薛定谔方程
-薛定谔方程
§12－6 薛定谔方程德布洛意关于物质波的概念传到苏黎世后，薛定谔作了一个关于物质波的报告。
报告后， 德拜(P.Debye)评论说：有了波，就应有一个波动方程。
几个月后，薛定谔果然提出了一个波方程，这就是后来在量子力学中著名的薛定谔方程。
薛定谔方程是量子力学的动力学方程，象牛顿方程一样，不能从更基本的方程推导出来，它是否正确，只能由实验检验。
一、薛定谔方程 1 一维薛定谔方程1）一维自由运动粒子(无势场)设：一维自由运动粒子，无势场，不受力，动量不变。
一维自由运动粒子的波函数(前已讲)ψ(x , t ) = ψ0 e -i(2π/h ) (Et - px )由此有再利用 可得此即一维自由运动粒子(无势场)的含时薛定谔方程。
2）若粒子在势场U (x , t ) 中运动由 有此即一维自由运动粒子在势场中的含时薛定谔方程。
3）定态薛定谔方程若粒子在恒定势场U = U (x )中运动，微观粒子的势能仅是坐标的函数，与时间无关，可把上式中的波函数分成坐标函数与时间函数的乘积，即2222ip x hp x hψψψψ∂=∂∂=-∂22p E m=222282h h i m x tψψππ∂∂-=∂∂22p p E E m =+222282p h h E i m x tψψψππ∂∂-+=∂∂2(,)()()()iEt hx t x f t x eπψϕϕ-==式中 ψ =ψ (x , t )是粒子在势场U = U (x , t )中运动的波函数。
将ψ =ψ (x , t ) = ψ(x )T (t )代入得一维定态薛定谔方程式中ψ =ψ (x )是定态波函数，它所描写的粒子的状态称作定态，是能量取确值的状态。
定态的概率密度ψ(x ,t ) ψ*(x ,t ) = ψ (x ) ψ *(x ) 定态下的概率密度和时间无关。
在量子力学中用薛定谔方程式加上波函数的物理条件，求解微观粒子在一定的势场中的运动问题(求波函数，状态能量，概率密度等)。
薛定谔方程
v v v v ψ(r ,t) =c1 1(r ,t) +c2ψ2(r ,t) +⋅⋅⋅ = ∑ iψi (r ,t) ψ c
也是这个系统的一个可能的量子态。 也是这个系统的一个可能的量子态。
i
薛定谔方程是复数方程，因此它的解， ② 薛定谔方程是复数方程，因此它的解，即波函数 一般是复数。 一般是复数。
一、含时薛定谔方程 1. 自由粒子的含时薛定谔方程 自由粒子的波动性对应于平面波，因此， 自由粒子的波动性对应于平面波，因此，描述自由 粒子量子态的波函数可以采用平面波函数的形式。 粒子量子态的波函数可以采用平面波函数的形式。 量子力学中，自由粒子对应的平面波函数： 量子力学中，自由粒子对应的平面波函数：
2 2 2
∂ψ ih = Eψ ∂t
v −ih∇ = pψ ψ
−h ∇ ⇔p
2 2 2
∂ v ih ⇔E −ih∇⇔ p ∂t
箭头左边的符号作用于波函数等于箭头右边的物理 量乘以波函数。 量乘以波函数。 不考虑相对论效应， 动能与动量的关系： 不考虑相对论效应，则动能与动量的关系： 与动量的关系
p E= 2µ 2 p Eψ = ψ 2µ
v 波矢， 波矢 大小等于角波数，沿着波传播方向。 k——波矢，大小等于角波数，沿着波传播方向。
角频率。 角频率 ω ——角频率。
v v v ψ(r ,t) = Aex i(k ⋅ r −ω ) p t
{
}
v v v ψ(r ,t) = Aex i(k ⋅ r −ω ) p t
{
}
ω
2π 2π E 1 = hν = E = = 2πν = T h h h v v v v v k 2π k 2π h k 1 k k = k k = λ k = h λ k = h p k
大学物理-薛定谔方程
若 m、a、( U0 – E ) 越小，则穿透率 T 越大。
实验完全证实了“量子隧道效应”现象的存在。 例如，★ 放射性核的 粒子衰变
★ 扫描隧穿显微镜
* 怎样理解粒子通过势垒区?
