ｕｊ，ｍｎ＋１４τ＝１４［－１ａＤｘｕｊ，ｍｎ＋１２＋（Ｖｊ，ｍ＋σ｜ｕｎｊ，ｍ｜２）ｕｊ，ｍｎ＋１２］（４）ｉｕｊ，ｍｎ＋３４－ｕｊ，ｍｎ＋１２τ＝１４［－１ａＤｘｕｊ，ｍｎ＋１２＋（Ｖｊ，ｍ＋σ｜ｕｊ，ｍｎ＋１２｜２）ｕｊ，ｍｎ＋１２］（５）ｉｕｊ，ｍｎ＋１－ｕｊ，ｍｎ＋３４＝１［－１Ｄｙｕｊ，ｍｎ＋１＋（Ｖｊ，ｍ＋σ｜ｕｊ，ｍｎ＋１２｜２）ｕｊ，ｍｎ＋１］（６）以上每一步对于未知的ｕ都是一维求法，其中（３），（５）式为显式，（４），（６）式为隐式．这样的交替差分格式，可以大大的节约了计算时间．同时它和传统的ＰＲ格式一样，也是一个具有二阶精度，无条件稳定的差分格式．假如我们令：Ｈ＝１－２ａ（鄣２鄣ｘ２＋鄣２鄣ｙ２）＋Ｖ＋σ｜ｕ｜２（７）方程（１）就会变成标准形式的非线性薛定谔方程，在实际的运行中，我们只需要把步长τ变成τ＝－ｉ·ｃ（其中ｃ为一个实数），然后在每一步的演化中都把波函数按照初始功率进行归一化，则是虚时间方法．实践表明，虚时间的收敛性要比松弛法相对较为容易控制．3利用4步PR 差分方案研究光折变阵列波导中的离散孤子描述离散孤子在光折变晶体中传播方程的表达形式如下：ｉ鄣鄣ｚｕ（ｘ，ｙ）＝－１２ｋｅ（鄣２鄣ｘ２＋鄣２鄣ｙ２）ｕ（ｘ，ｙ）＋△ｎ（Ｉ）ｕ（ｘ，ｙ）（８）在方程里面，ｋｅ＝ｋ０ｎｅ，ｎｅ为晶体中ｅ光的折射率．在这里ｕ的偏振方向取作与晶体中ｅ光的偏振方向相一致（平行于ｃ轴）．同时：△ｎ（Ｉ）＝Ｎｅ（９）在这里，我们已经略去了光折变效应中的光生伏打效应和载流子扩散效应，只保留其中的屏蔽光折变非线性效应．（９）式中的光强Ｉ（ｘ，ｙ）＝｜ｕ｜２＋｜Ｖ（ｘ，ｙ）｜２，它是用暗辐照Ｉｄ归一化的光强．Ｖ为产生周期阵列波导的光场，一般通过全息技术产生，它的偏振方向和晶体中ｏ光的偏振方向一致（垂直于ｃ轴）．由于光折变晶体一般具有较高的电光各向异性（ｒ１３＜＜ｒ３３），因此Ｖ光的非线性效应可以近似忽略，可看作是线性的传播．Ｎｅ＝ｋ０ｎ３ｅｒ３３Ｅ０／２，Ｅ０为晶体上的外加电场．显然，方程（８）的表达形式可以用４步ＰＲ算法和虚时间算法进行求解．我们选取具有光折变效应的铁电氧化物ＳＢＮ作为我们数值模拟的样本，晶体的电光张量系数ｒ３３＝１３４０ｐｍ／Ｖ，ｅ光图１ｘ，ｙ离散网格（ａ）（ｂ）（ｃ）图２无缺陷下离散孤子的光强分布图（ａ）用全息技术产生的无缺陷阵列波导的（ＸＹ）示意图（ｂ）在该阵列波导中离散孤子的（ＸＹ）示意图（ｃ）离散孤子３维示意图１１－－折射率ｎｅ＝２．２２２９，其横向尺寸取为ｌ＝ｍ＝５ｍｍ．假设产生周期阵列波导的光场利用全息技术产生，由于目前在全息技术中，可以产生缺陷的全息图像的技术已经出现和被报道，如多光束相位控制技术就是其中一种重要的可以产生缺陷的全息技术［１０］，该技术已经被广泛应用于功能性带缺陷的光子晶体的制造中．在这里，我们假设该技术也用于产生带缺陷的周期阵列波导．我们取干涉光强分布为正方格子，其的表达式为：｜Ｖ（ｘ，ｙ）｜２＝｜Ｖ０／２｜２Ｋ（ｘ，ｙ）［ｃｏｓ（πｘ／Ｄ）＋ｃｏｓ（πｙ／Ｄ）］２，其中Ｋ（ｘ，ｙ）为缺陷函数，在模拟中，我们取｜Ｖ０｜２＝４，Ｄ＝１０μｍ．加在光折变晶体上的横向电压我们假设为ＵＶ＝８００Ｖ，则横向电场Ｅ０≈（ＵＶ／Ｗ）（１＋Ｖ０２）姨＝３５７ｖ／ｍｍ［７］．以下是我们运用该数值方法模拟的一些结果．其中图２描述在无缺陷（Ｋ（ｘ，ｙ）＝１）的阵列波导及相应的离散孤子的光强分布，而图３则描述阵列波导在负点缺陷情况下（Ｋ（ｘ，ｙ）＝１－ｅｘｐ［－（ｘ２＋ｙ２）／（０．５Ｄ）２］）的图及其离散孤子的光强分布图．稳定性分析表明，这些孤子解都是稳定的．以上的模拟是在Ｍａｔｌａｂ平台上进行的，现在不少的学科仿真也都基于Ｍａｔｌａｂ平台开展［１３］．同时，Ｍａｔｌａｂ软件的编程和应用，是许多高校理工类学生必修、选修或者自学对象．因此，本文的模拟，可以作为计算物理及相关课程的例题或者习题，供学生进行学习和练习．4结论本文利用４步ＰＲ算法和虚时间方法相结合，研究了二维阵周期列波导中的离散孤子进行了研究，从模拟的结果来看，算法和传统方法得出的结果相一致，由于４步法把二维化为一维问题去进行计算，所以非常节省计算资源．同时本文所论述的例子，可以作为一些专业课程如计算物理课程、量子力学课程以及光学各类课程数值仿真模块的例子或者习题．