2011年高考数学二轮考点专题(五) 立体几何突破检测

1 3 则 A(1,0,0)，C(0,0,1)，B－ ， ，0. 2 2 ∵P 为 AC 中点， 1 1 ，0， . ∴P 2 2 → → 设AQ＝λAB(λ∈(0,1))， 3 3 → ∵AB＝－ ， ，0， 2 2 3 3 → → → ∴OQ＝OA＋AQ＝(1,0,0)＋λ－ ， ，0 2 2 3 3 ＝1－ λ， λ，0， 2 2 1 3 3 1 → → → ∴PQ＝OQ－OP＝ － λ， λ，－ . 2 2 2 2 1 3 1 1 3 → → ∵PQ⊥OA，∴PQ· OA＝0，即 － λ＝0，λ＝ .所以存在点 Q ， ，0使得 PQ⊥ 2 2 3 2 6 AB OA 且 ＝3. AQ → → → （2）记平面 ABC 的法向量为 n=（n1，n2，n3） ，则由 n⊥AB，n⊥AB，且CA＝(1,0， n －n ＝0， 1 3 － 1)，得 3 故可取 n＝(1， 3，1)． 3 － n1＋ n2＝0， 2 2 又平面 OAC 的法向量为 e＝(0,1,0)． 1， 3，1· 0，1，0 3 ∴cos〈n，e〉＝ ＝ . 5· 1 5 二面角 O－AC－B 的平面角是锐角，记为 θ，则 cos θ＝ 15 . 5
11．(2010· 江苏无锡)如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB⊥BC， BC⊥BC1，AB＝BC1，E、F、G 分别为线段 AC1、A1C1、BB1 的中点，求证： (1)平面 ABC⊥平面 ABC1； (2)EF∥平面 BCC1B1； (3)GF⊥平面 AB1C1. 证明：(1)∵BC⊥AB，BC⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴ BC⊥平面 ABC1. ∵BC⊂平面 ABC，∴平面 ABC⊥平面 ABC1. (2)∵AE＝EC1，A1F＝FC1，∴EF∥AA1. ∵BB1∥AA1，∴EF∥BB1. ∵EF⊄平面 BCC1B1，∴EF∥平面 BCC1B1. (3)连结 EB，则四边形 EFGB 为平行四边形． ∵EB⊥AC1，∴FG⊥AC1. ∵BC⊥面 ABC1，∴B1C1⊥面 ABC1， ∴B1C1⊥BE，∴FG⊥B1C1. ∵B1C1∩AC1＝C1，∴GF⊥平面 AB1C1. 12．已知侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的底面是菱形， 且∠DAB＝60° ，AD＝AA1，F 为棱 BB1 的中点，点 M 为线段 AC1 的中点． (1)求证： 直线 MF∥平面 ABCD； (2)求证：平面 AFC1⊥平面 ACC1A1； (3)求平面 AFC1 与平面 ABCD 所成的锐二面角的大小．
解析：连结 EQ、FQ、A1D，作 PN⊥A1D，垂足为 N. ∵A1B1∥DC 且 EF＝1，∴S△EFQ 是定值． ∵A1B1⊥面 ADD1A1 且 PN⊂面 ADD1A1， ∴A1B1⊥PN，∴PN⊥面 A1B1CD. ∵PD＝z，∠A1DA＝45° ， ∴PN＝ 2 1 z，∴VPEFQ＝ S△EFQ· PN 与 x，y 无关，与 z 有关，故选 D. 2 3
又∵Sa′>Sa，即 a′>a， ∴h＝a′＋b>a＋b， ∴ V瓶 b ＝1＋ 且 a＋b<h. a V酒
答案：B
5．在正三棱锥 S－ABC 中，M、N 分别是棱 SC、BC 的中点，且 MN⊥AM，若侧棱 SA ＝2 3，则正棱锥 S－ABC 外接球的表面积是 A．12π C．36π B．32π D．48π ( )
6．(2010· 北京)如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2，动点 E，F 在棱 A1B1 上，动 点 P，Q 分别在棱 AD，CD 上，若 EF＝ 大于零)， 则四面体 PEFQ 的体积 A．与 x，y，z 都有关 B．与 x 有关，与 y，z 无关 C．与 y 有关，与 x，z 无关 D．与 z 有关，与 x，y 无关 ( )
答案：D 二、填空题 7．(2010· 湖南，13)下图中的三个直角三角形是一个体积为 20 cm3 的几何体的三视图， 则 h＝____________cm.
