一阶常微分方程初等解法
一阶常系数线性微分方程组“对称型”的初等解法再讨论
［ ］ 。 ＝ ［ 二 兰 ］ ［ ］ ＋ ［ ］ ， ［ ： ； ］ ＝ ［ ］ ｃ 口 ≠ 。
项目（ ２ ０ １ ２ － ４ ）阶段 性 成 果
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（ ９ ）
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当ａ ｂ≠０时，解 为：
（ １ ０ ）
（ ｔ ） ｅ － （ ａ ＋ ｂ ） ｔ ｄ ｔ ＋ Ｃ １ ］ ＋ ｅ （ ａ － ｂ ） ｔ ［ 』 Ｑ ２ （ ｔ ） ｅ － （ ａ － ｂ ） ｔ ＋ 】 ） （ ｔ ） ｅ － （ ａ ＋ ｂ ） ｔ ｉ ｔ ｔ ＋ ｑ ］ － ‘ 蛳 ［ 』 Ｑ ２ （ ） ｅ － （ ａ － ｂ ） ｔ ｄ ｔ ＋ Ｃ ２ ］ ｝
ｆ ｘ ｘ ＋ ＝ Ｐ ［ ｆ ａ ｌ （ ｔ ） ｅ － ￣ ａ － ｉ ｂ ） ｔ ｉ ｔ ｔ ＋ ｑ ］ Ｉ 一 ＝ Ｐ ‘ 叶 ［ ｆ Ｑ ２ （ ） ｅ － （ ａ ＋ ｉ ｂ ） ｔ ｄ ｔ ＋ Ｃ ２ ］
于是 ，有结论 （ ８ ） ． 定理 ３ 对于二 元一阶线性微分方程细 ：
常微分方程第二章一阶微分方程的初等解法
一阶微分方程的初等解法， 一阶微分方程的初等解法，即把微分方程的求 解问题化为积分问题。 解问题化为积分问题。用数学方法经过有限次 代数运算和作有限次不定积分，将微分方程的 代数运算和作有限次不定积分， 解用初等函数或初等函数的待积式来表达， 解用初等函数或初等函数的待积式来表达，这 种方法，习惯上称为初等积分法或求积法。 种方法，习惯上称为初等积分法或求积法。能 初等积分法或求积法 用初等积分法求解的微分方程称为可积方程。 用初等积分法求解的微分方程称为可积方程。 可积方程
内江师范学院数学与信息科学学院 ( x , y ) 中几类可积方程的求解
同时， 问题 。同时，对一阶隐式方程和高阶方程中的某些特 殊可积函数类型的求解问题，也作适当的介绍。 殊可积函数类型的求解问题，也作适当的介绍。 主要内容
一、变量分离方程与变量替换 待定函数法) 二、线性方程与常系数变易法(待定函数法 线性方程与常系数变易法 待定函数法 三、恰当方程与积分因子（全微分方法） 恰当方程与积分因子（全微分方法） 四、一阶隐方程与参数表示 五、小结
转化” 这是数学学习的精髓。 基本思想：“变”或“转化”，这是数学学习的精髓。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
初等积分法的实质， 初等积分法的实质，就是尽可能设法把所遇到的 的实质 微分方程的求解问题转化为积分（求原函数） 微分方程的求解问题转化为积分（求原函数）问 转化为积分 题。应当指出，只有少数特殊类型的微分方程， 应当指出，只有少数特殊类型的微分方程， 才可能用初等积分法求解，在多数情况下，初等 才可能用初等积分法求解，在多数情况下， 积分法是不适用的。因此， 积分法是不适用的。因此，对于微分方程中常见 的类型在什么情况下能用初等积分法求解， 的类型在什么情况下能用初等积分法求解，是一 个很重要而又有实际意义的问题。 个很重要而又有实际意义的问题。
一阶微分方程解法
y x0 4
的特解.
解 分离变量, 得 sinydy sinxdx
cos y cosx
两边积分,得 ln c o sy ln c o s x ln c
于是原方程的通解为 c o sy c c o sx
3
又将初始条件
y x0 4
代入通解中, 得 c
2 2
故满足初始条件的特解为 cosy 2cosx
12
将 y与y’代入方程, 并整理, 得 c'(x) ex
两端积分, 得 c(x)ex c
故原方程的通解为 y = ex + c (x+1)2
例8 求方程 sin2y + xcoty dy = dx 的通解及满足初始 条件 y|x=1 = π / 2 的特解.
解 将方程改写为 dx xcot y sin2 y
dx
解 将方程恒等变形为 dy y ln y
dx x x
令uy, 即yux 则得 dy x du u
x
dx dx
7
代入原方程,
得
du x
u
ulnu
dx
分离变量, 得
du dx u(ln u 1) x
两端积分, 得 ln (ln u 1 ) ln x ln c
即 lnucx1 将 u y代 入 上 式 , 并 化 简 得 方 程 的 通 解 为
x
y xecx1
8
三. 一阶线性微分方程 形如 y’+ pxy = q(x)的方程,称为一阶线性微分方程. 若 qx = 0 , 则称方程 y’+ p(x)y = 0 为一阶齐次线性微分方程 若 qx ≠ 0 , 则称方程 y’+ p(x)y = q(x) 为一阶非齐次线性微分方程. 1.一阶齐次线性微分方程的通解 方程 y’+ pxy = 0 是变量可分离的方程, 其通解为
常微分方程的初等解法
常微分方程的初等解法1．常微分方程的基本概况1.1.定义：自变量﹑未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。
1.2.研究对象：常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动﹑演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。
物理﹑化学﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑医学﹑经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。
如牛顿运动规律、万有引力﹑能量守恒﹑人口发展规律﹑生态总群竞争﹑疾病传染﹑遗传基因变异﹑股票的涨伏趋势﹑利率的浮动﹑市场均衡价格的变化等。
对这些规律的描述﹑认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学各个领域。
1.3.特点：常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。
下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。
求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。
也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。
1.4.应用：现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。
这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。
应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
2.一阶的常微分方程的初等解法一阶常微分的初等解法包括变量分离方程与变量变换﹑可以化为变量分离方程的类型﹑线性微分方程与常数变易法﹑恰当微分方程与积分因子，下面我们就具体分析一阶常微分方程的初等解法。
一阶微分方程的初等解法
第二章一阶微分方程的初等解法教学目的本章主要讨论变量分离的方程、齐次方程、线性方程、伯努利（Bernoulli）方程、恰当方程和一阶隐式方程等方程的解法。
教学要求能够识别方程的类型，熟练掌握各自的解法并能灵活应用。
教学重点分离变量法；一阶线性方程的通解公式；常数变易法；伯努利（Bernoulli）方程；恰当方程的定义、充要条件；积分因子的求法；四类隐式方程通解的求法教学难点用变量替换将某些方程转化为变量分离方程；常数变易法思想的理解；积分因子的求法；求解四类隐式方程的变量替换。
教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。
教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
