薛定谔方程的哲学解释
薛定谔
对薛定谔及薛定谔方程的深入理解陇东学院茹燕指导教师张广平甘肃庆阳 745000摘要薛定谔是奥地利物理学家，概率波动力学的创始人。
他在物理学上的贡献是众所周知的，其中薛定谔方程便是一例。
薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，它在量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。
本文先从薛定谔漫长的一生入手，分别就他的个人简介、个人档案、个人经历、人物生平、成就贡献等九个方面做一个系统全面的概述；然后介绍薛定谔方程，由方程的提出、定义、到推导、具体介绍、数学表达式、物理含义、方程的解我将一一作出概括总结，使其更加全面深刻的为人所了解。
关键词：薛定谔；波动方程；概述；深入理解一、薛定谔的一生1、个人简介埃尔温·薛定谔（Erwin Schrödinger，1887-1961年）1887年8月12日出生于奥地利首都维也纳，1961 年1 月4日卒于奥地利的阿尔卑巴赫山村。
1906年至1910年，他就学于维也纳大学物理系，1910年获博士学位。
毕业后，在维也纳大学第二物理研究所从事实验物理的工作。
第一次世界大战期间，他应征服役于一个偏僻的炮兵要塞，利用闲暇时间研究理论物理。
战后他仍回到第二物理研究所。
直到1920年以前主要在维也纳大学任教，1920年他到耶拿大学协助维恩工作。
1921～1927年在苏黎世大学任教，开头几年，他主要研究有关热学的统计理论问题，写出了有关气体和反应动力学、振动、点阵振动（及其对内能的贡献）的热力学以及统计等方面的论文。
1927年薛定谔接替普朗克到柏林大学担任理论物理教授。
1933年希特勒上台后，薛定谔对于纳粹政权迫害爱因斯坦等杰出科学家的法西斯行为深为愤慨，移居牛津，在马达伦学院任访问教授。
同年他与狄拉克共同获得诺贝尔物理学奖。
1936年他回到奥地利任格拉茨大学理论物理教授。
不到两年，奥地利被纳粹并吞后，他又陷入了逆境。
1939年10月流亡到爱尔兰首府都柏林，就任都柏林高级研究所所长，从事理论物理研究。
薛定谔方程
薛定谔方程（英语：Schrodinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔在1926年提出的一个用于描述量子力学中波函数的运动方程[1]，被认为是量子力学的奠基理论之一。
薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。
含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。
不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。
波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。
而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。
薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。
量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正电子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。
薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。
薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。
海森堡表述比较没有这么严重的问题；而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。
[编辑]含时薛定谔方程虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。
理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。
在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为(1)其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。
类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为(2)假若，系统内有个粒子，则波函数是定义于-位形空间，所有可能的粒子位置空间。
用方程表达，。
其中，波函数的第个参数是第个粒子的位置。
所以，第个粒子的位置是。
[编辑]不含时薛定谔方程不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。
顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。
应用分离变量法，猜想的函数形式为；其中，是分离常数，是对应于的函数．稍回儿，我们会察觉就是能量．代入这猜想解，经过一番运算，含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程：。
薛定谔方程
薛定谔方程薛定谔方程推导薛定谔方程（Schrdinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。
是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。
目录薛定谔方程在量子力学中，体系的状态不能用力学量（例如x）的值来确定，而是要用力学量的函数Ψ（x,t），即波函数（又称概率幅，态函数）来确定，因此波函数成为量子力学研究的主要对象。
