一阶线性微分方程及其解法
一阶线性微分方程的解法及其应用
通解
y Ce P(x)dx
（2）将通解表达式中的任意常数 C 换成未知函数 u(x) ，即：
y u(x)eP(x)dx (*)
设
y u(x)eP(x)dx 为非齐次线性方程的解，则
y
u(x)e P(x)dx
u
(
x)(
P(
x))e
P
(
x
) dx
(**)
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（3）将（*）（**）代入原方程可得：
把 C 换成 u(x) ，即令
y u (x)(x 1)2,
则
y u (x 1)2 2u (x 1)
将 y, y代入原非齐次方程得：
两边同时积分得：
u(x)
2
(
x
1)
3 2
C
3
故原方程通解:
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四、一阶线性微分方程的应用 用微分方程解决实际问题的基本步骤：
两边积分：
ln | y | P(x)dx C1
通解为：
y e P(x)dxC1
y Ce P(x)dx
(C 为任意常数)
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2.积分因子法（方程两边同时乘以适当的函数，使得左端 成为某个函数的导数）
dy P(x) y 0 dx
方程两边同时乘以 eP(x)dx（积分因子）
方程变为：
确确定定 PP((xx))
方方程程两两边边同同时时乘乘以以
eePPP(((xxx)))dddxxx
方方程程左左边边一一定定是是 ((yyeePPP(((xxx)))dddxxx))
两两边边同同时时积积分分求求得得通通解解 yy CCeePPP(((xxx)))dddxxx((CC为为任任意意常常数数))
一阶线性微分方程及其解法
一、 一阶线性微分方程及其解法
二、 一阶线性微分方程的简单应用
三、 小结及作业
一、一阶线性微分方程及其解法
1. 一阶线性微分方程的定义
在微分方程中，若未知函数和未知函数的导数都是一次
的，则称其为一阶线性微分方程。 例1 判下列微分方程是否为一阶线性微分方程：
2y x2 (1) 3 y
P ( x )dx C ) ( Q( x )e
ln x
dx C
例4 求 x dy ( 2 xy x 1)dx 0 满足 y x 1 0 的特解.
2
解
dy 2 x 1 y , 其中 原方程变形为 2 dx x x 2 x 1 P ( x ) , Q( x ) 则通解为 2 x x
y
2 dx e x
dy P ( x ) y Q( x ) dx 3. 一阶线性微分方程的分类
当 分方程。
(1)
Q( x ) 0 时，方程（1）称为一阶线性齐次微
当
Q( x ) 0 时，方程（1）称为一阶线性非齐次
微分方程。
4.
一阶线性微分方程的解法
（1）一阶线性齐次微分方程 dy P( x) y 0 1）一般式 dx
k k t t m e m g d (e m ) C C k
k t e m (g
m k
k t em
mg Ce C) k
k t m
由 v t 0 0 得
mg c k
k t mg (1 e m )
1 1 1 y 2 x 2x2
一阶微分方程的解法
dy 2 y 2 xy 2 dx x xy y 2
y y 2 y x x 令u , 2, y y x 1 x x
2
则 dy xdu udx , u xu
2u u , 2 1 u u
2
1 1 1 2 1 dx [ ( ) ]du , 2 u 2 u u 2 u1 x
dy xy 的通解. 例2 求解微分方程 2 dx 1 x
dy xdx 解 , 两端积分 2 y 1 x
dy xdx y 1 x2 ,
1 ln y ln(1 x 2 ) ln C 2
y c 1 x 2为所求通解.
dy x 2 例3 求解微分方程 e 1 y . dx
可分离变量的方程
当 f ( u) u 0时, 得
du dx f ( u) u x
dy y y 2 1 ( ) 例8 求解微分方程 dx x x
y 解：令u , 则原方程化为： x du 2 u x u 1 u dx
du 即： x 1 u 2 (9 18) dx 2 当1 u 0时，分离变量得： du dx 2 x 1 u
例5 求微分方程的通解
( xy2 x)dx ( y x 2 y )dy 0
解：分离变量得（ x y 1)dx （ y 1 x )dy 0 xdx ydy 2 0 2 1 x 1 y
2 2
xdx ydy 两边积分 C1 2 2 1 x 1 y 1 y2 ln 2C1 2 1 x
解 这是可分离变量的微分方程，分离变量得 xdx ydy 0 1 x2 1 y2
两边同时积分
写出一阶线性微分方程的通解公式。
写出一阶线性微分方程的通解公式。
一阶线性微分方程是指在一个可以描述历史演变趋势的领域,普遍的一类函数,它通过解决
函数的求导来刻画系统变化的特征.