课题导入微分方程的一个主要问题是”求解”,即把微分方程的解通过初等函数或它们的积分表达出来,但一般的微分方程无法求解,只能是对某些类型通过相应的方法求解,本章主要介绍一阶微分方程)(=y,F的一些可解类,xy('y,)'xfy=或0型和相应的求解方法------初等解法,即把微分方程求解问题化为积分问题.§2.1 变量分离方程与变量变换教学目的了解变量分离的一阶方程和可化为变量分离的一阶方程的类型，熟练掌握变量分离的一阶方程和可化为变量分离的一阶方程的解法。
教学要求深刻掌握变量分离的一阶方程的解法，并能利用变量变换方法来解可化为变量分离的一阶方程。
教学重点变量分离的一阶方程和可化为变量分离的一阶方程的类型及其求解方法；一阶线性方程的通解公式。
教学难点用变量替换将某些方程转化为变量分离方程。
教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。
教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
形如 )()(y x f dxdyϕ= (2.1) 的方程,称为变量分离方程.这里)(),(y x f ϕ分别是x,y 的连续函数. 一. 变量分离方程的求解.当0)(≠y ϕ时,将(2.1)改写成dx x f y dy)()(=ϕ,对上式两边积分得: ⎰⎰+=c dx x f y dy)()(ϕ (2.2)原函数的某一)(1y ϕ↑原函数的某一)(x f ↑由(2.2)所确定的函数),(c x y ϕ=就为(2.1)的通解. 例1. 求微分方程)101(yy dx dy -=的所有解. 解: 方程两边同除以)101(yy -,再积分得1)101(⎰⎰+=-c dx y y dy ,两边积分得110lnc x yy+=-,从上式中解出从上式中解出,再将常数设为c,得,0,110≠+=-c ce y x由0)101(=-yy 求出方程的常数解为y=0和y=10,故方程的所有解为.0,,110=+=-y c ce y x 和为任意常数例2. 求微分方程23y dxdyx =的通解.解:分离变量后得dx xdy y 123=-两边积分得121ln 2c x y +=--整理后得通解为:,,)(ln 4)(ln 41221c e c cx c x y ==+=其中由于函数在x=0无意义,故此解只是在x>0或x<0中有定义.此多此一举这有解y=0,这个解无法从通解中选取常数c 而得到,所以不是解.例3、求方程 y x P dx dy)(= 的通解。
一阶微分方程的初等解法
一阶微分方程的初等解法一阶微分方程的初等解法●一阶微分方程的初等解法：方程的通解能够用初等函数或初等函数的积分表示出来。
●一阶微分方程的一般形式y′=f(x,y)也可写成对称形式（全微分形式）P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0在对称形式方程中，变量x与y是对称的，它即可以看作是以x自变量，y为未知函数的方程dy=−P(x,y)() Q(x,y)≠0也可看作是x为自变量，y为未知函数的方程dy dx=−Q(x,y)P(x,y) P(x,y)≠0●一阶微分方程的常见形式：1.可分离变量的一阶微分方程和齐次方程定义：如果一阶微分方程具有形式dy dx=f(x)g(y)则该方程称为可分离变量微分方程。
不妨设g(y)≠0,则可将方程化为dy g(y)=f(x)dx例求微分方程xdy+2ydx=0，满足初始条件y|x=2=1的特解。
解：由∵ xdy+2ydx =0分离变量dy y=−2dx x两边积分lny=−2lnx+lnC ∴ y=Cx−2是通解。
将初始条件代入C=4，即∴ y=Cx−2为方程的一个特解。
例放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减少，这种现象成为衰变。
由于原子物理学告之，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比。
已知t=0时铀的含量为M0，求在衰变过程中含量M(t)随时间变化的规律。
解：铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数dM dt即dM dt=−λMλ(>0)是衰变常数。
初始条件M|t=0=M0分离变量dM M=−λdt于是M=Ce−λt是方程的通解代入初始条件M=M0e−λt齐次方程：如果一阶微分方程dy dx=f(x,y)中的函数f(x,y)可变形为φ�y x�即dy dx=φ�y x�则称为齐次方程。
求解步骤:变量代换法设u=y x，y=ux，得u+x du dx=φ(u)∴ xdu=(φ(u)−u)dx 可分离变量方程duφ(u)−u=dx x=>�duφ(u)−u= �dx x 得到齐次方程的通解。
一阶常微分方程的解法
一阶常微分方程的解法[摘要]微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法.而一阶微分方程作为微分方程的基础问题，是解决其他问题的重要环节.本文总体分为两个环节：第一部分介绍了一阶显式微分方程的多种解法，深入讨论了可分离变量的方程，可化为变量可分离方程的齐次方程，一阶线性微分方程，恰当方程，积分因子法这些特殊类型.本文的另一部分介绍了一阶隐式微分方程的多种结合，结合可解出y，结合可解出x，不显含y的隐式方程，不显含x的隐式方程这四类特殊的情况进行探讨.文章的最后一部分则是选取了一阶微分方程的四类非常特殊的微分方程，给出了各种通解.[关键词]显式微分方程，可分离变量，一阶线性微分方程，齐次方程，隐式微分方程The Method for First-order Differential EquationsStudent: Wu Tao , School of Information and MathematicsTutor: Wu Haitao , School of Information and Mathematics[Abstract]Differential equations is the most basic mathematical theory and methods to study the natural sciences and the social sciences things, objects and phenomena movement, evolution and variation.The first order differential equations as a basis for the problem, and is an important part of solving other problems.This paper is divided into two areas overall：The first part introduces many kinds of solutions of differential equations of first-order explicit, it discusses the Variable separable equation in depth,The homogeneous equation can be separated equations for variables,First order linear differential equations,The appropriate equations ,Integral factor method,and so on.Another part of the article describes the combination of a variety of first-order differential equations implicit, Y can be solved in conjunction, X can be solved in conjunction, The implicit equation without Y, The implicit equation without X, These four kinds of special cases are discussed in this paper.The last part of the article is selected four kinds of differential equations of first order differential equation is very special, It gives the general solution.