(完整版)基于MATLAB的快速傅里叶的非线性薛定谔方程
非线性薛定谔方程数值解的MATLAB仿真
admin[非线性薛定谔方程数值解的MATLAB仿真]——利用分步快速傅里叶变换对光纤中光信号的传输方程进行数值求解1、非线性薛定谔方程非线性薛定谔方程(nonlinear Schrodinger equation ，NLSE)是奥地利物理学家薛定谔于1926 年提出的，应用在量子力学系统中。
由于量子力学主要研究粒子的动力学运动状态，所以不能运用牛顿力学公式来表示。
通常在量子力学中，研究系统的状态一般通过波函数(x ，t)来表示。
而对波函数的研究主要是求解非线性薛定谔方程。
本文主要研究光脉冲在光纤中传输状态下的演变。
一般情况下，光脉冲信号在光纤中传输时，同时受到光纤的色散和非线性效应的影响。
通过Maxwell 方程，考虑到光纤的色散和非线性效应，可以推导出光信号在光纤中的传输方程，即非线性薛定谔方程。
NLSE 是非线性偏微分方程，一般很难直接求出解析解，于是通过数值方法进行求解。
具体分为两大类：(1)分布有限差分法(split-step finite differencemethod ，SSFD)；(2)分步傅里叶变换法(split-step Fourier transform method ，SSFT)。
一般情况，在达到相同精度，由于分步傅里叶变换法采用运算速度快的快速傅里叶变换，所以相比较有限差分法运算速度快一到两个数量级。
于是本文介绍分步傅里叶变换法来对光纤中光信号的传输方程，即非线性薛定谔方程进行数值求解。
并通过MATLAB 软件对结果数值仿真。
非线性薛定谔方程的基本形式为:22||t xx iu u u u =+其中u 是未知的复值函数.目前，采用分步傅立叶算法(Split step Fourier Method)求解非线性薛定谔方程的数值解应用比较多。
分步傅立叶方法最早是在1937年开始应用的，这种方法己经被证明是相同精度下数值求解非线性薛定愕方程最快的方法，部分原因是它采用了快速傅立叶变换算法(Fast Fourier Transform Algorithm)。
基于matlab求解非线性规划问题
计算结果为：
x =[ 3.0000 5.0000 0.0000 7.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 4.0000 0.0000 6.0000 10.0000]’ fval = 136.2275
即 由 料 场 A、 B 向 6 个 工 地 运 料 方 案 为 ： 1 料场 A 料场 B 3 0 2 5 0 3 0 4 4 7 0 5 0 6 6 1 10
（二）使用临时料场的情形
使用两个临时料场A(5,1)，B(2,7).求从料场j向工地i的运送量 为Xij，在各工地用量必须满足和各料场运送量不超过日储量的 条件下，使总的吨千米数最小，这是线性规划问题. 线性规划模 型为：
min f
aa ( i , j ) X
j 1 i 1
2
6
ij
2、先建立M-文件 fun3.m: function f=fun3(x); f=-x(1)-2*x(2)+(1/2)*x(1)^2+(1/2)*x(2)^2
3、再建立主程序youh2.m： x0=[1;1]; A=[2 3 ;1 4]; b=[6;5]; Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0]; VUB=[]; [x,fval]=fmincon('fun3',x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB) 4、运算结果为： x = 0.7647 1.0588 fval = -2.0294
工 地 位 置 （ a， b） 及 水 泥 日 用 量 d 1 a b d 1 .2 5 1 .2 5 3 2 8 .7 5 0 .7 5 5 3 0 .5 4 .7 5 4 4 5 .7 5 5 7 5 3 6 .5 6 6 7 .2 5 7 .2 5 11
基于MATLAB的FFT算法的设计
基于MATLAB的FFT算法的设计FFT（快速傅里叶变换）是一种用于计算离散傅里叶变换（DFT）的高效算法。
在信号处理和图像处理领域，FFT广泛应用于频域分析、滤波、相关性分析等。
MATLAB提供了方便且高效的FFT算法实现，使得用户可以轻松地进行信号处理和频谱分析。
本文将从基本概念、算法原理和实例应用三个方面介绍MATLAB中的FFT算法设计。
一、基本概念1.傅里叶变换：傅里叶变换是一种将信号从时域（时序）转换到频域（频率）的方法，它将信号表示成一系列正弦和余弦函数的叠加。
2.离散傅里叶变换（DFT）：DFT是傅里叶变换在离散时序中的应用，将离散的时域信号转换到离散的频域。
3.快速傅里叶变换（FFT）：FFT是一种使用分治法思想的DFT算法，通过将DFT的计算任务分解成更小的子任务并递归计算，以大幅度提高计算效率。
