二阶微分方程
二阶微分
二阶微分方程
是线性非齐次方程的解， 这说明函数 y = Y + y* 是线性非齐次方程的解， 是二阶线性齐次方程的通解， 又 Y 是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常 数，故 y = Y + y* 中含有两个任意常数 即 y = Y + y* 中含有两个任意常数. 的通解. 是线性非齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = f (x) 的通解 ″ ′ 求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为： 求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为： (1) 求线性齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = 0 的线性 ) ″ ′ 无关的两个特解 y1 与 y2， 得该方程的通解 Y=C1 y1 + C2 y2. (2) 求线性非齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = f (x) 的 ) ″ ′ 一个特解 y*. 那么，线性非齐次方程的通解为 y = Y + y*. 那么，
1.二阶常系数线性齐次方程的解法 .
④ 考虑到左边 p，q 均为常数， 我们可以猜想该方程 ， 均为常数， ′ 形式的解， 为待定常数. 具有 y = erx 形式的解，其中 r 为待定常数 将 y′ = 代入上式， rerx, y″ = r2erx 及 y = erx 代入上式，得 ″ erx (r2 + pr + q) = 0 . ⑤ rx 是上述一元二次方程的根时， 即 r 是上述一元二次方程的根时， y = e 就是 式的解. 方程⑤称为方程④ 特征方程. ④式的解 方程⑤称为方程④的特征方程 特征方 程的根称为特征根 特征根. 程的根称为特征根 由于e 由于 rx ≠ 0，因此，只要 r 满足方程 ，因此， r2 + pr + q = 0， ， 设二阶常系数线性齐次方程为 y″ + py′ + qy = 0 . ″ ′
二阶线性微分方程解的结构
成立，则称这 n 个函数在区间Ｉ上线性相关，否则称为线性无关．
1.1 二阶齐次线性微分方程解的结构
例 1 讨论下列函数的线性相关性： （1）1，cos2 x ，sin2 x ；
（2）1，x ，x2 ．
证明 （1）因为 xR ，只需取 k1 1，k2 k3 1，就有 1 cos2 x sin2 x 0 ，
推论 1 设 y1(x) ，y2 (x) ， ，yn (x) 是 n 阶线性方程（5-24）的 n 个线性无关的解， 则此方程的通解为
y C1 y1 C2 y2 其中， C1 ，C2 ， ，Cn 为任意常数．
Cn yn ，
1.2 二阶非齐次线性微分方程解的结构
通过前面所学可知一阶非齐次线性方程的通解由两部分叠加而成，即对应的齐次 方程的通解，加上非齐次方程本身的一个特解．那么，对于二阶以及二阶以上的非齐 次线性方程，是否也有类似的结论呢？下面的定理可以给出答案．
高等数学
二阶线性微分方程解的结构
定义 1 形如
y p(x)y q(x)y f (x)
（5-22）
的微分方程称为二阶线性微分方程．其中 p(x) ，q(x) ，f (x) 为定义在某区间 I 上的连续
函数，若 f (x) 0 ，则称方程是非齐次方程，若 f (x) 0 ，则方程（5-22）变为
[Y p(x)Y q(x)Y ] [ y p(x) y q(x) y] 0 f (x) f (x) ， 故 y Y (x) y(x) 是方程（5-22）的解，且 Y (x) 中含有 2 个独立的任意常数，故 y 是 方程（5-22）的通解．
1.2 二阶非齐次线性微分方程解的结构
二阶微分方程解法
二阶微分方程解法
1.二阶常系数齐次线性微分方程解法
一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程r2+pr+q=0。
特征方程
r2+pr+q=0的两根为r1,r2微分方程y”+py’+qy=0的通解。
两个不相等的实根r1,r2，y=C1er1x+C2er2x。
两个相等的实根r1=r2，y=(C1+C2x)er1x。
一对共轭复根r1=α+iβ,r2=α-iβ，
y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)。
2.二阶常系数非齐次线性微分方程解法
一般形式:y”+py’+qy=f(x)。
先求y”+py’+qy=0的通解
y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x)。
则
y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解。
求
y”+py’+qy=f(x)特解的方法:
①f(x)=Pm(x)eλx型。
令y*=xkQm(x)eλx［k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Qm(x)的m+1个系数。
②f(x)=eλx［Pｌ(x)cosωx+Pn(x)sinωx］型。
令y*=xkeλx ［Qm(x)cosωx+Rm(x)sinωx］［m=max﹛ｌ,n﹜,k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Qm(x)和Rm(x)的m+1个系数。
二阶微分方程
Qm " x 2r p Qm ' x r +pr q Qm x Pm x .