[Keywords]Explicit differential equation,Separable variables,First order linear differential equations,Homogeneous equation,Implicit differential equation.一阶常微分方程的解法1前言微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解.后来瑞士数学家欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论.常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的.数学的其他分支的新发展，如复变函数都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律.后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置.这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量.2选题背景2.1研究目的与意义一阶常微分方程解法就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题，能用这种方法求解的微分方程称为可积方程. 随着常微分方程在实际生产、生活中表现出重要的应用性，因此，研究常微分方程的解题方法也变得十分必要.本文通过对一阶微分方程的初等解法的归纳与总结，以及对变量分离，积分因子，微分方程等各类初等解法的简要分析，同时结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题，进行求解.而且常微分方程就形式种类而言多不胜举，在涉及具体的常微分方程求解问题时应本着抓住特点、拓宽思路、灵活处理的原则, 找出解题的切入点，逐步推进，一举突破.常微分方程因其广泛的应用性而受到科学技术领域的普遍关注和高度重视．但许多常微分方程教材都存在明显的对各类型方程求解的孤立技巧与方法的汇编倾向，许多内容的联系比较松散．面对这种情况，在教学中特别需要把握好教学方法和切实突出课程中的基本思想和方法，使学生在学习中能得到应有思维训练．尤其是一阶常微分方程是非常重要的一类方程，它作为常微分方程的基础内容之一，具有完整的系统理论和丰富的实际背景，学好该内容对提高学生学习后继内容的积极性和思维能力具有重要奠基作用．2.2国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向本文讨论的求解一阶常微分方程的，在教材体系和知识逻辑上具有较好的承前性．同时，方法的具体运用过程较常数变易法简洁明了，符合学生认知规律．它在思想上很好地体现了变换化归的思想，讲授它对突出课程的思想方法教学具有重要作用．而在方法的功能上，它不仅能解决当前的线性方程问题，而且在解决非线性方程方面同样具有重要作用．讨论这些方法的应用对拓展学生思维能高其数学素养具有很好作用．但在教学实践中，考虑到公共数学课面对的学生基础和教学目的的局限性，当只能讲授常数变易法，其余两法只作说明而不能具体涉及，以此扩大学生知识视野而又不增加教学难度．但对专业教学则可作必要拓展．个人实践是以讲授常数变易法为主，函数变换法为辅，将其列为课堂讨论题目并作具体推导，但讲而不要求．对积分因子法，则只作为学生思考题目给出，并作适当的提示，让有兴趣和学有余力的学生思考．对教材作这样处理，能在不增加教学难度的情况下，既可突出重点又能较好地分化难点，有利于拓展学生知识视野、激发学生学习兴趣和提高学生对数学的理解能力．微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法.微分方程也就成了最有生命力的数学分支.常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法.因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多烦人应用于社会科学的各个领域.常微分方程在很多学科领域内有着重要的作用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等等，这些问题都可以化为求微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题.2.3主要研究内容，重点研究的关键问题及解决思路本文主要解决了三个问题：（1）一阶微分方程的基本知识和性质；（2）一阶微分方程的解法；（3）一阶微分方程解法的应用举例.一阶微分方程的解法，关键和解题思路即把微分方程的求解问题化为积分问题，其解的表达式由初等函数或超越函数表示.3 一阶显式微分方程的解法3.1 可分离变量的方程如果微分方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=中的函数(,)P x y 和(,)Q x y 均可表示为x 的函数与y 的函数的乘积，则称该方程为变量分离的方程.解法 令11(,)()(),(,)()()P x y X x Y y Q x y X x Y y == 于是11()()()()0X x Y y dx X x Y y dy += 若11()()0X x Y y ≠时，有11()()0()()X x Y y dx dy X x Y y += 即11()()()()X x Y y dx dy C X x Y y +=⎰⎰，其中C 为任意常数 当1()0X x =或1()0Y y =时，也是方程的解. 下面结合几种特殊的情况来进行求解[1].1. 形如 )()(y g x f dx dy= 当0)(≠y g 时，得到dx x f y g dy)()(=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解.例1 2dy x dx y=解 由2dy x dx y=可知：3220()032x y x dx ydy d -=⇒-=于是321132x y C -=即3223x y C -=，其中C 为常数. 2. 形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M当0)()(≠y N x P 时，可有dy y N y Q dx x P x M )()()()(=，两边积分可得结果；当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=）x P 时，0x x =为原方程的解. 例2 22(1)(1)0x y dx xydy +-+=解 当2(1)0x y -≠时，用它除方程的两断，即得等价的方程22101x ydx dy x y ++=- 再积分上式，有2221ln ln 1x x y C ++-=，其中1C 为任意常数即2221x x e y C -=1(0)C C e =≠ 而0x =或1y =±都是方程的解于是方程的解为2221x x e y C -=，C 为任意常数.3.2 可化为变量可分离方程的齐次方程如果微分方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=中的函数(,)P x y 和(,)Q x y 都是x 和y 的同（例如m 次）齐次函数，即：(,)(,),(,)(,)m m P tx ty t P x y Q tx ty t Q x y == 则称微分方程为齐次方程.其等价定义为()dy yg dx x=解法 令y ux =，其中u 为新的未知函数，x 仍为自变量，则(,)(,)(,),(,)(,)(,).mmP x y P x xu x P x u Q x y Q x xu x Q x u ⎧==⎪⎨==⎪⎩ 于是1[(1,)(1,)](1,)0m m x P u uQ u dx x Q u du +++=这是一个变量分离方程.