通过这一学习和练习，学生既可以掌握利用４步ＰＲ算法和虚时间方法相结合的方式处理二维系统的方法，又可以了解到什么是离散系统，什么是离散孤子以及光折边晶体的一些基本知识．对拓展学生的物理知识面有积极的作用．———————————————————参考文献：〔1〕陆金甫，偏微分方程的数值解法(第二版)[M].北京：清华大学出版社，2004.〔2〕H.S.Eisenberg,and Y.Silberberg,“Diffraction Man -agement,”,Phys.Rev.Lett.85,1863(2000).〔3〕D.N.Christodoulides, F.Lederer,and,Y.Silberberg,“Discretizing light behaviour in linear and nonlinearwaveguide lattices ”,Nature,424,817(2003).〔4〕F.Lederer,C.I.Stegeman,et.al.“Discrete solitons in optics ”,Physics Reports,463,1-126(2008).〔5〕H.S.Eisenberg,and Y.Silberberg,“Discrete SpatialOptical Solitons in Waveguide Array ”,Phys.Rev.Lett.81,3383(1998).〔6〕N.K.Efremidis,S.Sears,et.al.“Discrete solitons inphotorefractive optically induced photonic lattices ”,Phys.Rev.E.66,046602(2002).〔7〕J.W.Fleischer,M.Segev,et.al.“Discrete solitons inoptically induced nonlinear photonic lattices ”,Nature,422,147(2003).〔8〕S.Flach, A.V.Gorbach,“Discrete breather-Advancesin theory and applications ”,Physics Reports,467,1-116(2008).〔9〕X.S.Xie,M.Li,et.al.“Phase manipulated multi-beam holographic lithography for tunable optical lat -tices ”,Optics Express,15,7032(2007).〔10〕Juntao Li,Yikun Liu,et.al.“Fabrication of photoniccrystals with functional defects by one-step holographic lithography ”,Optics Express,16,12899(2008).〔11〕I.Makasyuk,and Zhigang Chen,“Band -Gap Guid -ance in Optically Induced Photonic Lattices with a Negative Defect ”,Phys.Rev.Lett.96,223903(2006).〔12〕B.Freedman,G.Bartal,et..al.“Wave and defect dy -namics in nonlinear photonic quasicrystals ”,Nature,440,1166(2006).〔13〕黎永耀,麦志杰,吴剑雄,付神贺,刘岩.基于Matlab 平台下量子力学课中的“实验”课[J].赤峰学院学报,2011,27(10):13-14.（ａ）（ｂ）（ｃ）图３带缺陷阵列波导下离散孤子的示意图（ａ）利用多光速相位控制全息技术产生的带缺陷的阵列波导（ｂ）缺陷离散孤子的（ＸＹ）示意图（ｃ）缺陷离散孤子的三维示意图１２－－。
288 268 非线性薛定谔方程
v c
k nω
n
c
将k在ω0附近展开：
k
k0
k ω
|w0
(w w0 )
1 2
2k ω2
|w0
(w w0 )2
...
