2无限深势阱
一维无限深势阱 (2)
论文题目：一维无限深势阱简述制作人：刘子毅（应用物理（1））学号：09510113一维无限深势阱一、引言Hu = Eu,,2222Eu Vu dxu d m =+- (1) 在图中Ⅰ区，-a/2<x<a/2,式中的V=0；在图中Ⅱ区，x<-a/2和x>a/2, V=∞. 现在解Ⅰ区情况的方程，V=0，（1）式成为.2,22222mEk u k u mE dx u d =-=-= 设axe u =，那么u a u n2=，代入上式，u k u a 22-= ik a ±=所以ikx ikx Be Ae u -++=kx D kx C u sin cos += （2）（2）式是Ⅰ区的通解。
2、一维无限深阱电子的基态222222282n mdh n md E n == π n=1、2、3…… 无量纲处理：以波尔半径2200m e a ε=里德伯20242ε me R y =分别为长度和能量单位能量可化为21d E π3、数值模拟当n=1时，1E 和d 的一组数值用计算机编程模拟如下： 设d 从0.3 3.0 include ‹stdio.h › include ‹math.h ›main() { double e,d,c; int i; c=3.14,d=0.3; for(i=0;i ‹10;i++) { e=c/(d*d); printf(“%lf ”，&e)； d=d+0.3;} }d 的取值利用画图软件描绘出横坐标为d ，纵坐标为E 的曲线 设d 从0.3 3.0，能量化简为：21dE π=模拟如下：。
高二物理竞赛课件一维无限深势阱
满足归一化条件,另外
z
和
1 me
z
z
还要满足边界条件.
有限深势阱能带
有限
无限
有效质量
En k
E n,0
2k 2 2m 0
2
m
2 0
nn
un0 k p un0 2 En0 En0
E n,0
2k 2
2
1
m
0
m 022k2
nn
un0
k
p
un0
En0 En0
2
E n,0
2k 2 2me
2 2
z
1
me z z
nz
zV
z nz
z
Enz
nz
z,
波函数形式为
B expz,z lz 2
nz
Acoskz, lz A sinkz, lz
B exp z
2
2
,
z z z
lz
lz lz 2
2 2
其中 k
2meI Enz 2
,
2meII V0 Enz 2
,
nz z
一维无限深势阱
一维无限深势阱
E nz
2 2 2me ,hLz2
nz2 ,nz
1,2,3,
有限深真实势阱,仅存在着几个束缚态，
E nz nz2, 系数变小,能级降低.这是由于
势垒降低,电子产生贯穿（Δx↑→ Δ p↓
→ p↓）.当 lz 0,Enz (发散)电子 态接近于势垒中的布洛赫态.
.
1
me1m0 Nhomakorabeam 022k2
nn
un0 k p un0 En0 En0
无限深势阱中粒子的态密度
２π
ｄφ
０
π
ｓｉｎ
０
θ
ｄθ ＝
４πＶｐ２ ｄｐ ｈ３
关系式 ε＝ ｐ２ 得到三维自由粒子的能量态密度为 ２ｍ
（ ） （ ） Ｄ
ε
＝ ｄｎ ＝ ２πＬ３ ｄε ｈ３
２ｍ
ε ３ ／ ２ １ ／ ２
（３）
同理可求一维和二维自由粒子可能的状态数分
别是：
（ ） ( ) 一维 ２Ｌ ｍ １／２
Ｄε＝
ｈ ２ε
则可以得出在体积 Ｖ ＝Ｌ３ 内，自由粒子的量子态
数关系为 ( ) ，采用动量 Ｌ ３ ｄｎ ＝ ｄｎｘ ｄｎｙ ｄｎｚ ＝ ２π ｄｐｘ ｄｐｙ ｄｐｚ
空间的极坐标形式得到动量大小在 ｐ 到 ｐ＋ｄｐ 的范围 内（动量方向为任意），自由粒子可能状态数为：ｄｎ ＝
∫ ∫ （） ，再由动量与能量 Ｖ ｐ２ｄｐ
ｎ′＝ １ ２
（２）
２
从上两式可以看出，其作为统计基础的波长式
（１）和式（２）并不相同．那么以式（２）作为统计基础
的 结 果 将 会 如 何 呢 ？ 本 文 将 分 别 以 式 （１ ）和 式 （２ ）
为基础推导有限体积中的粒子能量态密度，并通过
对比分析两者之间的异同．
１ 基于动量分立值的统计
考虑粒子处于一个边长为 Ｌ 的正方体容器中，
作者简介：周科（ — １９９７ ），男，四川乐山人，宜春学院物理科学与工程技术学院 ２０１６ 级本科生．
通信作者：李琛， ：
Ｅｍａｉｌ ｌｉｃｈｅｎ＠ ｊｘｙｃｕ．ｅｄｕ．ｃｎ
５４
大 学 物 理
第 ３９ 卷
分布也存 在 一 些 争 议 ［４－８］． 而 解 一 维 无 限 深 势 阱 中 的薛定谔方程自然得到能量 ε 的本征值 ： ［２，３］
量子力学中的无限深势阱问题
量子力学中的无限深势阱问题量子力学是描述微观世界的物理学理论，它在解释和预测微观粒子行为方面具有重要的作用。
