上海市延安中学高一数学学科期末考试试卷(含答案)(2019.06)
上海市延安中学2018_2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！ 上海市延安中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一.填空题（本大题14题，每题3分，共42分） 1.函数tan 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是________. 【答案】π 【解析】 【分析】根据函数()tan y x ωϕ=+的周期公式计算即可. 【详解】函数tan 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是1T ππ==.故答案为：π【点睛】本题主要考查了正切函数周期公式的应用，属于基础题．2.计算：3lim 1n nn →∞=-________.【答案】3 【解析】 【分析】直接利用数列的极限的运算法则求解即可．【详解】3lim 1n n n →∞=-33lim 31101n n→∞==--.故答案为：3【点睛】本题考查数列的极限的运算法则，考查计算能力，属于基础题．3.设函数()sin f x arc x =()11x -≤≤，则13fπ-⎛⎫= ⎪⎝⎭________.【解析】 【分析】利用反三角函数的定义，解方程sin 3arc x π=即可．【详解】因为函数()sin f x arc x =()11x -≤≤，由反三角函数的定义，解方程sin 3arc x π=，得sin3x π==13f π-⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为：2【点睛】本题考查了反三角函数的定义，属于基础题．4.已知数列{}n a 是等差数列，若11a =，59a =，则公差d =________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，∵11a =，59a =，∴514a a d =+，解得d ＝2． 故答案为：2．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题．5.已知数列{}n a 等比数列，若24a =，512a =-，则公比q =________. 【答案】12- 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【详解】∵数列{}n a 是等比数列，若24a =，512a =-，则352a a q =，解得318q =-，即q =12-.故答案为：12-【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题．6.计算：1111lim 1393n n -→∞⎡⎤⎛⎫-+-+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ________.【答案】34【解析】 【分析】由等比数列前n 项和公式，得11111393n -⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭L =34[1﹣13n⎛⎫- ⎪⎝⎭]，从而求极限即可．【详解】∵11111393n -⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭L ＝1113113n ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝34[1﹣13n ⎛⎫- ⎪⎝⎭]， ∴1111lim 1393n n -→∞⎡⎤⎛⎫-+-+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦L lim n →∞34[1﹣13n ⎛⎫- ⎪⎝⎭]=34．故答案为：34【点睛】本题考查了等比数列前n 项和公式的应用，以及数列极限的求法，属于基础题．7.方程cos sin6x π=的解集为________.【答案】|2,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】由诱导公式可得cos sinco 3scos()36x πππ===-，由余弦函数的周期性可得：2,3x k k Z ππ=±∈.【详解】因为方程cos sin 6x π=，由诱导公式得3si 3ncoscos()6πππ==-， 所以2,3x k k Z ππ=±∈，故答案为：|2,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭． 【点睛】本题考查解三角函数的方程，余弦函数的周期性和诱导公式的应用，属于基础题．8.已知数列{}n a 是等差数列，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1133S =，则6a =________. 【答案】3 【解析】 【分析】由等差数列的求和公式和性质可得11611S a =，代入已知式子可得6a ． 【详解】由等差数列的求和公式和性质可得：11S =()111112a a +＝66112112a a ⨯=，且1133S =，∴63a =.故答案为：3．【点睛】本题考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．9.夏季某座高山上的温度从山脚起每升高100米降低0.8度，若山脚的温度是36度，山顶的温度是20度，则这座山的高度是________米 【答案】2000 【解析】 【分析】由题意得，温度下降了()362016-=oo ，再求出这个温度是由几段100米得出来的，最后乘以100即可.【详解】由题意得，这座山的高度为：()10036200.8100202000⨯-÷=⨯=⎡⎤⎣⎦米 故答案为：2000【点睛】本题结合实际问题考查有理数的混合运算，解题关键是温度差里有几个0.8，属于基础题.10.若cos 4arc x π≥()11x -≤≤ ，则x 的取值范围是________.【答案】12x ≤≤ 【解析】 【分析】利用反函数的运算法则，定义及其性质，求解即可．【详解】由cos 4arc x π≥()11x -≤≤，得()cos cos cos 42arc x π≤=所以x ≤，又因为11x -≤≤，所以1x ≤≤故答案为：1x ≤≤【点睛】本题考查反余弦函数的运算法则，反函数的定义域，考查学生计算能力，属于基础题．11.若函数()cos f x x x =-，[0,]x m ∈，则m 的值是________. 【答案】2π 【解析】 【分析】利用两角差的正弦公式化简函数的解析式为()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由x 的范围可得6x π-的范围，根据()f x 最大值可得m 的值.