经典物理： 从能量守恒的角度看是不可能的。
量子物理： 粒子有波动性，遵从不确定关系，
粒子穿过势垒区和能量守恒并不矛盾。
n 1 ,1 2a
a
0
a
x
2 n 呈驻波状 2
讨论: 1.能量只能取分立值
按经典理论……粒子的“能量连续”；
但量子力学……束缚态能量只能取分立值（能级）
2.当 m 很大（宏观粒子）时，
能量连续， 量子 经典。
En
n2
22 2ma 2
,Hale Waihona Puke 3.最低能量不为零（称零点能）
22
E1 2ma2 0
只要势垒区宽度 x = a 不是无限大，
粒子能量就有不确定量E 。
p2
2pΔ p pΔ p
E ΔE
2m
2m
m
x = a 很小时，P 很大，使 E也很大 ， 以至
可以有： E U0 E E +E > U0
§2.4 一维谐振子
谐振子不仅是经典物理的重要模型，
而且也是量子物理的重要模型。
如：黑体辐射、分子振动，晶格点阵振动。
有
d2
d x2
2m 2
[E
1 m 2 x 2 ]
2
0
3. 谐振子的能量 解定态薛定谔方程得
En
(n
1 )
2
(n
1 )h
2
，n
=
0,
1,
2,
9-4薛定谔方程
隧道效应
贯穿势垒的概率定义为在 x a处透射波的强度与
入射波的强度之比：
T
3(a) 2
2a
e
2m(U0 E )
A2
贯穿概率与势垒的宽度与高度有关。
扫描隧道显微镜(STM)
原理： 利用电子的隧道效应。
金属样品外表面有一层 电子云，电子云的密度随着 与表面距离的增大呈指数形 式衰减，将原子线度的极细 的金属探针靠近样品，并在 它们之间加上微小的电压， 其间就存在隧道电流，隧道 电流对针尖与表面的距离及 其敏感，如果控制隧道电流 保持恒定，针尖的在垂直于 样品方向的变化，就反映出 样品表面情况。
z z 为 轴，角动量在 轴上的投影 Lz 只能取
Lz ml ml 0, 1, 2,..., l
ml 称为磁量子数。对于一定的角量子数l, ml 可以取 2(l 1) 个值。
B(z)
2 角动量的空间量子化 o 2
L 6
l2
三、电子的自旋
1925年，乌仑贝克 ( G.E.Uhlenbeck ) 和古兹密特(S.A.Goudsmit)提出电子自旋假说。把 电子绕自身轴线的转动称为自旋。
4 E1
n 1
0
a2
ax 0
a2
aEE1x0
四、一维势垒 隧道效应
一维方势垒如图
U
U
(x)
U0
0xa
0 x 0, x a
U0 E
粒子沿 x 方向运动,当
Ⅰ E U0
ⅡⅢ
粒子可以通过势垒。
oa x
当 E U0，实验证明粒子也能通过势垒,这只有 由量子力学的到解释。
设三个区域的波函数分别为 1, 2,3
薛定谔方程
薛定谔方程薛定谔方程(Schrödinger equation)是一个由奥地利物理学家薛定谔在1926年[1]描述量子力学中波函数的运动方程，被认为是量子力学的奠基理论之一。
薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。
含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。
不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。
波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。
而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。
薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。
量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正电子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。
薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。
薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。
