薛定谔方程
-薛定谔方程
§12－6 薛定谔方程德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了一个关于物质波的报告。
报告后， 德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有一个波动方程。
几个月后，薛定谔果然提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。
薛定谔方程是量子力学的动力学方程，象牛顿方程一样，不能从更基本的方程推导出来，它是否正确，只能由实验检验。
一、薛定谔方程 1 一维薛定谔方程1）一维自由运动粒子(无势场)设：一维自由运动粒子，无势场，不受力，动量不变。
一维自由运动粒子的波函数(前已讲)ψ(x , t ) = ψ0 e -i(2π/h ) (Et - px )由此有再利用 可得此即一维自由运动粒子(无势场)的含时薛定谔方程。
2）若粒子在势场U (x , t ) 中运动由 有此即一维自由运动粒子在势场中的含时薛定谔方程。
3）定态薛定谔方程若粒子在恒定势场U = U (x )中运动，微观粒子的势能仅是坐标的函数，与时间无关，可把上式中的波函数分成坐标函数与时间函数的乘积，即2222ip x hp x hψψψψ∂=∂∂=-∂22p E m=222282h h i m x tψψππ∂∂-=∂∂22p p E E m =+222282p h h E i m x tψψψππ∂∂-+=∂∂2(,)()()()iEt hx t x f t x eπψϕϕ-==式中 ψ =ψ (x , t )是粒子在势场U = U (x , t )中运动的波函数。
将ψ =ψ (x , t ) = ψ(x )T (t )代入得一维定态薛定谔方程式中ψ =ψ (x )是定态波函数，它所描写的粒子的状态称作定态，是能量取确值的状态。
定态的概率密度ψ(x ,t ) ψ*(x ,t ) = ψ (x ) ψ *(x ) 定态下的概率密度和时间无关。
在量子力学中用薛定谔方程式加上波函数的物理条件，求解微观粒子在一定的势场中的运动问题(求波函数，状态能量，概率密度等)。
薛定谔方程
薛定谔方程（英语：Schrodinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔在1926年提出的一个用于描述量子力学中波函数的运动方程[1]，被认为是量子力学的奠基理论之一。
薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。
含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。
不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。
波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。
而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。
薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。
量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正电子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。
薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。
薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。
海森堡表述比较没有这么严重的问题；而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。
[编辑]含时薛定谔方程虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。
理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。
在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为(1)其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。
类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为(2)假若，系统内有个粒子，则波函数是定义于-位形空间，所有可能的粒子位置空间。
用方程表达，。
其中，波函数的第个参数是第个粒子的位置。
所以，第个粒子的位置是。
