一阶常微分方程的奇解
一阶常微分方程的解法
一阶常微分方程的解法摘要：常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中，在整个数学中占有重要的地位。
本文对一阶常微分方程的解法作了简要的总结，并举例加以分析了变量可别离方程，线性微分方程，积分因子，恰当微分方程，主要归纳了一阶微分方程的初等解法，并以典型例题加以说明。
关键词：变量别离;积分因子;非齐次微分方程;常数变易法Solution of first-order differential equationAbstract: Differential equations, important parts of calculus, are widely used in the research of practical problems, which also play important role in mathematics. The solution of a differential equation is summarized briefly, and illustrates the analysis of variable separable equation, linear differential equation, integral factor, exact differential equation, mainly summarizes the elementary solution of first order differential equations, and the typical examples to illustrate.Keywords: variable separation; integral factor; non-homogeneous differential equation; constant variation method1. 引言一阶常微分方程初等解法,就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题, 能用这种方法求解的微分方程称为可积方程. 本文通过对一阶微分方程的初等解法的归纳与总结，以及对变量别离，积分因子，微分方程等各类初等解法的简要分析，同时结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题，进行求解.2. 一般变量别离 2.1 变量可别离方程形如()()dyf xg y dx= 〔1.1〕 或 1122()()()()M x N y dx M x N y dy = 〔1.2〕 的方程，称为变量可别离方程。
总结一阶常微分方程奇解的求法
总结一阶微分方程奇解的求法摘要：利用有关奇解的存在定理，总结出求一阶微分方程奇解的几种方法，并通过一些具体的例题说明这几种方法的应用Using relevant theorems to develop several methods of finding singular solution of ordinary differential equation. In addition, illustrate the application of these methods through the concrete examples.关键词：常微分方程 奇解 c-判别式 p-判别式方法一：利用c-判别式求奇解设一阶微分方程0,,=⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy y x F ①可求出方程①的通解为()0,,=c y x φ ②如果()()⎩⎨⎧==0,,0,,'c y x c y x c φφ③是微分方程①的解，且对③式满足：()()02'2'≠+yx φφ ④则③是微分方程①的奇解，且是通解②的包络。
例1：方程()222x xy dydx dydx +-=的奇解 解：首先，本具题意求出该微分方程的通解为222c cx y x ++=与42x y =其中c 为任意常数 当时222c cx y x ++=， ()y c cx x c y x -++=222,,φ 其相应的c -判别式为⎩⎨⎧=+=-++02022x 2c x y c cx易得到： ⎩⎨⎧=-=22cy c x代入原微分方程，可知⎩⎨⎧=-=22c y cx 不是原微分方程的解； 当42x y =时，易求出2,1''xy x ==φφ，则有()()02'2'≠+yx φφ故42x y =为原微分方程的奇解例2：试求微分方程()()y y dydx 94221=-的奇解解：首先，根据题意求出微分方程的通解为：()()0322=---y y c x 其中c 为任意常数 再由相应的c-判别式：()()()⎩⎨⎧=--=---020322c x y y c x易求出：⎩⎨⎧==0y c x 或 ⎩⎨⎧==3y c x当⎩⎨⎧==0y c x 时，代入原微分方程成立；所以⎩⎨⎧==0y c x 为原微分方程的解且有()02'=--=c x x φ；()()93232'-=---=y y y y φ满足(Φ‘x )2+(Φ‘y )2≠0易验证⎩⎨⎧==3y c x 不是原微分方程的解故x=c, y=0 是元微分方程的奇解。
