直线相关分析14-2研

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统计学：生物统计附试验设计考点(三)

统计学：生物统计附试验设计考点（三）1、问答题在什么条件下方差分析之前要作数据转换？常用的数据转换方法有哪几种？各在什么条件下应用？正确答案：分布的非正态性和方差的不同质经常相伴出现，对这类资料不能直接进行方差分析（江南博哥），而因考虑采用非参数方法分析或进行适当数据转换后再作方差分析。

常用的数据转换方法有三种：平方根转换此法适用于各组均方与其平均数之间有某种比例关系的资料，尤其适用于总体呈泊松分布的资料。

对数转换如果各组数据的标准差或全距与其平均数大体成比例，或者效应为相乘性或非相加性。

反正弦转换反正弦转换也称角度转换。

此法适用于如发病率、感染率、病死率、受胎率等服从二项分布的资料2、问答题适合性检验和独立性检验有何区别？正确答案：独立性检验与适合性检验是两种不同的检验方法，主要区别如下：1、研究目的不同：适合性检验是判断实际观察的属性类别分配是否符合已知属性类别分配理论或学说，独立性检验是分析两类因子是相互独立还是彼此相关；2、独立性检验的次数资料是按两因子属性类别进行归组。

根据两因子属性类别数的不同而构成2×2、2×c、r×c列联表（r为行因子的属性类别数，c为列因子的属性类别数）。

而适合性检验只按某一因子的属性类别将如性别、表现型等次数资料归组。

3、适合性检验按已知的属性分类理论或学说计算理论次数。

独立性检验在计算理论次数时没有现成的理论或学说可资利用，理论次数是在两因子相互独立的假设下进行计算。

4、在适合性检验中确定自由度时，只有一个约束条件：各理论次数之和等于各实际次数之和，自由度为属性类别数减1。

而在r×c列联表的独立性检验中，共有rc个理论次数，但受到以下条件的约束：a、rc个理论次数的总和等于个实际次数的总和；b、r个横行中的每一个横行理论次数总和等于该行实际次数的总和。

但由于r个横行实际次数之和的总和应等于rc个实际次数之和，因而独立的行约束条件只有r-1个；c、类似地，独立的列约束条件有c-1个。

14 直线回归分析

关系数与回归系数正负号一致，本例：
r=0.762 ，b=2.11。对于同一样本，相关系数与回归系数的假设检验等价，tb=tr
医学统计学（第二版）
李晓松
对于服从双变量正态分布的同一组资料 bS x r= Sy
用回归可以解释相关：
R SS回 / SS总 r
2
2
医学统计学（第二版）
直线回归分析
医学统计学（第二版）
李晓松
主要内容

直线回归方程的建立
直线回归的统计推断

直线回归需注意的问题
直线回归与直线相关的联系与区别
医学统计学（第二版）
李晓松
直线回归方程的建立
医学统计学（第二版）
李晓松
直线回归概念
直线回归(Linear Regression)用来研究两个变量之间数量上的线性依存关系。
1. 描述Y对X依存变化的数量关系 2. 预测：由自变量X估算应变量Y。
3. 用容易测量的指标估计不易测量的指标
医学统计学（第二版）
李晓松
直线回归与直线相关分析的联系与区别
医学统计学（第二版）
李晓松
联系
对于服从双变量正态分布的同一组数据，既
可作直线相关分析又可作直线回归分析，相
2 2 ˆ ˆ ( y y ) ( y y ) ( y y) 2
即：
SS总 SS回 SS残
医学统计学（第二版）
李晓松
SS回：回归平方和。在Y的总变异中，有一部分是由X值的不同导致的不同而引起的，反映在Y的总变异中回归可以解释的部分。SS回越大，回归效果越好。 SS 剩：剩余平方和。扣除回归后剩下的变异 2 ˆ SS 回 (Y Y ) Y 的随机误差。部分，解释为考虑回归之后 SS剩越小，直线回归的估计误差越小。