海森堡表述比较没有这么严重的问题;而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。
目录[隐藏], 1 含时薛定谔方程, 2 不含时薛定谔方程, 3 历史背景与发展, 4 含时薛定谔方程导引o 4.1 启发式导引, 4.1.1 假设, 4.1.2 波函数以复值平面波来表达波函数o 4.2 薛定谔的导引, 5 特性o 5.1 线性方程, 5.1.1 证明o 5.2 实值的本征态o 5.3 幺正性, 5.3.1 证明o 5.4 完备基底, 6 相对论性薛定谔方程, 7 解析方法, 8 实例o 8.1 自由粒子o 8.2 一维谐振子o 8.3 球对称位势, 8.3.1 角部分解答, 8.3.2 径向部分解答, 9 参阅, 10 参考文献, 11 外部链接[编辑] 含时薛定谔方程虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。
理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。
在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为;(1) 其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。
薛定谔方程的内容
薛定谔方程的内容薛定谔方程是量子力学中的基本方程，描述了微观粒子的运动和行为。
它是由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔在1925年提出的，为量子力学的发展做出了重要贡献。
薛定谔方程的一般形式可以写作：iħ∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常数的约化形式，Ψ是波函数，t 是时间，H是哈密顿算符。
这个方程描述了波函数随时间的变化，并通过哈密顿算符来描述粒子的能量。
薛定谔方程的解决了经典物理学无法解释的一些现象，例如电子在原子轨道中的稳定性和光谱线的出现等。
通过求解薛定谔方程，可以得到粒子的波函数，从而了解其位置和动量的概率分布。
薛定谔方程的解可以是复数形式，其中实部表示波函数的振幅，而虚部表示波函数的相位。
波函数的模的平方给出了在给定位置找到粒子的概率密度。
这种概率解释是量子力学与经典力学的一个重要区别，体现了量子粒子的波粒二象性。
薛定谔方程在解释微观粒子行为方面有着广泛的应用。
例如，它可以用来描述电子在晶体中的行为，从而解释材料的导电性和光学性质。
薛定谔方程也被用于描述分子的结构和反应，以及原子核的性质等。
薛定谔方程的求解是一个复杂的过程，通常需要使用数值方法或近似方法来获得解析解。
由于方程中包含了时间变量，因此需要指定初始条件来确定波函数的演化。
在实际应用中，研究者通常会利用计算机模拟来求解薛定谔方程，以获得粒子在不同条件下的行为。
薛定谔方程的提出使得量子力学得以发展，并取得了许多重要的成果。
它为我们理解微观世界的规律提供了一个强大的工具。
通过研究薛定谔方程，我们可以更好地理解和解释量子力学中一系列奇特的现象，如量子纠缠、量子隧道效应和量子叠加态等。
薛定谔方程是量子力学的基石，它描述了微观粒子的运动和行为。
通过求解薛定谔方程，可以得到粒子的波函数，从而了解其位置和动量的概率分布。
薛定谔方程的提出为量子力学的发展做出了重要贡献，为我们揭示了微观世界的奥秘。
薛定谔方程及其在量子力学中的应用
薛定谔方程及其在量子力学中的应用量子力学是一门研究微观世界的科学，它描述了微观粒子的行为和性质。
薛定谔方程是量子力学的基石之一，它由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，是描述微观粒子的波函数随时间演化的数学方程。
薛定谔方程的形式为：iħ∂Ψ/∂t = -ħ²/2m∇²Ψ + VΨ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常数的约化常数（ħ=h/2π，h为普朗克常数），Ψ是波函数，t是时间，m是粒子的质量，∇²是拉普拉斯算符，V是势能。
薛定谔方程描述了波函数随时间的演化，通过求解薛定谔方程，我们可以得到波函数的时间演化规律，从而了解微观粒子的行为和性质。