二、算法原理FFT算法基于分治法思想，将DFT计算任务分解成多个规模更小的DFT计算，然后通过递归计算子任务并合并结果得到最终的DFT结果。
MATLAB中的FFT算法可以通过fft函数实现。
具体来说，fft函数基于Cooley-Tukey算法，它使用了以下两个策略来提高计算效率：1.奇偶分解：将序列分解为奇数位置和偶数位置上的序列，分别进行DFT计算，然后合并结果。
2.蝶形运算：通过两个复数的乘法和加法运算，计算DFT的结果。
三、实例应用下面通过一个MATLAB实例应用来展示FFT算法的设计和使用过程。
假设我们有一个采样频率为Fs的音频信号，并且我们想要计算其频谱。
首先，我们读取音频文件并绘制其时域波形：```matlabfilename = 'audio.wav';[x, Fs] = audioread(filename);t = (0:length(x)-1)/Fs;plot(t, x);xlabel('Time (s)');ylabel('Amplitude');title('Audio Signal in Time Domain');```接下来，我们使用FFT算法计算音频信号的频谱，并绘制频谱图：```matlabN = length(x);X = fft(x);f=(0:N-1)*(Fs/N);plot(f, abs(X));xlabel('Frequency (Hz)');ylabel('Magnitude');title('Audio Signal Spectrum');```以上代码中，我们使用fft函数计算信号的频谱，并使用abs函数计算频谱的幅度。
(最新整理)基于Matlab的牛顿迭代法解非线性方程组
(完整)基于Matlab的牛顿迭代法解非线性方程组编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)基于Matlab的牛顿迭代法解非线性方程组）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整)基于Matlab的牛顿迭代法解非线性方程组的全部内容。
基于Matlab 实现牛顿迭代法解非线性方程组已知非线性方程组如下221122121210801080x x x x x x x ⎧-++=⎪⎨+-+=⎪⎩ 给定初值0(0,0)T x =，要求求解精度达到0.00001首先建立函数F(x)，方程组编程如下，将F 。
m 保存到工作路径中：function f=F （x ）f （1）=x(1)^2—10＊x(1)+x （2)^2+8；f （2)=x(1）*x （2)^2+x(1)-10＊x(2)+8;f=[f(1) f （2）]；建立函数DF （x),用于求方程组的Jacobi 矩阵,将DF.m 保存到工作路径中:function df=DF(x)df=[2＊x （1)—10，2＊x （2）；x （2）^2+1,2＊x(1）＊x （2）-10］；编程牛顿迭代法解非线性方程组,将newton 。
m 保存到工作路径中：clear ；clcx=[0，0]'；f=F （x);df=DF(x);fprintf （'％d ％。
7f ％.7f\n’,0，x （1），x （2）);N=4；for i=1:Ny=df\f'；x=x —y;f=F （x);df=DF （x ）;fprintf （'％d ％.7f ％。
matlab数值薛定谔方程
matlab数值薛定谔方程薛定谔方程是描述量子力学中粒子的行为的基本方程。
在数值计算中，我们可以使用数值方法来求解薛定谔方程。
下面我将从多个角度来回答关于在MATLAB中数值求解薛定谔方程的问题。
1. 数值方法的选择：在MATLAB中，我们可以采用多种数值方法来求解薛定谔方程，其中常用的方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
选择合适的数值方法取决于问题的特点和计算资源的可用性。
2. 离散化：在数值计算中，我们需要将薛定谔方程离散化为有限个点上的代数方程。
通常，我们会将空间离散化为网格，并在每个网格点上计算波函数的值。
时间离散化则是通过迭代的方式逐步求解时间演化。
3. 有限差分法：有限差分法是一种常见的数值方法，它将导数近似为有限差分。
在薛定谔方程中，我们可以将二阶导数近似为中心差分，然后使用差分方程来求解离散化的薛定谔方程。
4. 有限元法：有限元法是一种广泛应用于偏微分方程求解的数值方法。
在薛定谔方程中，我们可以使用有限元法将波函数表示为一组基函数的线性组合，并通过求解线性方程组来确定系数。
5. 谱方法：谱方法是一种基于函数展开的数值方法，它使用一组特定的基函数来表示波函数。
在薛定谔方程中，我们可以使用傅里叶级数或其他正交多项式作为基函数，并通过求解线性方程组来确定系数。
6. 边界条件：在数值求解薛定谔方程时，我们需要指定合适的边界条件。
常见的边界条件包括固定边界条件和周期性边界条件，具体取决于问题的物理背景。
7. 算法实现：在MATLAB中，我们可以使用内置的数值计算函数和工具箱来实现数值求解薛定谔方程。
