2020届天津市红桥区2017级高三二模考试数学试卷及答案
2017届天津市红桥区高三二模数学(理)试题(解析版)
2017届天津市红桥区高三二模数学（理）试题一、选择题1．已知集合{|1}A x x =<， 2{|0}B x x x =-≤，则A B ⋂（ ） A. {|11}x x -≤≤ B. {|01}x x ≤≤ C. {|01}x x <≤ D. {|01}x x ≤< 【答案】D【解析】1,11x x <∴-<< ，又20,01x x x -≤≤≤ ，则{|01}A B x x ⋂=≤< ，选D.2．设变量x ， y 满足约束条件20,{30,230,x x y x y +≥-+≥+-≤则目标函数2z x y =+的最大值为（ ） A. 6 B. 32C. 0D. 12 【答案】A【解析】画出可行域，令0z =，得12y x =-，画出该直线，由于1122y x z =-+ ， z 取得最大值只需直线的截距最大，根据图形可得最优解为()0,3，目标函数2z x y =+的最大值为6.选A.【点睛】线性规划问题为高考热点问题，线性规划考查方法有两种，一为直接考查，目标函数有截距型、斜率型、距离型（两点间距离和点到直线距离）等，本题为截距型；二为线性规划的逆向思维问题，给出最值或最优解或最优解的个数，反求参数的范围或参数的值.3．根据如下图所示的框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是（ ）A. 2n a n =B. ()21n a n =-C. 2n n a =D. 12n n a -= 【答案】C【解析】试题分析：当1,1S i ==时, 11212a =⨯=；当12,2S i ==时,122222a =⨯=；当22,3S i ==时, 233222a =⨯=；…；由此得出数列的通项公式为2n n a =，故选C.【考点】1、等比数列的通项公式；2、程序框图及循环结构. 4．某几何体的三视图如下图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值（ ）A. 2B. 3C.32 D. 92【答案】B【解析】原几何体为四棱锥，底面ABCD 为直角梯形， //AD CD ， AB AD ⊥，PD ⊥ 平面ABCD ， ()1111223332P ABCD ABCD V S PD x -=⋅=⨯+⨯=， 3x =.选B.【点睛】三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．5．设p ： (){|lg 1}x x y x ∈=-， q ： {|21}x x x -∈<，则p 是q 的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】:p 函数()lg 1y x =-得定义域为{}1x x ， :0q x >， p 是q 的充分不必要条件，选A .6．在ABC 中， 120ABC ∠=︒， 2BA =， 3BC =， D ， E 是线段AC 的三等分点，则BD BE ⋅的值为（ ）A.659 B. 119 C. 419 D. 139-【答案】B 【解析】2133BD BA BC=+,1233BE BA BC=+,则21123333BD BE BA BC BA BC ⎛⎫⎛⎫⋅=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22225999BA BC BA BC =++⋅ 81851112399929⎛⎫=++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭ 【点睛】向量的运算有两种方法，一种是线性运算，如本题以,BA BC为基底，把有关向量利用加法、减法及数乘运算表示出来，然后利用数量积运算计算出结果，另一种方法是建立直角坐标系，把相关点得坐标写出来，然后利用坐标运算公式计算出结果. 7．将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），所得图象关于直线4x π=对称，则ϕ的最小值为（ ） A.18π B. 14π C. 38π D. 12π 【答案】C【解析】函数()2sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到2sin 224y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到2sin 424y x πϕ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，所得图象关于直线4x π=对称，即5sin 214πϕ⎛⎫-=±⎪⎝⎭，则572,4228k k ππππϕπϕ-=+=+， k Z ∈ ，取1k =-，则ϕ的最小值为38πϕ=，选C.【点睛】把函数()y f x =的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位得到函数()y f x ϕ=+的图象，即“左加右减，上加下减”，把函数()y f x =的图象上每一点的横坐标缩短到原来的1ω（纵坐标不变），得到函数()y fx ω=的图象，即x x ω→，由于三角函数的对称轴穿过函数图象的最高点或最低点，所以根据对称轴方程可求ϕ. 8．已知函数()2log ,02{,2104x x f x sin x x π<<=⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，若存在实数1x ， 2x ， 3x ， 4x 满足()()12f x f x = ()()34f x f x ==，且1234x x x x <<<，则()()341211x x x x -⋅-⋅的取值范围是（ ）A. ()9,21B. ()20,32C. ()8,24D. ()15,25 【答案】A【解析】画出函数()f x 的图象， ()()122122,log log f x f x x x =∴-= ，212log 0x x = ， 121x x = ， ()()34f x f x = ， 343412,210x x x x +=<<<， ()()()343434341211111x x x xx x x x x x --=-++=- ，由于3412x x =-，则()()2234444441212636x x x x x x x =-=-+=--+ ， 34x x为()2,4上单调增函数，因为 424x << ，则342032x x << ，有3491121x x <-< ，所以由此可得：()()341211x x x x -⋅-⋅的取值范围是()9,21，选A.【点睛】利用数学结合思想解函数题是高考必考解题的解题思想，先画出函数图象，结合题意根据2log y x =找出12,x x 的关系，再根据函数sin 4x y π⎛⎫=⎪⎝⎭找出34,x x 的范围和关系，最后求出()()341211x x x x -⋅-⋅的取值范围，特别说明由34210xx <<<，及3412x x =-代入减元转化为二次函数求34x x 的范围.9．曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，则曲线C 上的点到直线l ：{32x y t =+=-+（t为参数）的最短距离是__________． 【答案】1【解析】把2sin ρθ=化为()2211x y +-=50y +-=，圆心到直线的距离为422d ==，曲线C 上的点到直线l 的最短距离为1. 【点睛】本题为选修内容，先把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再把直线的参数方程化为普通方程，求圆上一点到一条直线的距离的最小值，转化为圆心到直线的距离减去半径,要熟练使用点到直线的距离公式. 10．已知下列命题： ①函数()f x =2；②“2450x x --=”的一个必要不充分条件是“5x =”；③命题p ： R x ∃∈， tan 1x =；命题q ： R x ∀∈， 210x x -+>.则命题“()p q ∧⌝”是假命题；④函数()3231f x x x =-+在点()()2,2f 处的切线方程为3y =-.其中正确命题的序号是__________． 【答案】③④ 【解析】()f x =，设t t =≥ ， ()1f t t t=+在)+∞上为增函数，()f x 的最小值为2，①错误； ②25450x x x =⇒--= ，“2450x x --=”的一个必要不充分条件是“5x =”，错误；③命题p ： R x ∃∈， tan 1x =，为真命题；命题q ： R x ∀∈， 210x x -+>，为真命题；则命题“()p q ∧⌝”是假命题，正确；④函数()3231f x x x =-+在点()()2,2f 处的切线方程为3y =-，正确；正确命题的序号为③④.【点睛】对每个命题进行判断，研究函数的最值首先要考虑函数的定义域；判断充要条件要搞清谁是条件，谁是结论；判断复合命题的真假首先要判断两个简单命题的真假；利用导数求切线方程要明确导数的几何意义.二、填空题11．设i 为虚数单位，则复数32i i=-__________． 【答案】12i 55- 【解析】()()()321212222555i i i i i i i i -+-===---+12．在732x⎛ ⎝的展开式中常数项是__________．【答案】14【解析】()()172173722177212kk kk kk k k T C x x C x ----+⎛⎫=-=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ ，令7210,62k k -==，则展开式中得常数项为()6671214C -⨯⨯=.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项.根据通项公式1r n r rr n T C a b -+=,根据所求项的要求，解出r ，再给出所求答案.13．在ABC 中，角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，()()1sin sin sin 2A B a b a c C ⎛⎫-+-⎪⎝⎭，则cos B =__________． 【答案】14【解析】利用正弦定理“角化边”得：()()12a b a b a c c ⎛⎫-+=-⎪⎝⎭,则22212a b ac c -=-， 22212a c b ac +-=， 2221cos 24a cb B ac +-==.【点睛】解三角形问题，常应用正弦定理“边化角”“角化边”，或应用余弦定理. 本题利用正弦定理“角化边”，再利用余弦定理求出角的余弦值,注意余弦定理的表达形式，借助已知条件做题.14．如图， 1F 、2F 是22221x y a b-=（0a >， 0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B .若2ABF 为等边三角形，则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】试题分析：由题意结合双曲线的定义可知1122,BF AF AF a =-=2122,4,BF BF a BF a -=∴=又因为12122,120,F F c F BF =∠=︒在12BFF ∆中，根据余弦定理得22214416224,2c a a a a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-⎪⎝⎭整理得c a = 【考点】本小题主要考查双曲线定义的应用、双曲线的基本量之间的关系和双曲线的离心率以及余弦定理的应用，考查学生的运算求解能力.点评：本小题在解题过程中，两次利用双曲线的定义，从而表示出12BF F ∆的三条边，进而利用余弦定理求解.三、解答题15．已知函数()226sin cos 2cos 1,4f x x x x x x R π⎛⎫=++-+∈ ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）最大值为2-【解析】试题分析：（1）首先将函数进行化简，包括两角和的正弦公式展开，以及二倍角公式，以及，然后合并同类项，最后利用辅助角公式化简为，再求函数的周期；（2）根据,求的范围，再求函数的值域，以及函数的最大值和最小值.试题解析：（1）由题意可得∴()f x 的最小正周期为T π=； （2）∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴sin 24x π⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，∴()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为-2． 【考点】1.三角函数的恒等变形；2.三角函数的性质.16．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租时间不超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按 1小时计算）．有甲、乙两人独立来该租车点车租骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为11,42；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为11,24；两人租车时间都不会超过四小时． （1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E ξ． 【答案】（1）516；（2）分布列见解析，数学期望是72． 