薛定谔方程在量子力学中有广泛的应用。
首先，它可以用来描述粒子的定态和非定态。
定态是指粒子的能量和其他性质都是确定的状态，非定态是指粒子的能量和其他性质都不是确定的状态。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子的定态波函数，从而得到粒子的能量和其他性质。
而非定态波函数则描述了粒子的能量和其他性质在不同状态之间的转变。
其次，薛定谔方程还可以用来解释粒子的波粒二象性。
根据薛定谔方程，波函数Ψ可以表示粒子的概率幅，即波函数的模的平方|Ψ|²表示在某个位置上找到粒子的概率。
这就是波粒二象性，即微观粒子既具有粒子性又具有波动性。
薛定谔方程还可以用来解释量子力学中的量子纠缠现象。
量子纠缠是指两个或多个粒子之间存在着一种特殊的关系，它们的状态是相互依赖的，无论它们之间的距离有多远。
薛定谔方程可以描述量子纠缠现象，通过求解薛定谔方程，我们可以得到纠缠态的波函数，从而了解量子纠缠的本质和特性。
此外，薛定谔方程还可以应用于量子力学中的量子力学力学中的研究。
量子力学力学是一种研究微观粒子运动规律的方法，它可以通过求解薛定谔方程得到粒子的运动轨迹和动力学性质。
总之，薛定谔方程是量子力学的基础方程之一，它描述了微观粒子的波函数随时间演化的规律。
计算材料学 薛定谔方程
计算材料学薛定谔方程计算材料学是一门涵盖材料科学、物理学和化学等学科的交叉学科，它通过计算机模拟，预测、优化和设计新的材料。
而薛定谔方程则是计算材料学中最基础且最核心的方程之一。
一、薛定谔方程的基本概念薛定谔方程是研究微观粒子运动的基本方程，它描述的是粒子的波函数在空间中的演化过程。
波函数用于描述粒子在空间中的行为，包括位置和能量等信息。
薛定谔方程的数学描述形式为：HΨ=EΨ其中，H为哈密顿量，Ψ为波函数，E为能量。
该方程本质上是时间无关的薛定谔方程，是描述粒子在定态下的运动。
二、薛定谔方程在计算材料学中的应用薛定谔方程在计算材料学中应用非常广泛。
材料结构的稳定性和性质通常可以通过求解薛定谔方程来加以解释。
特别是对于具有复杂结构和较高运动速度的粒子，直接进行实验研究是非常困难的，而求解薛定谔方程则使得计算机模拟成为了一种非常有效的手段。
1. 晶体结构优化在计算材料学中，最常用的方法是优化能量。
优化能量可以得到材料体系内每个原子的最新坐标。
因此，通过求解薛定谔方程，可以对晶体结构进行优化设计，从而实现理性设计新型材料。
2. 电子结构计算薛定谔方程可以帮助研究者解释原子中的电子结构、物质的各种性质和反应，包括它们的磁性、电性和光性等。
通过计算材料学方法，可以用薛定谔方程解释某些化学反应的发生原因，以及这些反应如何影响材料的性质和性能。
三、结语薛定谔方程在计算材料学中扮演着重要的角色，它使得科学家们能够更好地理解和设计新材料。
通过计算机模拟，研究者可以以更加优化的方式研究材料结构、性质、反应等，为新一代材料的设计发展做出贡献。
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第一章 薛定谔方程
§1.1.波函数及其物理意义
1. 波函数： 用波函数描述微观客体的运动状态。
例：一维自由粒子的波函数
推广 ：三维自由粒子波函数
2. 波函数的强度——模的平方
3. 波函数的统计解释
用光栅衍射与电子衍射对比的方式理解波函数的统计解释。
t 时刻，出现在空间（x,y,z ）点附近单位体积内的粒子数与总粒子数之比。
t 时刻，粒子出现在空间（x,y,z ）点附近单位体积内的概率。
t 时刻，粒子在空间分布的概率密度
4、 波函数的归一化条件和标准条件 归一化条件 粒子在整个空间出现的概率为1
标准条件：一般情况下，
有关特殊情况波函数所满足的条件参看曾谨言教程。
对微观客体的数学描述： 脱离日常生活经验，避免借用经典语言引起的表观矛盾
§1.2. 薛定谔方程
是量子力学的基本假设之一，只能建立，不能推导，其正确性由实验检验。
1. 建立 （简单→复杂， 特殊→一般）
一维自由粒子的振幅方程
非相对论考虑
2. 一维定态薛定谔方程
2
|),,,(|t z y x ψ1d d d d d ||2===⋅=ψ⎰⎰⎰N N N N V V N N V V V .