例如，可以使用MATLAB的PDE Toolbox来求解偏微分方程，或者使用MATLAB的FFT函数来进行傅里叶变换。
总结起来，数值求解薛定谔方程是一个复杂而重要的问题，需要根据具体情况选择合适的数值方法并进行适当的离散化和边界条件处理。
MATLAB提供了丰富的数值计算工具和函数，可以帮助我们实现数值求解薛定谔方程的算法。
基于MATLAB的FFT算法的设计
基于MATLAB的FFT算法的设计基于MATLAB的FFT（快速傅立叶变换）算法是一种用于将信号从时域转换到频域的常用方法。
FFT算法通过将复杂的离散傅立叶变换（DFT）问题转化为一个递归计算的过程，大大提高了计算效率。
本文将对基于MATLAB的FFT算法的设计进行详细介绍。
首先，我们需要了解MATLAB中FFT算法的基本原理。
FFT算法是一种将DFT计算复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)的算法。
它基于一种分治的思想，将输入信号分解成两个子问题，然后分别进行计算，最后合并结果。
这种分治的过程可以使用递归的方式实现。
在MATLAB中，可以使用fft函数来实现FFT算法。
该函数接受一个向量作为输入，并返回该向量的FFT结果。
具体而言，fft函数将输入信号分解成两个子问题，然后递归地调用fft函数计算子问题的FFT结果，最后将两个子问题的结果合并起来。
这个过程重复进行，直到最后得到整个信号的FFT结果。
以下是一个基于MATLAB的FFT算法的设计示例：```MATLABfunction Y = myFFT(X)N = length(X); % 输入信号长度if N == 1Y=X;%递归终止条件elseeven = myFFT(X(1:2:N)); % 分解成偶数点快odd = myFFT(X(2:2:N)); % 分解成奇数点快%合并步骤W = exp(-1i * 2 * pi / N * (0:N/2-1));temp = W .* odd;Y = [even + temp, even - temp];endend```在这个设计示例中，myFFT函数实现了基于MATLAB的FFT算法。
它接受一个向量X作为输入，并返回该向量的FFT结果Y。
在函数的内部，首先获取输入信号的长度N。
然后，使用递归的方式将输入信号分解成两个子问题。
接下来，分别调用myFFT函数计算子问题的FFT结果。
最后，在合并步骤中，我们使用旋转因子W将奇数点子问题的结果与偶数点子问题的结果合并起来。
利用MATLAB编写FFT快速傅里叶变换
一、实验目的1.利用MATLAB 编写FFT 快速傅里叶变换。
2.比较编写的myfft 程序运算结果与MATLAB 中的FFT 的有无误差。
二、实验条件PC 机，MATLAB7.0三、实验原理1. FFT （快速傅里叶变换）原理：将一个N 点的计算分解为两个N/2点的计算，每个N/2点的计算再进一步分解为N/4点的计算，以此类推。
根据DFT 的定义式，将信号x[n]根据采样号n 分解为偶采样点和奇采样点。
设偶采样序列为y[n]=x[2n]，奇采样序列为z[n]=x[2n+1]。
上式中的k N W -为旋转因子N k j e /2π-。
下式则为y[n]与z[n]的表达式：2.蝶形变换的原理：下图给出了蝶形变换的运算流图，可由两个N/2点的FFT（Y[k]和Z[k]得出N点FFT X[k]）。
同理，每个N/2点的FFT可以由两个N/4点的FFT求得。
按这种方法，该过程可延迟后推到2点的FFT。
下图为N=8的分解过程。
图中最右边的为8个时域采样点的8点FFTX[k]，由偶编号采样点的4点FFT和奇编号采样点的4点得到。
这4点偶编号又由偶编号的偶采样点的2点FFT和奇编号的偶采样点的2点FFT产生。
相同的4点奇编号也是如此。
依次往左都可以用相同的方法算出，最后由偶编号的奇采样点和奇编号的偶采样点的2点FFT算出。
图中没2点FFT成为蝶形，第一级需要每组一个蝶形的4组，第二级有每组两个蝶形的两组，最后一级需要一组4个蝶形。
四、实验内容1.定义函数disbutterfly ，程序根据FFT 的定义：]2[][][N n x n x n y ++=、n N W N n x n x n z -+-=])2[][(][，将序列x 分解为偶采样点y 和奇采样点z 。
function [y,z]=disbutterfly(x)N=length(x);n=0:N/2-1;w=exp(-2*1i*pi/N).^n;x1=x(n+1);x2=x(n+1+N/2);y=x1+x2;z=(x1-x2).*w;2.定义函数rader ，纠正输出序列的输出顺序。
非线性薛定谔方程形式
非线性薛定谔方程形式
非线性薛定谔方程形式
非线性薛定谔方程形式，简称NLSE，是一类众多物理模型和理论框架
的基础之一，它提供了连续的描述与研究特定物理系统的方法。
它的
发展源于19世纪末罗素以及拉普拉斯的探究，主要用来研究电子在复
杂结构中的行为。