对 E作付里叶变换： E(x,t) 1
e(k, ω)ei(ω•tk•x)d kd ω
2π
e(x,t) 1
E(x, t)ei(ω•tk•x)dxd t
2π
NLSE的导出
上式称为Lax方程。算符L、M 称为Lax对。找到Lax对就可以
用反散射法求解非线性方程。
反散射法结果
对于一般的NLSE，i h h 2 2 b | |2 V (x,t)
2m
分四种情况讨论：
NLSE的反散射解法
V (x,t) 0,b const 0 V (x,t) const,b 0
E i ω e, E ike
t
x
ω ~ i , k ~ i
t
xkk0Fra bibliotekk ω
|w0
(w w0 )
1 2
2k ω2
|w0
(w w0 )2
...
k k ' ω 1 k ''( ω)2 2
i ik ' 1 k '' 2 x t 2 t2
E E 1 2E
i ik ' k ''
冲形成孤立波。
NLSE的解析解法
反散射解法
微扰法
高阶NLSE
变分法
NLSE的反散射解法
Schrödinger方程的反散射问题 已知散射数据km, Cm(km), R(k), T(k), ψ(x→∞),则位势 u(x)为：
5第五讲 典型模型方程-波动方程的差分格式
得到 高阶精度的Runge-Kutta方法，其步骤相同。如四阶精度的Runge-Kutta方法
若采用二阶空间差分格式，则其 提高时间导数的差分精度。
， Runge-Kutta方法仅
Comments
• 高阶精度的差分格式需要更多的计算资源和推
导计算的复杂性。 • 一般情况下，二阶精度的差分格式能提供足够 的精度。 • 对于一维波动方程，二阶精度的显格式如 Lax-Wendroff格式在计算资源消耗少的情 况下能给出很好的数值解。隐格式在相对较小 的时间步长情况下，计算中可能导致一些不稳 定解，且需要存储中间时间层上的值和求解方 程组，消耗较多的计算资源，不一定是最优的 原则。
为了使其为稳定差分方法，修正如下
：
因此，此差分方程不一定总相容于PDE，当 则相容，为条件相容。
t 0, x 0 x
t 0, x 0
2
t
0
?
时，v保持为常数，
Lax差分方法的耗散性和色散性分析
当v不为1时，耗散性很强。
理解下图？？？
Euler差分方法（如下）不稳定
其辐角误差为：
因此相对相位误差（relative phase shift error）（见图4.3）为：
因此，当
1 e 1 e
leading phase error lagging phase error
solution : u ( x, t ) sin[6 ( x ct )]
（4-2）
泰勒展开：
n n 1 u u 在 j 处展开， j 在 u n j 处展开，
utt j 在 utt nj 处展开，相减后 泰勒展开：
n 1
（4.57）式两式相减，并整理得：
极坐标下二维非线性薛定谔方程的有限差分方法
收稿日期：2020-09-13作者简介：杨程程（1996-），女，辽宁铁岭人，硕士研究生。
极坐标下二维非线性薛定谔方程的有限差分方法杨程程，张荣培（沈阳师范大学数学与系统科学学院，辽宁沈阳110034）摘要：对圆形区域上的二维非线性薛定谔方程进行了研究。
首先，用极坐标方式表示拉普拉斯算子，将计算区域分别沿r 和θ方向进行网格划分，运用中心差分的方法进行空间离散，离散格式用Kronecker 积表示，并写成非线性常微分方程组的形式。
然后，应用积分因子方法进行时间离散，在实现过程中采用Kroylov 子空间的方法求解指数矩阵与向量的乘积。
最后，在数值试验中给出爆破解的数值算例，证明了该方法可以有效地捕捉爆破现象。
关键词：二维非线性薛定谔方程；极坐标；中心差分；Kroylov 子空间中图分类号：TP273文献标识码：A文章编号：1673-1603（2021）01-0092-05DOI ：10.13888/ki.jsie （ns ）.2021.01.018第17卷第1期2021年1月Vol.17No.1Jan.2021沈阳工程学院学报（自然科学版）Journal of Shenyang Institute of Engineering （Natural Science ）非线性薛定谔方程是量子力学中最重要的方程之一，在等离子物理、非线性光学、激光晶体中的自聚焦、晶体中热脉冲的传播以及在极低温度下的Bose -Einstein 凝聚体的动力学等领域内有着重要的应用［1-4］。
近年来，许多学者在求解非线性薛定谔方程时应用了许多数值方法，例如有限差分方法［5］、有限元法［6］、谱方法［7］和紧致积分因子法［8］等等。
但这些方法均在直角坐标系下求解，而在极坐标下求解的非线性薛定谔方程的文章比较少［9］，本文考虑在圆形区域上求解极坐标下的二维非线性薛定谔方程。
考虑计算区域为Ω={}()x ,y :x 2+y 2<1的二维非线性薛定谔方程：iu t +Δu +||u 2u =0（1）式中，u ()x ,y 为复函数；i 2=-1为虚数单位；Δu =u xx +u yy 为拉普拉斯算子。
非标准有限差分法求解薛定谔方程