下面结合几种具体的类型进行求解[3]：1.形如)(xyg dx dy =解 令x yu =，则udx xdu dy +=代入得到)(u g u dx dux =+为变量可分离方程 得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x xyf =.2.形如)0(),(≠+=ab by ax G dxdy解 令by ax u +=，则bduadx dy +=代入得到)(1u G badx du b =+为变量可分离方程 得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+. 3.形如)(222111c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解 若02211=b a b a ，则121221120a a a b a b b b λ-=⇒== 于是221222()a x b y c dyf dx a x b y c λ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭转化为)(by ax G dxdy+=，下同1； 若02211≠b a b a ，⎩⎨⎧=++=++00222111c y b x a c y b x a 的解为),(00y x 令⎩⎨⎧-=-=00y y v x x u ，则)()()(22112211u v g u v b a u v b a f v b u a v b u a f du dv =++=++=，下同2； 4. ()()0yf xy dx xg xy dy +=只需令u xy =，利用上面类似的方法可求； 5. 2()dyx f xy dx= 只需令v xy =，22),(xyw x y xf dx dy ==，利用上面类似的方法可求； 6. (,)()(,)()0M x y xdx ydy N x y xdy ydx ++-=只需令cos ,sin x r y r θθ==，利用上面类似的方法可求； 例325--+-=y x y x dx dy 解 令2--=y x u ，则du dx dy -=，代入得到uu dx du 71+=-，有所以)(722为常数C C x u +-=把u 代入得到)(7222为常数）（C C x y x =+--例41212+-+-=y x y x dx dy 解 由⎩⎨⎧=+-=+-012012y x y x 得到⎪⎩⎪⎨⎧=-=3131y x令⎪⎩⎪⎨⎧-=+=3131y v x u ，有⎩⎨⎧==du dx dv dy 代入得到uvu v v u v u du dv 21222--=--= 令uvt =，有udt tdu dv +=代入得到ttdu dt u t 212--=+，化简得到 )1(2)1(22221222t t t t d dt t t t u du +-+--=+--= 有)(2)1ln(ln 2为常数C C t t u ++--=所以有)(1121C e C t t C u ±=+-=，故代入得到)0(,31313131131121≠⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++--=+C x y x y C x3.3 一阶线性微分方程方程()()dyP x y Q x dx+=叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的).如果()0Q x =，则方程称为齐次的；如果()Q x 不恒等于零，则方程称为非齐次的.解法一（积分因子法） 首先，我们讨论对应的齐次方程()0dyP x y dx+=的通解问题[2].若0y ≠，分离变量得()dyP x dx y=- 两边积分得()P x dxy Ce -⎰=其次，求解非齐次方程()()dyP x y Q x dx+=，则()()dy P x ydx Q x dx += 于是()()()()()P x dxP x dxP x dxe dy e P x ydx e Q x dx ⎰⎰⎰+=则()()()()P x dxP x dxd e y d Q x e dx ⎰⎰=⎰即()()(())P x dxP x dxy e C Q x e dx -⎰⎰=+⎰，其中C 为任意常数解法二（常数变易法） 首先求得齐次方程()0dyP x y dx+=的通解为 ()P x dxy Ce -⎰=于是令()()P x dxy C x e -⎰=为非齐次方程()()dyP x y Q x dx +=的解. 代入得：()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dx dC x e C x P x e P x C x e Q x dx---⎰⎰⎰-+= 于是()()()P x dx dC x Q x e dx⎰= 即()()()P x dxC x Q x e dx C -⎰=+⎰于是非齐次方程()()dyP x y Q x dx+=的解为 ()()()()P x dxP x dxP x dxy Ce e Q x edx ---⎰⎰⎰=+⎰，其中C 为任意常数解法三（利用解的性质）设()P x dxh y Ce -⎰=为齐次方程()0dyP x y dx+=的通解，p y 为对应的非齐次方程()()dyP x y Q x dx+=的一个特解，则方程的通解为 h p y y y =+例6 1)1()1(++=-+n x x e ny dxdyx 解 化简方程为：n x x e y x n dx dy )1(1+=+-，则;)1()(,1)(n x x e x Q x nx P +=+-= 代入公式得到n dxx ndxx P x ee x -1)()1()(+=⎰=⎰=+-μ所以)()()1(])1()1([)1()(为常数C C e x C dx x e x x x y x n n x n n ++=++++=⎰- 例7315dyy dx-= 解 易知方程的一个特解为5y =-对应的齐次方程的通解为3x y Ce =于是方程的通解为35x y Ce =-，其中C 为任意常数3.4 恰当方程考虑对称形式的一阶微分方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=，如果存在一个可微函数(,)x y Φ，使得它的全微分为(,)(,)(,)d x y P x y dx Q x y dy Φ=+ 亦即它的偏导数(,),(,)P x y Q x y x y∂Φ∂Φ==∂∂ 则称该方程为恰当方程或全微分方程.解法 先判断是否是恰当方程： 如果有x y x N y y x M ∂∂=∂∂),(),(恒成立，那么原方程是个恰当方程，找出一个 ),(),(),,(),(.),,(y x N yy x G y X M x y x G ts y x G =∂∂=∂∂, 有)(,),(为常数C C y x G =；例8 0)46()63(3222=+++dy y y x dx xy x解 由题意得到，322246),(,63),(y y x y x N xy x y x M +=+= 由xNxy y M ∂∂==∂∂12得到，原方程是一个恰当方程； 下面求一个),(),(),,(),(.),,(y x N yy x G y X M x y x G t s y x G =∂∂=∂∂ 由2263),(),(xy x y X M xy x G +==∂∂得)(3),(223y y x x y x G ϕ++=，两边对y 求偏导得到32246)(6y y x y y x yG+='+=∂∂ϕ，得到34)(y y ='ϕ，有4)(y y =ϕ， 故42233),(y y x x y x G ++=，由0=dG ， 得到)(,34223为常数C C y y x x =++3.5 积分因子法方程(,)(,)0,(,),..0M x y dx N x y dy x y s t Mdx Ndy μμμ+=∃+=是一个恰当方程，那么称),(y x μ是原方程的积分因子；积分因子不唯一.定理 2.5.1 当且仅当)(x NxNy M ϕ=∂∂-∂∂，原方程有只与x 有关的积分因子，且为⎰=dxx e y x )(),(ϕμ，两边同乘以),(y x μ，化为恰当方程，下同2.4[4].