新初中数学概率技巧及练习题

新初中数学概率技巧及练习题

一、选择题

1．如图，由四个直角边分别是6和8的全等直角三角形拼成的“赵爽弦图”，随机往大正方形区域内投针一次，则针扎在小正方形GHEF 部分的概率是（ ）

A ．

34

B ．

14

C ．

124

D ．

125

【答案】D 【解析】 【分析】

求出ＡＢ,ＨＧ的边长,进而得到正方形GHEF 的面积和四个小直角三角形的面积,求出比值即可. 【详解】

解：∵ＡＨ＝６,ＢＨ＝８, 勾股定理得ＡＢ＝１０,

∴ＨＧ＝８－６＝２,Ｓ△ＡＨＢ＝２４,

∴Ｓ正方形GHEF ＝４,四个直角三角形的面积＝９６, ∴针扎在小正方形GHEF 部分的概率是100４=125

故选Ｄ. 【点睛】

本题考查了几何概型的实际应用,属于简单题,将概率问题转换成求图形的面积问题是解题关键.

2．岐山县各学校开展了第二课堂的活动,在某校国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组三个活动组织中,若小斌和小宇两名同学每人随机选择其中一个活动参加,则小斌和小宇选到同一活动的概率是（ ） A ．

12

B ．

13

C ．

16

D ．

19

【答案】B 【解析】 【分析】

先画树状图（国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组分别用A 、B 、C 表示）展示所有9种等可能的结果数，再找出小斌和小宇两名同学的结果数，然后根据概率公式计算即可．

【详解】

画树状图为：(国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组分别用A. B. C表示)

共有9种等可能的结果数，其中小斌和小宇两名同学选到同一课程的结果数为3，

所以小斌和小宇两名同学选到同一课程的概率=31 93 ，

故选B.

【点睛】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

3．欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以构酌油之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油的技艺之高超.如图，若铜钱半径为，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】

【分析】

用中间正方形小孔的面积除以圆的总面积即可得．

【详解】

∵铜钱的面积为4π，而中间正方形小孔的面积为1，

∴随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是，

故选：D．

【点睛】

考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．

4．将三粒均匀的分别标有：1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出，出现的数字分

别为a，b，c，则a，b，c正好是直角三角形三边长的概率是（）

A．1

36

B．

1

6

C．

1

12

D．

1

3

【答案】A

【解析】

【分析】

本题是一个由三步才能完成的事件，共有6×6×6=216种结果，每种结果出现的机会相同，a，b，c正好是直角三角形三边长，则它们应该是一组勾股数，在这216组数中，是勾股数的有3，4，5；3，5，4；4，3，5；4，5，3；5，3，4；5，4，3共6种情况，即可求出a，b，c正好是直角三角形三边长的概率.

【详解】

P（a，b，c正好是直角三角形三边长）=

61 21636

=

故选：A

【点睛】

本题考查概率的求法，概率等于所求情况数与总情况数之比.本题属于基础题，也是常考题型.

5．将一质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，与点数2的差不大于1的概率是（）

A．1

2

B．

1

3

C．

2

3

D．

5

6

【答案】A

【解析】

【分析】

根据正方体骰子共有6个面，通过观察向上一面的点数，即可得到与点数2的差不大于1的概率．

【详解】

∵正方体骰子共6个面，

每个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，

∴与点数2的差不大于1的有1、2、3．

∴与点数2的差不大于1的概率是31 62 =．

故选：A．

【点睛】

此题考查求概率的方法，解题的关键是理解题意．

6．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的小球共有50个，除颜色外其他完全相同．乐乐通过多次摸球试验后发现，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在27%和43%，

则口袋中白色球的个数很可能是（）

A．20 B．15 C．10 D．5

【答案】B

【解析】

【分析】

由频率得到红色球和黑色球的概率，用总数乘以白色球的概率即可得到个数.

【详解】

白色球的个数是50(127%43%)

?-=15个，

故选：B.

【点睛】

此题考查概率的计算公式，频率与概率的关系，正确理解频率即为概率是解题的关键. 7．从﹣1、2、3、﹣6这四个数中任取两数，分别记为m、n，那么点(),m n在函数

6

y

x

=图象的概率是（）

A．1

2

B．

1

3

C．

1

4

D．

1

8

【答案】B

【解析】

【分析】

根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出mn＝6，列表找出所有mn的值，根据表格中mn＝6所占比例即可得出结论．

【详解】

Q点(),m n在函数6

y

x

=的图象上，

6

mn

∴=．

列表如下：

mn的值为6的概率是

41 123

=．

故选：B．

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及列表法与树状图法，通过列表

找出mn＝6的概率是解题的关键．

8．下列说法正确的是（）

A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查

B．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生

C．数据3，5，4，1，-2的中位数是4

D．“367人中有2人同月同日出生”为确定事件

【答案】D

【解析】

【分析】

根据可能性的大小、全面调查与抽样调查的定义及中位数概念、必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．