其中，无限深势阱问题是量子力学中的一个经典问题，它帮助我们理解波函数的性质以及粒子在势场中的行为。
无限深势阱问题是指一个粒子被限制在一个势能在某个区域内为无限大，在区域外为零的势场中运动。
这个问题可以用一维的情况来描述，假设势阱的宽度为L，那么势阱内的势能函数可以表示为：V(x) = 0, 0 < x < LV(x) = ∞, x < 0 或者 x > L在经典力学中，粒子在势场中的运动是由牛顿第二定律描述的，而在量子力学中，粒子的运动状态由波函数来描述。
波函数是量子力学中的基本概念，它是一个复数函数，可以用来描述粒子的位置和动量。
对于无限深势阱问题，我们可以使用定态薛定谔方程来求解。
定态薛定谔方程可以表示为：-ħ²/2m * d²ψ(x)/dx² + V(x)ψ(x) = Eψ(x)其中ħ是普朗克常数的约化形式，m是粒子的质量，E是粒子的能量，ψ(x)是粒子的波函数。
在势阱内部，势能V(x)为零，因此定态薛定谔方程可以简化为：-ħ²/2m * d²ψ(x)/dx² = Eψ(x)这是一个简化的定态薛定谔方程，可以通过求解这个方程来得到粒子在势阱内部的波函数。
根据边界条件，当x=0或者x=L时，势能V(x)为无穷大，因此波函数必须为零。
这意味着在势阱的两个边界处，波函数的值为零。
根据上述条件，我们可以得到波函数的一般形式为：ψ(x) = A * sin(kx)其中A是归一化常数，k是波数，可以通过边界条件来确定。
当x=0时，波函数为零，因此有sin(0) = 0，这意味着kx = 0，即k = 0。
当x=L时，波函数为零，因此有sin(kL) = 0，这意味着kL = nπ，其中n是一个整数。
通过边界条件，我们可以得到k的取值为：k = nπ/L由于波函数必须是归一化的，我们可以通过归一化条件来确定归一化常数A。
量子力学导论第3章答案
第三章一维定态问题3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，⎩⎨⎧∞<<<<=其余区域,0,0 ,0),(b y a x y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。
如b a = ，能级的简并度如何？解：能量的本征值和本征函数为mE yx n n 222π =)(2222b n a n yx +,2,1, ,sinsin2==y x y x n n n n byn axn abyxππψ若b a =，则 )(222222y x n n n n maE yx +=π ay n a x n a y x nn yxππψsin sin 2= 这时，若y x n n =，则能级不简并;若y x n n ≠，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如5,10==y x n n 与2,11''==y x n n ）3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即⎩⎨⎧∞<<<<<<=其余区域 ,0,0,0 ,0),,(c z b y a x z y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。
如c b a ==，讨论能级的简并度。
解：能量本征值和本征波函数为)(222222222cn b n an m n n n E z yxzy x ++=π ,,3,2,1,, ,sin sin sin 8==z y x z y x n n n c z n b y n a x n abc n n n zy x πππψ当c b a ==时，)(2222222z y x n n n man n n E z y x ++=π ay n a y n a x n a n n n z y x z y x πππψsinsin sin 223⎪⎭⎫ ⎝⎛= z y x n n n ==时，能级不简并；z y x n n n ,,三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。
量子力学-无限深势井
当粒子在势场U(x,y,z) 中运动时，其定态Schrö dinger 方程为：
令 ψ(x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) E = Ex + Ey + Ez 于是S-方程化为三个常微分方程：
一维运动就是指在某 一方向上的运动。
4
第二章
（二）一维无限深势阱
0, U ( x) | x | a | x | a
n 1,2,3,
（1）n = 1, 基态，
2 2 E1 8a