定理2.5.2 当且仅当)(y MxNy M φ=-∂∂-∂∂，原方程有只与y 有关的积分因子，且为⎰=dyy e y x )(),(φμ，两边同乘以),(y x μ，化为恰当方程，下同2.4[4].性质2.5.1 齐次方程(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=有积分因子1u xP yQ =+证明 作变换y ux =，由(,)(,)0P x y dx Q x y dy +=是齐次方程，则1(,)(,)()[(1,)(1,)](1,)0m m m P x ux dx Q x ux udx xdu x P u ux Q u dx x Q u du +++=++= 两边同乘111[(1,)(1,)]m xP yQ x P u uQ u +=++，则有 1(1,)(1,)ln 0(1,)(1,)(1,)(1,)Q u Q u dx du d x du x P u uQ u P u uQ u ⎛⎫+=+= ⎪++⎝⎭⎰ 显然为全微分例9 02)3(2=++xydy dx y e x解 由xy y x N y e y x M x 2),(,3),(2=+=得y y y xNy M 426=-=∂∂-∂∂且有xx N x Ny M 2)(==∂∂-∂∂ϕ，有22),(x e y x dx x =⎰=μ 原方程两边同乘2x ，得到,02)3(322=++ydy x dx y e x x 化为0))22((232=++-y x e x x d x得到解为)(,)22(232为常数C C y x e x x x =++-例10 0)(3=+-dy y x ydx解 由题意得到，)(),(,),(3y x y x N y y x M +-==，有2)1(1=--=∂∂-∂∂xNy M 有yy M xNy M 2)(-==-∂∂-∂∂φ，有22)(),(--=⎰=⎰=y e e y x dy y dy y φμ原方程两边同乘2-y ，得到0)2()(22=-=--+yy x d dy y y x y dx 得到原方程的解为)(,22为常数C C y y x =- 例11dy x ydx x y+=- 解 ()()0x y dx x y dy +--=为齐次方程 由性质2.5.1可知：积分因子2211()()u x x y y x y x y ==+--+于是22220xdx ydy xdx ydyx y x y+--=++ 即221ln()arctan ln (0)2yx y C C x+-=>arctanyxCe=，其中C 为任意正常数4 一阶隐式微分方程的概念与求解思路4.1 定义没有就dy dx解出的形如(,,)0dyF x y dx =的方程我们称为一阶隐式微分方程.4.2 求解思路如果能从方程(,,)0dy F x y dx =中解出dydx那么求解方程就可以归纳到一个或者几个一显式微分方程，求解这些解，就可以得到方程(,,)0dyF x y dx=的解.一般来说，很难从方程(,,)0dy F x y dx =中解出dy dx ，或者即使解出dydx，而其表达式也是极其复杂的，下面介绍的就是不解出dydx，采用引进参数的方法使之变成导数已解出的方程类型，这里主要有以下四个类型：1.(,)dy y f x dx =2.(,)dyx f y dx =3.(,)0dy F x dx =4.(,)0dyF y dx=4.3 常见类型[6]4.3.1 可解出y 的隐式方程(,)dyy f x dx= 如果从方程(,,)0dyF x y dx=中可以解出y ，那么就可以得到第一种类型 (,)dyy f x dx=在这里假设函数y =(,)dyf x dx有关于,x y 有连续的偏导数.引入参数dyp dx=，则原方程变为y =(,)f x p将上式两边对x 求导数，并以p 代替dydx，这样可以得到()(),,f x p f x p dpP x p dx∂∂=+∂∂ 该方程是关于,x p 的一阶显方程如果求的该方程的通解为(,)p x C ϕ=将它代入(,)y f x p =，这样得到原方程的通解为(,(,))y f x x C ϕ= （C 为任意常数）如果，方程()(),,f x p f x p dpP x p dx∂∂=+∂∂还有解 ()p u x =把上式代入到(,)y f x p =，那么就得到原方程的相应解(,())y f x u x =如果能求得方程()(),,f x p f x p dpP x p dx∂∂=+∂∂的通解 (,,)0F x p C =将它和(,)y f x p =结合，就能得到原方程参数形式的通解(,,)0(,)F x p C y f x p =⎧⎨=⎩其中p 是参数，C 是任意常数，如果方程()(),,f x p f x p dpP x p dx∂∂=+∂∂还有解(,)0G x p =将它和(,)y f x p =结合，这样得到方程相应的参数形式的解(,)0(,)G x p y f x p =⎧⎨=⎩ 其中p 为参数.根据上面讨论，为了求解方程(,)dy y f x dx =,我们引进参数dyp dx=，通过对x 进行求导数，从而消去y ，把问题简化成求解关于x 与p 的一阶显示方程，我们这种方法称为微分法.例1 解方程：1dyx y dx=++ 解 原方程是就dydx解出的一阶线性方程，当然可以按其解法求解.在这里，可以把它当作可就y 解出的方程来求解. 原方程就y 解出可得1dyy x dx=-- 令dyp dx=，则可得：1y p x =-- 对上式两边关于x 求导，用dyp dx =代入则可得1dp p dx =- 也就是1dp p dx=+1.当10p +≠时，分离变量，可得1dpdx p =+ 两边同时积分可得ln 1ln p x C +=+ （C 为不等于0的常数）或 l n 1p x C +=+ （C 为任意常数） 即1ln 1x p Ce x p C =-=+-或将上面两个式子代入到1y p x =--可得(2)x y Ce x =-+ （C 为不等于0的任意常数）或ln 11y p p c =-++- （c 为任意实数） 2.当10p +=有：1p =-把它代入到1y p x =--可得：(2)y x =-+ 根据1、2即可知，原方程通解为：(2)x y Ce x =-+（C 为任意常数）其参数形式的通解可表示为：ln 1ln 11x p Cy p p C ⎧=+-⎪⎨=-++-⎪⎩（1p ≠，参数；C 为任意常数） 及(2)y x =-+ 例2 求解方程''1y xy y =+解 该方程克莱罗方程，''20p xp p =-，'0p =，21x p =所以该方程有通解：1y Cx C =+ 以及特解： 211x p y p x p ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去参数p ，得到原方程的奇解：24y x = 所以该方程通解是直线族：1y Cx C =+，而奇解是通解的包络：24y x =. 4.3.2 可解出x 的隐式方程(,)dy x f y dx= 对于可解出x 的方程的第二种类型(,)dy x f y dx= 该方程的求解方法和方程(,)dyy f x dx=的求解方法基本完全类似，这里，我们可以假定函数(,)dy x f y dx =有关于,dyy dx 的连续偏导数.引进参数dyp dx= ，则原式可变为 (,)x y p =将上式两边对y 求导数， 并以1dx dy p=代入，可得 1f f dp p y p dy∂∂=+∂∂该方程是联系,y p ，并且可以根据dpdy解出的一阶微分方程，因此可以按照前面的方法来求解.