是单值、有限、连续的ψ0)(2d )(d 222=ψ+ψx mE x x
0)()(2d )(d 222=ψ-+ψx U E m x x
3. 三维定态薛定谔方程
4. 一般形式薛定谔方程
5. 多粒子体系的薛定谔方程
讨论：
1、薛定谔方程也称波动方程，描述在势场U 中粒子状态随时间的变化规律。
2 、建立方程而不是推导方程，正确性由实验验证。
薛定谔方程实质上是一种基本假设，不能从其他更基本原理或方程推导出来，它的正确性由它解出的结果是否符合实验来检验。
3、薛定谔方程是线性方程。
是微观粒子的基本方程，相当于牛顿方程。
4、自由粒子波函数必须是复数形式，否则不满足自由粒子薛定谔方程。
5、薛定谔方程是非相对论的方程。
量子力学的中心任务就是求解薛定谔方程。
求解问题的思路：
1. 写出具体问题中势函数U (r )的形式代入方程
2. 用分离变量法求解
3. 用归一化条件和标准条件确定积分常数
4. 讨论解的物理意义，
薛定谔的另一伟大科学贡献
《What is life ？》
薛定谔(Schroding,1897-1961)奥地利人,因发现原子理论的有效的新形式一波动力学与狄拉克(Dirac,1902-1984)因创立相对论性的波动方程一狄拉克方程,共同分享了1933年度诺贝尔物理学奖
定态薛定谔方程
一．定态薛定谔方程条件：V （r,t ）=V(r)， 与t 无关。
用分离变量法, 令Ψ=φ(r)f(t)，代入薛定谔方程，得两个方程：
此称定态薛定谔方程
整个定态波函数形式：
),,,(),,,()],,,(2[),,,(2121212221t r r t r r V t r r m t r r t i i
i i ψ+ψ∇-=ψ∂∂∑)t (Ef t
)t (f i =∂∂ Et i ce )t (f -=)r (E )r ()r (V )r (m
ϕ=ϕ+ϕ∇-222Et i
e )r ( -ϕ=ψ
特点：
A.波函数由空间部分函数与时间部分函数相乘；
B．时间部分函数是确定的。
定态波函数几率密度W与t无关，几率分布不随时间而变，因此称为定态。
重点要掌握如何用定态薛定谔方程求解问题。
二、本征方程、本征函数与本征值
算符本征方程：λ：本征值，有多个，甚至无穷多个。
ψλ：本征值为λ的
本征函数。
也有多个，甚至无穷多个，有时一个本征值对应多个不同的本征函数，这称为简并。
若一个本征值对应的不同本征函数数目为N，则称N重简并。
三、定态情况下的薛定谔方程一般解
说明：1、定态薛定谔方程或不含时的薛定谔方程是能量本征方程，E就称为体系的能量本征值（energy eigenvalue），而相应的解称为能量的本征函数（energy eigenfunction）。
2、是体系的哈密顿量算符，当不显含t时，体系的能量是收恒量，可用分离变量。
3、解定态薛定谔方程，关键是写出哈密顿量算符。
§1.3 一维无限深势阱
一、一维势阱实例
如：金属中的自由电子。
金属粒子有规则的排列成行，1）电子在金属内部势能为常数，认定为零；2）表面有一个势阶。
总之，此时电子势能可以近似认为是一个方势阱形式。
二、微分方程
三、一维无限深势阱求解
四、宇称
§1.4 一维线性谐振子
什么叫谐振子？弹簧振动、单摆就是谐振子，它们的位移或角位移满足方程：谐振子在物理中很重要，很多物理问题都可以近似按谐振子处理。
比如固体中的每个原子的微振动，就可以看成在各自平衡位置作简谐振动。
双原子分子的振动可化为谐振子。
这节介绍求解线性谐振子（一维）的定态薛定谔方程，解出波函数与能量，并作些讨论.
