非线性薛定谔方程的孤子解和怪波解
两类非线性波动方程的精确解与怪波中期报告
两类非线性波动方程的精确解与怪波中期报告
本中期报告主要介绍两类非线性波动方程的精确解和怪波现象的研
究进展。
具体内容如下：
1. KdV方程和NLS方程的精确解
KdV方程和NLS方程都是重要的非线性波动方程，它们在物理学和
数学上都具有广泛的应用。
近年来，研究人员通过不同的方法，发现了
这两个方程的不同类型的精确解。
其中包括孤子、鬼波、无穷孤立子等。
我们在研究KdV方程的精确解时，主要关注的是孤子解。
通过借鉴Lax对点积算子的定义，将KdV方程的解表示为Lax对点积算子与一个特殊的向量的乘积形式，得到了其一维孤子解。
而对于NLS方程，研究人
员则从另一个角度出发，通过使用几何代数的方法，指出了其两维孤子
解和鬼波解。
2. 怪波现象的研究进展
在非线性波动方程中，怪波现象是极具挑战性的研究问题之一。
通
过对非线性波动方程中的如孤子解、无穷孤立子解等不同类型精确解的
研究，我们发现其中存在着怪波现象。
最近几年的研究表明，这些怪波
不仅仅是非线性波动方程中的“负面能量波”，而且它们还具有很多神
奇的性质，如变形、旋转、破碎等现象。
尽管近年来研究人员在怪波现象的研究中取得了不少进展，但仍有
很多问题需要解决，例如怎样才能预测和控制怪波的产生。
因此，我们
相信研究非线性波动方程和怪波现象的探索之路还有很长的路要走。
288 268 非线性薛定谔方程
v c
k nω
n
c
将k在ω0附近展开：
k
k0
k ω
|w0
(w w0 )
1 2
2k ω2
|w0
(w w0 )2
...
对 E作付里叶变换： E(x,t) 1
e(k, ω)ei(ω•tk•x)d kd ω
2π
e(x,t) 1
E(x, t)ei(ω•tk•x)dxd t
2π
NLSE的导出
上式称为Lax方程。算符L、M 称为Lax对。找到Lax对就可以
用反散射法求解非线性方程。
反散射法结果
对于一般的NLSE，i h h 2 2 b | |2 V (x,t)
2m
分四种情况讨论：
NLSE的反散射解法
V (x,t) 0,b const 0 V (x,t) const,b 0
E i ω e, E ike
t
x
ω ~ i , k ~ i
t
xkk0Fra bibliotekk ω
|w0
(w w0 )
1 2
2k ω2
|w0
(w w0 )2
...
k k ' ω 1 k ''( ω)2 2
i ik ' 1 k '' 2 x t 2 t2
E E 1 2E
i ik ' k ''
冲形成孤立波。
NLSE的解析解法
反散射解法
微扰法
高阶NLSE
变分法
NLSE的反散射解法
Schrödinger方程的反散射问题 已知散射数据km, Cm(km), R(k), T(k), ψ(x→∞),则位势 u(x)为：
变系数非线性薛定谔方程的明暗孤子解
变系数非线性薛定谔方程的明暗孤子解付中华;耿青松【摘要】非线性薛定谔方程在光纤通讯、浅水波、量子力学和玻色-爱因斯坦凝聚等领域有重要的应用.在符号计算和几个特殊函数的帮助下,一个变系数非线性薛定谔方程是被列出.我们获得了方程明孤子解和暗孤子解,这些解含有丰富的物理结构,可以帮助我们更好的理解光孤子.【期刊名称】《南昌大学学报（理科版）》【年(卷),期】2018(042)006【总页数】4页(P532-535)【关键词】变系数非线性薛定谔方程;明孤子解;暗孤子解;孤子交互作用【作者】付中华;耿青松【作者单位】武汉城市职业学院,湖北武汉430064;武汉城市职业学院,湖北武汉430064【正文语种】中文由于群速度色散(GVD)和自相位调制(SPM)效应之间的平衡，光孤子能够在长距离传播过程中保持其形状和速度，由于它们在光通信系统和全光超高速开关设备中的潜在应用，已经成为一个有吸引力的研究领域。
而在光孤子领域有一类重要的非线性偏微分方程，那就是非线性薛定谔方程，具有非常重要的研究价值，吸引了大量的研究者。
非线性薛定谔方程可用于研究非线性光学中孤子相互作用的性质和特征在实际物理模型中，变系数非线性方程包含了更多的未知参数，能够代表一些更复杂的物理现象和模型。