如果求的方程1f f dpp y p dy∂∂=+∂∂的通解形式： (,)p w y C = （C 为任意常数）则原方程(,)dyx f y dx=的通解为： (,(,))x f y w y C = （C 为任意常数）如果求的方程1f f dpp y p dy∂∂=+∂∂的通解形式为：· (,)y v p C =（p 为参数，C 为常数）则原方程(,)dyx f y dx=的通解为： ((,),)(,)x f v p C p y v p C =⎧⎨=⎩（p 为参数，C 为常数） 如果求的方程1f f dpp y p dy∂∂=+∂∂的通解形式为： (,,)0y p C Φ=则方程(,)x y p =的参数形式的通解为：(,)(,,)0x f y p y p C =⎧⎨Φ=⎩（p 为参数，c 为任意常数） 例3 解方程：3220dy dy y x y dx dx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭解 在这里我们可以把原方程当作可就x 解出的方程来求解，因此就有.2222dy y y dx x dy dx⎛⎫ ⎪⎝⎭=-令dyp dx=，则可得： 2222y y p x p =-对上式两边关于y 求导，用11dx dy dy pdx ==代入整理可得 3(12)0dp p yp dy y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭由0dp pdy y+=，可以求得上式的通解 C p y=， 将它代入到方程2222y y p x p =-，整理后可得原方程通解 232y Cx C =+再由312yp +=0可得3(12)0dp p yp dy y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭的特解312y p=-原方程的参数表示的特解为433812x p y p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩4.3.3 不显含y 的隐式方程如果从几何的观点来看，微分方程(,,)0dyF x y dx=的解是平面xOy 的一条曲线，它可以用直角坐标系来表示，同样也可以用参数坐标来表示，微分方程的解也可以用参数坐标来表示.对于方程(,,)0dyF x y dx=，若其左端不显含y ，即第三种类型 (,)0dyF x dx=在方程(,)0dy F x dx =中，记dyp dx=.由于不显含y ，我们不妨把方程看作代表平面'xOy 上的一条曲线，这样就可以用某种适当的参数来表示该曲线：()()x t dyt dxϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩ 这里t 为参数. 而沿方程(,)0dyF x dx=的任意一条积分曲线上均满足积分的基本关系dy dy dx dx =，将()()x t dy t dxϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩代入该基本关系式可得 '()()dy t t dt ψϕ=两边积分可以得到'()()y t t dt C ψϕ=+⎰于是可以得到(,)0dyF x dx=的参数形式通解为 '()()()x t y t t dt Cϕψϕ=⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰ 例4 求解方程2330.dy dy x x dx dx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭解 令dytx dx=，则代入原方程可得 331tx t =+从而可得2331dy t dx t =+ 由dydy dx dx=，可得32339(12)(1)t t dy dt t -=+ 对其积分，可得32333329(12)314(1)2(1)t t t y dt C t t -+==+++⎰ 因此方程的通解的参数形式为3332313142(1)t x t t y C t ⎧=⎪+⎪⎨+⎪=+⎪+⎩4.3.4 不显含x 的隐式方程对于不含x 的隐式方程(,)0dyF y dx= 其求解方法和(,)0dy F x dx =的方法基本类似，在这里记dy p dx=， 引入参数t ，将方程表为适当的参数形式()()y t p t ϕψ=⎧⎨=⎩根据关系式dy pdx =可得'()()t dt t dx ϕψ=由此得''()(),,()()t t dx dt x dt C t t ϕϕψψ==+⎰这样就可以得到方程(,)0dyF y dx=的参数形式通解 '()()()y t t x dt C t ϕϕψ=⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰ 此外，容易验证，若(,0)0F y =有实根,y k y k ==则也是方程的解. 例5 求解隐式方程2211dy y dx ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解法 1 由原方程可解出dydx，有dy dx=± 若210y -≠，分离变量可得dx =对它进行积分，则x C =可得原方程通解为22()1y x C --=同时根据210y -=，可知1y =±也是原方程的解.解法 2 方程是不显含x 的隐式方程，可令cos dyt dx=，将其代入到原方程中可解出csc y t =±，这样在0dy dx ≠的情况下，由'dydx y=可得： 2sec (csccot)csc .dx t dt tdt ==积分可得cot ,x t C =±+原方程通解的参数形式为cot csc x t Cy t =±+⎧⎨=±⎩消去参数t ，则可得方程的隐式解2()1y x C --=. 另外，当0dydx=是，由原方程可得21y =，因此方程的解还有1y =±. 解法 3 令dyp dx=，代入原方程可得y =若0dydx≠，由dy dx dy dx=可得3221.(1)dx dp p =±+-积分可得x C =+,可知原方程同通解的参数方程为x C y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数可得隐式解22()1y x C --=，此外根据0dydx=也可得到解 1.y =±解法 4 令21,dy t dx y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，代入原方程可得1y t =并且同时可以得到dy dx =若0dydx≠， 由dy dx dy dx=可得dx =对其积分可得x C t=±+，则原方程通解为1x C t y t ⎧=±+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 消去参数，则可得到和前面相同两种方法所得到的相同的隐式解.另外，当0dydx=时，有解1y =±.由例题5的几种解法，我们可以知道，根据入参数的方法差异，得到的解的形式一般也有所不同，但他们包含的解却是相同的.通常说来，只需消去参数t 或p ，就可以转化为方法1得到的通解的参数形式.5 几类特殊的一阶微分方程求解5.1 含有周期的一阶线性方程考虑方程()()dyp x y q x dx+=，其中()p x 和()q x 都是以0ω>为周期的连续函数，则1.若()0q x =，则方程()()dyp x y q x dx+=的任一非零解以ω为周期，当且仅当函数 ()p x 的平均值01()0dp p x dx ωω==⎰；2.若()q x 不恒为零，则方程()()dyp x y q x dx+=有唯一的ω周期解，当且仅当0p ≠，且此解可求[7].证明1.当()0q x ≡时，此时方程的任一非零解为0()()(0)xx p s dsy x CeC -⎰=≠以ω为周期，当且仅当00()()()()()x xx x p s dsp s dsy x y x Ce y x Ceωω+--⎰⎰=+===当且仅当000()()()()()x x x xx x x xx xp s dsp s ds p s dsp s dsp s dseeee ωωω+++-----⎰⎰⎰⎰⎰==⋅当且仅当0()()()()()1x x xxp s dsp s ds p s ds p s dsp s dse e e ωωωωω++-----⎰⎰⎰⎰⎰===当且仅当01()0dp p x dx ωω==⎰2.