[编辑]不含时薛定谔方程不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。
顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。
应用分离变量法，猜想的函数形式为；其中，是分离常数，是对应于的函数．稍回儿，我们会察觉就是能量．代入这猜想解，经过一番运算，含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程：。
薛定谔方程
v v v v ψ(r ,t) =c1 1(r ,t) +c2ψ2(r ,t) +⋅⋅⋅ = ∑ iψi (r ,t) ψ c
也是这个系统的一个可能的量子态。 也是这个系统的一个可能的量子态。
i
薛定谔方程是复数方程，因此它的解， ② 薛定谔方程是复数方程，因此它的解，即波函数 一般是复数。 一般是复数。
一、含时薛定谔方程 1. 自由粒子的含时薛定谔方程 自由粒子的波动性对应于平面波，因此， 自由粒子的波动性对应于平面波，因此，描述自由 粒子量子态的波函数可以采用平面波函数的形式。 粒子量子态的波函数可以采用平面波函数的形式。 量子力学中，自由粒子对应的平面波函数： 量子力学中，自由粒子对应的平面波函数：
2 2 2
∂ψ ih = Eψ ∂t
v −ih∇ = pψ ψ
−h ∇ ⇔p
2 2 2
∂ v ih ⇔E −ih∇⇔ p ∂t
箭头左边的符号作用于波函数等于箭头右边的物理 量乘以波函数。 量乘以波函数。 不考虑相对论效应， 动能与动量的关系： 不考虑相对论效应，则动能与动量的关系： 与动量的关系
p E= 2µ 2 p Eψ = ψ 2µ
v 波矢， 波矢 大小等于角波数，沿着波传播方向。 k——波矢，大小等于角波数，沿着波传播方向。
角频率。 角频率 ω ——角频率。
v v v ψ(r ,t) = Aex i(k ⋅ r −ω ) p t
{
}
v v v ψ(r ,t) = Aex i(k ⋅ r −ω ) p t
{
}
ω
2π 2π E 1 = hν = E = = 2πν = T h h h v v v v v k 2π k 2π h k 1 k k = k k = λ k = h λ k = h p k
《薛定谔方程》课件
波函数需要满足归一化条件，即 ∫Ψ*(r,t)Ψ(r,t)dV=1，以确保粒 子存在于有限空间内。
时间演化算符
时间演化算符定义
时间演化算符描述波函数的演化过程，通常表示为 U(t)，其中t是时间。
时间演化算符的性质
时间演化算符是幺正算符，即U(t)U*(t)=I，其中I是 单位算符。
时间演化算符的作用
时间演化算符可以将初始时刻的波函数演化到任意时 刻的波函数。
能量算符
能量算符定义
能量算符描述微观粒子的能 量，通常表示为H。
能量算符的性质
能量算符是厄米特算符，即 H=H*。
能量算符的作用
能量算符可以将波函数投影 到能量本征态上，得到粒子 的能量。
边界条件和初始条件
边界条件
描述波函数在边界上的行为，如周期 边界、反射边界等。
原理
通过选取适当的变分函数，将薛定谔方程的 求解问题转化为求变分极值的问题。
步骤
选取合适的变分函数，将薛定谔方程转化为变分问 题，然后利用变分法的基本原理求解该问题。
应用范围
适用于具有某些特殊性质的薛定谔方程，如 具有对称性、周期性等性质的问题。
04
薛定谔方程的经典实例
一维无限深势阱
描述
一维无限深势阱是一个理想化的模型，用于描述粒子在一维空间中的 运动，其中势能只在有限区域内存在。
在生物学中，它可以用来描述生物分子的结构和性质， 如蛋白质的结构和功能等。
02
薛定谔方程的基本概念
波函数
01
波函数定义
波函数是描述微观粒子状态的函 数，通常表示为Ψ(rห้องสมุดไป่ตู้t)，其中r是 位置向量，t是时间。
02
波函数的性质
量子力学中的薛定谔方程
量子力学中的薛定谔方程在量子力学中，薛定谔方程是一个重要的基本方程，被广泛应用于描述微观粒子的行为和性质。
薛定谔方程以奥地利物理学家埃尔温·薛定谔（Erwin Schrödinger）的名字命名，是量子力学的基石之一。
薛定谔方程描述了体系的波函数随时间演化的规律，通过求解该方程，可以获得粒子在空间中的波函数及其相应的能量。
薛定谔方程是一个线性偏微分方程，一般形式为：\[i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r}, t) = \hat{H}\Psi(\mathbf{r}, t)\]其中，\[i\]表示虚数单位，\[\hbar\]为约化普朗克常数，\[\Psi(\mathbf{r}, t)\]是波函数，描述了粒子在空间中的分布情况随时间的变化。
方程右侧的\[\hat{H}\]是系统的哈密顿量（Hamiltonian），描述了体系的能量。
薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，可以用来描述各种体系，包括原子、分子、固体和微观粒子等。
通过求解薛定谔方程，可以得到体系的波函数，波函数的模的平方代表了在某一时刻粒子出现在不同位置的概率分布。
由于薛定谔方程是一个偏微分方程，求解它需要考虑边界条件和初始条件。
对于简单的系统，如自由粒子，可以直接求解得到解析解。
但对于复杂的体系，如多电子原子或分子，一般需要采用数值方法进行求解。
量子力学的创立为描述微观世界的现象提供了全新的框架，薛定谔方程作为量子力学的基本方程，为我们理解微观粒子的行为和性质提供了强有力的工具。
通过求解薛定谔方程，我们可以预测和解释许多实验现象，如电子的能级结构、原子和分子的光谱等。
总结一下，薛定谔方程是量子力学中的基本方程，描述了体系的波函数随时间演化的规律。
通过求解薛定谔方程，我们可以获取体系的波函数及其相应的能量，从而揭示微观粒子的行为和性质。
薛定谔方程在量子力学的发展中起到了重要的作用，为我们认识和理解微观世界提供了重要的框架。
薛定谔方程课件
2m
t
如势函数不是时间的函数，即 U U(r)
用分离变量法将波函数写为：
(r)
(r)f
(t)
代入薛定谔方程得：
1
2 2m
2
U(r)
i
f
1 (t)
f(t) t
16
1
2 2m
2
U(r)
i
f
1 (t)
f(t) t
方程左边只是空间坐标的函数，
右边只是时间的函数，
只有两边都等于一个常数等式才能成立。
i
Et
2
(r )
2
与时间无关
18
定义能量算符,动量算符和坐标算符
例：能量、动量和坐标算符对沿x方向传播
自由平面波波函数 的作用
19
利用对应关系得“算符关系等式” • 把“算符关系等式”作用在波函数上得 到 三维情况：
20
哈密顿量
粒子的总能量
若
称 为能量算符
用哈密顿量表示薛定谔方程
21
能量算符的本征值问题 本征值取分立值时的本征值问题 n —量子数 {E1，E2，….，En，….}—能量本征值谱
沿x方向运动的自由粒子束可用单色平面波来描写， 其波函数为：
(
x,
t
)
e i 2
0
(t
x
)
h p
E h
(x,
t
)
0e
i
(
Et
px
)
3
考虑到自由粒子沿
r
方向传播的三维情况，
波函数可写为：
(r,
t)
0e
i
(
Et
pr
)
薛定谔方程形式解
薛定谔方程是量子力学中的一个基本方程，它描述了微观系统在给定初始条件下的演化规律。
该方程的形式非常复杂，涉及到时间和空间的偏微分以及波函数等概念。
下面是对薛定谔方程形式解的一些说明：
1. 薛定谔方程的基本形式为：
- ihbar/tau粒*▽ψ(x, t) = Hψ(x, t)
其中，H是哈密顿量，ψ(x, t)是波函数，τ是时间演化参数。
这个方程表示，在给定初始条件下的波函数随时间的演化满足微分方程。
2. 波函数的求解依赖于具体的哈密顿量以及初始条件。
一般来说，我们可以通过分离变量等方法将波函数展开成一系列不同频率的谐波之和，从而得到波函数的解析解。
但是，对于一些复杂的哈密顿量，波函数的求解通常需要使用数值方法。
3. 薛定谔方程的解通常被称为波包，它描述了微观系统随时间的演化过程。
波包的形状和大小取决于初始条件和哈密顿量的性质。
对于一些简单的情况，例如一维无限深势阱或者谐振子等，我们可以得到一些具有实际意义的波包形状。
4. 薛定谔方程在量子力学中具有非常重要的地位，它描述了微观系统的波粒二象性以及量子叠加态等基本概念。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到微观系统的量子态，从而对量子系统进行计算和控制。
5. 除了薛定谔方程本身，还有许多其他的量子力学方程和近似方法，例如狄拉克方程、海森堡方程、路径积分等。
这些方法在量子力学中都有重要的应用，可以解决不同类型的问题和计算任务。
总之，薛定谔方程是量子力学中的一个基本方程，它描述了微观系统在给定初始条件下的演化过程。
通过对波函数的求解和计算，我们可以对量子系统进行深入的研究和实验控制。
薛定谔方程最简单的形式
薛定谔方程最简单的形式引言薛定谔方程是量子力学中最重要的方程之一，描述了量子系统的演化和行为。
它的最简单形式可以用来描述自由粒子的运动，本文将对薛定谔方程最简单的形式进行介绍。
薛定谔方程薛定谔方程是用来描述量子系统的演化的方程。
对于一个自由粒子，它的薛定谔方程可以写作:$$i \\hbar \\frac{\\partial \\psi}{\\partial t} = -\\frac{\\hbar^2}{2m}\\frac{\\partial^2 \\psi}{\\partial x^2}$$其中，i是虚数单位，$\\hbar$是约化普朗克常数，$\\psi$是波函数，m是粒子的质量，t是时间，x是粒子的位置。
波函数与概率密度波函数是薛定谔方程的解，它包含了系统的全部信息。
