一元四次方程求根公式
冀教版-数学-七年级上册-了解一元三次和一元四次方程的解法
了解一元三次和一元四次方程的解法塔塔利亚发现的一元三次方程的解法一元三次方程的一般形式是 x3+sx2+tx+u=0，如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消去。
所以我们只要考虑形如x3=px+q的三次方程。
假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。
代入方程，我们就有a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q 整理得a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时3ab+p=0。
这样上式就成为 a3-b3=q，两边各乘以27a3，就得到 27a6-27a3b3=27qa3，由p=-3ab可知27a6 + p = 27qa3。
这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。
进而可解出b和根x。
费拉里与一元四次方程的解法卡当在《重要的艺术》一书中公布了塔塔利亚发现的一元三次方程求根公式之后，塔塔利亚谴责卡当背信弃义，提出要与卡当进行辩论与比赛。
这场辩论与比赛在米兰市的教堂进行，代表卡当出场的是卡当的学生费拉里。
费拉里(Ferrari L.，1522~1565)出身贫苦，少年时代曾作为卡当的仆人。
卡当的数学研究引起了他对数学的热爱，当其数学才能被卡当发现后，卡当就收他作了学生。
费拉里代替卡当与塔塔利亚辩论并比赛时，风华正茂，他不仅掌握了一元三次方程的解法，而且掌握了一元四次方程的解法，因而在辩论与比赛中取得了胜利，并由此当上了波伦亚大学的数学教授。
一元四次方程的求解方法，是受一元三次方程求解方法的启发而得到的。
一元三次方程是在进行了巧妙的换元之后，把问题归结成了一元二次方程从而得解的。
于是，如果能够巧妙地把一元四次方程转化为一元三次方程或一元二次方程，就可以利用已知的公式求解了。
费拉里的方法是这样的：方程两边同时除以最高次项的系数可得4320x bx cx dx e++++= (1)移项可得432x bx cx dx e+=--- (2)两边同时加上21()2bx，可将（2）式左边配成完全平方，方程成为222211()()24x bx b c x dx e +=--- (3)在（3）式两边同时加上2211()24x bx y y ++ 可得 2211[()]22x bx y ++222111()()424b c y x by d x y e =-++-+- (4)（4）式中的y 是一个参数。
求根公式原理
求根公式原理
《求根公式原理》
一、定义
求根公式是一种常见的数学方法，用以求出满足某一方程的根。
二、原理
求根公式原理是基于特定方程形式，给定一定的参数，可以求出该方程的一个、两个或者多个根的概念。
当特定方程有多个根时，求根公式就可以迅速求出所有根的值。
三、具体例子
以一元二次方程为例，其公式为ax+bx+c=0，其中a、b和c为实数，则其一般根式为：
x1= [-b + √(b2-4ac)] / 2a
x2= [-b - √(b2-4ac)] / 2a
当b2-4ac=0时，则有一个根：
x1=x2= -b / 2a
四、应用
求根公式在数学中有着广泛的应用。
它可以用来求解各种不同形式的方程，包括一元一次方程、一元二次方程、二元二次方程等。
此外，求根公式也可以应用于计算复数的根。
一元四次方程求根公式
(12)
(13)
1 2 2 1 上式两边再加上 x bx y y ，可得 2 4 1 1 2 2 1 2 1 1 2 x bx y b c y x by d x y e 2 2 4 2 4
验证代码如下 std::complex<double> std::complex<double> std::complex<double> std::complex<double> std::complex<double> std::complex<double> std::complex<double> std::complex<double>
2
第1章
一元四次方程求根公式
{ double r = _hypot(x.real(),x.imag()); //模 if(r > 0.0) {//模不为零时，开方 double a = atan2(x.imag(),x.real()); //辐角 n = 1.0 / n; r = pow(r,n); a *= n; return std::complex<double>(r * cos(a),r * sin(a)); } return std::complex<double>(); //模为零时，返回零 } /***************************************************************\ 求解一元四次方程 a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + d*x + e = 0 \***************************************************************/ void Quartic(std::complex<double> x[3] ,std::complex<double> a ,std::complex<double> b ,std::complex<double> c ,std::complex<double> d ,std::complex<double> e) { a = 1.0 / a; b *= a; c *= a; d *= a; e *= a; std::complex<double> p = - 768.0 * e * e * e + 576.0 * b * d * e * e + 384.0 * c * c * e * e - 432.0 * c * d * d * e + 81.0 * d * d * d * d - 432.0 * b * b * c * e * e + 18.0 * b * b * d * d * e + 240.0 * b * c * c * d * e - 54.0 * b * c * d * d * d - 48.0 * c * c * c * c * e + 12.0 * c * c * c * d * d + 81.0 * b * b * b * b * e * e - 54.0 * b * b * b * c * d * e + 12.0 * b * b * b * d * d * d + 12.0 * b * b * c * c * c * e - 3.0 * b * b * c * c * d * d