一阶常微分方程
一阶常微分方程在数学中，一阶常微分方程是一种非常基础而重要的概念。
它描述了物理现象和自然现象中的变化规律，是自然和工程科学中不可或缺的数学工具。
在本文中，我们将探讨一阶常微分方程的定义、求解方法以及应用。
一、一阶常微分方程的定义一阶常微分方程是指只包含一个自变量和一个未知函数的一阶微分方程，它的一般形式可以表示为：y' = f(x, y)其中y'是y关于x的导数，f(x, y)是x和y的函数。
这个等式可以理解为y关于x的变化速率等于f(x, y)。
二、一阶常微分方程的求解方法一阶常微分方程有多种求解方法，其中比较常用的方法有分离变量法、同解法、一阶线性微分方程的解法和常数变易法等。
1.分离变量法如果一阶常微分方程的右边可以写成两个只含x和y的函数的乘积（即f(x, y) = g(x)h(y)），那么我们可以将它改写成：dy/h(y) = g(x)dx将方程两边分别对x和y求积分，即可得到：∫dy/h(y) = ∫g(x)dx + C其中C为常数。
2.同解法如果我们有两个相似的一阶常微分方程，它们只有一个参数不同（例如y' = f(x, y, a)和y' = f(x, y, b)），那么它们的解通常也是相似的。
我们可以先用一个形式通解表示其中一个解，然后通过代入不同的参数值来求得所有解。
3.一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的一般形式为：y' + p(x)y = q(x)其中p(x)和q(x)为x的函数。
我们可以通过变换再将它的形式转化为：(dy/dx) + p(x)y = q(x)这个方程可以用变量分离法和常数变易法进行求解。
4.常数变易法常数变易法是一种较为通用的求解方法。
它的基本思想是将通解表示为一个形式相同但常数不同的一组解的线性组合。
设y1和y2是方程的两个解，那么它们的线性组合可以写成y = C1y1 +C2y2的形式，其中C1和C2为常数。
一阶常微分方程解法总结
v 2dv 2u - v u ，令 t = v ，有 dv = tdu + udt ，代入得到 t + u dt = 2 - t ，化简 = = du u - 2v 1 - 2 v u du 1 - 2t u
得到，
du 1 - 2t d (1 - t + t 2 ) ln(1 - t + t 2 ) = dt = ln u = +C ， 有 u 2 - 2t + 2t 2 2(1 - t + t 2 ) 2
2 2
y x dy = 2 dx 两边积分得到 2 1- y x -1
ln x 2 - 1 + ln y 2 - 1 = ln C
2 2
(C ¹ 0) ，所以有 ( x 2 - 1)( y 2 - 1) = C
(C ¹ 0) ；
当 ( x - 1)( y - 1) = 0 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为 ( x - 1)( y - 1) = C
¶M ¶N j ( x ) dx ¶y ¶x = j ( x) ，原方程有只与 x 有关的积分因子，且为 µ ( x, y ) = e ò ①当且仅当 ， N
两边同乘以 µ ( x, y ) ，化为恰当方程，下同(4)。
¶M ¶N f ( y ) dy ¶y ¶x = f ( y ) ，原方程有只与 y 有关的积分因子，且为 µ ( x, y ) = e ò ②当且仅当 ， -M
-n
du + (1 - n) P( x)u = (1 - n)Q( x) ，下 dx
dy y = 6 - xy 2 dx x
-1 -2
解：令 u = y ，有 du = - y dy ，代入得到 有 µ ( x) = e ò
一阶常微分方程的解法
一阶常微分方程的解法微积分是数学的重要分支之一，常微分方程是微积分中的重要内容。
在微积分中，我们经常遇到一阶常微分方程的求解问题。
本文将介绍一阶常微分方程的解法及其应用。
1. 分离变量法一阶常微分方程常常可以通过分离变量的方法求解。
具体步骤如下：（1）将方程中的未知函数和其导数分离到方程的两侧；（2）对方程两边同时积分，得到未知函数的通解；（3）根据方程的边界条件，确定通解中的常数。