力学量取值的概率分布如何，这个分布随时间如何变化，这些问题都可以通过求解波函数的薛定谔方程得到解答。
这个方程是奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，它是量子力学最基本的方程之一，在量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。
薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，它的正确性只能靠实验来检验。
简介量子力学中求解粒子问题常归结为解薛定谔方程或定态薛定谔方程。
薛定谔方程广泛地用于原子物理、核物理和固体物理，对于原子、分子、核、固体等一系列问题中求解的结果都与实际符合得很好。
薛定谔方程仅适用于速度不太大的非相对论粒子，其中也没有包含关于粒子自旋的描述。
当计及相对论效应时，薛定谔方程由相对论量子力学方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。
.薛定谔提出的量子力学基本方程。
建立于 1926年。
它是一个非相对论的波动方程。
它反映了描述微观粒子的状态随时间变化的规律，它在量子力学中的地位相当于牛顿定律对于经典力学一样，是量子力学的基本假设之一。
设描述微观粒子状态的波函数为Ψ（r，t），质量为m的微观粒子在势场V（r，t）中运动的薛定谔方程为。
在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下，可解出波函数Ψ（r，t）。
由此可计算粒子的分布概率和任何可能实验的平均值（期望值）。
如何理解薛定谔方程？
如何理解薛定谔方程？
根据量子力学，一个物理系统运动的状态由波函数，或态矢量来描述。
那么下一步就要研究波函数是如何随时间演化的，这就是薛定谔方程。
薛定谔方程最一般的形式可以写成这样：
如果是经典力学的话，我们是用粒子的位置和粒子的动量（相空间中的一点）来描述粒子的运动状态的。
粒子在相空间中的演化满足一组联立的动力学方程。
对经典力学来说，我们直接对x, 和p进行运算，而在量子力学里我们要对ψ(x,t)整体进行运算，前者对应一个局域的理论，而后者对应的是一个全局的理论。
刚刚写的那个薛定谔方程是最一般的形式，不仅适用于非相对论情形，也适用于相对论情形，比如狄拉克方程也可以写成这个形式的薛定谔方程，具体细节体现在哈密顿算符H里面。
对氢原子来说，由于氢原子中电子运动的速度很慢，单电子的非相对论性薛定谔方程就够用了。
这里物理问题是由V(x)决定的，氢原子中的电子是库仑势：
最后说一下能量算符E，就是波函数对时间求导的一项：
考虑最简单的波函数，单色平面波：
可计算出：
这里hbar ω就是粒子的能量。
因此i hbar对波函数的求导对应的就是能量算符。
什么是薛定谔方程
什么是薛定谔方程Marianne Freiberger关键词：理论物理, 数学方程下面是一个典型的教科书问题：你的车已经用完了汽油，你要用多大的力才能把它加速到给定的速度？答案来自牛顿第二运动定律：F=ma,其中a是加速度，F是力，m是质量。
这个完美、直截了当、但也细微的定律可以描述各种运动，因此至少在理论上可以回答一个物理学家可能要问的关于世界的几乎所有问题。
真是可以吗？当人们第一次开始考虑最小尺度的世界时，例如电子绕原子核旋转，慢慢意识到事情变得非常奇怪，事实上，牛顿定律不再适用。
为了描述这个微小的世界，你需要用到迟至二十世纪初才开始发展的量子力学理论。
这个理论的核心方程类似于经典力学中的牛顿第二定律，它被称为薛定谔方程。
薛定谔方程是以欧文·薛定谔（1887-1961）的名字命名的，。
波和粒子“在经典力学中，我们使用位置和动量来描述一个物理系统的状态，”剑桥大学的理论物理学家NAZIM Bouatta解释道。
例如，假设桌面上有一些运动着的台球，如果你知道了每个球在某个时刻t的位置和动量（即质量乘以速度），那么你就知道了该系统在时刻t的一切：这里的一切指的是运动的状态和运动得多快。
我们会问：“如果我们知道一个系统的初始条件，即我们知道系统在时间t0的状态，那么该系统的动态如何演变？牛顿第二定律可以帮助我们回答此类问题。
在量子力学中，我们问了同样的问题，但得到的答复是棘手的，因为位置和动量不再是描述系统的合适变量。
”问题的关键是，量子力学试图描述的对象及其行为并不总是像小小的台球那么简单。
有时，最好把它们看成是波。
“把光作为例子，牛顿除了他关于引力的工作，也对光学有兴趣，”Bouatta说。
“根据牛顿，光由粒子所描述，但是，经过许多科学家的工作，其中包括由詹姆斯·克拉克·麦克斯韦的理论所导致的认识，人们发现，光确实可用波来刻画。
”但在1905年，爱因斯坦认识到波动学说也并不完全正确。
薛定谔方程的含义和求解方法
薛定谔方程的含义和求解方法薛定谔方程是量子力学中的基本方程之一，描述了微观粒子（如电子）的行为。
本文将介绍薛定谔方程的含义及其求解方法。
一、薛定谔方程的含义薛定谔方程是由奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，用来描述微观粒子的运动和性质。
该方程是一个偏微分方程，包含粒子的波函数（Ψ）和哈密顿量（H）。
薛定谔方程的一般形式为：iℏ∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，ℏ是约化普朗克常数，t是时间。
Ψ是粒子的波函数，H是系统的哈密顿量。
薛定谔方程描述了一个量子系统的演化过程。
通过对波函数的求解，我们可以得到粒子在不同位置和时间的概率分布，从而理解其行为和性质。
二、薛定谔方程的求解方法薛定谔方程是一个高度复杂的偏微分方程，一般情况下无法通过解析方法求解。