借助符号计算的帮助[2-12]，考虑以下变系数非线性薛定谔方程[13]iut+iL1(t)ux+L2(t)uxx+L3(t)u|u|2=0(1)其中u=u(x,t)是一个复函数,表示光纤系统中电场的时空复杂包络线。
L1(t)，L2(t)表示不同的GVD系数，L3(t)表示非线性系数。
当L1(t)=0时，方程(1)变成标准的变系数非线性薛定谔方程。
最近Lin等人通过Hirota双线性方法获得了方程(1)的震荡孤子解[14]。
Li等人通过相似变换获得了方程(1)的怪波解。
此外，通过选择群速度色散系数作为特定函数分别讨论了一阶和二阶怪波解[15]。
怪波在形状，振幅，峰值数和伸展方面表现出丰富的特征，而且也可通过系统参数控制。
变系数HNLS方程的呼吸子解与怪波解
Ｂｒｅａｔｈｅｒ ａｎｄ ｒｏｇｕｅ ｗａｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｔｏ ｔｈｅ ｖａｒｉａｂｌｅ－ｃｏｅｆｉｃｉｅｎｔ Ｈ ＮＬＳ ｅｑｕａｔｉｏｎ
ＸＩＥ Ｙａｑｉｎ，Ｗ ＥＩ Ｇｕａｎｇｍｅｉ，ＬＩＡＮＧ Ｈｕｉｆａｎｇ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｂｅｒｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃｓ ａｎｄ Ａｓｔｒｏｎａｕｔｉｃｓ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １００１８３，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ， ｔｈｅ ｂｉｌｉｎｅａｒ ｆｏｒｍ ｏｆ ｔｈｅ ｖａｒｉａｂｌｅ—ｃｏｅｆｉ ｃｉｅｎｔ ｈｉｇｈ·ｏｒｄｅｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ
Ｓｃｈｒｆｉｄｉｎｇｅｒ（ＨＮＬＳ）ｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｓ ｇａｉｎｅｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ Ｈｉｒｏｔａ ｏｐｅｒａｔｏｒ．Ｔｈｅ ｂｉｌｉｎｅａｒ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｕｓｅｄ ｔｏ
ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｂｒｅａｔｈｅｒ ａｎｄ ｒｏｇｕｅ—ｗａｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｉｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｔｈｅ ｉｎｆｌｕｅｎｃｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｅｆｉ ｃｉｅｎｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｎ ｂｒｅａｔｈｅｒ ｗａｖｅｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｒｏｇｕ ｅ ｗａｖｅｓ ａｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｇｒａｐｈｉｃａｌｌｙ．
第 １期
解雅琴等 ：变系数 ＨＮＬＳ方程的呼吸子解与怪波解
４３
本 文考虑 满 足 式 （３）的 系数 条 件 ，并 利 用 双线 同理 ，由式 （４）的第 ２个等 式可 得
性 方 法求 解式 （１）的怪 波解 。
耦合非线性薛定谔方程多孤子解及其传输特性研究论文设计
中文摘要由于群速度色散和自相位调制之间的相互平衡，光孤子可以在光纤中长距离传输且形状不发生改变，因为这一特性，孤子可以在光纤通信系统中实现远距离和大容量传输，并可以应用在很多领域当中，成为了很多学者研究的内容。