与经典粒子不同，粒子的最低能量不为零，这个最低能 量称为 “零点能”，这是量子效应，微观粒子具有波动 性的表现。从波的角度是可以理解的，因为“静止的波” 没有意义。
13
第二章 （2）n = 0 , E = 0, ψ = 0，态不存在，无意义。
1 A , a
能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类 推。 11
第二章
（三）宇称
（1）空间反射：空间矢量反向的操作。 r r (r , t ) ( r , t ) ( r , t ) (r , t ) （2）此时如果有： ( r , t ) (r , t ) 称波函数具有正宇称（或偶宇称）； ( r , t ) (r , t ) 称波函数具有负宇称（或奇宇称）； ( r , t ) (r , t ) （3）如果在空间反射下， 则波函数没有确定的宇称。
2 d 2 [ U 1 ( x )]X ( x ) E x X ( x ) 2 dx2 2 d 2 [ U 2 ( y )] ( y ) E yY ( y ) Y 2 dy2 [ d U 3 ( z )]Z ( z ) E z Z ( z ) 2 dz2
《量子力学》(专升本)练习题
《量子力学》练习题一一、基本概念及简答1. 简述2|(,)|x t ψ的物理意义及其实验基础。
2．简述迭加原理。
若nnnc ψψ=∑，^nnnf Fψψ=，n c 的物理意义是什么？3．三维空间中运动的粒子,其波函数的方位角(ϕ)部分 ()ϕΦ=ϕ3cos ,求zL ˆ的平均值。
4．设^^F F +=，^^G G+=A.若^^[]0,F G =，是否^F 的本征态一定是^G 的本征态，举例说明。
B.若^^[]0,F G ≠，^^,G F 是否就一定无共同本征态，举例。
C.若^^[],iC F G =，C 是常数，^^,G F 是否能有共同本征态，证明你的结论。
5、判定^x p x及^x p i 是否厄迷算符。
6、^^^[,]0G C F =≠，^^F F+=，^^G G+=，试问^F ，^G 是否必然没有共同本征态，举例说明7、已知 ，ˆˆ,B C 为厄米算符，ˆˆˆAiBC ≡也为厄米算符的条件是什么？ 8、能否把,,x y z σσσ看作自旋角动量算符的矩阵表示？9、哪个实验证实了电子具有自旋，怎样证实的；为什么不能把电子自旋看成电子的机械转动？ 10、对于全同性粒子说来要满足那些基本方程？全同粒子的交换算符是可以对易的吗？它们能否有共同的本征态？11. 波函数的导数是否一定要连续？举例说明。
12. 如果ˆˆAA +=，ˆˆBB +=且ˆˆˆˆ,C i A B C +⎡⎤==⎣⎦，ˆˆ,,Aa a a Bb b b == a b 和都是束缚态，则ˆˆ0.a Ca b C b == 13．什么是量子力学中的守恒量？其主要特征是什么？什么定态？定态主要特征是什么？14．已知ˆˆ[,]1αβ=，求证 1ˆˆˆˆˆn n n n αββαβ--= 15．已知 ，ˆˆ,B C 为厄米算符，则ˆˆˆAiBC ≡也为厄米算符的条件是什么？ 16．若一个算符与角动量算符J ˆ的两个分量对易，则其必与J ˆ 的另一个分量对易；17.设 22,0,1,0,2x V m x x ω∞≤⎧⎪=⎨>⎪⎩当当 且已知以一维线性谐振子的能量本征值n E ，本征函数()n x ψ，及()n x ψ的宇称为()1n-。
二维无限深势阱基态能量
二维无限深势阱基态能量二维无限深势阱是一种经典的量子力学模型，它在研究各种物理问题中有着重要的应用和意义。
本文将从多个角度全面解析二维无限深势阱基态能量，并对其进行深入探讨。
首先，我们来介绍一下二维无限深势阱的基本概念。
二维无限深势阱是由两堵高度无限大的势垒包围的区域，其中势垒的厚度是无穷小。
这个模型可以看作是在二维平面上的一个方形区域，粒子在其中受到一个无限大的势场的束缚。
在这个区域内，粒子的位势能为零，表示粒子可以自由运动。
在势垒处，位势能无穷大，粒子无法透过势垒进行离开。
接下来，我们来讨论二维无限深势阱的基态能量。
基态是指系统具有的最低能量态，对应粒子最稳定的状态。
对于二维无限深势阱来说，基态能量只与势阱的尺寸有关，与粒子的质量、电量以及其他性质无关。
基态能量的具体计算可以通过求解二维薛定谔方程得到。
由于二维无限深势阱在两个空间方向上都具有无限大的势垒，因此在求解过程中需要应用分离变量法。
将薛定谔方程的波函数表示为两个方向的因子的乘积形式，通过分别解两个因子的一维无限深势阱问题，最终可以得到二维无限深势阱的基态波函数及基态能量。
二维无限深势阱的基态能量具有一些重要的特点。
首先，基态能量只能取正值，且随着势阱尺寸的减小而增大。
这是因为势阱的尺寸减小意味着粒子在有限的区域内波函数需要更加紧凑，从而导致粒子的动能增加。