一元四次方程-16.04.05
b m
4
2
8 y n 8 y n 8 y n 8 y n (22)
b m
4
2
b m
4
2
b m
4
2
写成通解形式就是
b 1
k 2
xk
m 1
k 1
k 2 k 2 b 1 m 8 y 1 n 4
费拉里法 .............................................................................................................1
求根公式（四次项系数为一） .........................................................................6 求根公式（四次项系数不为零） .....................................................................7 求根公式（维基百科） .....................................................................................8 求根公式（MATLAB） .....................................................................................8
上式右端是一个关于 x 的一元二次方程，当 1 1 1 by d 4 b 2 c y y 2 e 2 4 4
一元四次方程的求根公式--黄之
一元四次方程的根式解上海 黄之关于代数方程的求根公式的历史，本文就不多说了，四次方程的求根公式应该属于费拉里的。
一，首先，想重复一次三次方程的求根公式，即d cx bx x x g +++=23)(的零点，首先将g(x)写成：)3272()3)(3()3()(323d bc b b x c b b x x g +-+++-++= 在形式上，使二次项消失。
然后令c b p +-=32,d bc b q +-=32723,23)2()3(q p +=∆, 计算后可得：d b c b bcd d c 3222327110816141271+--+=∆ 则有：2,1,0,223332332=∆--+∆+-+-=-k q e q e b x k i k i ππ 若方程系数都为实数，则0>∆时g(x)有一个实零点和一对共轭虚零点，当0=∆时，g(x)有一个重根，当0<∆时，g(x)有三个不相等的实零点：2,1,0,32cos 323=+-+-=k k p b x πθ 其中))3(2(cos 31p q--=-θ 也许值得一提的是，实系数方程023=+++d cx bx x 的根全部都是实数的充分必要条件是： 02711081614127132223≤+--+d b c b bcd d c 这表明，三个实数r,s,t ，则关于复数321,,x x x 的方程组：321133221321,,x x x t x x x x x x s x x x r =++=++=的解321,,x x x 都是实数的等价条件为：0418********≤+--+t r s r rst t s上式等号成立，等价于321,,x x x 中有某两个数相等.二，现在开始考虑四次方程的求根公式.首先考虑缺三次项的四次方程. 即024=+++e dx cx x 的根，将方程变形，引入一个参数y ：)41()(4122224e y dx x c y y yx x -+--=++ ○1 上式左边是一个平方式，期待右边也是平方式，故而需要：0)4)((22=---e y c y d上述关于y 的方程即：0)4(4223=-+--d ec ey cy y ，以本文开头的三次方程的求根公式解之，令23232)2()3(,38272,431q p d ec c q e c p +=∆-+-=--=，此时还不需要去简化.则得到（只需要取该关于y 的方程的一个实根即可，事实上任何一个根都可以.）： 2,1,0,223332332=∆--+∆+-+=-k q e q e c y k i k i ππ将上面的其中一个y 代入○1，即得到： 222))(2)(()21(c y d x c y y x ---=+ 则原方程可以化为两个二次方程：0)221(2=-+-±cy d y x c y x 由此，可以得到024=+++e dx cx x 的根： 222,1cy d c y c y x -+--±--= 224,3c y dc y c y x ----±-=三，那么最后，来考虑e dx cx bx x x f ++++=234)(的零点，先将f(x)写成：)411612563()4)(2181()4)(83()4()(243224e bd c b b b x d bc b b x c b b x x f +-+-+++-+++-++= 形式上使三次项消失，这可以通过考虑f(x)在某个待定点附近的泰勒展开式做到. 用刚才缺三次项的四次方程的求根公式解之，令：)411612563(4)83(312422e bd c b b c b p +-+--+--=2322432)2181()83)(411612563(38)83(272d bc b c b e bd c b b c b q +--+-+-+-++--=简化上述p,q 的表达式：e bd c p 4312-+-= 2322723831d c ec bcd e b q --++-= 而23)2()3(q p +=∆,其对应的y 为：2,1,0,2231813323322=∆--+∆+-++-=-k q e q e c b y k i k i ππ 事实上只需要取一个实值的y 即可.