非线性薛定谔方程是描述光孤子传输的理想模型，是一类非常重要的非线性演化方程。
随着研究的进行，非线性薛定谔方程被推广到了变系数、复系数、多维、高阶、非局域和分数阶等包含各类物理效应的方程，通过对各种方程解的研究可以更好地理解各种非线性现象。
因此，基于非线性薛定谔方程研究孤子的传输特性以及潜在的一些应用是至关重要的，对孤子理论的发展和不同应用领域的发展具有一定的理论指导意义本文主要介绍了非线性薛定谔方程的研究背景和进展，孤子和呼吸子的由来和研究进展，在此基础上，采用Hirota双线性方法研究了孤子间的相互作用，具体的研究内容分为以下三个部分：（1）基于自聚焦广义耦合非线性薛定谔方程，其中包含自相位调制、交叉相位调制和四波混频效应，采用Hirota双线性方法得到了该方程的4-亮-亮孤子解，并对孤子的碰撞动力学进行了详细地研究。
研究结果表明：特征值的虚部影响孤子的速度和脉冲宽度，特征值的实部对孤子的振幅有影响。
（2）基于包含四波混频效应的自散焦广义耦合非线性薛定谔方程，采用Hirota 双线性方法得到了该方程的4-暗-暗孤子解，分析不同参数的取值范围，数值研究了其传输特性。
研究结果表明：通过调控参数，可以分别获得4-暗孤子、3-暗孤子及暗孤子-反暗孤子组合，但孤子间的相互作用依然是弹性碰撞。
（3）基于变系数耦合非线性薛定谔方程，利用Hirota双线性方法得到了该方程的2-孤子解，该解包括三个亮孤子分量和一个暗孤子分量。
孤子特征值取复数时，通过计算给出满足弹性碰撞的两种条件，一种为常规的弹性碰撞，另一种为一个亮孤子消失的弹性碰撞。
当弹性碰撞条件不满足时，三个亮孤子分量中的两个孤子相互作用为非弹性碰撞，参数取值不同，孤子间的能量交换不同，而暗孤子分量中的两个孤子依然保持弹性碰撞。
12.2孤立子
= =
ατ + δ 1 ξ +δ α
Φ = 4 tanh−1 exp[ 1 ξ + ατ + δ ] α
二、正弦Gordon方程
§12.2 孤 波
4、正弦Gordon方程的解
Φ = 4 tanh−1 exp[
x
−
t
+
α
(x
+
t)
+δ
]
2α 2
Φ = 4 tanh−1 exp[a(x − bt) + δ ]
Φ( x, t )
－扭结（孤波解）
Wuhan University
t
a = α2 +1, 2α
b
=
1 1
− +
α α
2 2
Φξ
=
41
α
sec h[a(x − bt) + δ ]
Φτ = 4α sec h[a(x − bt) + δ ]
三、非线性薛定谔方程
§12.2 孤 波
iΦt + Φ xx + βΦΦ 2 = 0 (25)
→ g(u) = cos v = α
sin u f ′(v)
→ g(u) = α sin u (16)
(14) − (15) : g′(u) f (v) = sin v cos u
→ f (v) = cos u = β → f (v) = β sin v = 1 sin v (17)
sin v g′(u)
则 uτ = −ω uθ , uξ = auθ , uξξξ = a3uθθθ ,
− ωuθ + auθ +12auuθ + a3uθθθ = 0
非线性薛定谔方程的孤子微扰理论及应用
湖南师范大学硕士学位论文非线性薛定谔方程的孤子微扰理论及应用姓名：俞慧友申请学位级别：硕士专业：理论物理指导教师：颜家壬20050301摘要孤子理论是非线性科学中的一个十分重要的分支，它在物理学的许多领域中有着日益广泛的应用。
而孤子的微扰又是孤子理论中最有实用价值的重要内容之一．它大体可以分为两大类．一是建立在逆散射变换基础上的孤子微扰理论。
它在理论上有着重要的学术价值，但其思路较迂回曲折，数学计算较繁．另一种直接微扰论较为系统的方法是将孤子方程线性化后再按Ｊｏｓｔ函数的平方作微扰展开。
这两种方法均只适用于可积系统。