NLSE的几何形式如下：i*（∂/∂z）ψ（z，t）+ (1/2)*(∂^2/∂t^2)ψ（z，t） + f（|ψ（z，t）|^2）ψ（z，t）= 0。
其中，ψ（z，t）
是时间和空间变量之和，z是空间变量，t是时间变量，f（|ψ（z，t）|^2）表示非线性因素，它使得研究者无法解决NLSE，即找到其固定的解决方案。
因此，研究者只能求出NLSE的近似解决方案。
NLSE可以应用于许多研究领域，如电磁场理论、光子学、激光技术、
量子力学、量子电动力学以及凝聚态物理学等。
许多物理学家认为，NLSE提供了一种统一的研究框架，可以帮助我们理解许多复杂的物理
系统。
NLSE也可以用于解决量子物理学中许多热力学问题，如量子热力学、
量子统计力学、量子热力学、量子流体力学等。
它可以用来解释由原
子和分子的行为引起的复杂的热力学行为，也可以用来研究量子系统
中的质量和能量的流动。
NLSE的最新发展，如超几何光学，还提供了一种新的模型来描述复杂
的光学系统，能够准确预测复杂的介质中的光学响应，并提供新的计
算技术。
总之，NLSE是一种综合框架，它提供了一种可以描述物理系统和量子
热力学行为的方法，并可以用来解决许多复杂的物理问题。
它是许多
研究领域的基础，有助于我们更加深入地理解物理系统和量子热力学。
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GP方程很好的描述BEC的行为
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2
Vext
r
g
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2
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非线性项
G-P方程是非线性薛定谔(Nonlinear Schrödinger)方程的一种， 这类方程大多都只能通过数值办法求解。
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理论物理
7/50
Outline
➢ Matlab程序的实现 ➢ Matlab实例
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理论物理
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III. 算符劈裂算法
Gross-Pitaevskii (G-P)方程:
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t
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2
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g r,t 2
非线性项
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2020/2/14
理论物理
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Outline
➢ 玻色-爱因斯坦凝聚 (BECs) ➢ Gross-Pitaevskii (G-P) 方程 ➢ 算符劈裂算法 (Operator-Splitting methods)
虚时演化 实时演化
➢ 傅里叶变换(离散DFT和快速FFT)
离散傅里叶变换(DFT)算法 快速傅里叶变换(FFT)算法
➢ Matlab程序的实现 ➢ Matlab实例
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理论物理
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II. Gross-Pitaevskii (G-P) 方程
薛定谔(Schrödinger)方程：
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t
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2
Vext
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r,
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Gross-Pitaevskii (G-P)方程:
虚时演化 实时演化
➢ 傅里叶变换(离散DFT和快速FFT)
离散傅里叶变换(DFT)算法 快速傅里叶变换(FFT)算法
➢ Matlab程序的实现 ➢ Matlab实例
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理论物理