另外，基态能量的数值存在量子化现象，即只能取特定的离散值。
这可以通过解得的波函数的边界条件得到解释，波函数在势垒边界处必须为零，从而导致能量的量子化。
根据量子化的条件，我们可以得到基态能量的公式：E_n = (h^2 / 8m) * (n_x^2 +n_y^2)。
值得一提的是，二维无限深势阱的基态能量不仅在理论研究中有着重要的意义，还在实际应用中发挥着指导作用。
例如，在材料科学领域中，研究晶格中电子的能带结构时，往往可以将晶格势场简化为二维无限深势阱模型，从而预测材料中电子的基态能量和行为。
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(odd function)
l =1 时， = /2，e Acos kx
是偶函数
(even function)
l 为其他整数值时，给出相同结果
（可能差正负号，但不影响| |2 ）
由 o (a / 2) Asin(ka / 2) 0
ka n , n 2，4，6，
一维无限深方形势阱中的波函数与能量
U(x)
U(x)
U=U0
U=U0
U→∞
U→∞
E
极
U=0 限
0
x
金属
a
E
U=0
a /2 0 a /2 x
无限深方势阱 （potential well）
x a / 2 U( x) ， 0
x
a / 2 U(x)
0 ，Hˆ
2 2m
d2 d x2
a
所以有能量本征函数：
on
a sin n x 2a
en
a n cos x
2a
0
xa 2
x a 2
（2）全部波函数
考虑振动因子有
n
(
x,
t
)
n
(
x)
e
i
Ent
“能量本征波函数”，“能量本征态”
（3）概率密度：|n( x, t) |2 |n( x) |2
无限深方势阱中的粒子
定态薛定谔方程
[
2
2
U (r )] (r )
E (r )
2m
从数学上来讲：E 不论为何值该方程都有解 从物理上来讲： E只有取某些特定值，该方
程的解才能满足波函数的条件单值、有限、
连续和归一， 特定的E值称为能量本征值。 特定的E值所对应的方程称为能量本征方程， 相应波函数称为能量本征函数。
En n |n |2
势阱内粒子概率 分布与经典情况
束缚态
(bound state)
n
, n
2a不同 n
E4
n
4
, 4
a 2
E3
n
3
,
3
2a 3
பைடு நூலகம்E2
n 2 , 2 a
E1
n 1 ,1 2a
a
0
ax
2
2
n很大时，势阱内粒子概率分布 趋于均匀
|n | 2
En
2ma 2
n2
n 1，2，3，
这表明，束缚在势阱内的粒子的能量只能 取离散值En — 能量量子化 每一能量值对应一个能级， En称为能量本征值， n称为量子数
最低能量
E1
22
2ma 2
0
—— 零点能
Δ
En
En1
En
22
2ma 2
(2n 1)
1 ma 2
Δ En En
a
a
2
2
量子 经典
玻尔对应原理
问题：为什么
？
由 e(a / 2) Acos(ka / 2) 0 ka n , n 1，3，5，
两者合并在一起，可得
ka n , n 1，2，3，4，5，
ka n , n 1，2，3，4，5，
由
2m E 2
k
2
（ n ）2
a
得
En
22
Hˆ E
d2
d x2
2mE 2
∵
E
>
0， ∴
可令
2mE 2
k2
d2
d x2
k 2
0
通解：( x) Asin（kx ）
待定常数A、 由 应满足的物理条件决定
以上的解已自然满足单值，有限的条件
连续条件： 由于边界外 = 0，所以有：
(a / 2) 0 Asin(ka / 2 ) 0 (a / 2) 0 Asin(ka / 2 ) 0
2n 1 n2
2 n1 n
1 n
a
m
Δ
En
，
n Δ En En
宏观情况或量子数很大时，可认为 能量连续
n
2a n
由于势阱中德布罗意波只有形成驻 波才能稳定，所以也可以反过来说， 势阱中的能量量子化是德布罗意波 形成驻波的必然结果
问题：能不能说每一个能量本征 态对应的动量是确定的p？
本征波函数
（1）波函数的空间部分
o
Asinkx
Asin n
a
x on
（n 2，4，6，）
e
Acos kx
Acos n
a
x
en
（n 1，3，5，）
归一化条件：
1
a/
a
2 /2
o
n
2
d
x
A2
a/
a
2 /2
s
in2
n
a
d
x
a 2
A2
由此得 A 2
由此得： ka / 2 l1 ka / 2 l2
其中l1 和 l2是整数
ka / 2 l1 ka / 2 l2
其中l1 和 l2是整数
将上两式相加得：
2 （l1 l2 ) l l 也是整数
即
l
2
l
2
l = 0 时， = 0， o Asinkx