一阶线性微分方程的通解公式可以表示为：解y=ce^(ax)+f(x),其中e是自然对数的底数,a
为系数,c为常数,f(x)为可积函数，它使得一阶线性微分方程有解。
一阶线性微分方程的解决思路是先对方程进行求导操作，以确定方程的特征方程系数a，
再求解特征方程。
下面我以一个实例来讲述具体的解决过程：若一阶线性微分方程为
y'+2y=4,其解的过程可以分为四个步骤：
（1）先将微分方程化为特征方程：对方程进行求导得到y'=−2y，因此，特征方程为
y'+2y=0；
（2）解特征方程：特征方程的解为y=ce^(−2x)，其中c是一个任意常数；
（3）加法法则：根据加法法则，设方程另有特解，即f(x)=λ，两边同时乘以e^2x得到：
ce^2x+e^2xλ=4e^2x；
（4）求出特解：对上式进行求解得，λ=4，将其代入原微分方程，得到通解形式：
y=ce^(−2x)+4。
以上就是一阶线性微分方程的通解公式的解题思路和解法。
通过这一解法，可以用带有系数a的特征方程来快速求出原微分方程的解，从而使得解一阶线性微分方程变得更加容易。
一阶微分方程的解法
一阶微分方程的解法
一阶微分方程的通解形式为：
$${\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)$$。
其中$P(x)$和$Q(x)$是已知函数。
解法有以下几种：
1. 变量分离法：将 $dy$ 和 $dx$ 分离到方程两边，然后积分得到$y$ 的通解。
2. 齐次方程法：当 $Q(x)=0$ 时，方程被称为齐次方程。
通过将$y$ 转化为 $u=\frac{y}{x}$ 的方式，将齐次方程转化为分离变量的形式，然后积分得到 $u$ 的通解，再将 $u$ 转化为 $y$。
3.一阶线性非齐次方程法：对于一阶线性非齐次方程，可以通过求解齐次方程的解和特解的方式得到通解。
4. 一阶恰当方程法：对于一个形如 $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ 的微分方程，如果 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial
N}{\partial x}$，那么该方程就是恰当方程。
此时，可以通过求解方程的积分因子，将恰当方程变为恰好可积分的形式，然后求解得到通解。
5.变系数线性微分方程法：如果$P(x)$或$Q(x)$是$x$的函数，那么可以通过变量代换将其转化为常数系数的线性微分方程，然后采用常数系数线性微分方程的解法求解得到通解。
这些解法都有其适用的场合，具体应根据问题的特点来选择相应的方法。
高等数学8.3.一阶线性微分方程的解法
i|t00．
方程 di R i Em sinw t 为非齐次线性方程，由其通中解公式，得
dt L L
i(t)e PP((tt))ddtt (
Q(t)e PP((tt))ddtt
dtC)
e
RRddtt LL
(
Emm
s in w
t
e
RRddtt LL
两边积分得 ln|y|ln|x2|lnC，
方程的通解为
这就是齐次线性方程和通解
yC(x2)．
（积分中不再加任意常数）．
非齐次线性方程的解法： 将齐次线性方程通解中的常数换成 x 的未知函数u(x)，把
y u(x) e P(x)dx
设想成非齐次线性方程的通解．代入非齐次线性方程求得
uln |u1|xC． yln |xy1|C，
或
xC 1ey y1 (C 1 e C )．
§8.3一阶线性微分方程的解法
一、线性方程
线性方程、齐次线性方程的解法 非齐次线性方程的解法
一、 一阶微分线性方程
线性方程：
下列方程各是什么类型方程？
方程 dy P(x)y Q(x) dx
叫做一阶线性微分方程．
(1) 3x25x5y0； (2) dy 10xy ；
dx
如果Q(x)0 ，则方程称为齐
R 2 w 2 L2
经过变量代换，某些方程可以化为变量可分离的方程，或化 为已知其求解方法的方程．
例 5 解方程dy 1 ． dx x y
解 令xyu，则原方程化为
du 11 ，即 du u 1 ．
dx u
dx u
分离变量，得
u du dx， u 1
两端积分得 以uxy代入上式，得
一阶微分方程的常见类型及解法
一阶微分方程的解法多样，包括分离变量法、常数变易法、 积分因子法等，灵活运用这些方法可以求解各种类型的一 阶微分方程。
02 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式
一阶线性微分方程的一般形式为：$y' + p(x)y = q(x)$，其中$p(x)$和 $q(x)$是已知函数，且$p(x)$在所考虑的区间上连续。
应用领域
物理学、化学、工程学等领域中的实际问题，如放射性衰变、化学反应速率、电路分析等。
04 一阶常系数线性微分方程 组
一阶常系数线性微分方程组的标准形式
一阶常系数线性微分方程组的一般形式为
$y' + p(x)y = q(x)$，其中$p(x)$和$q(x)$是已知函数，且$p(x)$和$q(x)$的系数是常数。
03