收稿日期:20181009基金项目:山东省高校科技计划资助项目(J 17K B 053);山东省教育教学研究项目(2018J X Y 3076);青岛理工大学琴岛学院教育教学研究重点项目(2018003A ).作者简介:刘明鼎(1982),男,辽宁大连人,青岛理工大学琴岛学院副教授.第31卷第2期2019年4月沈阳大学学报(自然科学版)J o u r n a l o f S h e n y a n g U n i v e r s i t y (N a t u r a l S c i e n c e )V o l .31,N o .2A pr .2019文章编号:2095-5456(2019)02-0165-04非标准有限差分法求解薛定谔方程刘明鼎,林 鑫,张艳敏(青岛理工大学琴岛学院基础部,山东青岛 266106)摘 要:结合非标准有限差分方法构造求解薛定谔方程的两种非标准有限差分格式,格式利用时间和空间的步长函数来近似逼近时间和空间的导数项,计算了两种差分格式的局部截断误差.数值实验验证了非标准有限差分格式的有效性,数值精度高于传统有限差分格式.关 键 词:薛定谔方程;非标准有限差分法;非标准有限差分格式;有限差分格式;局部截断误差中图分类号:O 241.82 文献标志码:A薛定谔方程是物理领域量子力学的一个重要方程.可以用来讨论单色波的一维自调适㊁光学的自陷现象㊁固体中的热脉冲传播㊁等离子体中的L a n gn u i 波㊁超导电子在电磁场中运动以及激光中原子的B o s e -E i n s t e i n 凝聚效应等[13],也被用于研究深水波浪理论㊁柱(球)非线性薛定谔方程[45],因此研究此类方程具有重要的意义.本文结合构造非标准有限差分格式的特点[68],给出求解薛定谔方程的一种非标准有限差分格式.通过分析,证明了构造的差分格式是无条件稳定和收敛的.数值算例验证了该方法是有效的.1 两种非标准有限差分格式的构造考虑如下初边值薛定谔方程:췍u (x ,t )i 췍t =췍2u (x ,t )췍x2+u (x ,t )+f (x ,t ),0<x <L ,0<t ɤT ,(1)初始条件u (x ,0)=φ(x ),0ɤx ɤL ,(2)边界条件u (0,t )=ϕ0(t ),u (L ,t )=ϕ1(t ),0<t ɤT .(3)这里i 为虚数单位,f ,φ,ϕ0,ϕ1为已知连续函数,L ,T 为非负常数.对区域[0,L ]ˑ[0,T ]进行分割,以h =L M为空间步长,Δt =T N为时间步长,网格点为(x m ,t n ),其中x m =m h ,m =0,1, ,M ,t n =n Δt ,n =0,1, ,N ,这里M ,N 为正整数.定义数值解u nm =u (x m ,t n ). 1.1 第一种非标准有限差分格式的构造利用M I C K E N S 方法[6],以及文献[911]在网格点处对式(1)离散后的差分方程为u n +1m-u n mi D 1=u n m +1-2u n m +u nm -1D 2+u n m +f n m .(4)其中,分母函数满足:D 1=e (Δt )-1,D 2=4s i n 2ˑh æèçöø÷2.当Δt ң0,D 1=e (Δt )-1等价于Δt .当h ң0,D 2=4s i n 2h æèçöø÷2等价于h 2.这里对时间的一阶导数离散后的分母利用函数D 1代替传统的分母Δt,对空间的二阶导数离散后的分母利用函数D 2代替传统的分母h 2.这种分母函数的选择也依据薛定谔方程解的性质[4].记D 1D 2=R 1,D 1=R 2,对式(4)整理u n +1m -u n m =i R 1(u n m +1-2u n m +u n m -1)+i R 2u n m +i R 2f nm ,(5)对式(5)进一步整理u n +1m=(1+i R 2-2i R 1)u n m +i R 1u n m +1+i R 1u nm -1+i R 2f nm .(6)Copyright©博看网 . All Rights Reserved.则式(6)即为式(1)第一种非标准有限差分格式.1.2 第一种非标准有限差分格式的局部截断误差记u nm =u (x m ,t n ),利用T a y l o r 展开公式计算得到非标准有限差分格式(6)的局部截断误差.定义差分符号췍t u n m=u n +1m-u nmi D 1,췍x 췍췍xu n m =u nm +1-2u n m +u nm -1D 2.利用T a y l o r 展开得到局部截断误差τn m[11],得到τn m =췍t u n m -췍x 췍췍x u n m -u n m =(췍t u n m -u t (x m ,t n ))-(췍x 췍췍x u n m -u x x (x m ,t n ))-(u n m -u (x m ,t n ))=Δt i D 1æèçöø÷-1u t (x m ,t n ))+(Δt )22i D 1u t t (x m ,췍t n )-h 2D 2æèçöø÷-1u x x (x m ,t n )-h 412D 2u x x x x (췍x m ,t n )=O (Δt +h 2).这里췍t n ɪ(t n ,t n +1),췍x m ɪ(x m ,x m +1),当Δt ң0,h ң0时,局部截断误差τnm ң0.1.3 第二种非标准有限差分格式的构造采用与第一种非标准有限差分格式构造同样的原理,对于u (x ,t)采用非局部的离散方式.在点(x m ,t n )处,令u n m =12(u n m +1+u nm -1),则式(1)离散后的差分方程为u n +1m-u n mi D 1=u n m +1-2u n m +u nm -1D 2+12(u n m +1+u n m -1)+f nm .(7)其中,分母函数D 1㊁D 2与式(4)所对应的分母函数相同.对式(7)进行整理得u n +1m=(1-2i R 1)u nm +i R 1+i R 2æèçöø÷2ˑ(u n m +1+u n m -1)+i R 2f nm .(8)则式(8)即为式(1)第二种非标准有限差分格式.1.4 第二种非标准有限差分格式的局部截断误差使用与第一种非标准有限差分格式计算局部截断误差相同的记号,对式(8)利用T a yl o r 展开得到局部截断误差τn m .