卫生统计学两变量关联性分析

二、相关系数的意义及计算
直线相关系数又称Pearson积矩相关系数，是用以定量描述两个变量间直线关系密切程度和相关方向的统计指标。
N
(x x)(y y)
i1
, 为总体相关系数
N
N
(x x)2(y y)2
i1
i1
.
13
在实际工作中，我们常常只能获得样本的信息或有关
r 数据，据此我们只能计算样本相关系数，记为。
.
21
(二) 采用t 检验，实际应用中使用得比较普遍
r0 tr Sr 其中,Sr为样本相关系数r的标准误
Sr
1 r2 n2
H0成立时，tr服从自由度为 n 2的t分布
.
22
例3 在例2算得r=0.875后，试检验相关是否有统计学意义。
①. 建立假设 H0：ρ=0 H1：ρ≠0
②. 确定检验水准 α=0.05
1 1
0.6574
ρ的上限：r
e2z e2z
1 1
e ( 21.9198 ) e ( 21.9198 )
1 1
0.9579
故体重与双肾体积总体相关系数的95%置信区间为 (0.6574,0.9579)
.
28
四、线性相关应用中应注意的问题
1. 样本的相关系数接近零并不意味着两变量间一定无相关性。通常应先绘出样本值的散点图，利用散点图可直观地判断两变量之间是否具有线性联系。
Cramer V系数和Pearson列联系数来度量。
2
n
V 2 , k min(R,C)
n(k 1)
Pearson列联系数r
2 2 n
.
44
这三个系数值越接近于0，说明两个分类变量之间几乎

第14章思考与练习

第十四章直线回归分析【思考与习题】一、思考题1．试述建立直线回归方程的步骤以及散点图的作用。

2．如何将方差分析运用于回归系数的假设检验简述其思想。

3．简述直线相关和直线回归的区别与联系。

4．对回归系数进行假设检验可以采用哪些方法二、案例辨析题某研究采用火箭电泳法对已知浓度的标准血清进行测量，其免疫球蛋白IgA 浓度(μg/ml)和火箭电泳高度(mm)如表14-1所示。

研究者据此数据建立直线回归方程，用于测定未知样品血清中的IgA 浓度，以上分析正确吗~表14-1 标准品的IgA 浓度(μg/ml)和火箭电泳高度(mm)】采用最小二乘法建立直线回归方程，得到ˆ 5.335 1.599yx =+，经假设检验得001.0<P ，故此回归方程可用于测定未知样品血清中的IgA 含量。

标准品的IgA 浓度 x火箭电泳高度 y…。

三、最佳选择题 |1. 对于一组服从双变量正态分布的资料，经直线相关分析得相关系数0r >，若对该资料拟合回归直线，其回归系数 A ．0b > B ．0b < C ．0b = D ．11b -<< E ．1>b2. 一组服从双变量正态分布的资料，经直线相关分析得相关系数1r =-，则有 A ．SS =残总SS B ．SS SS =残回 C ．SS SS =总回【D ．回残MS MS =E ．回总MS MS =3．直线回归中x 与y 的标准差相等时，则有 A ．b a = B ．b r =C ．1b =D ．1r =E ．1a =4．若直线回归系数0b =，则一定有 A ．截距等于0 @B ．截距等于yC ．SS 残等于0D ．SS 总等于0E ．SS 残等于SS 回5．两组服从双变量正态分布的资料，若两样本12b b =，12n n >，则有A ．12r r >B ．12b b t t =C ．12r r >D ．11b r t t =E ．12r r t t =]6．最小二乘法的原理是各观测点A ．距回归直线的纵向距离相等B ．距回归直线的纵向距离平方和最小C ．距回归直线的垂直距离相等D ．距回归直线的垂直距离平方和最小E ．距回归直线的纵向距离最小7．直线回归分析中，按直线方程ˆ0.0040.0588yx =+，代入两点绘制回归直线，以下选项中正确的是A ．所有实测点都应在回归直线上B ．所绘回归直线必过点(,)x yC ．回归直线必过原点-D ．x 的取值范围为[1,1]-E ．实测值与估计值之差的平方和必小于零8．同一资料进行直线回归与直线相关分析时，下列说法正确的是 A ．0ρ=时，则0r = B ．||0r >时，则0b >C ．0r <时，则0b >D ．0r <时，则0b <E ．||1b ≤四、综合分析题 ~1. 为了研究女大学生胸围(cm)与肺活量(L)的关系，随机抽取某高校一年级女生15名，测量其胸围与肺活量数据如表14-2所示。