【解析】试题分析：（1）首先求出两个人租车时间超过三小时的概率，甲乙两人所付的租车费用相同即租车时间相同：都不超过两小时、都在两小时以上且不超过三小时和都超过三小时三类求解即可．（2）随机变量ξ的所有取值为0，2，4，6，8，由独立事件的概率分别求概率，即可列出分布列.试题解析：（1）由题意得，甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为11,44． 记甲、乙两人所付得租车费用相同为事件A ，则()111111542244416P A =⨯+⨯+⨯=．所以，甲、乙两人所付得租车费用相同的概率为516．（2）设甲、乙两个所付的费用之和为ξ， ξ可能取得值为0，2，4，6，8()()()11111511111150,2,4844221644242416P P P ξξξ====⋅+⋅===⋅+⋅+⋅=，()111136442416P ξ==⋅+⋅=， ()11184416P ξ==⋅=，分布列【考点】1、互斥事件的概率加法公式；2、离散型随机变量的分布列．【方法点睛】本题考查独立事件、互斥事件的概率、离散型随机变量的分布列，考查利用所学知识解决问题的能力．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且2PA PD AD ==， E 、F 分别为PC 、BD 的中点.（1）求证： //EF 平面PAD ； （2）求证：面PAB ⊥平面PDC ；（3）在线段AB 上是否存在点G ，使得二面角C PD G --的余弦值为13？说明理由. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）线段AB 上存在点14G AG AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，使得二面角C PD G --的余弦值为13. 【解析】试题分析：（Ⅰ）连接AC ，则F 是AC 的中点，E 为PC 的中点，证明EF ∥PA ，留言在线与平面平行的判定定理证明EF ∥平面PAD ；（Ⅱ）先证明CD ⊥PA ，然后证明PA ⊥PD ．利用直线与平面垂直的判定定理证明PA ⊥平面PCD ，最后根据面面垂直的判定定理即可得到面PAB ⊥面PDC ． （Ⅲ）假设在线段AB 上，存在点G ，使得二面角C-PD-G 的余弦值为13，然后以O 为原点，直线OA ，OF ，OP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设G （1，a ，0）（0≤a≤2）．利用空间向量的坐标运算求出a 值，即可得出结论． 试题解析： （Ⅰ）证明：连结AC ，由已知，F 为AC 的中点， E 为PC 中点．∴在CPA ∆中， EF //PA且PA ⊂平面PAD ， EF ⊄平面PAD ∴//EF PAD 平面（Ⅱ）证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ⋂面ABCD AD = ABCD 为正方形， CD AD ⊥， CD ⊂平面ABCD 所以CD ⊥平面PAD ． ∴CD PA ⊥又2PA PD AD ==，所以PAD ∆是等腰直角三角形， 且2APD π∠=，即P A P D ⊥．CD PD D ⋂=，且CD 、PD ⊂面PDC PA ∴⊥面PDC又PA ⊂面PAB ， ∴面PAB ⊥面PDC（Ⅲ）如图，取AD 的中点O ，连结OP ， OF ． ∵PA PD =，∴PO AD ⊥． ∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，PAD ABCD AD ⋂=平面平面，∴PO ABCD ⊥平面， 而,O F 分别为,AD BD 的中点，∴//OF AB ，又ABCD 是正方形，故OF AD ⊥．∵2PA PD AD ==，∴PA PD ⊥， 1OP OA ==． 以O 为原点，直线,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则有()1,0,0A ， ()1,0,0D -， ()0,0,1P ．若在AB 上存在点,G 使得二面角C PD G --的余弦值为13，连结,.PG DG 设()()1,,002G a a ≤≤．由（Ⅱ）知平面PDC 的法向量为()1,0,1PA =-．设平面PGD 的法向量为(),,n x y z =．∵()()1,0,1,2,,0DP GD a ==-- ，∴由0,0n DP n GD ⋅=⋅=可得00{200x y z x a y z +⋅+=-⋅-⋅+⋅=，令1x =，则2,1y z a =-=-，故∴||1cos ,3n PA n PA n PA⋅====，解得， 12a =． 所以在线段AB 上存在点11,,02G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得二面角C PD G --的余弦值为13，此时12AG =．【考点】1．平面与平面垂直的判定；2．直线与平面平行的判定；3．二面角的平面角及求法．18．已知椭圆2222:1x y C a b +=， (0)a b >>且过点⎛ ⎝⎭. (Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设与圆223:4O x y +=相切的直线l 交椭圆C 与A ， B 两点，求OAB ∆面积的最大值及取得最大值时直线l 的方程.【答案】（1）2213x y +=； （2）OAB ∆1y x =±． 【解析】试题分析：（1）利用由条件求出椭圆的几何量，然后求解椭圆方程；（2）①当k 不存在时，直接求解三角形的面积；②当k 存在时，设直线为y kx m =+，1122A x y B x y （，），（，）联立直线与椭圆的方程组，通过韦达定理与距离公式表示出三角形的面积，利用基本不等式求出最大值．然后求解直线方程.试题解析：（1）由题意可得：221213{a b c a +==22223,1,13x a b y ==∴+=（2）①当k 不存在时，x y =∴=，1324OAB S ∆∴==②当k 不存在时，设直线为y kx m =+，()11,A x y , ()22,B x y ,221{3x y y kx m+==+,()222136330k x km m +++-= 2121222633,1313km m x x x x k k --+==++ ()22431d r m k =⇒=+AB===2=当且仅当2219kk=，即k=时等号成立11222OABS AB r∆∴=⨯≤⨯=，OAB∴∆，此时直线方程1y x=±.【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；19．设nS是正项数列{}n a的前n项和，且2113424n n nS a a=+-.（Ⅰ）求数列{}n a通项公式；（Ⅱ）是否存在等比数列{}n b，使()111222122nn na b a b a b n++++=-⋅+对一切正整数n都成立？并证明你的结论.11na=+（*Nn∈），且数列{}n C的前n项和为n T，试比较n T与16的大小.【答案】（1）21na n=+（2）见解析（3）见解析【解析】解：（Ⅰ）由2113424n n nS a a=+-得2111113424n n nS a a+++=+-，相减并整理得()1n na a++()120n na a+--=又由于1n na a++>，则12n na a+=+，故{}n a是等差数列．因为211114a S a == 2113024a +->， 所以13a =故21n a n =+． （Ⅱ）当1n =，2时， ()211221126a b =⨯-+=， 311222a b a b +=()221226⨯-+=，可解得12b =， 24b =，猜想2n n b = 使1122n n a b a b a b +++ ()12212n n +=-+成立．证明： 23325272⋅+⋅+⋅ ()()12122212n n n n +++=-+ 恒成立．令 23252S =⋅+⋅+ ()372212nn ⋅+++ ……①2323252S =⋅+⋅+ ()4172212n n +⋅+++ ……②②﹣①得：()1212n S n +=+ 1222n +-⋅+= ()12122n n +-+，故存在等比数列{}n b 符合题意． （Ⅲ）()2122n C n =<+()()12123n n ++ 11122123n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭则12n T c c =+ n c ++1111(2355<-+ 1111111)7212323236n n n ⎛⎫-++-=-< ⎪+++⎝⎭ 故16n T <． 【点睛】通过由n S 的表达式求通项公式，利用2n ≥时， 1n n n a S S -=-，转化为关于n a 的关系式，把一般数列转化为特殊数列，求出通项公式；这个关系式在解决数列问题时，使用机会偏多.20．已知函数()ln bf x x ax x=-+（a ， b R ∈），且对任意0x >，都有()10fx f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （Ⅰ）用含a 的表达式表示b ；（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x ， 2x ，且12x x <，求出a 的取值范围，并证明202a f ⎛⎫> ⎪⎝⎭； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断()y f x =零点的个数，并说明理由. 【答案】（1）b a =（2）见解析（3）见解析【解析】解：（Ⅰ）根据题意：令1x =，可得()1102f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以()10f a b =-+=，经验证，可得当a b =时，对任意0x >，都有()10f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以b a =.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()ln af x x ax x=-+，且0x >， 所以()21af x a x x =--' 22ax x a x -+-=，令()2g x ax x a =-+-，要使()f x 存在两个极值点1x ， 2x ，则须有()y g x =有两个不相等的正数根，所以()20,10,{2140,00a a a g a >>=->=-< 或()20,10,{2140,00a a a g a <>=->=-> 解得102a <<或无解，所以a 的取值范围102a <<，可得21028a <<， 由题意知 2222ln 222a a a f a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭222ln ln22a a a =+--，令()22ln h x x x =+- 3ln22x -，则()222232x h x x x =-'- 423442x x x -+-=． 而当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 4344x x -+-= ()43410x x ---<，即()0h x '<， 所以()h x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 所以()12h x h ⎛⎫>= ⎪⎝⎭12ln24ln216-+-- 633lne 015>-> 即102a <<时， 202a f ⎛⎫> ⎪⎝⎭．（Ⅲ）因为()21a f x a x x =--' 22ax x a x-+-=， ()2g x ax x a =-+-． 令()0f x '=得112x a =，212x a=．由（Ⅱ）知102a <<时， ()y g x =的对称轴()11,2x a=∈+∞， 2140a ∆=->， ()00g a =-<，所以21x >.又121x x =，可得11x <，此时， ()f x 在()10,x 上单调递减， ()12,x x 上单调递增，()2,x +∞上单调递减，所以 ()y f x =最多只有三个不同的零点．又因为()10f =，所以()1,1x 在()f x 上递增，即[)1,1x x ∈时， ()0f x <恒成立． 根据（2）可知202a f ⎛⎫> ⎪⎝⎭且21028a <<，所以()21,12a x ∉，即()210,2a x ∈，所以201,2a x x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x =．由0101x x <<<，得11x >，又()0010f f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ()10f =， 所以()f x 恰有三个不同的零点： 0x ，1，1x ． 综上所述， ()y f x =恰有三个不同的零点．【点睛】利用赋值法求出,a b 关系，利用函数导数，研究函数的单调性，要求函数有两个极值点，只需()0f x '=在()0,+∞内有两个实根，利用一元二次方程的根的分布求出a 的取值范围，利用函数的导数研究函数的单调性、极值，再根据函数图象和极值的大小判断零点的个数是近年高考压轴题的热点.。
2020年天津市红桥区高考数学二模试卷(文科)(有答案解析)