τn m =췍t u n m -췍x 췍췍x u n m -12(u n m +1+u n m -1)=(췍t u n m -u t (x m ,t n ))-(췍x 췍췍x u n m -u x x (x m ,t n ))-12((u n m +1-u (x m ,t n )+(u n m -1-u (x m ,t n ))=Δt i D 1-æèçöø÷1u t (x m ,t n )+(Δt )22i D 1u t t (x m ,췍t n )-h 2D 2+h 22-æèçöø÷1u x x (x m ,t n )-h 412D 2+h 4æèçöø÷24u x x x x (췍x m ,t n )=O (Δt +h 2).这里췍t n ɪ(t n ,t n +1),췍x m ɪ(x m ,x m +1),当Δt ң0,h ң0时,局部截断误差τnm ң0.1.5 标准有限差分格式利用标准的有限差分方法构造的显示有限差分格式为u n +1m -u n m i (Δt )=u n m +1-2u n m +u nm -1h2+u n m +f nm .2 数值算例考虑如下初边值问题:췍u i 췍t =췍2u 췍x2+u -e x +i t ,0<x <1,0<t ɤ1,u (x ,0)=e x,0ɤx ɤ1,u (0,t )=e i t ,u (1,t )=e 1+i t ,0<t ɤ1.精确解为u (x ,t )=e x +i t .取时间步长为0.05,空间步长为0.1.D 1=e (Δt )-1,D 2=4s i n2h æèçöø÷2,分别对非标准有限差分格式一㊁格式二与传统标准有限差分格式进行数值比较,结果见表1.表1 数值解误差T a b l e1 E r r o r o f n u m e r i c a l s o l u t i o n(x ,t)精确解实部虚部格式一误差实部虚部格式二误差实部虚部标准差分格式误差实部虚部(0.1,1.0)0.597130.929973.548ˑ10-42.681ˑ10-42.030ˑ10-44.128ˑ10-52.618ˑ10-33.044ˑ10-3(0.2,1.0)0.659931.027778.268ˑ10-43.411ˑ10-44.443ˑ10-41.592ˑ10-45.319ˑ10-42.852ˑ10-3(0.3,1.0)0.729331.135874.368ˑ10-43.584ˑ10-45.361ˑ10-53.234ˑ10-43.559ˑ10-34.981ˑ10-3(0.4,1.0)0.806041.255335.148ˑ10-56.125ˑ10-55.990ˑ10-44.621ˑ10-54.698ˑ10-36.128ˑ10-4(0.5,1.0)0.890811.387358.269ˑ10-47.158ˑ10-46.128ˑ10-56.716ˑ10-47.224ˑ10-45.489ˑ10-3661沈阳大学学报(自然科学版) 第31卷Copyright©博看网 . All Rights Reserved.续表1(x,t)精确解实部虚部格式一误差实部虚部格式二误差实部虚部标准差分格式误差实部虚部(0.6,1.0)0.984491.533264.125ˑ10-45.891ˑ10-46.102ˑ10-47.048ˑ10-48.698ˑ10-47.162ˑ10-4 (0.7,1.0)1.088041.694513.266ˑ10-54.125ˑ10-53.000ˑ10-54.059ˑ10-58.123ˑ10-38.168ˑ10-4 (0.8,1.0)1.202461.872733.200ˑ10-43.128ˑ10-44.159ˑ10-42.618ˑ10-45.136ˑ10-45.126ˑ10-3 (0.9,1.0)1.328932.069682.981ˑ10-45.269ˑ10-42.782ˑ10-42.998ˑ10-43.025ˑ10-36.024ˑ10-4从表1可以看出,利用非标准有限差分方法构造的格式一和格式二的数值精度明显优于传统的有限差分格式.但是格式一和格式二在数值精度方面差别不大.分析其中的原因,主要是因为当方程中具有非线性项的时候,采用非局部的离散方式效果会更好.u2可以通过u2ңu n m+1u n m离散方式来逼近,或者u3ң12(u n m+1+u n m-1)(u n m)2来逼近效果会好于传统的有限差分格式.3结论非标准有限差分格式的构造需要考虑偏微分方程解的特征.非标准格式在保持原偏微分方程的性质方面比传统的差分格式更有效[1113].目前还没有研究薛定谔方程的精确差分格式的相关文献.在接下来的工作中,将利用文献[67]的方法讨论深水波浪非线性薛定谔方程的精确有限差分格式.参考文献:[1]员保云,庞晶.求解非线性薛定谔方程的几种方法[J].激光与光电子学进展,2014,51(4):6166.Y U A N B Y,P A N G J.S e v e r a l m e t h o d s f o r s o l v i n gn o n l i n e a r S c h röd i n g e r e q u a t i o n[J].L a s e r&O p t o e l e c t r o n i c sP r o g r e s s,2014,51(4):6166. [2]张凯瑞,姜子文.一维薛定谔方程的紧致有限体积方法[J].