颜家壬教授近年来发展了一种基于分离变量法的孤子微扰理论法，它适用于可积和非可积系统，而且思路和计算较为简便．本人首先用此方法处理了自散焦非线性薛定谔方程的孤子微扰问题．一方面是由于问题的重要性，另一方面也是为丰富颜教授所发展的孤子微扰理论的内容，为它提供一个重要的实例．其次我们还用此方法处理了玻色一爱因斯坦凝聚中的亮孤子稳定性问题．全文共分为五章ｔ第一章简要介绍孤子的发展史以及孤子微扰问题的几种常用的方法，并指出这些方法存在的～些缺点，同时也叙述了我们方法的大致思路和主要特征．第二章给出了关于非线性薛定谔方程的微扰理论，并通过具体工作来说明我们的基于直接微扰理论的两种不同的思路方法．第三章简单的介绍和回顾ＢＥＣ理论的产生发展及实验研究过程，推导出了凝聚体宏观波函数满足的ＧＰ方程．然后讨论了ＢＥＣ中暗孤子和亮孤子的实验情况和理论研究现状．第四章本人基于直接微扰理论研究了ＢＥＣ中亮孤子的稳定性问题。
第五章为总结和展望．关键词：非线性薛定谔方程，孤子，微扰，玻色一爱因斯坦凝聚ＡＢＳＴＲＡＣＴＳｏｌｉｔｏｎｔｈｅｏｒｙｉＳｏｎｅｏｆｔｈｅｉｍｐｏｒｔａｎｔｂｒａｎｃｈｅｓｏｆｎＯｎｌｉｎｅａｒｓｃｉｅｎｅｅＩｔｈａｓｃｒｅｓｃｅｎｔａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｉｎｍａｎｙｆｉｅｌｄｓ．Ｔｉｌｅｓｏｆｔｅｎｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｉｓａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔｐａｒｔｏｆｔｈｅｓｏｌｉｔｏｎｔｈｅｏｒｙ．Ｉｔｅｘｉｓｔｓｉｎａｌａｒｇｅｎｕｍｂｅｒｏｆｒｅａｌｎｏｎｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｓａｎｄｃａｌｌｂｅｒｏｕｇｈｌｙｄｉｖｉｄｅｄｔｏｔｗｏｋｉｎｄｓ．Ｏｎｅｉｓｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｉｎｖｅｒｓｅｓｃａｔｔｅｒｉｎｇｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ（ＩＳＴ）ｗｈｉｃｈｈａｓｉｍｐｏｒｔａｎｔｌｅａｒｎｉｎｇｖａｌｕｅ．ＢｕｔｔｈｉｓｔｅｃｈｎｉｑｕｅｉＳｉｎｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔｔｏｔｈｏｓｅｗｈｏａｒｅｎｏｔｆａｍｉｌｉａｒｗｉｔｈＩＳＴ．ＡｎｏｔｈｅｒｉｓｔｈｅｄｉｒｅｃｔｍｅｔｈｏｄｗｈｅｒｅｔｈｅｓｑｕａｒｅｄＪｅｓｔｓｏｌｕｔｉｏｎｓ＆ｒｅｅｍｐｌｏｙｅｄａｓｔｈｅｂａｓｉｓｆｏｒｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｅｘｐａｎｓｉｏｎａｆｔｅｒｓｏｌｉｔｏｎｅｑａｔｉｏｎｂｅｅｎｌｉｎｅａｒｅｄ．Ｔｈｅｙａｒｅｊｕｓｔａｐｐｌｉｃａｂｌｅｔｏｉｎｔｅｇｒａｌｓｙｓｔｅｍｓ．ＰｒｏｆｅｓｓｏｒＪｉａｒｅｎＹａｎ，ｗｈｏｉｓｍｙｔｈｅｓｉｓｓｕｐｅｒｖｉｓｏｒ，ｈａｄｄｅｖｅｌｏｐｅｄａｄｉｒｅｃｔａｐｐｒｏａｃｈｏｆｔｈｅｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｔｈｏｅｒｙｂａｓｅｄｏｎｓｅｐａｒａｔｉｎｇｖａｒｉａｂｌｅｔｅｃｈｎｉｑｕｅ，ｗｈｉｃｈｉｓａｐｐｌｉｃａｂｌｅｔｏｂｏｔｈｉｎｔｅｇｒａｂｌｅａｎｄｕｎｉｎｔｅｇｒａｌｓｙｓｔｅｍｓ．Ｉｔｉｓｍｏｒｅｓｉｍｐｌｅａｎｄｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔｉｎｍｅｔｈｏｄａｎｄｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ．ＩｔａｃｋｌｅｔｈｅｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｏｆｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒｈｄｉｎｇｃｒｅｑｕａｔｉｏｎｂｅｃａｕｓｅｏｆｉｔｓｉｍｐｏｒｔａｎｃｅ．