2020年天津市红桥区高考数学二模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={-3，-2，-1，0，1，2}，B={x|x2≤3}，则A∩B=．（）A. {0，2}B. {-1，0，1}C. {-3，-2，-1，0，1，2}D. [0，2]2.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x-y的最大值为（）A. B. C. D. 23.设x∈R，则“|2x-1|≤3”是“x+1≥0”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知，，，则（）A. a＞b＞cB. c＞a＞bC. b＞a＞cD. b＞c＞a5.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A. -3B. -C.D. 26.已知函数f（x）=cos（2x+）（x∈R），则f（x）在区间[0，]上的最小值为（）A. B. - C. -1 D. 07.点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点（异于原点），若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率为（）A. B. C. D.8.已知点M是△ABC所在平面内一点，满足=+，则△ABM与△BCM的面积之比为（）A. B. C. 3 D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若i为虚数单位，复数的虚部是______．10.设L为曲线C：y=在点（1，0）处的切线，则L的方程为______．11.一个正方体的表面积为24，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是______．12.过点A（1，-1），B（-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是______ ．13.已知，则的最小值是__________．14.若关于x的不等式2-x2≥|x-a|至少有一个正数解，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.某市为了解社区群众体育活动的开展情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个行政区中抽出6个社区进行调查．已知A，B，C行政区中分别有12，18，6个社区．（Ⅰ）求从A，B，C三个行政区中分别抽取的社区个数；（Ⅱ）若从抽得的6个社区中随机的抽取2个进行调查结果的对比，求抽取的2个社区中至少有一个来自A行政区的概率．16.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．（1）求角B；（2）若b＝3，，求△ABC的面积．17.如图所示，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）证明：PD∥平面AFC；（2）若PA=1，求证：AF⊥PC；（3）若二面角P-BC-A的大小为60°，则CE为何值时，三棱锥F-ACE的体积为．18.已知数列{a n}是公比大于1的等比数列（n∈N*），a2=4，且1+a2是a1与a3的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log2a n，S n为数列{b n}的前n项和，记T n=，证明：T n≥1．19.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，点A为椭圆的右项点，点B为椭圆的上顶点，点F为椭圆的左焦点，且△FAB的面积是1+．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线x=my+1与椭圆C交于P、Q两点，点P关于x轴的对称点为P1（P1与Q不重合），则直线P1Q与x轴交于点H，若点H为定值，则求出点H坐标；否则，请说明理由．20.已知函数f（x）=x3-（a+1）x2+4x+1，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）是否存在负实数a，使x∈[-1，0]，函数有最小值-3．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：由B中不等式解得：-＜x＜，即B=（-，），∵A={-3，-2，-1，0，1，2}，∴A∩B={-1，0，1}，故选：B．求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：B解析：解：变量x，y满足约束条件，不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z=2x-y过点A时，z取得最大值，由，可得A（3，）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值6-=．故选：B．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x-y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．3.答案：A解析：解：“|2x-1|≤3”⇔-3≤2x-1≤3⇔-1≤x≤2，x+1≥0⇔x≥-1．显然由题设能推出结论，但是由结论不能推出题设，因此“|2x-1|≤3”是“x+1≥0”的充分不必要条件，故选：A．分别解出不等式，即可判断出结论．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：B解析：解：，，；∴c＞a＞b．故选：B．容易得出，从而得出a，b，c的大小关系．考查指数函数和对数函数的单调性，以及增函数和减函数的定义．5.答案：D解析：解：i=0，满足条件i＜4，执行循环体，i=1，s=满足条件i＜4，执行循环体，i=2，s=-满足条件i＜4，执行循环体，i=3，s=-3满足条件i＜4，执行循环体，i=4，s=2不满足条件i＜4，退出循环体，此时s=2故选：D．i=0，满足条件i＜4，执行循环体，依此类推，当i=4，s=2，此时不满足条件i＜4，退出循环体，从而得到所求．根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模．算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．6.答案：C解析：解：∵≤2x+≤，令2x+=t，则y=cos t在[，]的最小值为-1，故选：C．求出2x+的范围，令2x+=t，求y=cos t的最小值．本题考查三角函数的整体代换求值，是基础题．7.答案：B解析：解：取双曲线的其中一条渐近线：y=x，联立⇒；故A（，）．∵点A到抛物线C1的准线的距离为p，∴+=p；∴=．∴双曲线C2的离心率e====．故选B．先根据条件求出点A的坐标，再结合点A到抛物线C1的准线的距离为p，得到=，再代入离心率计算公式即可得到答案．本题主要考查双曲线的性质及其方程依据抛物线的方程和性质．注意运用双曲线的离心率e和渐近线的斜率之间的关系是解题的关键．8.答案：C解析：解答解：如图所示，过点M作EF∥AC．∵=+，∴=，=．∴=3．∴△ABM与△BCM的面积之比==3．故选：C．分析如图所示，过点M作EF∥AC．由=+，可得=，=．进而得出结论．本题考查了平面向量平行四边形法则及其应用、向量共线定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：-1解析：解：∵=，∴复数的虚部是-1．故答案为：-1．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10.答案：x-y-1=0解析：解：由y=，得，∴，即曲线C：y=在点（1，0）处的切线的斜率为1，∴曲线C：y=在点（1，0）处的切线方程为y-0=1×（x-1），即x-y-1=0．故答案为：x-y-1=0．求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数值，即切线的斜率，由直线方程的点斜式得答案．本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．11.答案：解析：解：设正方体的棱长为a，则6a2=24，即a=2．∵球内切于正方体，∴球的半径为1．则此球的体积是．故答案为：．由正方体的表面积求得正方体的棱长，可得正方体内切球的半径，再由球的体积公式求解．本题考查正方体的表面积与其内切球的体积，是基础的计算题．12.答案：（x-1）2+（y-1）2=4解析：【分析】本题解答灵活，求出圆心与半径是解题的关键，本题考查了求圆的方程的方法．是基础题目．先求AB的中垂线方程，它和直线x+y-2=0的交点是圆心坐标，再求半径，可得方程．【解答】解：圆心一定在AB的中垂线上，AB的中垂线方程是y=x，所以，圆心（1，1）；圆心到A的距离就是半径：=2，所以所求圆的方程为：（x-1）2+（y-1）2=4．故答案为：（x-1）2+（y-1）2=4．13.答案：解析：【分析】本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值．【解答】解：∵a+b=2，∴=1∴y==（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）则的最小值是故答案为：．14.答案：解析：解：不等式为：2-x2≥|x-a|，且0≤2-x2．在同一坐标系画出y=2-x2（y≥0，x＞0）和y =|x|两个函数图象，将绝对值函数y =|x|向左移动，当右支经过（0，2）点，a=-2；将绝对值函数y=|x|向右移动让左支与抛物线y=2-x2（y≥0，x＞0）相切时，由可得x2-x+a-2=0，再由△=0解得a=．数形结合可得，实数a的取值范围是．故答案为：．原不等式为：2-x2≥|x-a|，我们在同一坐标系画出y=2-x2（y≥0，x＞0）和y =|x|两个图象，利用数形结合思想，易得实数a的取值范围．本题考查的知识点是一元二次函数的图象，及绝对值函数图象，其中在同一坐标中，画出y=2-x2（y≥0，x＞0）和y =|x|两个图象，结合数形结合的思想得到答案，是解答本题的关键．15.答案：解：（Ⅰ）社区总数为12+18+6=36，样本容量与总体中的个体数比为．所以从A，B，C三个行政区中应分别抽取的社区个数为2，3，1．（Ⅱ）设A1，A2为在A行政区中抽得的2个社区，B1，B2，B3为在B行政区中抽得的3个社区，C 为在C行政区中抽得的社区，在这6个社区中随机抽取2个，全部可能的结果有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C），（B2，B3），（B2，C），（B3，C）．共有15种．设事件“抽取的2个社区至少有1个来自A行政区”为事件X，则事件X所包含的所有可能的结果有：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C），共有9种，所以这2个社区中至少有1个来自A行政区的概率为．解析：（I）先计算A，B，C区中社区数的总数，进而求出抽样比，再根据抽样比计算各区应抽取的社区数．（II）本题为古典概型，先将各区所抽取的社区用字母表达，分别计算从抽取的6个社区中随机抽取2个的个数和至少有1个来自A区的个数，再求比值即可．本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力．16.答案：解：（1）由，可得，即a2+c2-b2=ac，可得cos B===，由B∈（0，π），可得B=；（2）∵cos A=，∴sin A=，∵，∴a=2，又∵sin C=sin（A+B）=sin（A+）=sin A cos+cos A sin=，∴S△ABC=ab sin C=．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题．（1）由正弦定理化简已知等式得a2+c2-b2=ac，利用余弦定理可求cos B=，结合范围B∈（0，π），可得B的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求sin A，利用正弦定理可求a的值，利用两角和的正弦函数公式可求sin C，根据三角形的面积公式即可求解．17.答案：（1）证明：连接AC交BD于点Q，连接FQ，∵四边形ABCD是矩形，∴Q为BD的中点，又∵点F是PB的中点，∴PD∥FQ，又，，∴PD∥平面AFC；（2）证明：以A为原点，以AD、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（，1，0），∵PA=1，∴P（0，0，1），∴F（0，，），∴=（0，，），=（，1，-1），∵·=（0，，）·（，1，-1）==0，∴⊥，即AF⊥PC；（3）解：设P（0，0，t），则F（0，，），则=（0，0，t），=（0，，），=（0，1，-t），=（，0，0），设平面PBC的法向量为=（x，y，z），由，得，令z=1，得=（0，t，1），∵二面角P-BC-A的大小为60°，且是平面ABC的一个法向量，∴cos60°===，∴t=，即=（0，，），由三棱锥F-ACE的体积为，可得==解得CE=，∴CE为时，三棱锥F-ACE的体积为．解析：本题考查直线与平面平行的判定，二面角的计算，棱锥的体积公式，考查空间想象能力、计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．（1）连接AC交BD于点Q，连接FQ，利用中位线定理及线面平行的判定定理即得结论；（2）以A为原点，以AD、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，通过向量垂直即可说明线段垂直；（3）通过二面角P-BC-A的大小为60°求出P点坐标，从而得到F点坐标，根据体积公式计算即可．