山东师范大学学报(自然科学版),2018,33(2):150153.Z HA N G K R,J I A N G Z W.C o m p a c tf i n i t e v o l u m em e t h o df o r o n e-d i m e n s i o n a l S c h röd i n g e r e q u a t i o n[J].J o u r n a l o f S h a n d o n g N o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e),2018,33(2):150153.[3]郑春雄.薛定谔方程的整体几何光学近似[J].计算数学,2018,40(2):241226.Z H E N GCX.G l o b a l g e o m e t r i c a l o p t i c s a p p r o x i m a t i o n t ot h e S c h röd i n g e r e q u a t i o n[J].M a t h e m a t i c a N u m e r i c aS i n i c a,2018,40(2):241226.[4]张义丰,李瑞杰,罗锋,等.深水波浪非线性薛定谔方程及其精确解[J].水科学进展,2009,20(3):361365.Z HA N G YF,L I RJ,L U OF,e t a l.N o n l i n e a r S c h röd i n g e re q u a t i o nf o r d e e p-w a t e r a n d i t s e x a c t s o l u t i o n s[J].A d v a n c e s i n W a t e r S c i e n c e,2009,20(3):361365.[5]李景美,张金良,王飞.柱(球)非线性薛定谔方程的精确解[J].河南科技大学学报(自然科学版),2018,39(2):8386.L IJ M,Z H A N G J L,WA N G F.E x a c ts o l u t i o n s o fc y l i nd r i c a l l y(s p he r i c a l l y)n o n l i n e a rS c h röd i n g e re q u a t i o n[J].J o u r n a l o f H e n a n U n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n dT e c h n o l o g y(N a t u r a l S c i e n c e),2018,39(2):8386.[6]M I C K E N S R E.A n o n s t a n d a r df i n i t e-d i f f e r e n c es c h e m ef o rt h e L o t k a-V o l t e r r as y s t e m[J].A p p l i e d N u m e r i c a lM a t h e m a t i c s,2003,45(2):309314.[7]M I C K E N SR E.C o n s t r u c t i o no f an o v e l f i n i t e-d i f f e r e n c es c h e m e f o ran o n l i n e a rd i f f u s i o ne q u a t i o n[J].N u m e r i c a lM e t h o d s f o rP a r t i a lD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s,1991,7(3):299302.[8]L A R S S O NS,T H OMÉE V.P a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hn u m e r i c a lm e t h o d s[M].B e r l i n:S p r i n g e rS c i e n c e&B u s i n e s s,2008:131.[9]L IC,A N C,Y EJ.N u m e r i c a la p p r o a c h e st of r a c t i o n a lc a l c u l u s a n df r a c t i o n a lo rd i n a r y d i f fe r e n t i a le q u a t i o n[J].J o u r n a lo fC o m p u t a t i o n a lP h y s i c s,2011,230(9):33523368.[10]F O R S Y T H E G E,WA S OW W R.F i n i t e-d i f f e r e n c em e t h o d sf o r p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s[M].N e wY o r k:W i l e y P u b l i s h i n g,1960:102104. [11]张蕾.几类偏微分方程非标准有限差分格式的研究[D].