2
两边同次项系数相等确定.
21
(2) 若 r 是特征方程的单根, 则
r pr q 0, 2r p 0.
2
如果 Q (x) 为 m 次多项式， 则特解形式为
y* xQm x e .
rx
其中的 m + 1 个系数可由方程
xQm x " 2r p xQm x ' Pm x .
两边同次项系数相等确定.
22
(3) 若 r 是特征方程的重根, 则
r pr q 0, 2r p 0.
y ' P y ，则有： y '' P y P ' y .
原方程变为：
yP ' P ；易得其解为 P y C1 y .
C1 x
从而有：
y ' C1 y y C2e
.
5
二阶线性微分方程
如果微分方程中未知函数及其一阶、二阶导数都
是一次的, 则称为二阶线性微分方程.
下面根据特征根的情况进行讨论.
1. 判别式
p 4q 0, 方程有两个不同实根.
2
p 1 x 2 x 1 , 2 . y1 e , y2 e . 2
方程的通解为： y C1e1x C2e2 x .
14
2. 判别式
0, 方程有两个相等实根.
方程的通解为： y C1e
1x
1x
2 x
C2e
二阶微分方程(PPT课件)
积分，得
例2
dy 2 f ( y )dy C1
x C2 .
求单摆运动微分方程
d 2 g sin 0 2 dt l
的通解.
解
g f ( ) sin l
代入上面的公式，得
6
5.3 二阶微分方程（92）
积分得
d g C1 2 sin d l d g C1 2 cos l
C1e x C2 x 2 3.
5.3 二阶微分方程（92） 19
课堂练习题
一、求下列各微分方程的通解:
2 x 1、 y xe ；
1 x y y x e 2、 ； x
3、 y ( y ) y ；
3
2 2 y 0. 4、 y 1 y
与地球中心的距离为 l ( R),
5.3 二阶微分方程（92）
dy 设物体的位置函数 y y( t ) ，速度 v ( t ) dt
根据万有引力定律，得 微分方程：
d2 y kmM d2 y kM m 2 2 , 即 2 . 2 dt y dt y
M为地球的质量， k为引力常数 .初始条件为 y |t 0 l , y |t 0 0.
dy p g( x , C1 ) dx
求其反函数，得 积分，得
y g( x, C1 )dx C2 .
5.3 二阶微分方程（92） 8
若 ( p) x C1 的反函数不易求出，两边对 y 求导得:
dp 1 ( p ) , dy p 分离变量并求积分，得
y p ( p)dp C2 .
y T M H A
gs
dp 1 1 p2 , dx a dp x 1 p2 a C1 ,
二阶微分方程
25
函数的线性相关性：设 y1 , y2 ,, yn为定义在
区间 I 内的n个函数．如果存在n个不全为零的
常数，使得当 x在该区间内有恒等式成立
k1 y1 k2 y2 kn yn 0，
那么称这n个函数在区间 I 内线性相关．否则
称线性无关. 例如 当x (, )时，
e x，e x , e2 x
15
例 5 求方程 yy y2 0的通解.
解 将方程写成 d ( yy) 0,
dx
故有 yy C1, 即 ydy C1dx, 积分后得通解 y2 C1x C2.
注意: 这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程.
5.3 二阶微分方程（92）
16
5.3.5 小结与思考题1
解法 通过代换将其化成较低阶方程求解.
5.3.1 可降阶的二阶微分方程
1、形如 y f ( x) 的二阶微分方程
例 1 求解自由落体运动微分方程
d2s dt 2
g,
s |t0 s0 ,
s |t0 v0 ,
其中 g 为重力加速度.