【详解】

A、检测某批次灯泡的使用寿命，调查具有破坏性，应采用抽样调查，此选项错误；

B、可能性是1%的事件在一次试验中可能发生，此选项错误；

C、数据3，5，4，1，-2的中位数是3，此选项错误；

D、“367人中有2人同月同日出生”为必然事件，此选项正确；

故选D．

【点睛】

本题主要考查可能性的大小、全面调查与抽样调查的定义及中位数概念、随机事件，熟练掌握基本定义是解题的关键．

9．如图，在4×3长方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是（）

A．1

6

B．

1

12

C．

1

3

D．

1

4

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】

解：∵在4×3正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有8种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有2种情况，如图所示：

∴使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是：21 84

故选D．

10．在四张质地、大小相同的卡片上，分别画有如图所示的四个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张卡片，则抽出的卡片上的图形是中心对称图形的概率为（）

A．1 B．3

4

C．

1

2

D．

1

4

【答案】B

【解析】

【分析】

从四个图形中找到中心对称图形的个数，然后利用概率公式求解即可．【详解】

∵四个图形中，是中心对称图形的有平行四边形、矩形及圆三个，

∴P（中心对称图形）＝3

4

，

故选B．

【点睛】

本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能

性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝m

n

．

11．袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到

球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列事件是必然事件的是（）

A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球

B．摸出的三个球中至少有一个球是白球

C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球

D．摸出的三个球中至少有两个球是白球

【答案】A

【解析】

【分析】

根据必然事件的概念：在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件分析判断即可.

【详解】

A、是必然事件；

B、是随机事件，选项错误；

C、是随机事件，选项错误；

D、是随机事件，选项错误．

故选A．

12．下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是必然事件；③若甲组数据的方差是0.3，乙组数据的方差是0.1，则甲数据比乙组数据稳定；④圆内接正六边形的边长等于这个圆的半径，其中正确说法的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】A

【解析】

【分析】

根据平行四边形的判定去判断①；根据必然事件的定义去判断②；根据方差的意义去判断③；根据圆内接正多边形的相关角度去计算④．

【详解】

一组对边平行，另一组对边相等的四边形也有可能是等腰梯形，①错误；必然事件是一定会发生的事件，遇到红灯是随机事件，②错误；方差越大越不稳定，越小越稳定，乙比甲更稳定，③错误；正六边形的边所对的圆心角是60 ，所以构成等边三角形，④结论正确．所以正确1个，答案选A．

【点睛】

本题涉及的知识点较多，要熟悉平行四边形的常见判定；随机事件、必然事件、不可能事件等的区分；掌握方差的意义；会计算圆内接正多边形相关．

13．下列说法正确的是（）

A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查

B．“367人中有2人同月同日生”为必然事件

C．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会犮生

D ．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4 【答案】B 【解析】 【分析】

根据可能性大小、全面调查与抽样调查的定义及中位数的概念、必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断． 【详解】

检查某批次灯泡的使用寿命调查具有破坏性，应采用抽样调查，A 错； 一年有366天所以367个人中必然有2人同月同日生，B 对； 可能性是1％的事件在一次试验中有可能发生，故C 错；

3，5，4，1，-2按从小到大排序为-2，1，3，4，5，3在最中间故中位数是3，D 错． 故选B. 【点睛】

区分并掌握可能性、全面调查与抽样调查的定义及中位数的概念、必然事件、不可能事件、随机事件的概念．

14．下列事件中，确定事件是（ ）

A ．向量BC uuu r

与向量CD uuu r 是平行向量

B 40=有实数根；

C ．直线()20y ax a =+≠与直线23y x =+相交

D ．一组对边平行，另一组对边相

等的四边形是等腰梯形 【答案】B 【解析】 【分析】

根据“必然事件和不可能事件统称确定事件”逐一判断即可． 【详解】

A. 向量BC uuu r

与向量CD uuu r 是平行向量，是随机事件，故该选项错误；

B. 40=有实数根，是确定事件，故该选项正确；

C. 直线()20y ax a =+≠与直线23y x =+相交，是随机事件，故该选项错误；

D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形，是随机事件，故该选项错误； 故选：B ． 【点睛】

本题主要考查确定事件，掌握确定事件和随机事件的区别是解题的关键．

15．下列事件是必然事件的是（ ） A ．打开电视机正在播放动画片 B ．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50

C ．车辆在下个路口将会遇到红灯

D ．在平面上任意画一个三角形，其内角和是

180?