三．谐振子的几率分布
结论：1. 在经典振幅之外，仍有粒子出现，这也是量子效应。
2．从前几个波函数曲线看，量子与经典没有什么相似，但当n很大时，量子的平均结果与经典曲线相似。
4.熟记有关结论。
四、S维各项同性谐振子
五、位移谐振子
六、耦合谐振子（对角化解耦）
Summary:
1、由于谐振子势具有空间反射不变性，按定理3的推论，必有确定的宇称。
可证：
2、基态：能量：并不为零，称为零点能（zero-point energy）。
是微观粒子的波动-粒子两重性的表现。
处于基态的谐振子在空间的概率分布是一个高斯型分布，在原点处找到粒子的概率最大。
按经典力学的观点，基态谐振子只允许在的区域中运动，而属于经典禁区，但按照量子力学中波函数的统计诠释，粒子有一定概率处于经典禁区（量子效应），可以计算此概率（考研究生题）。
3、能量本征值随量子数n的变化不但是断续的，而且是等间距的，间距只和振子的固有频率有关。
4、“能量量子化”和“零点能存在”是量子振子能量不同于经典振子能谱的两大特点。
均是波动性的体现。
5、熟练掌握本节内容。
6、“突然近似”，谐振子：k突然变成2k；无限势阱：a突然变成2a。
§1.5 隧道效应
势垒贯穿－能量低于势垒高度的粒子有一定几率穿过势垒。
例：势垒贯穿现象—金属电子的热发射-电子有冷发射：如果给金属加上一个外电场（约1000000V/CM），使金属成为阴极，则该电场会使电子释放出来而形成电流，这种现象叫金属电子的冷发射。
应用:
1973年:固体中的隧道效应,
半导体中的隧道效应.
约朔夫森, 江琦, 迦埃非.1986年:设计世界上第一架电子显微镜,设计隧道效应显微镜.
鲁斯卡, 宾尼(德国),罗雷尔因(瑞士).
1997年：量子隧道效应。
经典物理无法理解势垒贯穿。
∵E＝T＋V，T＝E－V＜0，不可能,本节介绍量子力学如何解释势垒贯穿，以及如何计算穿过势垒的几率。
一、一维方势垒
二、求解
三、势垒贯穿几率
讨论:
1.经典:E<U0 时, 无反射.
(1)量子力学:有反射.
(2)共振透射, 研究D, D max=1条件:
于是D就发生振荡,叫做共振透射.
(3) 都有反射和透射.
2. E<U0 (隧道效应).
用于基因突变率的计算.
(1)D与U0, E, a有关;
(2)隧道效应;
a=1 埃 D 0.1
a=2埃 D 0.0012
a=5埃 D 0.0000017
a=10埃 D 0.00000000003
习题: (1) 2.8,
(2) 剖析：p34或曾书p43。
2.3. 求动能为E的粒子对势垒的投射系数。
第二章波函数和薛定谔方程（小结）
一.波函数统计解释
二.态迭加原理
三.薛定谔方程
四.粒子流密度和粒子数守恒定律
五.定态薛定谔方程
六.一维无限深势阱
七.线性谐振子
八.势垒贯穿
几个概念：波函数，宇称，定态，简并，
束缚态，量子化，零点能，隧道效应，
数学：厄米方程，厄米方程多项式势垒。
超越方程曾书p34，一维有限深势阱。