18.答案：解：（Ⅰ）数列{a n}是公比q为大于1的等比数列（n∈N*），a2=4，且1+a2是a1与a3的等差中项．所以,解得q=2或q=（舍去）．故．证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）得b n=log2a n=n，所以数列{b n}为等差数列，故．所以===．由于n≥1，所以,故1≤T n．解析：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力．属于基础题型．（Ⅰ）首先利用已知条件求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用上步的结论，进一步利用裂项相消法和放缩法求出结果．19.答案：解：（I）由题意点A为椭圆的右项点，点B为椭圆的上顶点，点F为椭圆的左焦点，可得F（-c，0），B（0，b），A（a，0），因为离心率为，即=，①△FAB的面积是1+．即b（a+c）=1+；②又因为a2=b2+c2；③由①②③解得a =2，b=1所以椭圆C：+y2=1；（Ⅱ）设P（x1，y1）、Q（x2，y2）、P（x1，-y1），由得（m2+4）y2+2my-3=0，（m≠0）显然△＞0，由韦达定理有：y1+y2=-．y1•y2=-．直线P1Q的方程为：y+y1=（x-x1），因为直线P1Q与x轴交于点H，若点H为定值，令y=0，则x=y1+x1=；又x1=my1+1，x2=my2+1；x===4；所以直线P1Q与x轴交点H（4，0）．解析：（Ⅰ）利用椭圆的定义离心率和三角形的面积公式可得abc的等量关系式，从而可求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线x=my+1与椭圆C交于P、Q两点，点P关于x轴的对称点为P1（P1与Q不重合），即P（x1，y1）、Q（x2，y2）、P（x1，-y1），联立方程组由化简由韦达定理表达直线P1Q的方程，根据题意可得直线P1Q与x轴交点H（4，0）．本题考查圆锥曲线中椭圆的综合运用，考查直线与椭圆的关系，韦达定理知识，属于中档题．20.答案：解：（I）f（x）=ax2-2（a+1）x+4=（ax-2）（x-2）．①当a=0时，单调递增区间为（-∞，2]．②当a＜0时，单调递增区间为[，2]．③当0＜a＜1时，单调递增区间为（-∞，2]，（，+∞）．④当a=1时，单调递增区间为（-∞，+∞）．⑤当a＞1时，单调递增区间为（-∞，），（2，+∞）．（II）假设存在负实数a，使x∈[-1，0]，函数有最小值-3．已知a＜0时，单调递增区间为（，2），单调递减区间为（-∞，），（2，+∞）．①当≤-1时，f（x）min=f（-1）=-3，即--（a+1）-3=-3，解得a=-．②当>-1时，f（x）min=f（）=-3，即3a2+3a-1=0，解得a=．（舍去）．综上①②可得：a=-．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（I）f（x）=ax2-2（a+1）x+4=（ax-2）（x-2），对a分类讨论即可得出单调递增区间．（II）假设存在负实数a，使x∈[-1，0]，函数有最小值-3．已知a＜0时，单调递增区间为（，2），单调递减为（-∞，），（2，+∞），利用单调性即可得出．。
2020年天津市红桥区高考数学二模试卷(含答案解析)
2020年天津市红桥区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.已知集合，0，1，，则A. 0，B.C.D. 0，1，2.设数列是等比数列，其前n项和为，且，则公比q的值为A. B. C. 1或 D. 1或3.已知，，，则A. B. C. D.4.设p：，q：，则p是q的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.若直线被圆所截得的弦长为，则实数a的值为A. 或B. 1或3C. 或6D. 0或46.已知正方体的体积是8，则这个正方体的外接球的体积是A. B. C. D.7.将函数的图象向右平移个单位长度，所得函数的图象关于y轴对称，则a的最小值是A. B. C. D.8.已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为A. B. C. D.9.已知函数若函数有3个零点，则实数m的取值范围A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.若i为虚单位，则复数______．11.合唱社粤曲社书法社高一4530a高二151020学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，则这三个社团人数共有______ ．12.已知二项式的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是__________．13.已知实数a，b满足条件：，且1是与的等比中项，又是与的等差中项，则______．14.曲线在点处的切线方程为______．15.已知、是单位向量，若向量满足，则的最大值是______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，．Ⅰ求c的值；Ⅱ求的值．17.设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，且各次射击互相独立．Ⅰ若甲、乙两人各射击1次，求至少有一人命中目标的概率；Ⅱ若甲连续射击3次，设命中目标次数为，求命中目标次数的分布列及数学期望．18.四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是矩形，且，，E是线段BC上的动点，F是线段PE的中点．Ⅰ求证：平面ADF；Ⅱ若直线DE与平面ADF所成角为，求线段CE的长；求二面角的余弦值．19.如图，椭圆C：经过点，离心率，直线l的方程为．求椭圆C的方程；是经过右焦点F的任一弦不经过点，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM 的斜率分别为，，问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．20.设，函数．Ⅰ讨论函数的单调区间和极值；Ⅱ已知为自然对数的底数和是函数的两个不同的零点，求a的值并证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：，0，1，，0，．故选：A．可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：C解析：解：当时，，成立；当时，得到，，又，所以，化简得：，即，由即，解得．综上，公比q的值为1或．故选C．分两种情况：当时，得到此等比数列为常数列，各项都等于第一项，已知的等式显然成立；当不等于1时，利用等比数列的前n项和的公式及等比数列的通项公式公式化简已知的等式，得到关于q的方程，根据q不等于解出q的值，综上，得到所有满足题意的等比q的值．此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道综合题．3.答案：A解析：解：，，，．故选：A．可以得出，从而得出a，b，c的大小关系．本题考查了对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．4.答案：A解析：解：由，得，则，；反之，由，得，则，当时，不成立．，反之不成立．即p是q的充分而不必要条件．故选：A．由，得，得，反之不成立，再由充分必要条件的判定得结论．本题考查指数式与对数式的运算性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．5.答案：D解析：【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程，属基础题．由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，由求解．【解答】解：圆，圆心为：，半径为：2，圆心到直线的距离为：，，解得，或，故选：D．6.答案：B解析：解：正方体的体积是8，所以正方体的棱长为：2．这个正方体的外接球的半径为：．这个正方体的外接球的体积是：．故选：B．利用正方体的体积，求出棱长，然后求解外接球的半径，然后求外接球的体积即可．本题考查正方体的外接球的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．7.答案：C解析：解：将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，根据所得函数的图象关于y轴对称，可得，，即，．则a的最小值为，故选：C．根据函数的图象变换规律，可得的图象关于y轴对称，可得，，从而求得a的最小值．本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．8.答案：D解析：解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，即点在抛物线的准线上，又由抛物线的准线方程为，则，则抛物线的焦点为；则双曲线的左顶点为，即；点在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为，由双曲线的性质，可得；则，则焦距为故选：D．根据题意，点在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案．本题考查双曲线与抛物线的性质，注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为”这一条件的运用，另外注意题目中要求的焦距即2c，容易只计算到c，就得到结论．9.答案：C解析：解：画出函数的图象，如下图函数有3个零点即与有3个交点即可根据图象可知故选：C．先画出函数的图象，然后根据函数有3个零点即与有3个交点即可，结合图象可求出m的取值范围．本题主要考查了函数零点的判定定理，以及分段函数图象的画法，同时考查了转化的思想，属于基础题．10.答案：解析：解：．故答案为：．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．11.答案：150解析：【分析】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了每个个体被抽到的概率都相等，属于基础题．根据每个个体被抽到的概率都相等可得，【解答】解：根据分层抽样的定义和方法可得，解得，故这三个社团人数共有人，故答案为150．12.答案：10解析：解：由题意可得，，展开式的通项公式为．令，，故展开式中含x项的系数是，故答案为10．先求得，以及二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于1，求得r的值，即可求得含x 的项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．13.答案：解析：解：是与的等比中项，，又，，又是与的等差中项，，，，，故答案为：．利用等比中项的定义得到，再利用等差中项的定义得到，代入所求式子即可求出结果．本题主要考查了等比中项和等差中项的定义，是基础题．14.答案：解析：解：求导函数，可得，当时，，曲线在点处的切线方程为，即．故答案为：．先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程．本题考查导数的几何意义，考查点斜式求直线的方程，属于基础题．15.答案：解析：解：、是单位向量，若向量满足，设，，，则，，，故点的轨迹是在以为圆心，半径等于1的圆上，的最大值为，故答案为：．通过建立直角坐标系，进行求解即可．本题考查向量的模，向量的数量积，利用坐标系是解决本题的关键，属于中档题．16.答案：解：Ⅰ由余弦定理可知，，，解得．Ⅱ，且，，，，．解析：Ⅰ由余弦定理可知，，代入已知数据即可得解；Ⅱ由同角三角函数的平方关系可知，，再结合二倍角公式可得，，，最后利用正弦的两角和公式将展开后，代入数据即可得解．本题考查余弦定理和三角恒等变换公式的应用，熟练掌握两角和差公式、二倍角公式等相关公式是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．17.答案：解：Ⅰ设“至少有一人命中目标”为事件A，则．或设“两人都没命中目标”为事件B，，“至少有一人命中目标”为事件A，则．Ⅱ的所有可能取值为0，1，2，3，则，，，，．的分布列为0123P数学期望解析：Ⅰ从正面考虑，分三种情况：甲乙均命中、甲中乙未中、甲未中乙中，再求出三种情况的概率和即可；或从反面考虑，先求出甲乙均未中的概率，在利用对立事件的概率求解即可；Ⅱ的所有可能取值为0，1，2，3，则，然后根据二项分布求概率的方式逐一求出每个的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望，也可以根据二项分布的性质求数学期望．本题考查相互独立事件的概率、对立事件的概率、二项分布、离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．18.答案：解：Ⅰ证明：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系如图，可得0，，0，，3，，3，，y，，，0，．向量，向量，，，，即，，，所以平面ADF．Ⅱ解：设为平面ADF的法向量，则，不妨令，可得为平面ADF的一个法向量，向量直线DE与平面ADF所成角为，于是有，所以，得，舍1，，3，，线段CE的长为2．