然后由第二段的缺三次项的四次方程的求根公式就得到最后的解，为了表达简洁，再令： 2,1,0,22332332=∆--+∆+-=-k q e q e t k i k i ππ（只需要取实值，事实上都可以，只需要取其中一个.）t c b s +-=32412 t c b r --=34212 故而e dx cx bx x x f ++++=234)(的四个零点是： 4224132,1b s d bc b r s x -+-+±-= 4224134,3b s d bc b r s x -+--±=可得：224321b s x x bs x x -=+--=+，而从整个过程不难讨论f(x)的零点情况，不再继续.四，事实上在第一段中，把三次方程归结为了形式：03=++q px x ，在这种情况下，只需作变换：zp z x 3-=即可将其归结到二次方程，所以得到第一段的解法. 提出一些问题供练习:1， 求出一个等腰三角形，使得它三个内角的正弦值之和等于它们的余弦值之和.2， 实数x 满足31≤≤-x ，当x 取什么值的时候，函数x x x x f -++++=321)(达到最大值？3，证明：2,1,0),32)1413(cos cos(37671=+-+-k k π，包含了以下三个数： 78sin ,74sin ,72sin πππ 4，证明：1910cos 196cos 194cos )3)1927(cos cos(319611πππ++=+--。
一元四次方程因式分解
一元四次方程因式分解一元四次方程是指次数最高为四次方的单变量方程，其一般形式为ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0。
对于一元四次方程，我们可以通过因式分解的方法将其转化为一元二次方程的形式，从而求得方程的解。
我们可以先对一元四次方程进行因式分解，将其写成两个二次因式相乘的形式。
假设一元四次方程为(ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f) = 0。
通过展开等式，我们可以得到一个关于系数的方程组。
根据方程组的解，我们可以确定二次因式的具体形式。
在求解方程组时，我们可以利用二次方程的求根公式来求解。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其根可以通过公式x = (-b±√(b^2 - 4ac))/(2a)来求得。
将二次因式的形式代入方程组，我们可以得到与二次方程相似的形式，从而求得二次因式的根。
在求解方程组时，我们需要注意以下几点：1. 方程组的解可以是实数或复数。
当方程组没有实数解时，我们可以得到复数解。
2. 方程组的解可以重复。
即方程组存在重复的根，这在因式分解时是很常见的情况。
通过求解方程组，我们可以得到两个二次因式，从而将一元四次方程因式分解为两个二次因式相乘的形式。
这样，我们就可以通过求解二次因式来求解一元四次方程。
除了因式分解的方法，我们还可以利用其他方法来求解一元四次方程，如配方法、完全平方式等。
每种方法都有其特点和适用范围，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解方程。
总结起来，一元四次方程的因式分解是将其转化为两个二次因式相乘的形式，通过求解二次因式来求解方程。
除了因式分解的方法，还有其他方法可以求解一元四次方程。
不同的方法适用于不同的情况，我们可以根据具体问题选择合适的方法来求解方程。
一元四次方程解法
一元四次方程解法
一元四次方程解法是一种针对一般类型一元四次方程组求解时使用的
解法，由卢比安·贝尔把它们收集整理成之前方程公式。
解四次方程主
要包括三个步骤：
1. 化简：首先将四次方程的式子化简成一位数的平方乘积形式，具体
方法是先代入x=0将系数带出，再化成二次因式，利用二次因式分解
完成化简步骤；
2. 逆因式：接下来要将四次方程的右端的各个因式按乘法法则相互求逆，得到左端各个式子；
3. 求根：最后将四个算式换成原来四次方程形式，再分别求出x的值，进而解出方程组。
以上便是一元四次方程组求解时所使用的解法，使用此方法可以求解
出一元四次方程组的解，成功解决四次方程组存在的难题。
五次方程的求根公式法
五次方程的求根公式法一元四次方程求根公式，是数学代数学基本公式，由意大利数学家费拉里首次提出证明。
一元四次方程是未知数最高次数不超过四次的多项式方程，应用化四次为二次的方法，结合盛金公式求解。
适用未知数最高次项的次数不大于四的多项式方程。
其解法是受一元三次方程求解方法的启发而得到的。
来源意大利数学家费拉里与一元四次方程的数学分析卡当在《关键的艺术》一书中发布了塔塔利亚辨认出的一元三次方程求根公式之后，塔塔利亚抨击卡当背信弃义，明确提出必须与卡当展开辩论与比赛。
这场辩论与比赛在米兰市的教堂展开，代表卡当出场的就是卡当的学生费拉里。
费拉里(ferrari l.,~)早年贫苦，少年时代曾做为卡当的仆人。
卡当的数学研究引发了他对数学的爱好，当其数学就可以被卡当辨认出后，卡当就交他并作了学生。
费拉里替代卡当与塔塔利亚辩论并比赛时，风华正茂，他不仅掌控了一元三次方程的数学分析，而且掌控了一元四次方程的数学分析，因而在辩论与比赛中获得了胜利，并由此当上了波伦亚大学的数学教授。
一元四次方程的解方法，就是受到一元三次方程解方法的鼓舞而获得的。
一元三次方程就是在展开了精妙的换元之后，把问题肇因变成了一元二次方程从而暂解的。
于是，如果能精妙地把一元四次方程转变为一元三次方程或一元二次方程，就可以利用未知的公式解了。
费拉里法费拉里的方法就是这样的：方程两边同时除以最低次项的系数可以得x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 (1)移项可以得 x^4+bx^3=-cx^2-dx-e (2) 两边同时加之(1/2bx)^2 ，可以将（2）式左边硝酸锶全然平方，方程沦为 (x^2+1/2bx)^2=(1/4b^2-c)x^2-dx-e (3) 在（3）式两边同时加之(x^2+1/2bx)y+1/4y^2 可以得[(x^2+1/2bx)+1/2y]^2= (1/4b^2-c+y)x^2+(1/2by-d)x+1/4y^2-e (4) （4）式中的y就是一个参数。