由题可知：方程的通解为0()()0()xxs x p s ds p t dt y Ce q s e ds --⎰⎰=+⎰ 选择常数C 使得()y x 成为ω周期函数，即()()y x y x ω+=下证：对任意的x ，()()y x y x ω+=只需()(0)y y ω= 事实上，由于()y x 是方程的解，且()(),()()p x p x q x q x ωω+=+= 于是()y x ω+是方程的解因此，函数()()()u x y x y x ω=+-是相应齐次方程()0dup x u dx+=的解 由于()(0)y y ω=则(0)0u = 由性质可知：()0u x ≡ 即()()y x y x ω+= 又由于()(0)y y ω=，则0()0()1()1sp t dtp s dsC q s e ds e ωωω--⎰=⎰-⎰则00()()()0()()()1xxss p s ds xp t dtp t dtp s dse y q s e ds q s e ds e ωωω----⎰⎰⎰=+⎰-⎰⎰⇐若0p ≠，令0()0()1()1sp t dtp s dsC q s e ds e ωωω--⎰=⎰-⎰于是00()()()0()()()1xxss p s dsxp t dtp t dtp s dse y q s e ds q s e ds e ωωω----⎰⎰⎰=+⎰-⎰⎰为方程的ω周期解若1y 也是方程的ω周期解，令1z y y =-于是z 为()0dzp x z dx+=的ω周期解 若0z ≠，则z 为()0dzp x z dx+=的非零ω周期解由1可知：0p =矛盾 于是方程的ω周期解的唯一性⇒若0p =，则()0()0sp t dtq s e ds ωω-⎰=⇒⎰C 可以任选于是ω周期解不唯一；()0()0sp t dtq s e ds ωω-⎰≠⇒⎰C 无解于是ω周期解不存在5.2 Bernoulli 方程定义：形如n y x Q y x P dxdy)()(=+称为Bernoulli 方程. 解法：令ny u -=1，有dy y n du n --=)1(，代入得到)()1()()1(x Q n u x P n dxdu-=-+，这是关于u 的一阶线性方程. 例1 26xy xy dx dy -=解 令1-=y u ，有dy y du 2--=，代入得到x u x dx du =+6，则x x Q xx P ==)(,6)(， 有6)()(x e x dx x P =⎰=μ，)(,8][)(6266为常数C x C x C xdx x x x u +=+⋅=⎰-，把u 代入得到)(,8162为常数C x C x y +=5.3 Clairaut 方程定义：一般我们把形如：''()y xy y ϕ=+的方程称为克莱罗方程，它是关于y 可以解出的一阶隐式方程，其中()z ϕ二阶连续可微，且"()0z ϕ≠.解法：可以利用微分法求解该方程，令'y p =，并对x 求导数可得'()dp dp p p xp dx dxϕ=++ 即('())0dpx p dxϕ+= 当0dpdx =时，有p C =，因此通解为 ()y Cx C ϕ=+当'()0x p ϕ+=时，可得克莱罗方程一个特解''()()()x p y p p p ϕϕϕ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩通解()y Cx C ϕ=+是一族直线5.4 里卡蒂方程定义：)()()(2x R y x Q y x P dxdy++= 解法：先找出一个特解)(0x y ，那么令z y y 10+=，有dxdz z dx dy dx dy 201-=，代入原方程得到)()1)(()1)((102020x R z y x Q z y x P dx dz z dx dy ++++=-， 化简得到0)())()(2(0=+++x P z x Q y x P dxdz为一阶线性微分方程，解出为常数C C x x z ),,()(ϕ=那么原方程的通解为为常数C C x y y ,),(10ϕ+=例2 0)2(22=-+'xy y x解 我们可以找到一个特解xy 10=，验证：201x y -='，代入满足原方程.令z x y 11+=，dxdz z x y 2211--=' 代入有0)2)11(()11(2222=-++--zx x dx dz z x x ， 化简得到，12=+z xdx dz ，所以有 为常数C xCx C dx eex z dxx dxx ,3][1)(222+=+⎰⎰=⎰ 所以原方程的解为为常数C xC x x y ,3112++=几类特殊的一阶微分方程求解或 xy 1参考文献[1]张谋，舒永录，张万雄主编.常微分方程[M].重庆市：重庆大学出版社.2011. [2]张晓梅，张振宇，迟东璇主编.常微分方程[M].上海市：复旦大学出版社.2010. [3]张伟年，杜正东，徐冰编.常微分方程[M].北京市：高等教育出版社.2006. [4]肖淑贤.常微分方程[M].武汉市：华中科技大学出版社.2008. [5]王兴涛编.常微分方程[M].哈尔滨市：哈尔滨工业大学出版社.2003. [6]潘家齐主编.常微分方程[M].北京市：中央广播电视大学出版社.2002. [7]丁同仁，李承治编.常微分方程教程[M].北京市：高等教育出版社.2004.[8]黄公瑾.应用变量代换的思想解一阶微分方程[J].课程教育研究(新教师教学),2013,(第2期).[9]白福梅.一类一阶微分方程初等解法的分析研究[J].山西农业大学学报(自然科学版),2012,(第5期).[10]于烊.一阶微分方程的应用研究[J].新课程学习(下),2011,(第2期).[11]何莲花.一阶微分方程的周期解[J].贵州师范大学学报：自然科学版,2011,(第3期). [12]刘连福.一类一阶微分方程的通解及应用[J].黄石理工学院学报,2011,(第4期).。
一阶微分方程的初等解法总结
二、积分因子法
若存在连续可微函数 ( x, y) 0 , 使 为全微分方程, 则称 ( x, y )为原方程的积分因子. 在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到 积分因子.
1) d x d y d ( x y )
2 2 ( x y )) 3) xd x yd y d ( 1 2
u e
即
P( x) d x
P( x) u e
P( x) d x
P( x) u e
P( x) d x
Q( x)
两端积分得
P( x) d x u Q( x) e dx C
P( x) d x
P( x) d x Q ( x ) e d x C 故原方程的通解 y e P( x) d x P( x) d x P( x) d x e dx y Ce 即 Q( x) e
积分后再用
代替 u, 便得原方程的通解.
y 解法: 令 u , x
dy P( x) y Q( x) 一阶线性微分方程标准形式: dx 若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .
3 一阶线性微分方程
1. 解齐次方程
分离变量
dy P( x) y 0 dx
dy f ( x)dx, 这样变量就“分离”开了. y) f ( x)dx C
即得方程的通解.
2 齐次方程
形如 的方程叫做齐次方程 .
du (u ) 代入原方程得 u x dx du dx 分离变量: (u ) u x du dx 两边积分, 得 (u ) u x
5 全微分方程
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dy 例6 求方程 x 1 ny e x 1 的通解， dx 这里n为常数. dy n y e x 1 . 解 将方程改写为 dx x 1 dy n y 0 的通解， 首先，求其次线性微分方程 dx x 1 为 y c x 1 .
容易验证，原方程的通解就是
u x, y c,
（ c 是任意常数）.
2 2 3
例7
3x 6 xy dx 6 x y 4 y dy 0 的通解.
2
解 这里 M 3x 6 xy , N 6 x y 4 y , 这时 M N 12 xy, 12 xy, 因此方程是恰当微分方程. y x 现在求 u, 是它同时满足如下两个方程： u u 3x 6 xy , 6 x y 4 y . x y 前一个式子，对 x 积分，得到 u x 3x y y ,
在上一张我们已经了解了微分方程的一些基本特点， 下面我们来看一个题来回忆一下微分方程：
dx x 例 求解方程 dy y .
解 可以变化为：ydy xdx ， y x c 两边积分，即得 2 2 2 ，
2 2
因而，通解为 x y c .