设b，为平面PED的法向量，，则，不妨令，可得为平面ADF的一个法向量，又为平面ADE的一个法向量，二面角的余弦值为：．解析：Ⅰ以点A为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面ADF．Ⅱ求出平面ADF的法向量和平面ADF的一个法向量，利用向量法能求出线段CE的长．求出平面PED的法向量，和平面ADF的一个法向量，平面ADE的一个法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查线段长和二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．19.答案：解：椭圆C：经过点，可得由离心率得，即，则，代入解得，，故椭圆的方程为方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为代入椭圆方程并整理得设，，，在方程中，令得，M的坐标为，从而，，注意到A，F，B共线，则有，即有所以代入得又，所以故存在常数符合题意方法二：设，则直线FB的方程为令，求得从而直线PM的斜率为，联立，得，则直线PA的斜率，直线PB的斜率为所以，故存在常数符合题意解析：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了分析转化的能力与探究的能力，考查了方程的思想，数形结合的思想，本题综合性较强，运算量大，极易出错，解答时要严谨运算，严密推理，方能解答．由题意将点P代入椭圆的方程，得到，再由离心率为，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；方法一：可先设出直线AB的方程为，代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设，，利用根与系数的关系求得，，再求点M的坐标，分别表示出，，比较即可求得参数的值；方法二：设，以之表示出直线FB的方程为，由此方程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出，，比较即可求得参数的值20.答案：解：Ⅰ函数的定义域为．求导数，得．若，则，是上的增函数，无极值；若，令，得．当时，，是增函数；当时，，是减函数．当时，有极大值，极大值为．综上所述，当时，的递增区间为，无极值；当时，的递增区间为，递减区间为，极大值为Ⅱ是函数的零点，，即，解得．，，．由Ⅰ知，函数在上单调递减，函数在区间上有唯一零点，因此．解析：先求函数的导函数，并确定函数的定义域，再解不等式，，即可分别求得函数的单调增区间和单调减区间，进而利用极值定义求得函数的极值，由于导函数中含有参数a，故为解不等式的需要，需讨论a的正负；将代入函数，即可得a的值，再利用中的单调性和函数的零点存在性定理，证明函数的另一个零点是在区间上，即可证明结论本题主要考查了导数在函数单调性和函数极值中的应用，连续函数的零点存在性定理及其应用，分类讨论的思想方法，属中档题。
天津市红桥区高三二模(图片)——数学理数学(理)
参考答案一、选择题（每小题5分，共40分）二、填空题（每小题5分，共30分）9． 10．1411． 12．1 13． 14．③④三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（本小题满分13分）（Ⅰ）解：(1)f(x)＝sin 2x·ππcos sin 44x ⋅＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x －2cos 2x ＝ (6)所以，f(x)的最小正周期T ＝＝π (7)（Ⅱ）因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数．..............9 又f(0)＝－2，，，故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－2 (13)（16）（本小题满分13分）（Ⅰ）甲乙两人租车时间超过2小时的概率分别为：, (1)甲乙两人所付的租车费用相同的概率p=×+×+×= (4)（Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为0，2，4，6，8.....................................................5 P(ξ=0)=×=P(ξ=2)=×+×=P(ξ=4)=×+×+×=P(ξ=6)=×+×=P(ξ=8)=×= (10)数学期望Eξ=×2+×4+×6+×8= (13)（17）（本小题满分13分）（Ⅰ）连接， 为正方形， 为 中点， 为 中点．所以在 中，，且，所以． (3)（Ⅱ）因为，为正方形，，所以． (4)所以， (5)又，所以是等腰直角三角形，且即 (6)，且所以又，所以． (7)（Ⅲ）如图，取的中点，连接，．因为，所以．因为，所以， (8)而，分别为，的中点，所以，又是正方形，故．因为，所以，．以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， (9)则有，，，．若在上存在点，使得二面角的余弦值为，连接，设．由（Ⅱ）知平面的法向量为．设平面的法向量为．因为，，所以由，可得，令，则，，故，所以， (12)解得，．所以，在线段 上存在点，使得二面角的余弦值为． (13)（18）（本小题满分13分）（Ⅰ）由题意可得：221213a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ..........................2 22223,1,13x a b y ==∴+= (4)（Ⅱ）①当不存在时，，1324OAB S ∆∴== ..........................5 ②当存在时，设直线为，222221,(13)63303x y k x km m y kx m ⎧+=⎪+++-=⎨⎪=+⎩....................7 212122263313,13km m x x x x k k --+==++..........................8 2243(1)d r m k =⇒=+ .. (9)||AB ===2=≤...........................11 当且仅当即时等号成立 (12)11222OAB S AB r ∆∴=⨯≤⨯=， ∴面积的最大值为，此时直线方程. (13)（19）（本小题满分14分）（Ⅰ）由得， (1)相减并整理得又由于，则，故是等差数列． (3)因为，所以故． (5)（Ⅱ）当，时，，，可解得，， (7)猜想使成立． (8)证明：恒成立．令②﹣①得：，故存在等比数列符合题意． (10)（Ⅲ） (12)则故． (14)（20）（本小题满分14分）（Ⅰ）法一：根据题意：令，可得，所以经验证，可得当时，对任意，都有，所以 (3)法二：因为所以要使上式对任意恒成立，则须有即 (3)（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，且，所以， (4)令，要使存在两个极值点，，则须有有两个不相等的正数根，所以解得或无解，所以的取值范围，可得， (7)由题意知，令，则．而当时，，即，所以在上单调递减，所以即时，． (10)（Ⅲ）因为，．令得，．由（Ⅱ）知时，的对称轴，，，所以又，可得，此时，在上单调递减，上单调递增，上单调递减，所以最多只有三个不同的零点．又因为，所以在上递增，即时，恒成立．根据（2）可知且，所以，即，所以，使得．由，得，又，，所以恰有三个不同的零点：，，．综上所述，恰有三个不同的零点． (14)。
天津市红桥区2017年高考数学模拟试卷 含解析
2017年天津市红桥区高考数学模拟试卷一、选择题（共25小题，每小题3分，满分75分）1．已知集合M={1，2，3｝，N={1，3，4｝，则M∩N=（) A．｛1，3}B．{1,2,3，4｝C．{2,4}D．｛1，3,4｝2．函数y=cos2x，x∈R的最小正周期为（）A．2 B．πC．2πD．3．若向量=（2,3），=（﹣1,2）,则+的坐标为（）A．（1，5） B．（1，1) C．（3，1） D．（3，5）4．i是虚数单位，复数等于（)A．﹣2﹣2i B．2﹣2i C．﹣2+2i D．2+2i5．函数f(x）=的定义域为（）A．（0，+∞) B．（1，+∞）C．[0，+∞) D．[1，+∞）6．执行如图所示的程序框图，当输入x为16时,输出的y=（）A．28 B．10 C．4 D．27．在等差数列｛a n},若a3=16，a9=80，则a6等于()A．13 B．15 C．17 D．488．椭圆的离心率为（）A．B．C．D．9．若双曲线﹣=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=﹣2x，则a的值为（）A．8 B．4 C．2 D．110．若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为(1，0）,则p的值为(）A．1 B．2 C．4 D．811．下列函数在R上是减函数的为(）A．y=0。
5x B．y=x3 C．y=log0x D．y=2x。
512．直线l1：2x﹣y﹣1=0与直线l2：mx+y+1=0互相垂直的充要条件是（）A．m=﹣2 B．m=﹣C．m=D．m=213．已知x＞﹣2，则x+的最小值为(）A．﹣ B．﹣1 C．2 D．014．将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为(）A．y=cos(2x+）B．y=cos（2x+） C．y=cos（2x﹣）D．y=cos（2x ﹣）15．已知sinα=，α∈（,π),则sin2α的值为（)A．B．C．﹣D．﹣16．如图所示，一个简单空间几何体的三视图,其正视图与侧视图是边长为2的正三角形，俯视图为正方形，则此几何体的体积等于（）A．B．C．D．17．将一枚硬币先后抛掷两次，恰好出现一次正面的概率是（）A．B．C．D．18．从甲、乙、丙、丁四名同学中选2人参加普法知识竞赛,则甲被选中的概率为（）A．B．C．D．5，c=0。
天津市红桥区2020届高三第二次模拟考试试题(数学)
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(A){}1,0,1- (B){}1,0 (C){}1,0-(D){}2,1,0,1-（2）若数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，且333a S =，则公比=q(A)21-(B)21(A)b a c >> (B)a b c >>(C)c b a >>(D)a c b >>（4）设0log :2<x p ，12:1<-x q ，则p 是q 的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件（6）已知正方体的体积是8，则这个正方体的外接球的体积是(A)π32(B)π34（7）将函数x x y cos 3sin -=的图像沿x 轴向右平移)0(>m m 个单位长度，所得函数的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是(A)12π-(B)12π(C)6π-(D)6π （8）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左顶点与抛物线)0(22>=p px y 的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为)1,2(--，则双曲线的焦距为(A)22 (B)32(C)4(D)52（9）已知函数⎩⎨⎧≤-->-=0,20,12)(2x x x x x f x ，若函数m x f x g -=)()(有三个零点，则实数m 的取值范围是 (A)()0,∞- (B)()+∞,1(C)()0,1(D)[]1,0二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． （10）若i 为虚单位，则复数=-2)1(3i ______.（11）某校三个社团的人员分布如下表（每名同学只能参加一个社团）：学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果武术社被抽出12人，则这三个社团人数共有______.（12）已知二项式21()nx x+的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是______.（13）已知实数b a ,满足条件：0<ab ，且1是2a 与2b 的等比中项，又是a 1与b1的等差中项，则=++22ba ba ______. （14）曲线)1ln 3(+=x x y 在点），（11处的切线方程为______.（15）已知b a ,是单位向量，且0=⋅b a ，若向量c 满足1=--b a c ，则c 的最大值是______.三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为32和43，且各次射击互相独立. （Ⅰ）若甲、乙两人各射击1次，求至少有一人命中目标的概率；（Ⅱ）若甲连续射击3次，设命中目标次数为ξ，求命中目标次数ξ的分布列及数学期望. （18）（本小题满分15分）四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，且2==AB PA ，3=AD ，E 是线段BC 上的动点，F 是线段PE 的中点.（Ⅰ）求证：⊥PB 平面ADF ；（Ⅱ）若直线DE 与平面ADF 所成角为30， （1）求线段CE 的长；（2）求二面角A ED P --的余弦值. （19）（本小题满分51分）（20）（本小题满分51分）函数ax x x f -=ln )(，R ∈a . （Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调区间和极值；（Ⅱ）已知e x =1和2x 是函数)(x f 的两个不同的零点，求a 的值并证明：232e x >.（其中e 为自然对数的底数）高三数学参考答案一、选择题每题5分二、填空题每题5分 10.i 2311.15012.1013.31-14.34-=x y 15.12+ 三、解答题。