哈尔滨:哈尔滨工业大学,2014.Z HA N G L.R e s e a r c h o n n o n s t a n d a r d f i n i t e d i f f e r e n c es c h e m e sf o r s e v e r a l p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s[D].H a r b i n:H a r b i n I n s t i t u t e o fT e c h n o l o g y,2014.[12]马亮亮.变系数空间分数阶对流-扩散方程的有限差分解法[J].沈阳大学学报(自然科学版),2013,25(4):341-344.MA L L.F i n i t ed i f f e r e n c e m e t h o d sf o rs p a c ef r a c t i o n a lc o n v e c t i o n-d i f f u s i o ne q u a t i o nw i t h v a r i a b l e c o ef f i c i e n t s[J].J o u r n a l o f S h e n y a n g U n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c e),2013,25(4):341344.[13]马亮亮,刘冬兵.一类变时间分数阶含源项非定常奇异摄动对流扩散方程的数值分析[J].沈阳大学学报(自然科学版),2013,25(5):424427.MA L L,L I U D B.N u m e r i c a la n a l y s i sf o rac l a s so fv a r i a b l e o r d e r t i m e f r a c t i o n a l n o n-c o n s t a n t s i n g u l a r l yp e r t u r b e dc o n v e c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n w i t hs o u r c et e r m[J].J o u r n a lo fS h e n y a n g U n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c e),2013,25(5):424427.(下转第172页)761第2期刘明鼎等:非标准有限差分法求解薛定谔方程Copyright©博看网 . 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五次非线性Schrodinger 方程的一个新型守恒紧致差分格式
1 引言
非线性 Schr¨odinger 方程在量子力学、非线性光学等物理领域有着非常广泛的应用. 本 文研究如下一类五次非线性 Schr¨odinger 方程的初边值问题 [1]
iut + uxx − (|u|2 + |u|4)u = f (x, t)u, u(x, 0) = u0(x), x ∈ [a, b], u(a, t) = u(b, t) = 0, t ∈ (0, T ],
Vol. 39 ( 2019 ) No. 4
数学杂志
J. of Math. (PRC)
五次非线性 Schr¨odinger 方程的一个新型守恒紧致差分格式
薛 翔, 王廷春
(南京信息工程大学数学与统计学院, 江苏 南京 210044)
摘 要: 本文研究了带五次项的非线性 Schr¨odinger 方程初边值问题. 利用有限差分法构造了一
校“青蓝工程”.
作者简介: 薛翔 (1990–), 男, 安徽合肥, 硕士, 主要研究方向: 偏微分方程数值解.
556
数学杂志
Vol. 39
象进行了数值模拟; Argyris 和 Akrivis 等人 [6−9] 运用有限元法对该方程进行了数值研究; Dehghan 和 Mirzaize 运用无网格法对该方程进行了数值求解 [10−11]. 文献 [12–14] 则运用谱 方法和拟谱方法对该方程进行了数值求解和误差分析. 因编程简单并能保持原问题的某些守 恒性质, 有限差分法广泛应用于非线性 Schr¨odinger 方程的数值模拟 [15−18]. 然而关于五次非 线性 Schr¨odinger 方程的数值研究尚不多见. 张鲁明、常谦顺等人 [1−2] 对该方程提出两个二 阶有限差分格式, 证明其保持原问题的两个守恒性质, 同时建立了 L2 范数下的最优误差估 计. 王询等人 [19] 用待定系数的方法构建了一类五点有限差分格式, 该格式族在选取适当的参 数后, 其计算精度在空间可达四阶, 然而计算中在每一个时间步都需要求解一个五对角代数 方程组. 为提高精度, 文献 [20] 提出一个紧致有限差分格式, 但该格式是非线性的, 计算中不 可避免的需要迭代, 从而降低计算效率. 另外, 该文作者也没有分析该格式是否在离散意义下 保持原问题的两个守恒性质. 鉴于以上分析, 本文旨在对问题 (1.1)–(1.3) 构造一个线性化紧 致有限差分格式, 使得新格式在离散意义下依然保持原问题的两个守恒性质.
标准非线性薛定谔方程的解析解与数值解
+
βu
u2
+
v2
=0
空间离散偏微分方程组（36）得：
（33） （34）
（1） （35） （36）
6
∂ui ∂t
=
−α
vi+1
− 2vi + vi−1 ∆x2
+ β vi (ui2
+ vi2 )
∂vi ∂t
=α
ui+1
− 2ui ∆x2
+
ui−1
−
β ui
(ui2
+
vi2 )
（37）
其中 ui (t) = u(xi ,t), vi (t) = v(xi ,t), xi = i∆x,i = 1, 2,..., m −1.