例如，考虑一阶常微分方程 dy/dx = x^2。
我们可以将方程重写为 dy = x^2dx，并对其两边同时积分。
通过求不定积分，我们得到 y = x^3/3+ C，其中 C 是常数。
这样我们就求得了方程的通解。
2. 齐次方程的解法对于一些特殊的一阶常微分方程，我们可以使用齐次方程的解法。
如果方程可以重写为 dy/dx = f(y/x)，其中 f 是一个只与 y/x 相关的函数，那么我们可以通过变量代换 y = vx，化简方程并求解得到原方程的解。
例如，考虑一阶常微分方程 y' = y/x。
我们可以通过变量代换 y = vx，其中 v 是关于 x 的函数。
将代换后的方程进行化简，得到 xdv/dx + v = v，整理后得到xdv/dx = 0。
显然，这是一个齐次方程，其解为v = C1，其中 C1 是常数。
将 v 代回原方程中，得到 y = C1x，即为方程的解。
3. 一阶线性方程的解法一阶线性方程是一种常见的一阶常微分方程形式，可以写作 dy/dx+ P(x)y = Q(x)，其中 P(x) 和 Q(x) 是已知函数。
一阶线性方程的解法如下：（1）求出方程的积分因子μ(x) = e^(∫P(x)dx)；（2）将方程两侧同时乘以积分因子μ(x)；（3）对方程两侧同时积分，得到y = (∫Q(x)μ(x)dx + C)/μ(x)，其中C 是常数。
例如，考虑一阶线性方程 dy/dx + 2xy = x。
首先，我们求出方程的积分因子μ(x) = e^(∫2xdx) = e^(x^2)。
一阶常微分方程解法总结
一阶常微分方程解法总结1.可分离变量法：可分离变量法适用于能够将微分方程分离成自变量和因变量的乘积形式的情况。
具体步骤如下：（1）将方程两边分离变量；（2）对分离后的变量进行积分，得到两边的原函数；（3）解得的原函数通常包含一个未知常数c；（4）如果已知初始条件，代入原函数求解常数c。
2.齐次方程法：齐次方程法适用于能够将微分方程转化成齐次方程的情况。
具体步骤如下：（1）将方程化为齐次形式，即将自变量和因变量分别除以一些函数；（2）引入新的未知函数y/x=u，并对其求导；（3）将方程转化为u的微分方程，通常是可分离变量方程；（4）解出u的方程后，再回代u，得到原方程的解。
3.线性方程法：线性方程法适用于形如y'+p(x)y=q(x)的一阶常微分方程，其中p(x)和q(x)是已知函数。
具体步骤如下：（1）确定常系数线性微分方程形式，即观察到y'+p(x)y=q(x)形式的方程；（2）找到方程的积分因子，通常是乘以一个指数函数，使得方程变得可积分；（3）将方程两边乘以积分因子，并利用乘积法则进行变换；（4）对两边进行积分，并解出原方程的解。
4.变量代换法：变量代换法是通过引入新的未知函数来将微分方程转化为更简单的形式。
具体步骤如下：（1）通过变量代换，将微分方程转化为新的未知函数和新的自变量；（2）求出新的微分方程的解；（3）将新的解代回原来的未知函数和自变量，得到原方程的解。
5.恰当微分方程法：恰当微分方程法适用于能够通过乘以适当的积分因子使得微分方程成为恰当微分方程的情况。
具体步骤如下：（1）判断初始微分方程是否是恰当微分方程；（2）计算方程的积分因子；（3）乘方程的积分因子，并判断是否为恰当微分方程；（4）解恰当微分方程。
以上是一阶常微分方程解法的五种常用方法的总结。
对于不同类型的微分方程，选择合适的解法可以更好地求解方程，但也需要多加练习和实践，熟练掌握方程的转化和求解技巧。
常微分方程常见形式及解法
常微分方程常见形式及解法在数学的广袤领域中，常微分方程是一个极其重要的分支，它在物理学、工程学、经济学等众多领域都有着广泛的应用。
简单来说，常微分方程就是含有一个自变量和未知函数及其导数的方程。
接下来，让我们一起深入探讨常微分方程的常见形式以及相应的解法。
一、常微分方程的常见形式1、一阶常微分方程可分离变量方程：形如$dy/dx ＝ f(x)g(y)＄的方程，通过将变量分离，将其化为$＼frac{dy}｛g(y)｝＝f(x)dx$，然后两边分别积分求解。
齐次方程：形如$dy/dx ＝ F(y/x)＄的方程，通过令$u ＝ y/x$，将其转化为可分离变量的方程进行求解。
一阶线性方程：形如$dy/dx ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄的方程，使用积分因子法求解。
2、二阶常微分方程二阶线性常微分方程：形如$y'＇＋ p(x)y' ＋ q(x)y ＝ f(x)＄的方程。
当$f(x) ＝ 0$时，称为二阶线性齐次方程；当$f(x) ≠ 0$时，称为二阶线性非齐次方程。