天津红桥区2017高三二模数学试题(理)(word版含答案)
河北区2016-2017学年度高三年级总复习质量检测（二）数 学 （理工类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{}1,2,3,4,5A =，{}|3x R B x ∈≥=，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{1,2,3}B ．{3,4,5}C ．{1,2}D ．{4,5}2.若,x y 满足20,20,0,x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）A ．2B ．-2C ．12 D ．-123.在ABC ∆中，已知1,,3BC B ABC π==∆AC 的长为（ ）A ．3 B．4.执行如图所示的程序框图，如果输入5n =，则输出S 的值为（ ）A ．49 B ．89 C.511 D ．10115.已知条件:12p x +>，条件:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．1a ≥ C. 1a ≥- D ．3a ≤-6.已知点(2,3)A 在抛物线2:2C y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ）A ．-2B ．43-C.34- D ．12- 7.若O 为ABC ∆所在平面内任一点，且满足()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC∆的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形 C.等腰直角三角形 D ．等边三角形 8.对任意的0x >，总有()lg 0f x a x x =--≤，则a 的取值范围是（ ） A ．()(,lg lg lge ]e -∞- B ．(,1]-∞ C.()1,lg lg lge e -⎡⎤⎣⎦ D ．()lg lg lge ,e -+∞⎡⎤⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）9.i 是虚数单位，复数3223ii+=- ． 10.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ．11.直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为 ． 12.若()5a x +展开式中2x 的系数为10，则实数a = ．13.在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于,A B 两点，则AB = ．14.设函数()y f x =是定义在R 上以1为周期的函数，若()()2g x f x x =-在区间[2,3]上的值域为[-2,6]，则函数()g x 在[-2017,2017]上的值域为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且()2cos cos tan tan 11A C A C -=. （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若a c b +=ABC ∆的面积16.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲，乙二人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的. （Ⅰ）求袋中原有白球的个数：（Ⅱ）求取球次数X 的分布列和数学期望.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//,AB CD AB AD ⊥，222AB AD CD ===，E 是PB 上的一点.（Ⅰ）求证：平面EAC ⊥平面PBC ；（Ⅱ）如图（1），若13PE PB =，求证：//PD 平面EAC ；（Ⅲ）如图（2），若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --PA 与平面EAC 所成角的正弦值.18.已知等差数列{}n a 满足：()*111,n n a a a n N +=>∈，11a +，21a +，31a +成等比数列，22log 1n n a b +=-.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .19.椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率32e a b =+=.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，,,A B D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设MN 的斜率为m ，BP 的斜率为n ，试证明：2m n -为定值.20.已知函数()()2ln ,3f x x x g x x ax ==-+-.（Ⅰ）求函数()f x 在[](),20t t t +>上的最小值；（Ⅱ）对一切()()()0,,2x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）探讨函数()12lnx x F x e ex=-+是否存在零点？若存在，求出函数()F x 的零点，若不存在，请说明理由.试卷答案一、选择题1-5: CDBCB 6-8: CBA二、填空题9.i ； 10.16； 11.4； 12.1； 13.2； 14. [-4030,4044].三、解答题15.解：（Ⅰ）由()2cos cos tan tan 11A C A C -=， 得sin sin 2cos cos 11cos cos A C A C A C ⎛⎫-=⎪⎝⎭.∴()2sin sin cos cos 1A C A C -=. ∴()1cos 2A C +=-. ∴1cos 2B =. 又0B π<<， ∴3B π=.（Ⅱ）由2222cos b a c ac B =+-，得()223a c ac b +-=，又a c b +== ∴4ac =.∴11sin 4222ABC S ac B ∆==⨯⨯=. 16.解：（Ⅰ）设袋中原有n 个白球，由题意知()()24271112=767672n n n n C C --==⨯⨯，所以()1=6n n -.解得3n = (2n =-，舍去). 即袋中原有3个白球.（Ⅱ）由题意，X 的可能取值为1,2,3,4,5.()317P X ==；()4322767P X ⨯===⨯； ()4336376535P X ⨯⨯===⨯⨯；()432334765435P X ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯；()43213157654335P X ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯.所以，取球次数X 的分布列为.所以()12345277353535E x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 17.（Ⅰ）证明：∵PC ⊥底面ABCD ， ∴PC AC ⊥.∵222AB AD CD ===，//,AB CD AB AD ⊥, ∴AC BC =∴222AC BC AB +=.∴90ACB ∠=︒，即BC AC ⊥. 又AC ⊂平面EAC ， ∴平面EAC ⊥平面PBC .（Ⅱ）证明：连BD 交AC 于点F ，连EF ， ∵//,2AB CD AB CD =，∴12DF CD FB AB ==. ∵13PE PB = ，∴PE DFEB FB=. ∴//EF PD .又EF ⊂平面EAC ，PD ⊄平面EAC ， ∴//PD 平面EAC .（Ⅲ）解：以点C 为原点，建立如图的空间直角坐标系，则000,(1,1,0)(11,0)()C A B -，，,，， 设()()0,0,0P a a >，则11,,222a E ⎛⎫-⎪⎝⎭. ∴()()111,1,0,0,0,,,,222a CA CP a CE ⎛⎫===- ⎪⎝⎭. 取()1,1,0m -，则0m CP m CA ⋅=⋅= ，∴m为平面PAC 的法向量.设(),,n x y z =为平面PAC 的法向量，则0n CE n CA ⋅=⋅= .∴0,0.x y x y az +=⎧⎨-+=⎩取x a =，则,2y a z =-=-, ∴(),,2n a a =--.∵cos ,m n m n m n ⋅<>===， ∴2a =.∴()2,2,2n =--.设直线PA 与平面EAC 所成的角为θ，则sin cos ,=3PA n PA n PA nθ⋅=<>=. ∴直线PA 与平面EAC所成角的正弦值为3. 18.解：（Ⅰ）设d 为等差数列{}n a 的公差，11a =， 则231,12a d a d =+=+，∵11a +，21a +，31a +成等比数列， ∴()()22242d d +=+. ∵0d >， ∴2d =. ∴21n a n =-. ∵22log 1n n a b +=-， ∴2log n b n =-. ∴12n n b =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知212n n nn a b -⋅=， ∴23135212222n nn T -=++++ ，234111352122222n n n T +-=++++ . ①-②得23111111212222222n n n n T +-⎛⎫=+⨯+++- ⎪⎝⎭ ， 2-111111111211132322211222222212n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+⨯-=+-=--，∴2332n nn T +=-.19.解：（Ⅰ）∵2ce a==，∴,a b ==. 代入3a b +=解得2,1,a b c ==∴椭圆的方程为2214x y +=. （Ⅱ）由（Ⅰ）得()2,0B ，因为P 不为椭圆顶点， 则直线BP 的方程为()2y n x =-，10,2n n ⎛⎫≠≠±⎪⎝⎭. 将①代入2214x y +=，解得222824,4141n n P n n ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 直线AD 的方程为112y x =+. ①与②联立解得424,2121n n M n n +⎛⎫⎪--⎝⎭.由()()2228240,1,,,,14104n n P n n D N x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭三点共线得22410141820041nn n x n ---+=---+， 解得42,021n N n -⎛⎫⎪+⎝⎭.∴MN 的斜率为()()()22404212121424242212212121nn n n n m n n n n n n -++-===+-+----+. ∴211222n m n n +-=-=（定值）. 20.解（Ⅰ）()()ln 10f x x x '=+>， 由()0f x <得10x e <<，由()0f x '>得1x e>， ∴函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.当10t e <≤时，12t e+>， ∴()min 11f x f e e⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 当1t e>时，()f x 在上[],2t t +单调递增，()()min ln f x f t t t ==， ∴()min11,0,1ln ,.t e e f x t t t e ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩（Ⅱ）原问题可化为32ln a x x x≤++， 设()()32ln 0h x x x x x =++>，则()()()231x x h x x +-'=， 当01x <<时，()0h x '<，()h x 在（0,1）上单调递减； 当1x >时，()0h x '>，()h x 在()1,+∞上单调递增： ∴()()min 14h x h ==. ∴a 的取值范围为(,4]-∞. （Ⅲ）令()0F x =，得12ln 0x x e ex -+=，即()2ln 0x x x x x e e=->， 由（Ⅰ）知当且仅当1x e=时，()()ln 0f x x x x =>的最小值是11f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设()()20x x x x e e ϕ=->，则()1xxx eϕ-'=， 易知()x ϕ在（0,1）上单调递增，在(1)+∞，上单调递减， ∴当且仅当1x =时，()x ϕ取最大值，且()11eϕ=-， ∴对()0,x ∈+∞都有，2ln x x x x e e >-，即()12ln 0x F x x e ex=-+>恒成立. ∴函数()F x 无零点.。