2 2
1.1变量分离方程
形如
2 2 2 3
2
2
2
3
3
2
2
将得到的方程对 y 求导，并使它满足上一个方程，即得 u d y 6x y 6x y 4 y , 于是 y dy d y 4 y , 积分后可得 y y , dy
2 2 3
4
3
u x 3x y y .
3 2 2 4
因此，方程的通解为
x 3x y y c,
3 2 2 4
这里 c 是任意常数.
往往在判定方程式恰当微分方程后，并不需要按照
先把那些本身已构成全微分的项分出，再把剩下的 项凑成全微分，这种方法要求熟记一些简单的二元 函数的全微分，如 ydx xdy x ydx xdy d x, y , d , y y
0 0
kxe y e ,
c dx0 a by0 0 0
即解为
xe ye y e x e ,
c dx a by a by0 c dx0 0 0
或写成
x ( )e x
c 0
d ( x x0 )
y ( )e y
a 0
b ( y y0 )
1.
1.2 可化为变量分离的方程类型
x n 1 x n
n
其次应用常数变易法求非齐次线性微分方程的通解. 把上式中的 c 看成 x 的待定函数 c x , 即 y c x x 1 , 微分得 dy dc x x 1 n x 1 c x . dx dx
n
n n 1
将其代入到前式中，可得到 dc x e, dx
~ c
代入原来的变量，得到原来方程的通解为 y sin cx. x
dy 例4 求解方程 x dx 2 xy y ( x 0). dy y y x 0 , 解 将方程改写为 2 dx x x dy du y 这是齐次微分方程.以 u 及 x u 代入 dx dx x du 则原方程变为 x 2 u . 分离变量，得到 dx du dx , 两边积分，得到通解 u ln x c. 2 u x 当 ln x c 0 时，u [ln x c] ,
2 2
因此，求解上述变量分离方程，最后代回原变量 即可的原方程的解. 上述方法也适用于如下方程： axbyc dy f , yf xy dx xg xy dy 0, dx a xb y c dy dy y x f xy , xf , dx dx x M x, y xdx ydy N x, y xdy ydx 0.
P x dx
P x dx
c x P x e
.
这样就可以得到 dc x e c x P x e P x c x e dx dc x Q x e , 即 dx
P x dx
P x dx
Q x ,
2 2
2 2
返回
2.线性微分方程与常数变易法
dy 一阶线性微分方程 dx P x y Q x , 其中 P x , Q x 在考虑的区间上是 x 的连续函数. dy 若 Q x 0, 方程变为 P x y, dx 称为一阶齐次线性微分方程.
Q x 0, 称为一阶非齐次线性微分方程.
P x dx
积分后得到
c x Q x e
P x dx
~, dx c
~ 这里 c 是任意常数，将上式代入到原方程得到通解 ~ . y e Q x e dx c
P x dx P x dx
这种将常数变易为待定函数的方法，我们通常称 为常数变易法.常数变易法实际上也是一种变量变换 的方法，通过变换可将方程化为变量分离方程.
x
积分之，得到
~. c x e c
x
因此，将所求的 c x 代入原方程， 其通解为
~ , y x 1 e c
n x
~ 是任意常数. 这里 c
返回
3.恰当微分方程与积分因子
3.1 恰当微分方程
dy f x, y 写成微分的形式 我们把一阶方程 dx f x, y dx dy 0, 或把 x, y 平等看待，写成
这里只介绍两种简单的情形 dy y g ( ) 的方程，称为齐次微分方程， 1 形如 dx x 这里 g (u ) 是 u 的连续函数. y 作变量变换 u , 于是 dy x du u. x dx dx du g (u ) u . 原方程变为 dx x 这是一个变量分离方程，这样就可以用前面 的方法求解.
du y y 例3 tan . 求解方程 dx x x y 解 这是齐次微分方程，以 u 及 x dy du x u 代入，则原方程变为 dx dx du tan u du . x u u tan u , 即 dx x dx dx 两边积分有 将上式变量分离，有 cot udu , x ~, ln sin u ln x c 令 e c, 得到 sin u cx.
1 1 1 2 2 2
2 2
例5 解 令
求解方程 解方程组 x X 1,
dy x y 1 . dx x y 3 x y 1 0,
dY X Y y Y 2, 代入方程，有 dX X Y . dX 1 u Y du, 再令 u , 则化为 X 1 2u u X ~, ln X ln u 2 u 1 c 两边积分，得
现在讨论非齐次线性微分方程通解的求法. 我们知道 y ce , 是齐次线性微分方程的通解. 将常数 c 变易为 x 的待定函数 c x .
P x dx
令 y c x e
dy dc x e dx dx
P x dx
P x dx
,
微分之，得到
2
此外，方程还有解 u 0, 代回原来的变量，原方程 的通解为 y x[ln x c] , ln x c 0 即 y 0.
2
2
dy a x b y c 形如 dx a x b y c
1 1 2 2
1
的方程也可以经变量变
1 1 1 2 2 2
这里 c 是一个任意常数，此外，y 0 也是方程的 解，它可以被包含在通解中（取 c 0 ）.
例2 解
dy y(c dx) , x 0, y 0. dx x(a by ) c a 方程可变量分离为 ( d )dx ( b)dy, x y
积分得 c ln x dx a ln y by k , 这里 k 为任意 常数，上式可化为 x e y e k , 其中 k e .因
1 1 2 2
2 2
1
2
令 u a x b y, 这时有 du dy ku c a b a b 是变量分离方程. dx dx uc
1 2 2 2 2 2
a b a b
1 2
1
2
如果方程中 c , c 不全为零，方程右端分子、分母 a x b y c 0, x, y 的一次多项式，因此 a x b y c 0,
2
x y 3 0,
得 x 1, y 2.
2
2
则
y 2 2 x 1 y 2 x 1 c .
2 2 1
此外 Y 2 XY X 0 也是解 原方程的通解为 y 2 xy x 6 y 2 x c, 其中 c 为任意常数.
2
换化为变量分离方程，这里 a , b , c , a , b , c 均为常数. 我们分三种情形来讨论： a b c （常数）情形. k a b c
1 1 1 2 2 2
这是方程化为
dy k, dx
y kx c,
有通解为
其中 c 为任意常数.
a b c k a b c
下面来做几道题来来练习一下变量分离方程， 例1
dy ln xdx ( y 0). 解 将方程变量分离，得到 y 两边积分得 ln y x ln x x c ,
1
dy y ln x. dx
这里 c 是任意常数，从上式解出 y 可得显 示通解为 y c e ,
1