直线相关与回归分析

三、回归分析之作用： 1、可以找到关键少数“x” 2、可以对“y”进行预测 3、可以对“y”进行优化 4、可确定如何设置“x”以达到优化y的目的
四、直线回归－－是用直线回归方程表示两个数量变量间依存关系的统计分析方法，属双变量分析的范畴。
五、回归关系的检验
又称回归方程的检验，其目的是检验求得的回归方程在总体中是否成立，即是否样本代表的总体也有直线回归关系。方法有以下两种： 1、方差分析－－其基本思想是将总变异分解为 SS回归和SS剩余，然后利用F检验来判断回归方程是ห้องสมุดไป่ตู้成立。 2、t检验－－其基本思想是利用样本回归系数b 与总体均数回归系数进行比较来判断回归方程是否成立，实际应用中因为回归系数b的检验过程较为复杂,而相关系数r的检验过程简单并与之等价,故一般用相关系数r的检验来代替回归系数b的检验。
九、案例分析某公司测得其产品厚度（X）与抗击力（Y）的关系有如下数据：
请判定X，Y之间线性关系是否显著？
解：
2、计算－－相关系数是x,Y的离均差积和lxy除以X的离均差平方和lxx与Y的离均差平方和lyy之积的算术平方根的商。故此相关系数又被称为积差相关系数。
3、相关关系的检验标准因变量y与自变量x之间是否存在相关关系，在求回归方程的过程中并不能回答，因为对任何无规律的试验点，均可配出一条线，使该线离各点的误差最小。为检查所配出的回归方程有无实际意义，可以用相关关系，或称相关系数检验法。在实际应用中，判断r值与1接近到何程度时，才认为x与y是相关的，或者说，所配出的回归方程才是有意义的，需要对照相关系数临界值表来判断，当计算的相关系数r的绝对值大于表中显著性水平为 0.05和相应的自由度f=n-2下的临界值r0.05,f时，则表示y与x是显著相关的。如显著性水平取0.01，r计算＞ r0.01,f时，则表示y与x有非常显著的相关关系。

直线相关和回归分析

第二节直线回归
一、线性回归的概念
目的：
在因变量Y和自变量X之间建立一个数学模型，根据这个模型可以根据自变量的变动预测因变量的变动。
区别于函数关系和统计关系
❖函数关系：两变量的数量表现在一定条件下是完全确定的。
如：圆的面积和半径的关系S r2
❖统计关系（相关关系）：两变量的数量表现尽管存在着密切关系，但却不是完全确定的。如：成本和利润的关系
简单线性回归模型
样本线性回归方程
Yˆ a bX
Yˆ 为给定X 时Y 的估计值。
a 为回归直线在 Y 轴上的截距
即x 取0时，y 的平均估计值
➢ a >0，表示直线与纵轴的交点在原点的上方 ➢ a < 0，则交点在原点的下方 ➢ a = 0，则回归直线通过原点
b为回归系数，即直线的斜率
➢ b>0，直线从左下方走向右上方，Y 随 X 增大
16
0.206
0.317 0.400 0.468 0.542 0.590 0.631 0.678
17
0.197
0.308 0.389 0.456 0.529 0.575.378 0.444 0.515 0.561 0.602 0.648
…
…
…
…
…
…
而增大
➢ b<0，直线从左上方走向右下方，Y 随 X 增大
而减小
➢ b=0，表示直线与 X 轴平行，X 与Y 无直线关
系
b 的统计学意义是：X 每增加(减)一个单位，Yˆ
平均改变b个单位
建立线性回归模型的步骤
1、确定研究的问题
2、设样本回归模型(如: Y a )bx
3、搜集样本资料(数据资料) 4、估计未知参数(计算统计量) 5、得到样本回归方程 6、用模型预测因变量

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r 范围：大小：符号：
8
2、计算
r x x y y x x
2
y y
2