红桥区2017届高三二模数学(文)试题含答案
高三数学（文史类）第Ⅰ卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1、已知集合2{|1},{|0}A x x B x xx =<=-≤,则A B =A ．{|11}x x -≤≤B ．{|01}x x ≤≤C ．{|01}x x <≤D ．{|01}x x ≤< 2、盒子装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个，若从中随机取出2个球，则所有取出的2个球颜色不同的概率等于A ．310B ．25C ．35D ．123、根据如下图所示的框图,对大于2的正数N,输出的数列的通项公式是A ．2nan = B ．2(1)nan =- C ．2n na= D ．12n na-=4、某几何体的三视图如上图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值A ．2B ．3C ．32D ．925、设:{|lg(1)},:{|21}xp x x y x q x x -∈=-∈<，则p 是q 的A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6、在ABC ∆中，0120,2,3,,ABC BA BC D E ∠===是线段AC 的三等分点,则BD BE⋅的值为A ．659B ．119C ．419D ．139-7、将函数()2sin(2)4f x x π=+的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位,再讲图象上没一点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），所得图象关于直线4x π=对称，则ϕ的最小值为A ．18π B ．14π C ．38π D ．12π8、已知函数()2log ,02sin(),2104x x f x x x π⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1234,,,x x x x 满足1234()()()()f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则3412(1)(1)x x x x --的取值范围是A ．(9,21)B ．(20,32)C ．(8,24)D ．(15,25)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分，把答案填在答题卷的横线上..9、设i 为虚数单位,复数z 满足3(2)z i i -=，则复数z 的虚部为10、()21ln 2f x xx =-+在1[,]e e上的最大值是11、已知函数()12cos (0),()2,()0f x wx wx w f x f x =+>=-=，且12x x -的最小值等于π，则w =12、已知直线:l y =，点(,)P x y 是圆22(2)1x y -+=上的动点，则点P 到直线l 的距离的最小值为13、如图，12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点,过1F 的直线与双曲线的左右两支分别交于点,A B ,若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为 14、已知下列命题： ①函数()22122f x x x=+++有最小值2；②“2450x x --=”的一个必要不充分条件是“5x =”；③命题:,tan 1p x R x ∃∈=；命题2:,10q x R xx ∀∈-+>，则命题“()p q ∧⌝”是假命题;④函数()3231f x xx =-+在点(2,(2))f 处的切线方程为3y =-。
天津市红桥区2017年高三质量调查试卷(二)数学
高三数学（理）试卷第1页（共4页）高三数学（理）试卷第2页（共4页）天津市红桥区2017年高三质量调查试卷（二）数学（理工类）本试卷分为选择题和非选择题两部分，共150分，考试用时120分钟。
一.选择题：在每个小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}1A x x =<，{}20B x x x =- ，则A B =（A ）{}11x x - （B ）{}01x x （C ）{}01x x < （D ）{}01x x < （2）设变量x ，y 满足约束条件20,30,230,x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪+-⎩ 则目标函数2z x y =+的最大值为（A ）6（B ）32（C ）0（D ）12（3）根据如下图所示的框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是（A ）2n a n =（B ）2(1)n a n =-（C ）2nn a =（D ）12n n a -=（4）某几何体的三视图如下图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中x 的值为（A ）2（B ）3（C ）32（D ）92（5）设p ：{}lg(1)x x y x ∈=-，q ：{}21x x x -∈<，则p 是q 的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）△ABC 中，120ABC ∠=︒，BA =2，BC =3，D ，E 是线段AC 的三等分点，则BD BE ⋅的值为（A ）659（B ）119（C ）419（D ）139-（7）将()2sin(2)4f x x π=+的图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），所得图象关于直线4x π=对称，则ϕ的最小值为（A ）18π（B ）14π（C ）38π（D ）12π（8）已知函数2log ,02()sin(),210.4x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎪⎩， 若存在实数1x ，2x ，3x ，4x 满足)()()()(4321x f x f x f x f ===，且4321x x x x <<<，则2143)1()1(x x x x ⋅-⋅-的取值范围是（A ）)21,9(（B ）)32,20(（C ）)24,8(（D ）)25,15(二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）设i 为虚数单位，则复数3i 2i=-__________.（10）37(2x 的展开式中常数项是__________.（用数字作答）（11）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1(sin sin )()()sin 2A B a b a c C -+=-，则cos B =__________.（12）曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，则曲线C 上的点到直线l：32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）的最短距离是__________.（13）如图，F 1、F 2是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点B 、A .若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为___________.正视图侧视图俯视图2x114（第题图）高三数学（理）试卷第3页（共4页）高三数学（理）试卷第4页（共4页）（14）已知下列命题：①函数22212)(x x x f +++=有最小值2；②“0542=--x x ”的一个必要不充分条件是“5=x ”；③命题p ：,tan 1x x ∃∈=R ；命题q ：2,10x x x ∀∈-+>R ，则命题“)(q p ⌝∧”是假命题；④函数13)(23+-=x x x f 在点))2(,2(f 处的切线方程为3-=y .其中正确命题的序号是___________.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）已知函数2()2sin(2)6sin cos 2cos 14f x x x x x π=-++-+，x ∈R .（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.（16）（本小题满分13分）摩拜单车和ofo 小黄车等共享自行车已经遍布大街小巷，给我们的生活带来了便利.某自行车租车点的收费标准是：每车使用1小时内是免费的，超过1小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人独立来该租车点租车（各租一车一次）.设甲、乙不超过1小时还车的概率分别为14，12；1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过3小时.（Ⅰ）设甲乙两人所付的租车费用相同的概率；（Ⅱ）设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望()E ξ.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且22PA PD AD ==，E 、F 分别为PC 、BD 的中点.（Ⅰ）求证：EF //平面PAD ；（Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面PDC ；（Ⅲ）在线段AB 上是否存在点G ，使得二面角C PD G --的余弦值为13？说明理由.（18）（本小题满分13分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为63，且过点6(1,)3.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设与圆O ：2234x y +=相切的直线l 交椭圆C 与A ，B 两点，求△OAB 面积的最大值，及取得最大值时直线l 的方程.（19）（本小题满分14分）设n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，且2113424n n n S a a =+-.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）是否存在等比数列{}n b ，使11122(21)22n n n a b a b a b n ++++=-⋅+ 对一切正整数n 都成立？并证明你的结论；（Ⅲ）设11n nc a =+（*n ∈N ），且数列{}n c 的前n 项和为n T ，试比较n T 与16的大小.（20）（本小题满分14分）已知函数()ln b f x x ax x=-+（,a b ∈R ），且对任意0x >，都有1()()0f x f x+=.（Ⅰ）用含a 的表达式表示b ；（Ⅱ）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求出a 的取值范围，并证明2()02a f >；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断()y f x =零点的个数，并说明理由.。
2020年天津市部分区高考数学二模试卷(含答案解析)