积分因子法：通过构造一个积分因子，将原方程转化为全微分方程，从而简化 求解过程。具体步骤包括：根据方程形式构造积分因子，将原方程两边同乘以 积分因子，得到全微分方程，求解全微分方程得到原方程的通解。
举例与应用
举例
求解一阶常系数线性微分方程组 $y' + 2y = x$。首先写出对应的齐次方程 $y' + 2y = 0$，求出齐次方程的 通解 $y = C_1e^{-2x}$。然后用常数变易法求出非齐次方程的特解 $y = frac{1}{2}x - frac{1}{4}$。最后将
通解和特解相加得到原方程的通解 $y = C_1e^{-2x} + frac{1}{2}x - frac{1}{4}$。
应用
一阶常系数线性微分方程组在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。例如，在电 路分析中，一阶常系数线性微分方程组可以用来描述电路中电压和电流的关系；在经济 学中，一阶常系数线性微分方程组可以用来描述商品价格与供求关系之间的动态变化。
一阶线性微分方程及其解法
一阶线性微分方程及其解法一阶线性微分方程是微分方程中的一类常见问题，其形式可以表达为dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)为已知函数。
解一阶线性微分方程的方法有多种，包括分离变量法、齐次方程法、一致变量法和常数变易法等。
本文将详细介绍这些解法，并通过实例加深理解。
分离变量法是解一阶线性微分方程常用的方法之一。
它的步骤是将方程中的y和x分开，并将含有y的项移到方程的一侧，含有x的项移到另一侧。
例如，对于dy/dx + x*y = x^2，我们可以将方程变形为dy/y = x*dx。
然后对等式两边同时积分，即得到ln|y| = (1/2)x^2 + C，其中C为积分常数。
最后，利用指数函数的性质，我们得到y = Ce^(x^2/2)，其中C为任意常数。
齐次方程法是解一阶线性微分方程的另一种常见方法。
当方程为dy/dx + P(x)y = 0时，我们可以将其转化为dy/y = -P(x)dx的形式。
同样地，对等式两边同时积分，即得到ln|y| = -∫P(x)dx + C，其中C为积分常数。
然后，利用指数函数的性质，我们可以得到y = Ce^(-∫P(x)dx)，其中C为任意常数。
一致变量法是解一阶线性微分方程的另一种有效方法。
当方程可以写成dy/dx + P(x)y = Q(x)y^n时，我们可以通过将方程除以y^n，并引入新的变量z = y^(1-n)来转化为一致变量的形式。
这样，原方程就变成了dz/dx + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x)。
接下来，我们可以使用分离变量法或者其他已知的解法来求解这个方程。
常数变易法是解特殊形式的一阶线性微分方程的方法之一。
当方程为dy/dx + P(x)y = Q(x)e^(∫P(x)dx)时，我们可以通过将y的解表达形式设为y = u(x)*v(x)来解方程。
其中，u(x)为待定函数，而v(x)为一个满足dv(x)/dx = e^(∫P(x)dx)的函数。
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2 dx e x
x 1 x
2
e
2 dx x dx C
e
2 ln x
( x 1)dx C
1 1 C 1 x2 2 x C 2 2 2 x x x
1 由 y x 1 0 得 C , 2 因此方程满足初始条件的特解为
2 P( x) 则通解 x
y Ce
P ( x )dx
2 dx Ce x
Ce Cx
2 ln x 2
（2）一阶线性非齐次微分方程 dy P ( x ) y Q( x ) 1）一般式 dx
2）解法 常数变易法 3）通解公式
ye
Ce
P ( x ) dx
3 (2) ( y ) xy sin( 2 x 1)
(3) y y 2 x 2
(5) y y y x
dy 1 2 ( 4) y sin x dx x
2 (6) y x sin y x 1
解 （1）、（4）是一阶线性的，其余的是非线性的. 2. 一阶线性微分方程的一般式
解 设所求曲线方程为 y f ( x ) , 则依题有y 0, x 0 从而 即 y y 3 x 则通解为 y e
y 3 x y
其中 P ( x ) 1 ,
dx
Q( x ) 3 x
e x 3 xe x dx C e
x x
3 xde
P ( x ) dx [ Q( x )e dx C ]
P ( x )dx
e
P ( x ) dx
P ( x )dx Q( x )e dx
齐次的 通解
非齐次 的特解
4）常数变易法 P ( x )dx 为非齐次线性方程的解，则 设 y u( x )e
1 1 1 y 2 x 2x2
二、一阶线性微分方程的应用
应用微分方程解决实际问题的步骤:
1. 分析问题,设出所求未知函数,确定初始条件。 2. 建立微分方程。 3. 确定方程类型,求其通解. 4. 代入初始条件求特解.