l xy l xx l yy
l xy
x y x x y y xy n
9
例9-5 ：某医师测量了15名正常成年人的体重（kg）与 CT双肾总体积（ml）大小，数据如表9-3所示。据此回答两变量是否有关联？其方向与密切程度如何？
图1 16名中年女性体重指数和收缩压的散点图
4
一、直线相关的概念
直线相关分析: 描述两变量间是否有直线关系以及直线关系的方向和密切程度的分析方法条件：两变量（x,y）都是来自正态分布的随机变量－－双变量正态分布资料
5
正相关
0< r <1
正相关
负相关
-1< r <0
负相关
完全正相关
22
直线相关与直线回归的区别与联系
联系：1.r与b正负号一致； 2.r与b的假设检验等价； 3.r=bsx/sy； 4.可用回归解释相关。决定系数：回归平方和与总平方和之比。 R2=SS回/SS总反映了回归贡献的相对程度，也就是在Y的总变异中回归关系所能解释的百分比。
23
区别：1. 相关说明相关关系，回归说明依存关系；
总体相关系数的95%CI：
（0.6584~0.9579）
20
四、决定系数决定系数：回归平方和与总平方和之比。 R2=SS回/SS总反映了回归贡献的相对程度，也就是在
Y的总变异中回归关系所能解释的百分比。
21
五
直线回归与相关应用的注意事项
1.根据分析目的选择变量及统计方法 2.进行相关、回归分析前要先绘制散点图 3.用残差图考察数据是否符合模型应用条件 4.结果的解释及正确应用
2、总体分布未知
3、数据一端或两端有不确定值的资料 4、等级资料常用的有：Spearman等级相关
26
练习题P174
27
1
例：为研究中年女性体重指数和收缩压之
间的关系，随机测量了16名40岁以上女性
的体重指数和收缩压，见表1。
2
表1 16名中年女性的体重指数(kg/m2)和收缩压(kPa）
编号体重指数收缩压 (1) 1 2 3 4 … （2 ） 2.86 3.41 3.62 3.20 … （3 ） 18.00 18.93 20.00 17.60 … X2 （4 ） 8.1796 11.6281 13.1044 10.2400 … Y2 （5 ） 324.0000 358.3449 400.0000 309.7600 … XY （6 ） 51.4800 64.5513 72.4000 56.3200 …
计算：
lxx=2555.733
lyy=20270.495 lxy=6301.038
r = …=0.8754
10
SPSS的应用:相关分析
analyze→correlate
→bivariate correlations:
variable: x y correlation coefficients: pearson →ok
H0 ：=0 即CT双肾总体积与体重之间无直线相关关系 H1 ： ≠0即CT双肾总体积与体重之间有直线相关关系 =0.05
14
（2）计算检验统计量 r=0.8754, n=15, 代入公式计算得
t=…=6.53
（3）查t界值表，确定P值，下结论根据=15-2=13查t界值表得 P < 0.001 ，按
=0.05的检验水准，拒绝H0，接受H1 ，可认
为CT双肾总体积与体重之间存在正相关。
15
2、查表法根据r值及=n-2查P719附表13相关系数r
界值表确定P值
r=0.8754，=13，查r界值表得P<0.001，按 =0.05的检验水准，拒绝H0，接受H1 ，可认为CT双肾总体积与体重之间存在正相关。
2. r与b的意义不同：…；
3. 资料要求不同：相关要求X、Y服从双变量正态分布，回归要求Y在给定某个X
值时服从正态分布，X是可以精确测量和严
格控制的变量；
24
区别：4. 计算不同：…； 5. 取值范围不同：…； 6. 单位：r没有单位，b有单位。
25
第三节秩相关/等级相关非参数统计方法适用条件: 1、资料不是双正态变量
完全负相关
r =1
r = -1
直线相关示意图
6
零相关：非线性相关
零相关r = 0
零相关r = 0
零相关r = 0
非线性相关r = 0
7
二、相关系数的意义及计算
1、相关系数：
又称积差相关系数或Pearson积差相关系数，
简称相关系数，用以描述两个随机变量间线性
相关关系的密切程度与相关方向的统计指标。
间
r=0.8754 1 1 r Z=tanh r= ln 1.3557 2 1 r
-1
19
Z u / 2 / n 3 1.3557 1.96 / 15 3 (0.7899,1.9215)
e 1 r tanh Z 2 z e 1
2z
tanh0.7899 ~ tanh1.9215=0.6584 ~ 0.9579
11
三、相关系数的统计推断（一）相关系数的假设检验 t检验法
查表法
12
相关系数的假设检验 1、t检验法
0 r t
r
2 r 1
sr
=n-2
n2
13
例9-6：根据体重与CT双肾总体积的相关系数 r=0.8754，检验两变量之间是否有直线相关关系？（1）建立假设，确定检验水准
15 16
合计
3.33 3.76
56.50
19.87 21.07
11.0889 14.1376
394.8169 443.9449
66.1671 79.2232
314.68 202.1506 6240.7690 11P a ）
25 20 15 10 2.5 3 3.5 4 4.5 体重指数（kg/m 2 ）
16
（二）总体相关系数的可信区间
r：呈非正态分布
作正态变换：
Z=tanh
-1
r 或
1 1 r Z ln 2 1 r
17
Z的总体均数的1-α可信区间：
Z u / 2 / n 3
r=tanh Z 或
e 1 r 2z e 1
2z
18
例9-7、根据体重与CT双肾总体积的相关系数r=0.8754，求总体相关系数的95%可信区