解析：直观图如图，则三棱锥中 AD⊥AB，AD⊥AC，AB⊥AC， 1 1 ∴体积 V＝ × AB· AC· h＝20， 3 2 ∴h＝4. 答案：4 8．如图所示，在正 方体，ABCD－A1B1C1D1 中，M、N 分别为 A1B1，CC1 的中点，P 为 AD 上一动点，记 α 为异面直线 PM 与 D1N 所成的角，则 α 的取值集合为________．
4．如图，啤酒瓶的高为 h，瓶内酒面高度为 a，若将瓶盖盖好倒置，酒面高度为 a′(a′ ＋b＝h)，则酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为 b A．1＋ 且 a＋b>h a b B．1＋ 且 a＋b<h a a C ．1＋ 且 a＋b>h b a D．1＋ 且 a＋b<h b 解析：设啤酒瓶的底面积为 S，啤酒瓶的容积为 V 瓶， 瓶内酒的体积为 V 酒， 则 V 酒＝Sa，V 瓶－V 酒＝Sb， 即得 V 瓶＝V 酒＋Sb＝S(a＋b)， ∴ V瓶 Sa＋b b ＝ ＝1＋ . Sa a V酒 ( )
(2)连结 PN，PO. 由 OC⊥OA，OC⊥OB 知 OC⊥平面 OAB. 又 ON⊂平面 OAB，∴OC⊥ON. 又由 ON⊥OA 知 ON⊥平面 AOC. ∴OP 是 NP 在平面 AOC 内的射影． 在等腰 Rt△COA 中，P 为 AC 的中点， ∴AC⊥OP. 根据三垂线定理，知 AC⊥NP. ∴∠OPN 为二面角 O－AC－B 的平面角．在等腰 Rt△COA 中，OC＝OA＝1， ∴OP＝ 2 . 2 3 ， 3 30 ， 6
解析：∵BB1∥DD1，∴DD1 与平面 ACD1 所成的角即为 BB1 与平面 ACD1 所成的角， 设其大小为 θ，设正方体的棱长为 1，则点 D 到面 ACD1 的距离为 得 cos θ＝ 答案：D 6 ，故选 D. 3 3 3 ，所以 sin θ＝ ， 3 3
3． 如图， 已知△ABC 为直角三角形， 其中∠ACB＝90° ， M 为 AB 的中点， PM 垂直于△ABC 所在平面，那么 A．PA＝PB>PC B．PA＝PB<PC C．PA＝PB＝PC D．PA≠PB≠PC 解析： ∵M 是 Rt△ABC 斜边 AB 的中点， ∴MA＝MB＝MC.又∵PM⊥平面 ABC， ∴MA、 MB、MC 分别是 PA、PB、PC 在平面 ABC 上的射影，∴PA＝PB＝PC.应选 C. 答案：C ( )
专题达标检测五
一、选择题 1． 若 a、 b 表示互不重合的直线， α、 β 表示不重合的平面， 则 a∥α 的一个充分条件是( A．α∥β，a∥β C．a∥b，b∥α B．α⊥β，a⊥β D． α∩β＝b，a⊄α，a∥b )
解析：A，B，C 选项中，直线 a 都有可能在平面 α 内，不能满足充分性，故选 D. 答案：D 2．(2010· 全国Ⅰ)正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，BB1 与平面 ACD1 所成角的 余弦值为( A. 2 3 B. 3 3 2 C. 3 D. 6 3 )
解析：由于 MN⊥AM，MN∥BS，则 BS⊥AM， 又根据正三棱锥的性质知 BS⊥AC，则 BS⊥平面 SAC，于是有∠ASB＝∠BSC＝∠CSA ＝90° ，SA、SB、SC 为三棱锥 S—ABC 外接球的内接正方体的三条棱，设球半径为 R， 则 4R2＝3SA2＝36，球表面积为 4πR2＝36π. 答案：C
又 OA⊥OC，∴OA⊥平面 ONC. ∵NC⊂平面 ONC，∴OA⊥NC. 取 Q 为 AN 的中点，则 PQ∥NC， ∴PQ⊥OA.