常系数线性方程：当$p(x)＄和$q(x)＄都是常数时，即$y'＇＋ py'＋ qy ＝ f(x)＄，这种方程的解法相对较为固定。
二、常微分方程的解法1、变量分离法这是求解一阶常微分方程的一种基本方法。
对于可分离变量的方程，我们将变量分别放在等式的两边，然后对两边进行积分。
例如，对于方程$dy/dx ＝ x/y$，可以变形为$ydy ＝ xdx$，然后积分得到$＼frac{1}｛2}y^2 ＝＼frac{1}｛2}x^2 ＋ C$，从而解得$y ＝＼pm ＼sqrt{x^2 ＋2C}＄。
2、齐次方程的解法对于齐次方程$dy/dx ＝ F(y/x)＄，令$u ＝ y/x$，则$y ＝ ux$，＄dy/dx ＝ u ＋ x(du/dx)＄。
原方程可化为$u ＋ x(du/dx) ＝ F(u)＄，这就变成了一个可分离变量的方程，从而可以求解。
一阶常微分方程公式大全
一阶常微分方程公式大全一、一阶线性常微分方程。
1. 标准形式。
- 一阶线性常微分方程的标准形式为y'+p(x)y = q(x)。
2. 通解公式。
- 其通解公式为y = e^-∫ p(x)dx(∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C)。
- 推导过程：- 先求对应的齐次方程y'+p(x)y = 0的通解。
- 分离变量得(dy)/(y)=-p(x)dx。
- 两边积分∫(dy)/(y)=-∫ p(x)dx，得到ln y =-∫ p(x)dx + C_1，即y = Ce^-∫p(x)dx（C = e^C_1）。
- 然后用常数变易法，设原非齐次方程的解为y = C(x)e^-∫ p(x)dx。
- 对y求导得y'=C'(x)e^-∫ p(x)dx-C(x)p(x)e^-∫ p(x)dx。
- 将y和y'代入原方程y'+p(x)y = q(x)，可得C'(x)e^-∫ p(x)dx-C(x)p(x)e^-∫p(x)dx+p(x)C(x)e^-∫ p(x)dx=q(x)。
- 化简得C'(x)e^-∫ p(x)dx=q(x)，即C'(x)=q(x)e^∫ p(x)dx。
- 再积分C(x)=∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C，所以原方程的通解为y = e^-∫ p(x)dx(∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C)。
二、可分离变量的一阶常微分方程。
1. 标准形式。
- 可分离变量的一阶常微分方程的标准形式为g(y)dy = f(x)dx。
2. 通解求法。
- 对g(y)dy = f(x)dx两边分别积分，得到∫ g(y)dy=∫ f(x)dx + C，其中C为任意常数。
- 例如，对于方程(dy)/(dx)=(x)/(y)，可化为ydy = xdx。
- 两边积分∫ ydy=∫ xdx，即frac{y^2}{2}=frac{x^2}{2}+C，整理得y^2-x^2=C_1（C_1 = 2C）。
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摘要.................................................... 错误!未定义书签。
1.何谓奇解.............................................. 错误!未定义书签。
2.奇解的产生............................................ 错误!未定义书签。
3.包络跟奇解的关系...................................... 错误!未定义书签。
4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法................. 错误!未定义书签。
克莱罗微分方程 ..................................... 错误!未定义书签。
5.奇解的基本性质........................................ 错误!未定义书签。
定理１ ............................................. 错误!未定义书签。
定理２ ............................................. 错误!未定义书签。
定理３ ............................................. 错误!未定义书签。
6.小结.................................................. 错误!未定义书签。