例5 求 过原点平且在点( x,y ) 处的切线斜率等于
3 x y 的曲线方程。
dy P ( x ) y Q( x ) dx 3. 一阶线性微分方程的分类
当 分方程。
(1)
Q( x ) 0 时，方程（1）称为一阶线性齐次微
当
Q( x ) 0 时，方程（1）称为一阶线性非齐次
微分方程。
4.
一阶线性微分方程的解法
（1）一阶线性齐次微分方程 dy P( x) y 0 1）一般式 dx
dx 3 x e dx C
C
e 3( xe
ex e
x
x
3(xe 3(xe
x
x x
e dx) C
ex ) C e
x
x
) C
3(x 1) Ce x
由 y x 0 0 得
k k t t m m g m )C e d ( e C k
k t e m (g
m k
k t em
mg Ce C) k
k t m
由 v t 0 0 得
mg c k
k t mg (1 e m )
因此所求速度与时间的函数关系为
v
k
三、小结 1. 一阶线性齐次微分方程
（1）一般式 （2）通解公式
dy P( x) y 0 dx
y Ce
P ( x )dx
2. 一阶线性非齐次微分方程
（1）一般式 （2）通解公式
dy P ( x ) y Q( x ) dx
ye
P ( x ) dx
P ( x ) dx ( Q( x )e C)
Q( x )
即 u( x )e
P ( x )dx
Q( x )
P ( x ) dx u( x ) Q( x )e
P ( x ) dx u( x ) Q( x )e dx C
通解
ye
P ( x ) dx
P ( x ) dx [ Q( x )e dx C ]
§6.2 一阶线性微分方程
一、 一阶线性微分方程及其解法
二、 一阶线性微分方程的简单应用
三、 小结及作业
一、一阶线性微分方程及其解法
1. 一阶线性微分方程的定义
在微分方程中，若未知函数和未知函数的导数都是一次
的，则称其为一阶线性微分方程。 例1 判下列微分方程是否为一阶线性微分方程：
2 (1) 3 y 2 y x
1 分离变量 y dy P ( x )dx 2）解法 分离变量法 两边积分 ln y P ( x )dx ln C P ( x ) dx y Ce 通解
3）通解公式
y Ce
P ( x )dx
例2 求 y
解
2 y 0 的通解. x
因此所求曲线方程为
C 3,
y 3(e x x 1)
例6 设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力于他下落
的速度成正比(比例系数 k 0) ，起跳时的速度为0， 求下落的速度与时间
t
的函数关系。
解 设速度与时间的函数关系为： v v(t ) ,
则依题有v t 0 0 , 由牛顿第二定律知：
例3
解
1 求 y y x 2 的通解. x
1 P( x) , x
Q( x) x 2 , 则通解为
x
2
y
1 dx e x
e
1 dx x dx C
e
ln x
1 x 3 dx C x 1 3 C x 4 x
x
mg kv ma mv k k v v g 其中 P (t ) , Q( t ) g 即 m m k k dt dt 则通解为 v e m g e m dt C
k t e m
k t g e m dt
y u( x )e
P ( x )dx
u( x )e
P ( x )dx
( P ( x ))
将 y, y 代入原方程有
[u( x )e
P ( x )dx
u( x )e
P ( x )dx
( P ( x ))] P ( x )u( x )e
P ( x )dx
2Leabharlann eln xdx C
例4 求 x dy ( 2 xy x 1)dx 0 满足 y x 1 0 的特解. 解
dy 2 x 1 y , 其中 原方程变形为 2 dx x x 2 x 1 P ( x ) , Q( x ) 则通解为 2 x x
2
y