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Outline
➢ 玻色-爱因斯坦凝聚 (BECs) ➢ Gross-Pitaevskii (G-P) 方程 ➢ 算符劈裂算法 (Operator-Splitting methods)
方程的解总可以写成： r, t e i TˆVˆextnon t r, 0
注：这里e指数上 Tˆ 和Vˆ 是算符形式。在学量子力学算符运算的时候，只
有当两个算不符对对易时易，才的有时TˆVˆ 候VˆTˆ 如何处理呢？
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1
(Bˆt)
1 2
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方程的解总可以写成： r, t e i TˆVˆextnon t r, 0
什么是BECs? 萨特延德拉·纳特·玻色
阿尔伯特·爱因斯坦
Tc 临界温度 n 粒子密度 m 每个玻色子的质量 ħ 约化普朗克常数 kB 玻尔兹曼常数 ζ 黎曼ζ函数：ζ(3 / 2) ≈ 2.6124
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理论物理
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I. 玻色-爱因斯坦凝聚 (BECs) 2001年诺贝尔物理学奖
虚时演化 实时演化
➢ 傅里叶变换(离散DFT和快速FFT)
离散傅里叶变换(DFT)算法 快速傅里叶变换(FFT)算法
➢ Matlab程序的实现 ➢ Matlab实例
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理论物理
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I. 玻色-爱因斯坦凝聚 (BECs)
Bose-Einstein 1924.
A finite fraction of bosons occupies the single particle ground state.
Eric A. Cornell Carl E. Wieman JILA group, 铷原子(Rubidium atoms), Science 269, 198 (1995)
第一个玻 色－爱因 斯坦凝聚 (1995年 6月5日)
W(Sodium atoms), PhysRevLett. 75, 3969 (1995)
➢ 玻色-爱因斯坦凝聚 (BECs) ➢ Gross-Pitaevskii (G-P) 方程 ➢ 算符劈裂算法 (Operator-Splitting methods)
虚时演化 实时演化
➢ 傅里叶变换(离散DFT和快速FFT)
离散傅里叶变换(DFT)算法 快速傅里叶变换(FFT)算法
iTˆt iVˆextnont
iVˆextnont iTˆt
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理论物理
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III. 算符劈裂算法
不对易的时候利用一个近似处理
算符劈裂：
exp
( Aˆ
Bˆ)t
exp(
Aˆ t 2
)
exp(Bˆt) exp(
Aˆ t 2
)
一个简单的证明：
这里必须满足一个条件： △t要足够小，
虚时演化
如何处理虚数“i”
实时演化
it
t
r, e TˆVˆextnon r, 0
r, e i TˆVˆextnon r, 0
基于Matlab的快速傅里叶变换(FFT) 和龙格-库塔(Runge-Kutta)算法 求解Gross-Pitaevskii(G-P)方程
2020/2/14
理论物理
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Outline
➢ 玻色-爱因斯坦凝聚 (BECs) ➢ Gross-Pitaevskii (G-P) 方程 ➢ 算符劈裂算法 (Operator-Splitting methods)
使得二阶近似成立
exp
(
Aˆ
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1
(
Aˆ
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1 2
(
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2
O(t)3
exp(
Aˆ t 2
)
exp( Bˆ t )
exp(
Aˆ t 2
)
1
(
Aˆ t 2
)
1 2
(
Aˆ t 2
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O(t)3