参考文献：.............................................. 错误!未定义书签。
一阶常微分方程的奇解摘要在常微分方程中，我们知道方程的解可以有多种，现在我们来讨论求奇解的方法。
我们看到某些微分方程，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。
从而我们引出了积分曲线族的包络，而为了求微分方程的奇解，，我们应先求出他的通解，然后求通解的包络。
关键词：奇解，包络，C-判别式，P-判别式1.何谓奇解设一阶隐式方程),,(,y y x F =0有一特解)(:x y ψ=Γ，j x ∈如果对每一点Γ∈P ，在P 点的任何一个领域内，方程),,(,y y x F =0都有一个不同于Γ的解在P 点与Γ相切，则称Γ是微分方程的),,(,y y x F =0的奇解 定义：如果一个一阶微分方程的一个特解的积分曲线上的每一点都至少和这个微分方程的不同的积分曲线相切，并且这相切的积分曲线在切点的任何邻域内都不重合，则称这个特解为这个微分方程的奇解2.奇解的产生先看一个例子，求方程033=-⎪⎭⎫ ⎝⎛y dx dy （1）或与它等价的方程 3y dxdy = 的解。
经分离变量后，可得（1）的通解3)(271c x y += 容易看出，y=0也是原方程的一个解。
现在来研究这个解y=0有什么特殊的地方。
由图我们看到，在解y=0上的每一点)0,(0x 处相切，这种特殊的积分曲线y=0称为奇积分曲线，他所对应的解就是奇解，这就是奇解的产生。
我们现在给出曲线族包络的定义某些微分方程，存在一些特殊的积分曲线，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。
在几何学里，这些特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络，在微分方程里，这些特殊的积分曲线所对应的解酒称为方程的奇解。
设给定单参数曲线族0),,(=Φc y x （1）其中C 是参数，),,(c y x Φ是x,y,c 连续可微函数。
曲线族（1）的包络是指这样的曲线，他本身并不包含在曲线族（1）中，但过这曲线的每一点，有曲线族（1）中的一条曲线和他在这点相切。
例如，单参数曲线族222)(R y c x =+-（这里的R 是常数，C 是参数）表示圆心为（C ，0）而半径为R 的一族圆，此曲线族显然有包络y=R 和 y=-R（见图1）3.包络跟奇解的关系由奇解和包络的定义显然可知，若方程0),,(,=y y x F 的积分曲线族（即通解所对应的曲线族）的包络如果存在，则必定是方程0),,(,=y y x F 的奇解。
事实上，在积分曲线族包络上的点（x,y ）处的x,y 和,y （斜率）的值和在该点与包络相切的积分曲线上的x,y 和,y 满足方程0),,(,=y y x F 。
这就是说，包络是积分曲线。
其次，在包络的每一点，积分曲线族中都至少有一条曲线与包络相切。
因此，包络是奇解，由此可知，如果知道了微分方程0),,(,=y y x F 的通积分，那么该通积分的包络就是奇解。
4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法但是，一般的曲线族并不一定有包络，例如同心圆族、平行直线族都是没有包络的，从而我们引出了C-判别曲线与P-判别曲线。
从奇解的定义可知，奇解是一种具有特殊几何意义的特解。
正如我们已见到的例子，在求解微分方程时只要注意一些例外情况就会得到这种特解. 这些奇解都是由定义来判定的. 但是由定义来判定奇解比较麻烦，下面介绍两种判别同时也是求奇解的方法：由微分几何学可知，曲线族（1）的包络包含在由下列方程组⎩⎨⎧=Φ=Φ0),,(0),,(,c y x c y x c 消去 c 得到所谓 c -判别曲线．必须注意，在C-判别式曲线中有时出去包络外，还有其他曲线。
例1 求直线族0sin cos =-+p y x αα (1)的包络，这里的α是参数，P 是常数。
解：将（1）对α求导，得到0cos sin =+-ααy x （2）为了从（1），（2）中消去α，将（2）移项，然后平方，有22222sin cos 2sin cos P =++ααααxy y x （3）将（2）平方，又得0sin cos 2cos sin 2222=-+ααααxy y x（4） 将（3），（4）相加，得到222P y x =+（5）容易检验，（5）是直线（1）的包络（见图2）例2 求曲线族0)(32)(22=---c x c y （6）的包络。
解：将（6）对C 求导数。
