一元二次方程知识点及习题

一元二次方程一、本章知识结构框图二、具体内容 （一）、一元二次方程的概念1．理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数（1）明确只有当二次项系数0≠a 时，整式方程02=++c bx ax 才是一元二次方程。

（2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). （3）熟练整理方程的过程3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程 （二）、一元二次方程的解法1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题：(1)开平方法：对于形如n x =2或)0()(2≠=+a n b ax 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如n x =2的方程的解法： 当0>n 时，n x ±=;实际问题数学问题)0(02≠=++a c bx ax设未知数，列方程实际问题的答案数学问题的解aacb b x 242-±-=解 方 程降 次开平方法配方法公式法 分解因式法检 验当0=n 时，021==x x ; 当0<n 时，方程无实数根。

（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为n m x =+2)(的方程，再运用开平方法求解。

配方法的一般步骤：①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1； ③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为n m x =+2)(的形式； ④求解：若0≥n 时，方程的解为n m x ±-=，若0<n 时，方程无实数解。

（3）公式法：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根aac b b x 242-±-=当042>-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；当042=-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为ab x x 221-==； 当042<-ac b 时，方程无实数根.公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定c b a ,,的值；③代入ac b 42-中计算其值，判断方程是否有实数根；④若042≥-ac b 代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。

（因为这样可以减少计算量。

另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。

）（4）因式分解法：①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若0=ab ，则00==b a 或； ②因式分解法的一般步骤：将方程化为一元二次方程的一般形式；把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。

（5）选用适当方法解一元二次方程①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。

②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。

（6）解含有字母系数的方程（1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；（2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。

（三）、根的判别式1．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。

（1）∆=ac b 42-（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）①当⎩⎨⎧≥∆≠时00a ⇔方程有实数根；（当⎩⎨⎧>∆≠时00a ⇔方程有两个不相等的实数根；当⎩⎨⎧=∆≠时00a ⇔方程有两个相等的实数根；） ②当⎩⎨⎧<∆≠时00a ⇔方程无实数根；从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。

2．常见的问题类型（1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况（2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围 （3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况 ①先计算出判别式（关键步骤）； ②用配方法将判别式恒等变形； ③判断判别式的符号； ④总结出结论.例：求证：方程0)4(2)1(222=++-+a ax x a 无实数根。

（4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。

（5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧 （6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合 （7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题 （四）、一元二次方程的应用1.数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。

2.几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。

3.增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（a ），增长率（x ），变化的次数（n ），变化后的基数（b ）,这四者之间的关系可以用公式b x a n =+)1(表示。

4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。

（五）新题型与代几综合题（1）有100米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于600平方米，在场地的北面有一堵50米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40米、宽10米的仓库，但面积只有400平方米，不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？（2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄）：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？（36岁）(3)已知：c b a ,,分别是ABC ∆的三边长，当0>m 时，关于x 的一元二次方程02)()(22=--++ax m m x b m x c 有两个相等的实数根，求证：ABC ∆是直角三角形。

（4）已知：c b a ,,分别是ABC ∆的三边长，求证：方程0)(222222=+-++c x a c b x b 没有实数根。

（5）当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程0442=+-x mx 与0544422=--+-m m mx x 的根都是整数？（1=m ）（6）已知关于x 的方程02212222=-+-++mx x m x x ，其中m 为实数，（1）当m 为何值时，方程没有实数根？（2）当m 为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根。

答案：（1）2-<m （2）21,1±--=x .（六）相关练习（一） 一元二次方程的概念1．一元二次方程的项与各项系数把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项： （1）x x 3252=- )2,3,5(2--x x （2）015622=--x x )2,15,6(2-x x （3）5)2(7)1(3-+=+y y y )9,4,3(2--y y （4） m m m m m m 57)2())((2-=-+-+ )3,0,2(2-m （5）22)3(4)15(-=-a a )5,2,3(2-a a 2．应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值(1)m 为何值时，关于x 的方程m x m x m m 4)3()2(2=+--是一元二次方程。

（2-=m ）（2）若分式01872=---x x x ，则=x （8=x ）3．由方程的根的定义求字母或代数式值(1)关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 有一个根为0，则=a （1-=a ）(2)已知关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有一个根为1，一个根为1-，则=++c b a ，=+-c b a （0，0）（3）已知c 为实数，并且关于x 的一元二次方程032=+-c x x 的一个根的相反数是方程032=-+c x x 的一个根，求方程032=-+c x x 的根及c 的值。

（0，-3， c=0） （二）一元二次方程的解法 1．开平方法解下列方程：（1）012552=-x （5,521-==x x ） （2）289)3(1692=-x （1322,135621==x x ） （3）03612=+y （原方程无实根） （4）0)31(2=-m （021==m m ）（5）85)13(22=+x （3521±-=x ） 2．配方法解方程：（1）0522=-+x x （61±-=x ） （2）0152=++y y （2215±-=x ） （3）3422-=-y y （2101±=y ） 3．公式法解下列方程： （1）2632-=x x （333±=x ） （2）p p 3232=+ （321==p p ） （3）y y 1172= （0,71121==y y ） （4）2592-=n n （原方程无实数根） （5）3)12)(2(2---=+x x x （2153±=x ） 4．因式分解法解下列方程：（1）09412=-x （6±=x ） （2）04542=-+y y （5,921=-=y y ） （3）031082=-+x x （23,4121-==x x ） （4）02172=-x x （3,021==x x ）（5）6223362-=-x x x （32,2321==x x ） （6）1)5(2)5(2--=-x x （621==x x ） （7） 08)3(2)3(222=-+-+x x x （1,4,1,24321=-=-=-=x x x x ） 5．解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）： （1）128)72(22=-x （227±=x ） （2）222)2(212m m m m -=+-（262±=m ） （3）)3)(2()2(6+-=-x x x x （53,221==x x ） （4）3)13(2)23(332-+-=+y y y y y （2,2321==y y ）（5）22)3(144)52(81-=-x x （23,102721==x x ） 6．解含有字母系数的方程（解关于x 的方程）：（1）02222=-+-n m mx x (n m x n m x +=-=21,) （2）124322+-=+a ax a x （1,1321+=-=a x a x ） （3）n m nx x n m -=++2)(2 （0≠+n m ） （nm nm x x +-=-=21,1 ） （4）x a x a x x a )1()1()1(2222-=--+- （讨论a ） （三）一元二次方程的根的判别式 1．不解方程判别方程根的情况：（1）4x x x 732=+-（有两个不等的实数根） （2）x x 4)2(32=+ （无实数根） （3）x x 54542=+ （有两个相等的实数根） 2．k 为何值时，关于x 的二次方程0962=+-x kx （1）有两个不等的实数根 （01≠<k k 且） （2）有两个相等的实数根 （1=k ） （3）无实数根 （1>k ）3．已知关于ｘ的方程m x m x -=+-1)2(42有两个相等的实数根．求ｍ的值和这个方程的根．(21,221===x x m 或23,1021===x x m ) 4．若方程054)1(222=-++++a a x a x 有实数根，求：正整数a. （3,2,1===a a a ） 5．对任意实数m ，求证：关于x 的方程042)1(222=++-+m mx x m 无实数根. 6．k 为何值时，方程0)3()32()1(2=+++--k x k x k 有实数根. （当01=-k 时，原方程有一个实数根，54=x ； 当⎩⎨⎧≥∆≠-001k 时，解得⎪⎩⎪⎨⎧-≥≠4211k k ，所以当421-≥k 且1≠k 时方程有两个实数根。