υ ''(ξ ) = 3a1 prF 2 − 3a1 pqF + b1rpFG
（14） （15） （16）
将（14），（15），（16）式代入（13）式，并注意到（2），（3）可得到
−Za13F 3 + (3a1 prX − 3Za0a12 − 6Za1b12r )F 2 + (−3a1 pqX p
标准非线性薛定谔方程的解析解与数值解
母应坤
(2006061102)
（黔南民族师范学院 物理与电子科学系，贵州 都匀 558000）
摘 要 ：本文分别介绍了非线性薛定谔方程的两种求解方法即解析法与数值法，并对其
解析解和数值解进行了简单的分析和讨论。
关键词 ：非线性薛定谔方程 ；精细积分；Riccati 方程求解法 ；Weierstrass 椭圆函数解
− 3Za02b1
+
Zb13q p
求解薛定谔–泊松方程组的时间分裂紧致差分格式
关键词
非线性薛定谔–泊松方程组，四阶紧致差分，Sine变换，时间分裂法
Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
云南财经大学统计与数学学院，云南 昆明
收稿日期：2018年12月11日；录用日期：2019年1月2日；发布日期：2019年1月9日
文章引用: 姜珊, 刘荣华, 马秀, 王汉权. 求解薛定谔–泊松方程组的时间分裂紧致差分格式[J]. 应用数学进展, 2019, 8(1): 7-25. DOI: 10.12677/aam.2019.81002
th nd th
Abstract
In this paper, we have introduced fourth-order compact finite difference, the time splitting method and the Crank-Nicolson method to solve the nonlinear Schrödinger-Poisson equations. Based on fast Sine transform, we construct a fast solver for the fully discretized system. The presented numerical algorithm has been used to solve one-dimensional, two-dimensional and three-dimensional nonlinear Schrödinger-Poisson equations. We provide specific numerical examples. Through the MATLAB software, we write matlab programs based on the presented numerical algorithm, calculate approximated error and draw the approximated numerical solution. The numerical results prove that the presented algorithm has spectral accuracy in space direction. They also confirm its efficiency and stability.
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暨南大学学报（自然科学版）２００６芷
的解的绝对值与原方程的解析解的绝对值得误差的绝对值的图像：４１．如图１～８所示当ｒ＝０．２７５时，得到图９
４．２可以通过数值实验得到４种差分格式的运行时问．用ＭＡＴＬ～Ｂ在ＰｅｎｔｉｕｍＰＣ上实现４种差分格式引，当时间步长为０Ｏｌ，空间步长为０．２时，得到表１所示时间．
图１由差分格式（ｂ）得到的解的绝对值与解析解的绝对值的误差的绝对值
图３由差分格式（ｄ）得到的解的绝对值与解析解的绝对值的误差的绝对值
圈５从图像上方看差分格式（ｂ）得到的解的绝对值与解析解的绝对值的误差的绝对值
图７从图像上方看差分格式（ｄ）得到的解的绝对值与解析解的绝对值的误差的绝对值
图２由差分格式（ｃ）得到的解的绝对值与解析解的绝对值的误差的绝对值
图４由差分格式（ｅ）得到的解的绝对值与解析解的绝对值的误差的绝对值
图６从图像上方看差分格式（Ｃ）得到的艇的绝对值与解析解的绝对值的误差的绝对值
图８从图像上方看差分格式（ｅ）得到的解的绝
对值与解析解的绝对值的误差的绝对值
非线性薛定谔方程的五种差分格式
作者：王秀凤， 陈辉， 范德辉， 张传林， WANG Xiu-feng， CHEN Hui， FAN De-hui， ZHANG Chuan-lin
作者单位：暨南大学数学系,广东,广州,510632
刊名：
暨南大学学报（自然科学与医学版）
英文刊名：JOURNAL OF JINAN UNIVERSITY（NATURAL SCIENCE & MEDICINE EDITION）
年，卷(期)：2006,27(3)
1.CLEMENS H;CHRISTIAN R A note on the symplectic integration of the nonlinear Schrodinger equation 2004(03)
2.胡良剑;丁晓东;孙晓君数学实验使用MATLAB 2001
3.余德浩;汤华中微分方程数值解法 2003
4.徐长发实用偏微分方程数值解法 1990
5.高政祥原子和亚原子物理学 2001
1.李文娴线性薛定谔方程差分格式的研究[期刊论文]-科技信息2009(23)
2.李文娴.LI Wen-xian非线性薛定谔方程二层差分格式的讨论[期刊论文]-嘉应学院学报2009,27(3)
3.张鲁明非线性Schr(o)dinger方程的高精度守恒差分格式[期刊论文]-应用数学学报2005,28(1)
4.左进明.张天德.鲁统超.ZUO Jin-ming.ZHANG Tian-de.LU Tong-chao广义非线性Schr(o)dinger方程的一个新的守恒差分格式[期刊论文]-高校应用数学学报A辑2006,21(1)
5.王秀凤.张磊.WANG Xiu-feng.ZHANG Lei非线性Schr(o)dinger方程的辛算法[期刊论文]-西南民族大学学报（自然科学版）2007,33(5)
6.谢树森.尹丽萍.XIE Shu-Sen.YIN Li-Ping耦合非线性薛定谔方程的高精度守恒差分格式[期刊论文]-中国海洋大学学报(自然科学版)2009,39(3)
7.闫凯.YAN Kai非线性薛定谔方程的数值计算研究[期刊论文]-牡丹江师范学院学报（自然科学版）2009(2)
8.张静.张鲁明.陈娟.Zhang Jing.Zhang Luming.Chen Juan非线性Schrosinger方程的一种数值模拟方法[期刊论文]-数学物理学报2007,27(6)
本文链接：/Periodical_jndxxb200603003.aspx。