Ａｔｔｈｅｓａｎ２ｃｔｉｍｅ，ｉｔｅｎｒｉｃｈｅｄｔｈｅｓｏｌｉｔｏｎｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｔｈｏｅｒｙｏｆＰｒｏｆｅｓｓｏｒＹａｕａｎｄｏｆｆｅｒｅｄｉｍｐｏｒｔａｎｔｅｘａｍｐｌｅｓ．Ｎｅｘｔ，ＩｓｔｕｄｉｅｄｔｈｅｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｂｒｉｇｈｔｓｏｌｉｔｏｎｓｉｎＢｏｓｅ－Ｅｉｎｓｔｅｉｎｃｏｎｄｅｎｓａｔｅｂａｓｅｄｏｎｔｈｃｄｉｒｅｃｔａｐｐｒｏａｃｈ．Ｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓｃｏｎｓｉｓｔｓｏｆｆｉｖｅｃｈａｐｔｅｒｓ．Ｔｈｅｆｉｒｓｔｃｈａｐｔｅｒｈａｓｔｗｏｐａｒｔｓ．Ｆｉｒｓｔｊｗｅｂｒｉｅｆｌｙｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｈｉｓｔｏｒｙｏｆｔｈｅｓｏｌｉｔｏｎａｎｄｄｉｓｃｕｓｓｓｏｍｅｇｅｎｅｒａｌａｐｐｒｏａｃｈｅｓｔｏｄｅａｌｗｉｔｈｔｈｅｓｏｌｉｔｏｎｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｓ，ａｎｄｐｏｉｎｔｏｕｔｓｏｍｅｄｒａｗｂａｃｋｓｏｆｔｈｅｓｅａｐｐｒｏａｃｈｅｓ．Ｓｅｃｏｎｄｌｙ，ｗｅｐｒｅｓｅｎｔｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｐｒｏ－ｃｅｄｕｒｅｏｆｏｕｒａｐｐｒｏａｃｈａｎｄｉｔｓｍａｊｏｒｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ．Ｉｎｔｈｅｓｅｃｏｎｄｃｈａｐｔｅｒ，ｗｅｅｓｔａｂｌｉｓｈｔｈｅｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｙｆｏｒｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＳｃｈｒｈｄｉｎｇｅｒｅｑｕａｔｉｏｎ，ａｎｄｓｔｕｄｙｉｔｓｓｐｅｃｉｆｉｃｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ．Ｗｅｗｉｌｌｅｘｐｌａｉｎｔｈｅｔｗｏｄｉｆｆｅｒｅｎｔａｐｐｒｏａｃｈｅｓ，ｗｈｉｃｈａｒｅｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｄｉｒｅｃｔａｐｐｒｏａｃｈｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅｗｏｒｋｔｈａｔｗｅｈａｖｅｄｏｎｅ．ＩｎｔｈｅｔｈｉｒｄｃｈａｐｔｅｒｗｅｂｒｉｅｆｌｙｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅｆｏｒｍａｔｉｏｎａｎｄｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆＢｏｓｅ－Ｅｉｎｓｔｅｉｎｃｏｎｄｅｎｓａｔｉｏｎ’ｓｔｈｅｏｒｙａｎｄｉｔ’Ｓｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ．ＴｈｅｎｗｅｄｅｒｉｖｅｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒＧｒｏｓｓ．Ｐｉｔａｅｖａｓｋｉｉｅｑｕａｔｉｏｎｔｈａｔｓａｔｉｓｆｉｅｓｔｈｅｃｏｎｄｅｎｓａｔｅｍａｃｒｏｓｃｏｐｉｃｗａｖｅｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ａｔｔｈｅｅｎｄｏｆｔｈｉｓｃｈａｐｔｅｒ，ｗｅｄｉｓｃｕｓｓｔｈｅｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｓｔｕｄｉｅｓａｎｄｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓｇｄａｒｋｓｏｌｉｔｏｎｓａｎｄｈｉ痨ｔｓｏｌＪｔｏｎｓ啦转锱争冀ｉ魏髓ｅ啦ｃ。