但是，波函数本身并不直接描述粒子的物理性质，而是通过概率密度来给出具体的可观测结果。
概率密度$|\\psi|^2$表示在空间中找到粒子的几率。
根据波函数的性质，其概率密度要满足归一化条件，即在整个空间内的积分等于1。
这意味着粒子一定存在于某个位置。
在最简单的薛定谔方程中，波函数是一个平面波，可以写为$\\psi(x,t) = Ae^{i(kx - \\omega t)}$。
其中，A是振幅，k是波数，$\\omega$是频率。
根据平面波的性质，概率密度$|\\psi|^2$是恒定不变的，并且在整个空间范围内都有非零概率。
波函数的演化薛定谔方程描述了波函数随时间的演化。
对于自由粒子，它的薛定谔方程是线性的，意味着波函数的形式在时间演化中保持不变，只是振幅发生变化。
这也说明了自由粒子的能量是守恒的。
根据薛定谔方程，波函数的时间导数与空间二阶导数之间存在简单的线性关系。
由此可得，波函数的形式在不同位置上的变化是类似的，只是相位和振幅的变化不同。
自由粒子的波函数演化可以用平面波的形式简洁地表示。
根据平面波的性质，波函数在空间中传播，形成波动。
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改写成
2m ( x ) 2 E U ( x ) ( x ) 0
求解两类问题： 一类是本征值问题，给定势能函数U(x)，求 粒子的能量E和相应的本征波函数Φn(x)；
另一类是散射问题，假设粒子以能量E射向势 垒U(x)，计算粒子穿透势垒的概率。
§2.2 无限深方势阱中的粒子
ˆ xx0 ( x) x0x0 ( x)
本征值谱： x0 （连续谱） 本征函数系：{ x ( x) ( x x ), x }
0 0 0
如果粒子处于态 ( x x0 )，其坐标一定为 x0 。
ˆ x i 的本征方程及其解 动量算符 p x
本征值 本征波函数（态）
ˆ F
ˆ 如果粒子处于本征态 ，则粒子的与 F 对 应的力学量的取值，一定等于本征值 。
本征值的集合 本征值谱；
本征波函数的集合 本征函数系。
ˆ F
ˆ 坐标算符 x x 的本征方程及其解
3、哈密顿（Hamilton）量
2 ˆ p 2 2 ˆ H U (r , t ) U (r , t ) 2m 2m
若U不显含时间，则H 称为能量算符。 用哈密顿量，薛定谔方程可写成
ˆ i H t
势函数U不显含时间的情况很重要。这时， 薛定谔方程可分离变量求解。
ˆ p i
【例】动量算符对自由粒子波函数的作用
( x)
i px x Ae
ˆ x ( x) i ( x) px (x) p x 作用结果：等于粒子的动量乘波函数。
粒子的动量
物理上的理解：测量由自由粒子波函数
( x)
i px x Ae
描述的粒子的动量，结果一定等于动量 p x 。 自由粒子波函数是动量算符的“本征态”。 动量是动量算符的“本征值”。
i Et
（简谐振动）
式中E具有能量量纲，C 可以是复数。 不含时薛定谔方程 方程（2）：
2 2 U ( r ) ( r ) E ( r ) 2m
或称能量本征方程。
2 2 2m U ( r ) ( r ) E ( r )
2 2 i U ( r , t ) t 2m 是量子力学的基本方程，描述非相对论性粒 子波函数随时间演化规律。
是线性齐次微分方程，解满足态叠加原理 若 1 ( r , t ) 和 2 ( r , t ) 是薛定谔方程的解， 则 c1 1 ( r , t ) c2 2 ( r , t ) 也是薛定谔方程的解。 方程中含有虚数 i 它的解 是复函数，复数不能直接测量。 而 的模方代表概率密度，可测量。
i En t
n
* Cn n ( x ) ( x,0)dx
(x,0) 为给定的初始时刻的状态。
2m ( x ) 2 E U ( x ) ( x ) 0, E 0
一、势阱中粒子的能量
1、阱外 x 0 , x a U ( x ) ， 0
dT(t ) 1 1 ˆ i H (r ) =E (常数) dt T ( t ) ( r )
上式可分为以下两个方程：
dT ( t ) i ET ( t ) －（1） dt ˆ (r ) E (r ) －（2） H
方程（1）的解为 T ( t ) Ce
ˆ px p ( x) p p ( x)
0 0 0
本征值谱： p0 （连续谱）
{ 本征函数系： p ( x)
0
ipx Ae 0 ,
p }
0
如果粒子处于态 p0 ( x)，其动量一定为 p0 。
ˆ2 px ˆ 哈密顿量 H U ( x ) 的本征方程及其解 2m
算符和力学量的对应关系：
2 2 i E , i p x , 2 2 px x x t
对于非相对论性自由粒子： 算符对应关系：
p2 E x 2m
2 2 i t 2m x 2
作用于波函数，得自由粒子薛定谔方程
2 2 i ( x, t ) ( x, t ) 2 t 2m x
二、薛定谔方程 设粒子在势场U(x,t)中运动，能量关系为