在等腰△AOB 中，∠AOB＝120° ， ∴∠OAB＝∠OBA＝30° . 在 Rt△AON 中，∠OAN＝30° ， 1 ∴ON＝ AN＝AQ. 2 AB 在△ONB 中，∠NOB＝120° －90° ＝30° ＝∠NBO，∴NB＝ON＝AQ，∴ ＝3. AQ
在 Rt△AON 中，ON＝OAtan 30° ＝
∴在 Rt△PON 中，PN＝ OP2＋ON2＝ 2 2 PO 15 ∴cos ∠OPN＝ ＝ ＝ . PN 5 30 6
解法二：(1)取 O 为坐标原点，分别以 OA，OC 所在的直线为 x 轴，z 轴，建立空间 直角坐标系 O－xyz(如图所示)
1 1 3 ∵AC⊥β，∴∠ABC 为直线 AB 与平面 β 所成角．设 AB＝1，则 AD＝ ，AC＝ × 2 2 2 ＝ 3 ， 4
3 AC 4 3 ∴sin ∠ABC＝ ＝ ＝ . AB 1 4 答案： 三、解答题 3 4
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13．(2010· 湖北，18)如图，在四面体 ABOC 中，OC⊥OA，OC⊥OB， ∠AOB＝120° ，且 OA＝OB＝OC＝1. (1)设 P 为 AC 的中点．证明：在 AB 上存在一点 Q，使 PQ⊥OA， AB 并计算 的值； AQ (2)求二面角 O－AC－B 的平面角的余弦值． 解：解法一：(1)在平面 OAB 内作 ON⊥OA 交 AB 于 N，连结 NC.
(1)证明：延长 C1F 交 CB 的延长线于点 N，连结 AN.因为 F 是 BB1 的中点，所以 F 为 C1N 的中点，B 为 CN 的中点．又 M 是线段 AC1 的中点，故 MF∥AN. 又∵MF⊄平面 ABCD， AN⊂平面 ABCD， ∴MF∥平面 ABCD. ( 2)证明：(如上图)连结 BD，由直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1，可知：A1A⊥平面 ABCD， 又∵BD⊂平面 ABCD，
∴A1A⊥BD. ∵四边形 ABCD 为菱形，∴AC⊥BD. 又∵AC∩A1A＝A，AC、A1A⊂平面 ACC1A1， ∴BD⊥平面 ACC1A1. 在四边形 DANB 中，DA∥BN 且 DA＝BN， 所以四边形 DANB 为平行四边形． 故 NA∥BD，∴NA⊥平面 ACC1A1. 又∵NA⊂平面 AFC1 ∴平面 AFC1⊥平面 ACC1A1 (3)解：由(2)知 BD⊥平面 ACC1A1， 又 AC1⊂平面 ACC1A1， ∴BD⊥AC1，∵BD∥NA，∴AC1⊥NA. 又因 BD⊥AC 可知 NA⊥AC， ∴∠C1AC 就是平面 AFC1 与平面 ABCD 所成锐二面角的平面角． C1C 1 在 Rt△C1AC 中，tan∠C1AC＝ ＝ ，故∠C1AC＝30° . CA 3 ∴平面 AFC1 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小为 30° .