离散非线性薛定谔方程的新孤子解
离散非线性薛定谔方程的新孤子解华国盛;吴晓飞【摘要】利用改进的双曲函数法,研究离散的非线性薛定谔方程,不仅得到了离散暗孤子解,还获得了离散亮孤子解以及其它一些新形式的离散类孤子解.这种方法也同样适用于求解其它离散的非线性波方程.【期刊名称】《丽水学院学报》【年(卷),期】2009(031)005【总页数】4页(P9-12)【关键词】离散的非线性薛定谔方程;改进的双曲函数法;离散孤子解【作者】华国盛;吴晓飞【作者单位】丽水学院信息技术中心,浙江丽水323000;丽水学院计算机与信息工程学院,浙江丽水323000【正文语种】中文【中图分类】O437非线性科学是一门研究非线性现象共性的基础科学，非线性问题理论和方法的研究是目前在国际学术界中十分热门的课题之一。
在过去几十年里关于孤子已经发展出了一套成熟的理论，孤子的概念不仅扩展到了物理学的几乎所有分支，例如流体动力学、场论、非线性光学和凝聚态物理等，而且延伸到了自然科学的各个领域，例如化学、生物学、数学、通讯技术等。
因此，寻找、构建非线性波方程的孤子解，在非线性科学研究中具有十分重要的意义。
自从反散射方法问世以来，已涌现出许多构建非线性偏微分方程孤立波的方法和技巧，如Ba‥cklund变换、Hirota方法、Darboux变换、齐次平衡法、双曲正切法、椭圆函数展开法、试探法、映射法等[1-6]，但这些方法大多用于连续非线性系统的求解，而较少地用于求解离散非线性系统问题。
近几年来，人们已把研究连续的非线性波方程精确解的许多方法推广到了非线性微分差分方程，如Tsuchida等[7]把逆散射法推广到非线性微分差分方程的研究中，Qian等[8]将多线性变量分离法推广到了非线性微分差分方程的求解中。
最近，Baldwin等[9]根据正切函数法提出了一种构建非线性微分差分方程精确解的新算法，文献[10]进一步将正切函数法扩展到了双曲函数法并加以改进，从而找到了非线性微分差分方程的各种孤波解。
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非线性薛定谔方程的孤子解和怪波解
摘要：光纤中光波的传输模型一直是当前研究的热点理论模型之一，从非线性薛定谔方程到金格堡-朗道方程，都试图对其进行更好的阐释，其次对于非线性动力学系统中，非线性薛定谔方程的解有呈现出非常多有趣的特征，对于其中特定解的研究能够让我们了解脉冲演化的本质，所以本文主要从孤子解的传输入手，并且简单介绍了怪波解的解形式。
薛定谔方程又称薛定谔波动方程，是量子力学的一个基本方程，同时又是量子力学的基本假设之一，由奥地利物理学家薛定谔1926年在《量子化就是本征值问题》中提出的，它在量子力学中的地位非常重要，相当于牛顿定律对于经典力学一样。
随着人们对世界的不断探索，非线性现象逐渐走进人们的视野，这种现象一般大都用非线性偏微分方程的数学模型来描述，显然线性方程已经不能满足人们的需求。
1973年，Hasegawa从含有非线性项的色散方程中推导出了非线性薛定谔方程。
非线性薛定谔方程(NLS)是普适性很强的一个基本方程，最简单的形式是：
其中为常数。
因为这个方程在几乎所有的物理分支及其他科学领域得到了广泛的应用，如超导，光孤子在光纤中传播，光波导，等离子体中的Langnui波等，所以许多学者对此方程的研究投入了很大的热情，至今还在生机勃勃的向前发展着。
1 分步傅里叶法计算演化过程
对于处理非线性性薛定谔方程，常用的数值仿真方式为分步傅里叶方法，为了简单起见，只考虑二阶色散和自相位调制，不考虑高阶色散、自陡以及四波混频等高阶非线性效应。
上述方程中做
2
β为二阶色散，γ表示Kerr效应系数，g和α分别代表光纤中的增益和损耗。
对上述方程转化到频域，先不考虑增益和损耗。
可以得到
2
k
k k k k
dA
i A i a a
dz
βγ
=∆+F.