解 对原方程作一次不定积分，得
5.3 二阶微分方程（92）
3
ds
dt gdt gt C1,
P(x) dx
Q(x) y
0
二阶线性非齐次微分方程的标准形式
（1）
d2 y dx2
P(
x)
dy dx
Q(
x)
y
f (x)
（2）
5.3 二阶微分方程（92）
23
即，二阶线性微分方程
d2 y dx2
P(
x)
dy dx
Q(
x)
y
f (x)
当 f ( x) 0时， 二阶线性齐次微分方程；
二阶微分方程求解
二阶微分方程求解
二阶线性微分方程是指未知函数及其一阶、二阶导数都是一次方的二阶方程，简单称为二阶线性方程。
二阶线性微分方程的求解方式分为两类，一是二阶线性齐次微分方程，二是线性非齐次微分方程。
如果一个二阶方程中，未知函数及其一阶、二阶导数都是一次方的，就称它为二阶线性微分方程，简单称为二阶线性方程。
二阶线性微分方程的解方式分成两类，一就是二阶线性齐次微分方程，二就是线性非齐次微分方程。
前者主要就是使用特征方程解，后者在对应的齐次方程的吉龙德上加之直和即为非齐次方程的吉龙德。
齐次和非齐次的微分方程的吉龙德都涵盖一切的求解。
二阶线性微分方程定义：y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f ( x ) 方程称作二阶线性微分方程
当 f ( x ) = 0 恒成立时，称该方程为二阶线性齐次方程；
当 f ( x ) ≠ 0 指该方程为二阶线性非齐次方程。
定理：若 y 1 ， y 2 是二阶线性齐次方程y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = 0 的解，则 y = c 1 y 1 + c 2 y 2 （ c 1 , （c1，c 2 ∈ r ) 仍
是它的解。
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二阶微分方程
二阶微分方程作为微积分中的一种常用形式，它的求解方法十分重要。
本
文将围绕二阶微分方程的基本定义、求解方法及其应用展开讲述。
一、二阶微分方程的基本定义及形式
二阶微分方程指的是形如 $y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)$ 的微分方程。
其中
$y$ 表示一个未知函数，$P(x)$ 和$Q(x)$ 是已知函数，$f(x)$ 是已知的函数。
二阶微分方程中的 $y''$ 表示未知函数 $y$ 的二阶导数，$y'$ 表示 $y$ 的一阶导数。
$P(x)$ 和 $Q(x)$ 是已知函数，它们可能包含 $x$ 或 $y$，甚至二
者的组合。
$f(x)$ 是已知的函数，它是一个关于 $x$ 的函数，通常是我们要寻求的解函数。
二阶微分方程是高阶微分方程的一个特例。
如果方程中只包含 $y''$ 与 $y$，则称为二阶常系数齐次微分方程。
二阶微分方程的一些常见形式：
1. $y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)$，这是二阶非齐次线性微分方程的一般形式。
2. $y''+w(x)y=0$，这是二阶齐次线性微分方程的一般形式。
3. $y''-c^2y=0$，这是二阶常系数齐次微分方程的一般形式，其中 $c$ 是常数。
二、二阶微分方程的求解方法
1. 变量分离法
当二阶微分方程形如 $y''=f(x)$ 时，我们可以用变量分离法求解。
首先将
方程两边同时积分得到 $y'=F(x)+C_1$，再次积分得到
$y=\\int[F(x)+C_1]dx+C_2$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 分别是积分常数。
2. 特征方程法
对于形如 $y''+ay'+by=0$ 的二阶常系数齐次微分方程，我们可以采用特
征方程法求解。
首先设 $y=e^{mx}$，代入方程得到 $m^2+am+b=0$，这就是所谓的特征方程。
根据特征方程的根的情况，我们可以得到$y$ 的通解形式。
3. 常数变易法
当我们已知二阶微分方程的一个特解 $y_1(x)$ 时，可以采用常数变易法进一步求得方程的通解。
具体地，在方程 $y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)$ 中，设
$y_1$ 是非齐次方程的一个特解，设 $y=y_1+v(x)$，代入方程得到
$v''+P(x)v'+Q(x)v=0$。
这是一个齐次线性微分方程，可以按照齐次线性微分方程所采用的方法求解。
三、二阶微分方程的应用
二阶微分方程在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
以下是一些例子：
1. 机械振动问题
机械振动是一个典型的二阶微分方程应用问题。
例如，对于依靠重力作用下垂直运动的弹簧振子，我们有 $y''+ky=0$。
其中 $k$ 是弹簧的劲度系数，$y$ 是弹簧位移的函数。
2. 电路问题
电路模型可以建模成二阶微分方程。
例如，单元电容与电感的串联电路模型可以表示成 $L\\frac{d^2i}{dt^2}+R\\frac{di}{dt}+\\frac{1}{C}=0$，其中$L$ 是电感、$R$ 是电阻、$C$ 是电容。
3. 经济学问题
经济学中的一些问题也可以用二阶微分方程来描述。
例如，一个消费者对某种商品的需求 $D$ 可以表示成 $D=a-bP''$。
总的来说，二阶微分方程是微积分学中的一个重要概念，其求解方法涉及到多种经典数学工具。
在实际应用中，它被广泛地引入到物理学、工程学、经济学等领域，成为分析和描述自然界和社会现象的重要数学工具之一。