p2 E U ( x, t ) 2m
2 2 U ( x, t ) 算符对应关系： i 2 t 2m x
作用于波函数，得薛定谔方程
2 2 i ( x , t ) 2m x 2 U ( x , t ) ( x , t ) t
粒子被束缚在势阱内 (束缚态) lim ( x ) 0
x
2、阱内 0 x a U ( x ) 0 2mE ( x ) 2 ( x ) 0, E 0 令 k 2 2mE 2 ，方程写成
( x) k ( x) 0
2
d2 k 2 0 d x2
第2章 薛定谔方程
目 录
§2.1 薛定谔方程和力学量算符 §2.2 无限深方势阱中的粒子
§2.4 一维谐振子
§2.3 量子隧穿效应
§2 .1薛定谔方程和力学量算符
1926年，在一次学术讨论会上年轻的薛定谔介绍德 布罗意关于粒子波动性假说的论文，在薛定谔讲完后， 物理学家德拜（P.Debey）评论说：认真地讨论波动， 必须有波动方程。 几个星期后，薛定谔又作了一次报告。开头就兴奋 地说：你们要的波动方程，我找到了！这个方程，就 是著名的薛定谔方程。 薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程，它在量 子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是一 样的。
( x, t ) ：算符 t 代表对波函数关于 t 求导 t ( x, t ) ：算符 x 代表对波函数关于 x 求导 x
ˆ x ( x, t ) x ( x, t ) ：算符 x 代表用 x 乘波函数 ˆ
*( x, t ) ：对波函数取复共轭
算符是通过对波函数的作用关系来定义的
同牛顿方程一样，薛定谔方程也不能由其它的基本 原理推导得到，而只能是一个基本的假设，其正确性 也只能靠实验来检验。
一、自由粒子薛定谔方程 自由粒子波函数（一维）
( x, t ) Ae 微商，得x , t ) i E ( x , t ) t
i En t
, n 1,2,3,
i En t
通解可写成定态解叠加的形式
( x, t ) Cn n ( x, t ) Cn n ( x )e
n n
( x, t ) C n n ( x )e
n
i En t
式中Cn称为展开系数。 后面证明，给定初始时刻的状态Ψ(x,0)， Cn 可按下式计算
通解： ( x ) A sinkx B coskx
A，B为待定常数，由波函数应满足的“单 值、有限、连续”条件决定。 单 值 、 有 限 ” “ 已经满足，下面看连续条件。 3、用连续条件定特解 x 0 (0) 0 B 0 ( x ) A sinkx
x a (a ) A sinka 0 A 0 sin ka 0
ˆ i H t
哈密顿量决定了微观粒子波函数随时间的演 化，外界对粒子的作用，包括不能用力来表达 的微观相互作用，一般都可以用哈密顿量中的 势函数U(x,t)来概括。 而在经典力学中，改变宏观粒子运动状态的 原因是作用在粒子上的力。 只讨论势函数U与时间无关的情况。
四、力学量算符的本征方程 算符只是抽象的数学记号，其本身并不象 经典力学中力学量那样代表物理量的取值。 算符和相应力学量的取值之间，是通过本 征方程联系起来的。 ˆ 力学量算符F的本征方程，指下述类型方程
数学上：E 不论取何值，方程都有解。 物理上：E 只有取一些特定值，方程的解才 能满足波函数的条件（单值、有限、连续）。 满足方程的特定的E 值，称为能量本征值。 ΦE 称为与E对应的本征波函数。若粒子处 于ΦE，则粒子的能量为E。 定态：
i Et E (r , t ) E (r ) e
三、力学量算符的引入
量子力学假设：力学量用算符表达。
1、坐标算符
ˆ x ( x ) x ( x )
ˆ r r
其中Ψ 代表任意波函数。 坐标算符假定为
ˆ ˆ ˆ x x, y y,z z;
2、动量算符
坐标算符假定为
算符和动量的对应关系： i px x
ˆ ˆ ˆ px i , p y i , pz i ; x y z
* Cn n ( x ) ( x,0)dx
若势函数不显含时间，则薛定谔方程的求解， 可通过解能量本征方程（不含时薛定谔方程） 因此，能量本征方程的求解，在 来解决。 量子力学中占有重要地位。
2 d2 2m d x 2 U ( x ) ( x ) E ( x )
三维：
2 2 2 2 2 2 2 U ( r , t ) i t 2m x y z
引入拉普拉斯算符：
2 2 2 2 2 2 2 x y z
薛定谔方程：
2 2 i U ( r , t ) t 2m
U(x) U=U0 E U=U0
U(x)
U→∞ E U→∞
U=0
0 金属
U=0
a a
x
x a 0 无限深方势阱
E 0 ，为什么？
0, 0 x a U ( x) , x 0 , x a
x a , p 0
2a p2 E 0 2m