2020年天津市部分区高考数学二模试卷(含答案解析)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One12020年天津市部分区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.设集合0，，2，，，则A. B. C. D. 0，2.已知命题p：，，则命题p的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，3.已知i为虚数单位，若复数的实部为，则A. B. C. D.4.函数是定义在R上的奇函数，且当时，为常数，则A. B. C. D.5.若，，则A. 0B.C. 1D.6.设等差数列的前n项和为，若，，则A. 11B. 13C. 15D. 177.已知，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.8.若函数在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是A. B. C. D.9.已知函数函数若关于x的方程有3个互异的实数根，则实数k的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.双曲线的右焦点为，且一条渐近线方程是，则该双曲线的方程是______．11.若的展开式中的常数项为，则实数______．12.已知点在直线上，则的最小值为______．13.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，若，则______．14.如图，点O是长方体的中心，E，F，G，H分别为其所在棱的中点，且记棱AB的长度为l，点O到平面的距离为，则______；若该长方体的体积为120，则四棱锥的体积为______．15.16.17.在梯形ABCD中，，，，，若点M在线段BD上，则的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）18.天津市某中学为全面贯彻“五育并举，立德树人”的教育方针，促进学生各科平衡发展，提升学生综合素养．该校教务处要求各班针对薄弱学科生成立特色学科“兴趣学习小组”每位学生只能参加一个小组，以便课间学生进行相互帮扶．已知该校某班语文、数学、英语三个兴趣小组学生人数分别为10人、10人、15人．经过一段时间的学习，上学期期中考试中，他们的成绩有了明显进步．现采用分层抽样的方法从该班的语文，数学，英语三个兴趣小组中抽取7人，对期中考试这三科成绩及格情况进行调查．19.应从语文，数学，英语三个兴趣小组中分别抽取多少人？20.若抽取的7人中恰好有5人三科成绩全部及格，其余2人三科成绩不全及格．现从这7人中随机抽取4人做进一步的调查．21.记X表示随机抽取4人中，语文，数学，英语三科成绩全及格的人数，求随机变量X的分布列和数学期望；22.设M为事件“抽取的4人中，有人成绩不全及格”，求事件M发生的概率．23.24.25.26.27.28.29.30.已知各项均为正数的数列，满足31.求证：为等比数列，并写出其通项公式；32.设，求数列的前n项和．33.34.35.36.37.38.39.如图，四棱锥中，底面四边形ABCD是直角梯形，底面ABCD，，，，，E为PB的中点．40.求证：平面PAC；41.若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．42.43.44.45.已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，其焦距为6，过的直线与C交于A，B两点，且的周长是．46.求C的方程；47.若是C上的动点，从点是坐标系原点向圆作两条切线，分别交C于P，Q两点．已知直线OP，OQ的斜率存在，并分别记为，．48.求证：为定值；49.试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．50.51.52.53.54.55.56.57.已知函数，函数，其中是自然对数的底数．58.求曲线在点处的切线方程；59.设函数，讨论的单调性；60.若对任意，恒有关于x的不等式成立，求实数m的取值范围．61.62.64.65.66.-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】进行交集和并集的运算即可．本题考查了描述法和列举法的定义，交集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．【解答】解：0，，2，，，0，1，2，，．故选：B．2.答案：C解析：解：因为命题p：，，是特称命题，故命题p的否定是：，；故选：C．直接根据命题的特点，求出结论即可．本题考查命题的否定，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.答案：D解析：解：的实部为，，即．，则．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于求得a，进一步求得z，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．4.答案：D解析：解：根据题意，函数为定义在R上的奇函数，且时，则，解得，则当时，令，则，即有，所以当时，故，故选：D．根据题意，由奇函数的性质可得，进而求得当时函数的解析式，进而可得的值本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于中档题．5.答案：A解析：解：，，又，则，即，则，故选：A．由角的范围和，可求出，进而可求余弦值．本题考查三角函数给值求角，注意角的范围，以及给角求值，属于基础题．6.答案：B解析：解：设等差数列的公差为d，，，，，联立解得：，，则．故选：B．利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：C解析：解：，，，．故选：C．由，，可得a，b都小于0，再与比较大小即可得出关系，c大于0．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：D解析：解：由，，得，，即函数的单调递减区间为，，在区间单调递减，且，即，得，，即，，，当时，，由得，在区间有零点，满足，当时，，得综上：，故选：D．利用余弦函数的单调性和零点，求得的取值范围．本题主要考查三角函数的图象和性质，根据余弦函数的单调性和零点性质建立不等式关系是解决本题的关键．9.答案：B解析：解：作出函数和的图象如图：由图可知，当时，不满足题意，则；当直线经过点B时，，此时与函数图象有3个交点，满足；当为的切线时，设切点，则，故有，解得，即有切点为，此时与有3个交点，满足题意；综上：当，故选：B．利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数零点个数的判断和应用，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．10.答案：解析：解：双曲线的右焦点为，，又有一条渐近线方程是，，，，解得，，双曲线的标准方程为．故答案为：．由题可知，，，再结合，解得，，于是求得双曲线的方程．本题考查双曲线标准方程的求法、基本几何性质，考查学生的运算能力，属于基础题．11.答案：解析：解：的展开式中的通项公式为，令，求得，可得的常数项为，则实数，故答案为：．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．12.答案：解析：解：由题意可得，，则，当且仅当且即，时取等号，故答案为：由已知直接利用基本不等式即可求解．本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题．13.答案：解析：解：，，即，由正弦定理可得：，，可得，即，．故答案为：．利用两角差的余弦函数公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tan A，进而可求cos A的值．本题主要考查了两角差的余弦函数公式，正弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.答案：2 10解析：解：如图，点O是长方体的中心，为的中点，平面，平面平面，在平面内，过O作则平面，则，且，又棱AB的长度为l，点O到平面的距离为，；设，则，，，即正方形EFGH的边长为，则面积为，则．故答案为：2；10．由点O是长方体的中心，得O为的中点，在平面内，过O作，证明平面，可得，且，得到；设，则，再把四棱锥的体积用含有a与l的代数式表示，即可求得四棱锥的体积．本题考查长方体与棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，是中档题．15.答案：解析：解：因为在梯形ABCD中，，，，，，令，，，．．，代入上式得：，所以，当时，的最小值为．故答案为：．以为基底，并且设，，然后用基底将表示出来，最终把问题转化为关于的函数，求其最小值即可．本题考查平面向量基本定理以及数量积的运算问题．同时考查学生利用化归思想解决问题的能力和运算能力．属于中档题．16.答案：解：依题意，知语文、数学、英语三个兴趣小组的人数之比为2：2：3，因此，采用分层抽样方法从中抽取7人，应从语文、数学、英语三个兴趣小组中分别抽取2人、2人、3人．分依题意，得随机变量X的所有可能取值为2，3，分所以，分X 2 3 4P分故随机变量X的数学期望为分依题意，设事件B为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有2人，三科成绩不全及格的有2人”；事件C为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有3人，三科成绩不全及格的有1人”．则有，且B与C互斥．由知，，，所以分故事件M发生的概率为分解析：依题意，知语文、数学、英语三个兴趣小组的人数之比为2：2：3，采用分层抽样方法从中抽取7人，即可得出结论．依题意，得随机变量X的所有可能取值为2，3，4，利用超几何分布列计算公式，即可得出分布列，进而得出数学期望依题意，设事件B为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有2人，三科成绩不全及格的有2人”；事件C为“抽取的4人中，三科成绩全及格的有3人，三科成绩不全及格的有1人”，可得，且B与C互斥．由知，，，即可得出．本题考查了超几何分布列与数学期望、分层抽样、互斥事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：证明：因为，所以，当时，有，由得，即，所以，所以数列是公比为2的等比数列．又由得，解得：所以；解：由题意及得，所以，所以，由，得，故．解析：由，两式相减整理得所以，从而证明其为等比数列，进而可求其通项公式；由求得，再利用错位相减法求其和即可．本题主要考查等比数列的定义、通项公式及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题．18.答案：解：证明：因为，，所以．又因为，所以是等腰直角三角形，所以，．又因为，，所以，即．因为底面ABCD，平面ABCD，所以．又，所以平面PAC．解：在中，，，所以．由知，平面PAC，所以是直线PB与平面PAC所成的角，则．在中，，所以．【方法一】以点C为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．则．因为E为PB的中点，所以，所以．设平面ACE法向量为，则即令，得所以．由平面PAC，则为平面PAC的一个法向量．所以．故所求二面角的余弦值为．【方法二】以点C为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．则．因为E为PB的中点，所以，所以．设平面ACE法向量为，则即令，得所以．由平面PAC，则为平面PAC的一个法向量．所以．故所求二面角的余弦值为．解析：推导出由此能证明平面PAC．法一：以点C为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系由此利用向量法能求出二面角的余弦值．法二：以点C为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系由此利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：设椭圆C：的焦距为，则，所以．因为直线AB过C的焦点，且的周长是，所以，所以．所以．所以，椭圆C的方程是．证明：由题意得，直线OP：，直线OQ：因为直线OP，OQ与圆M相切，所以，化简，得；同理，得．所以，是一元二次方程的两实数根，则有．又因为点在C上，所以，即，所以定值．解：是定值，且定值为27．理由如下：方法一设，由、联立方程组解得所以．同理，得．由知，所以，所以定值．方法二设，，由知，所以．因为，在C上，所以，即所以，整理得，所以．故有定值．解析：根据题意可得，解得a，b，进而得椭圆C的方程．由题意得，直线OP：，直线OQ：因为直线OP，OQ与圆M相切，得；同理，得．所以，是一元二次方程的两实数根，所以又因为点在C上，所以，进而定值．方法一设，联立方程组解得P点的坐标，进而得同理，得，由知，所以，化简可得出结论．方法二设，，由知，所以因为，在C上，所以，即两式相乘，化简，再代入化简即可得出结论．本题考查椭圆方程，定值问题，在解题过程中关键是细心进行运算化简，属于中档题．20.答案：解：由题意，得，所以．因为，所以，即所求曲线在点处的切线方程为．易知，函数的定义域为R，，且有．由于在上恒成立，所以当时，在上恒成立，此时，所以，在区间上单调递增．当时，由，即，解得；由，即，解得．所以，在区间上单调递减；在区间上单调递增．易知，等价于．设由题意，对时，不等式恒成立，只需．易得，．令，，所以．显然，当时，恒成立．所以函数在上单调递减，所以，即在恒成立．所以，函数在上单调递减．所以有．所以．故所求实数m的取值范围是．解析：求出，通过然后求解切线方程．求出，通过当时，当时，判断导函数的符号，得到函数的单调性即可．设转化为对时，不等式恒成立，只需利用函数的导数，构造函数，二次导函数，判断函数的单调性，求解函数的最值，然后推出结果．本题考查导数的应用，考查转化思想以及计算能力，分类讨论思想的应用，二次导函数的应用，是难题．。
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2020届天津市红桥区2017级高三二模考试
数学试卷
★祝考试顺利★
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利！
参考公式：
柱体的体积公式 Sh V =柱体，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．
锥体的体积公式
Sh V 31=锥体 ，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高． 球的体积公式 33
4R V π=球 ，其中R 表示球的半径．
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共9题，每小题5分，共45分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(A) {}1,0,1-
(B) {}1,0 (C) {}1,0- (D) {}2,1,0,1- （2）若数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，且333a S =，则公比=q
(A) 21- (B) 21。