【答案】D 【解析】 【分析】

直接利用随机事件以及必然事件的定义分别判断得出答案． 【详解】

A 、打开电视机正在插放动画片为随机事件，故此选项错误；

B 、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50为随机事件，故此选项错误；

C 、“车辆在下个路口将会遇到红灯”为随机事件，故此选项错误；

D 、在平面上任意画一个三角形，其内角和是180°为必然事件，故此选项正确． 故选：D ． 【点睛】

此题考查随机事件以及必然事件，正确把握相关定义是解题关键．

16．如图，ABC ?是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃.已知15AB =，9AC =，

12BC =，阴影部分是ABC ?的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（ ）.

A ．16

B ．6

π C ．

8π D ．

5

π 【答案】B 【解析】 【分析】

由AB=5，BC=4，AC=3，得到AB 2=BC 2+AC 2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC 为直角三角形，于是得到△ABC 的内切圆半径=4+3-5

2

=1，求得直角三角形的面积和圆的面积，即可得到结论． 【详解】

解：∵AB=5，BC=4，AC=3， ∴AB 2=BC 2+AC 2， ∴△ABC 为直角三角形， ∴△ABC 的内切圆半径=

4+3-5

2

=1，

∴S △ABC =12AC?BC=1

2

×4×3=6， S 圆=π，

∴小鸟落在花圃上的概率=6

π

， 故选B ． 【点睛】

本题考查几何概率，直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半及勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握公式.

17．向一个半径为2的圆中投掷石子（假设石子全部投入圆形区域内），那么石子落在此圆的内接正方形中的概率是（ ）. A ．

22

B ．

2

π C ．

2

π

D ．

2π

【答案】D 【解析】 【分析】

先得出圆内接正方形的边长，再用正方形的面积除以圆的面积即可得． 【详解】

∵半径为2的圆内接正方形边长为22， ∴圆的面积为4π，正方形的面积为8， 则石子落在此圆的内接正方形中的概率是82=4ππ

， 故选D ． 【点睛】

本题考查了几何概率的求法：求某事件发生在某个局部图形的概率等于这个局部的面积与整个图形的面积的比．

18．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 的中点，两边PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F ，现给出以下四个结论：（1）AE ＝CF ；（2）△EPF 是等

腰直角三角形；（3）S 四边形AEPF ＝

1

2

S △ABC ；（4）当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时始终有EF ＝AP ．（点E 不与A 、B 重合），上述结论中是正确的结论的概率是（ ）

A ．1个

B ．3个

C ．

14

D ．

34

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，容易证明△AEP≌△CFP，然后能推理得到选项A，B，C都是正确的，当EF＝AP 始终相等时，可推出22

2

AP PF

=，由AP的长为定值，而PF的长为变化值可知选项D不正确．从而求出正确的结论的概率．

【详解】

解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，点P是BC的中点，

∴

1

2

45

EAP BAC

∠=∠=?，

1

2

AP BC CP

==．

（1）在△AEP与△CFP中，

∵∠EAP＝∠C＝45°，AP＝CP，∠APE＝∠CPF＝90°﹣∠APF，∴△AEP≌△CFP

∴AE＝CF．（1）正确；

（2）由（1）知，△AEP≌△CFP，

∴PE＝PF，

又∵∠EPF＝90°，

∴△EPF是等腰直角三角形．（2）正确；

（3）∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE．

∴

1

2

AEP APF CPF BPE ABC

AEPF

S S S S S S

=+=+=

V V V V V

四边形

．（3）正确；

（4）当EF＝AP始终相等时，由勾股定理可得：22

2

EF PF

=

则有：22

2

AP PF

=，

∵AP的长为定值，而PF的长为变化值，

∴2

AP与2

2PF不可能始终相等，

即EF与AP不可能始终相等，（4）错误，

综上所述，正确的个数有3个，

故正确的结论的概率是3

4

．

故选：D．

【点睛】

用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；解决本题的关键是利用证明三角形全等的方法来得到正确结论．

19．下列说法正确的是（）．

A．“购买1张彩票就中奖”是不可能事件

B．“概率为0.0001的事件”是不可能事件

C．“任意画一个三角形，它的内角和等于180°”是必然事件

D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次

【答案】C

【解析】试题解析：A. “购买1张彩票就中奖”是不可能事件，错误；

B. “概率为0.0001的事件”是不可能事件，错误；

C. “任意画一个三角形，它的内角和等于180°”是必然事件，正确；

D. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次，错误.

故选C.

20．某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（）

A．1

9

B．

1

6

C．

1

3

D．

2

3

【答案】C

【解析】

分析：将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可．

详解：将三个小区分别记为A、B、C，

列表如下：

由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种，

所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为31 = 93

.

故选：C．

点睛：此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．