但可以通过一些近似方法和数值方法来求解。
1. 解析方法对于简单的系统，可以通过解析方法求解薛定谔方程。
例如，对于自由粒子，可以得到平面波的解。
对于一维谐振子，可以得到谐振子波函数的解。
然而，对于复杂的系统，如多电子体系或相互作用体系，解析方法往往不适用。
因此，需要使用近似方法和数值方法来求解。
2. 近似方法常用的近似方法包括变分法、微扰法和量子力学近似等。
变分法通过选取适当的波函数的形式和参数，使得波函数的能量最小化。
微扰法将系统的哈密顿量分解为一个已知的部分和一个微扰项，通过级数展开的方式求解波函数。
3. 数值方法数值方法是求解薛定谔方程的重要手段之一。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和动态变分法等。
这些方法通过将波函数和哈密顿量离散化，将偏微分方程转化为一组代数方程，然后通过迭代求解来得到波函数的数值解。
数值方法的优点是适用于各种复杂系统，并且可以提供较高的精度。
但需要注意选择合适的离散化方法和参数，以及控制误差和收敛性。
总之，薛定谔方程是研究微观粒子的基本工具之一，可以描述粒子的运动和性质。
通过适当的求解方法，我们可以获得粒子的波函数，从而深入理解量子力学中的各种现象和行为。
薛定谔方程
薛定谔方程薛定谔方程(Schrödinger equation)是一个由奥地利物理学家薛定谔在1926年[1]描述量子力学中波函数的运动方程，被认为是量子力学的奠基理论之一。
薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。
含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。
不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。
波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。
而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。
薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。
量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正电子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。
薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。
薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。
海森堡表述比较没有这么严重的问题;而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。
目录[隐藏], 1 含时薛定谔方程, 2 不含时薛定谔方程, 3 历史背景与发展, 4 含时薛定谔方程导引o 4.1 启发式导引, 4.1.1 假设, 4.1.2 波函数以复值平面波来表达波函数o 4.2 薛定谔的导引, 5 特性o 5.1 线性方程, 5.1.1 证明o 5.2 实值的本征态o 5.3 幺正性, 5.3.1 证明o 5.4 完备基底, 6 相对论性薛定谔方程, 7 解析方法, 8 实例o 8.1 自由粒子o 8.2 一维谐振子o 8.3 球对称位势, 8.3.1 角部分解答, 8.3.2 径向部分解答, 9 参阅, 10 参考文献, 11 外部链接[编辑] 含时薛定谔方程虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。
理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。
在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为;(1) 其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。
薛定谔方程
2a n 3, 3 3
n 2, 2 a
n 1, 1 2a
0
a/2
x
28
n很大时，势阱内粒子概率分布趋于均匀
|n|2
En -a/2
量子 经典 a/2
玻尔对应原理：大量子数极限下，量子体系 行为趋于与经典一致。
29
§27.3 势垒穿透
一. 粒子进入势垒
1. 一维势垒模型
23
Δ E n 2n 1 2 1 n 2 1 En n n n
a 或 m Δ En
Δ En n En
宏观或大量子数情形，可认为能量连续。 2. 波长 由能量、动量关系和德布罗意关系有： h p 2mE pn 2mEn n
dT ( t ) 1 1 ˆ 令 i HΦ( r ) = E（常数） dt T ( t ) Φ( r )
上式可分为下面两个方程：
9
dT ( t ) i ET ( t ) dt ˆ HΦ(r ) EΦ(r )
(1)
(2) （振动因子）
方程 (1) 的解： T (t ) Ce
5
▲ 薛定谔方程是量子力学的一个“基本假定”， 是非相对论形式的方程。 ▲ 薛定谔方程是线性偏微分方程，其解满足 态叠加原理。 若 Ψ1 (r , t ) 和 Ψ 2 (r , t ) 是方程的解， 则 c1Ψ1 (r , t ) c2Ψ 2 (r , t ) 也是方程的解。
▲ 方程含有虚数 i ，其解 Ψ 是复函数，不可 2 | Ψ | 测量， 是概率密度，可测量。 ▲ 薛定谔方程关于时间是一阶的，不同于经典 波动方程关于时间是二阶的。 6
考虑振动因子有 Ψ n ( x, t ) Φn ( x ) e