其中2
2
2
k
i
β
β
∆=Ω
令()
exp
k k
A B i z
β
=∆可以得到
()
2exp
k
k k k
dB
i a a i z
dz
γβ
=-∆
F
以上方程可以用四阶龙格库塔直接求解，但是速度较慢，所以我们需要做差分处理。
()()
()()()
2
exp
k k
k k k
B z z B z
i a z a z i z
z
γβ
+∆-
=-∆
∆
F
再利用()
exp
k k
A B i z
β
=∆可以得到
()()()()
()()()
2
2
exp
exp exp
k k k k k
k k k
A z z A i a z a z z i z
a z i a z z i z
γβ
γβ
⎡⎤
+∆=+∆∆∆
⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
≈⨯∆⨯∆∆
⎣⎦
F
F
然后做傅里叶反变换就可以得到最终的结果
()()()()
2
1exp exp
-
k k k k
a z z a z i a z z i z
γβ
⎡⎤
+∆=⨯∆⨯∆∆
⎣⎦
F F
这样，只需要知道()0k a z =就可以得到最终的()k a z 。
在不考虑增益和损耗情况下，孤子为非线性薛定谔方程的一个稳定解，我们可以得到光孤子的解析解的表达形式。
()0
0t a t T ⎛⎫=
⎪⎝⎭
我们可以根据功率的不同，产生不同的孤子脉冲。
通过MA TLAB 简单仿真，我们可以的到脉冲在光纤中的传输情况。
图1光孤子在光纤中的传输情况
2 (2+1)维非线性薛定谔方程的怪波解
怪波最初是描述海洋上出现的一种奇怪的水波，它以其出现的突然性和异常陡峭的高水波得名。
怪波发生之前没有任何预示，海洋中突然出现具有很深的沟或出现一些连续的高波，其破坏力极大，造成很多航海灾难。
怪波是一种新的非线性现象，与孤立子很类似，都是一种特殊解，不同的是它同调制不稳定性能够很好的结合起来。
近些年许多学者对怪波进行了大量的研究：Akhmediev 教授小组对(1+1)维的非线性薛定谔方程(NLS)的怪波进行了很全面的分析，指出怪波是“Ma ”解(MS)或“Akhmediev 呼吸子”(Abs)的极限情形，实际上是一种非奇异的有理解；Xu 、He 以及Wang 、Porsezian 与He 利用Darboux 变换得到许多(1+1)维高阶薛定谔型方程的怪波解。
但现有的文献对高维薛定谔方程的怪波解研究甚少。
直到最近，YasuhiroOhta 教授和杨建科教授利用Hirota 双线性方法得到(2+1)维DSI 和DSII 方程的Grammian 解，再利用sato 算子理论将其转化为非奇异的有理解，从而得到高维的薛定谔型方程也具有有理分式的怪波解。
考虑(2+1)维非线性薛定谔方程：。
当时，上述方程退化为(1+1)维NLS 方程：
，方程则进一步可以简化为Sine-Gordon 方程。
通过参考文献得，其具有Painleve 性质并且
给出了奇异结构分析。
通过相关文献给出的分析可以最终将(2+1)维非线性薛定谔方程整理为：
在此基础上可以对周期解和怪波解进行探讨。
2.1周期解
为了简单起见，我们直接引用参考文献中给出的Akhmediev 呼吸子的解，并在此基础上可以对周期解
和怪波解进行探讨。
通过式子我们可以看出该解是含有空间维周期结束的，当参数取特定值的时候，我们可以看出解的周期性特征。
图2参数取Akhmediev呼吸解的形式
考虑另一种呼吸子解——Ma解，亦即具有空间周期性且含时间的周期解，作变换令，这意味着
式：
2.2 怪波解
为了得到怪波解，我们让，则有：
显然，当在平面上任何一点都趋向于常数时，能够取得
最大的振幅，是平常振幅的3倍，因此该解为xy平面的怪波解。
图3参数取
应用Hirota双线性方法，给出(2+1)维非线性薛定谔方程的呼吸子即周期解和其极限情形的解———一阶怪波解，推广了(1+1)维非线性薛定谔方程NLS的空间变量。
研究结果说明了高维的非线性薛定谔方程具有有理分式的怪波解，这些方法同样适用于其他的高维薛定谔型方程,如Mel' nikov方程、Fokas系统等。
非线性薛定谔方程还有更多有趣的现象，例如耗散孤子，孤子分子以及孤子等现象，都对于光信息处理和光通信的研究具有重要的理论与应用价值。
参考文献
[1]程丽, 张翼. (2+ 1) 维非线性薛定谔方程的怪波解[J]. 长江大学学报自然科学版: 理工(上旬), 2016,
13(3): 35-39.
[2] Akhmediev N, Ankiewicz A, Taki M. Waves that appear from nowhere and disappear without a trace[J]. Physics Letters A, 2009, 373(6): 675-678.
[3] Agrawal G. Applications of nonlinear fiber optics[M]. Academic press, 2001.。