得到0)(3.32)(22=-•+--c x c y 即0)(2=---c x c y （7）为了从（6）和（7）消去C ，将（7）代进（6），得0)(32)(34=---c x c x 即032)()(3=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---c x c x ， 从x-c=0得到y=x （8） 从032=--c x 得到 92-=x y （9） 因此，C-判别曲线包括两条曲线（8）和（9），容易检验直线y=x 不是包络，而直线92-=x y 是包络（见图3）值得注意的是，在 c 判别曲线中除了可能有的包络(即奇解)外，还可能是曲线族中奇点的集合, 在奇点,曲线没有确定的切线. 因此这种 c 判别曲线不是解；还可能是不与积分曲线族相切的曲线.这里介绍另外一种求奇解的方法。
由存在唯一定理知道，如果),,(,y y x F 关于x,y,,y 连续可微，则只要0,≠∂∂yF 就能保证解的唯一性，因此，奇解（存在的话）必须同时满足下列方程),,(,y y x F =0 0),,(,,=∂∂y y y x F （10） 于是我们有下面结论：方程0),,(=dxdy y x F的奇解包含在由方程组⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(,p y x F p y x F p （11） 消去P 而得到的曲线中，这里F （x,y,p ）是x,y,p 的连续可微函数，此曲线称为方程（10）的P-判别曲线。
P-判别曲线是否是方程的奇解，需要进一步的检验例3 求方程01)(22=-+y dxdy 的奇解。
解：从⎩⎨⎧==-+020122p y p 消去P 得到P-判别曲线1±=y容易验证，此两直线都是方程的奇解。
因为容易求得原方程的通解为：y=sin(x+c)而1±=y 是微分方程的解，且正好通解的包络。
例4 求方程22⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dx dy dx dy x y 的奇解 解：从 ⎩⎨⎧=--=02222p x p xp y消去P 得到P_判别曲线2x y =但2x y =不是方程的解，故此方程没有奇解强调指出：上面介绍的两种方法，只是提供求奇解的途径，所以C-判别曲线与P-判别曲线是不是奇解，必须进行检验补充：4.1 克莱罗微分方程形如 )(p f xp y +=（12） 的方程，称为克莱罗微分方程，这里dx dy p =，)(p f 是P 的连续可微函数，现在我们进一步讨论：将（12）两边对x 求导，并以p dxdy =代入，即得 dx dp p f p dx dy xp )(,++=， 即0))((,=+p f x dxdp 如果0=dx dp ，则得到 P=C将它代入（12），得到)(c f cx y += （13）这里的C 是任意常数，这就是（12）的通解。
如果0)(,=+p f x ，将它和（12）合并起来⎩⎨⎧+==+)(0)(,p f xp y p f x （14） 消去P 也得到方程的一个解。
注意，求得此解的过程真好与从通解（13）中的求包络的手续一样。
可以验证，此解的确是通解的包络，由此，我们知道，克莱罗微分方程的通解就是一直线族（在原方程以C 代P 即得），此直线族的包络就是方程的奇解。
例5：求解方程p xp y 1+= 解：这就是克莱罗微分方程，因而它的通解就是cxc y 1+= 从 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==-c cx y c x 1012 中消去C ，得到奇解x y 42=这方程的通解就是直线族，而奇解就是通解的包络例6 求一曲线，使其在其上的每一点的切线截割坐标轴而成的直角三角形（见（图例6）中的三角形OAB ）的面积都等于2解：设所要求的曲线切线方程为 1=+by a x 依题意有 ab=4而 dxdy a b -= 由上述三式消去a,b 得dx dy dx dy x y 42-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- 或 dx dy dx dy xy -±=2 这是克莱罗微分方程，其通解为x c c c x c y 21122-=-±= )0(1<c ， 这里1c c -±=为任意常数，易见此直线族的每一条直线都是满足题意的解。
现在求曲线族的包络，亦即微分方程的奇解，为此，从⎩⎨⎧=--=0122cx x c c y中消去C 得到微分方程的奇解1=xy ，这是等腰双曲线，显然他就是满足要求的解。
现在，可以引进奇解的概念：微分方程的某一个解称为奇解，如果在这个解的每一点上至少还有方程的另外一个解的存在，也就是说奇解就是这样的一个解，在他上面的每一点至少有方程的两条积分曲线通过。