【详解】∵函数()cos f x x x =-＝21cos 2x x -）＝2sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵[0,]x m ∈，∴6x π-∈[6π-，6m π-]，又∵()f x ，所以sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最大值为3，即6m π-=3π，解得2m π=.故答案为：2π【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式的应用，正弦函数的定义域和最值，属于基础题．12.已知0a b >>，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则a b +=_______________. 【答案】5 【解析】【详解】试题分析：由题意得，为等差数列时，一定为等差中项，即22b a =-+，为等比数列时，-2为等比中项，即4ab =，所以4,1,5a b a b ==+=. 考点：等差，等比数列的性质13.已知数列{}n a 满足11a =，22a =，23cos()n n a a n π+-=+，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则100S =________. 【答案】7500 【解析】 【分析】讨论n 的奇偶性，分别化简递推公式，根据等差数列的定义得{}n a 的通项公式，进而可求100S . 【详解】当n 是奇数时，cos()n π＝﹣1，由23cos()n n a a n π+-=+，得22n n a a +-=， 所以1a ，3a ，5a ，…21n a -，…是以11a =为首项，以2为公差的等差数列， 当n 为偶数时，cos()n π＝1，由23cos()n n a a n π+-=+，得24n na a +-=，所以2a ，4a ，6a ，…2n a ，…是首项为22a =，以4为公差的等差数列， 则,22,n n n a n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，所以()()()()199210010050+50+501+99502+200-275002222a a a a S =+=+=.故答案为：7500【点睛】本题考查数列递推公式的化简，等差数列的通项公式，以及等差数列前n 项和公式的应用，也考查了分类讨论思想，属于中档题．14.已知数列{}n a 的通项公式是2n a n =，若将数列{}n a 中的项从小到大按如下方式分组：第一组：(2,4)，第二组：(6,8,10,12)，第三组：(14,16,18,20,22,24)，…，则2018位于第________组. 【答案】32 【解析】 【分析】根据题意可分析第一组、第二组、第三组、…中的数的个数及最后的数，从中寻找规律使问题得到解决．【详解】根据题意:第一组有2＝1×2个数，最后一个数为4； 第二组有4＝2×2个数，最后一个数为12，即2×（2+4）；第三组有6＝2×3个数，最后一个数为24，即2×（2+4+6）； …∴第n 组有2n 个数，其中最后一个数为2×（2+4+…+2n）＝4（1+2+3+…+n）＝2n （n+1）． ∴当n ＝31时，第31组的最后一个数为2×31×32＝1984，∴当n ＝32时，第32组的最后一个数为2×32×33＝2112，∴2018位于第32组． 故答案为：32．【点睛】本题考查观察与分析问题的能力，考查归纳法的应用，从有限项得到一般规律是解决问题的关键点，属于中档题．二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分） 15.“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}2n a 为等比数列”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件【答案】A 【解析】 【分析】数列{}n a 是等比数列与命题{}2n a 是等比数列是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．【详解】若数列{}n a 是等比数列，则11n n a a q -=，∴22221n n qa a -=，∴数列{}2na 是等比数列， 若数列{}2na 是等比数列，则2211n naa q -=，∴n a a =±{}n a 不是等比数列，∴数列{}n a 是等比数列是数列是等比数列{}2n a 的充分非必要条件，故选：A ．【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判断，注意等比数列的性质的灵活运用，属于基础题．16.设()*(1)(2)(3)()n S n n n n n n N =++++∈L ，则1n nS S +=（） A. 21n + B. 22n +C. (21)(22)n n ++D.2(21)n +【答案】D 【解析】 【分析】由()*(1)(2)(3)()n S n n n n n n N =++++∈L 得1n S +，再计算1n nS S +即可.【详解】Q ()*(1)(2)(3)()n S n n n n n n N=++++∈L ，∴1(11)(12)(13)(11)n S n n n n n +=+++++++++L()(2)(3)(4)(21)22n n n n n =+++++L ，所以()1(2)(3)(4)(21)222(21)(1)(2)(3)()n n n n n n n S n S n n n n n ++++++==+++++L L 故选：D【点睛】本题考查了以数列的通项公式为载体求比值的问题，以及归纳推理的应用，属于基础题．17.已知等差数列{}n a 的公差d ＞0，则下列四个命题：①数列{}n a 是递增数列；②数列{}n na 是递增数列； ③数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列； ④数列{}3n a nd +是递增数列； 其中正确命题的个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】对于各个选项中的数列，计算第n +1项与第n 项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论．【详解】设等差数列()11n a a n d +-=，d ＞0∵对于①，a n+1﹣a n ＝d ＞0，∴数列{}n a 是递增数列成立，是真命题． 对于②，数列{}n na ，得()()()()1111111112n n n a na n a n d n a n d a nd +⎡⎤⎡⎤++++--+-=+⎣⎦⎣-=⎦，1a R ∈Q ，所以12a nd +不一定是正实数，即数列{}n na 不一定是递增数列，是假命题．对于③，数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，得()1111111(1)n n a n d a a a nd d a n n n n n n ++-+--=-=+++，1a R ∈Q ，1(1)d a n n -+不一定是正实数，故是假命题．对于④，数列()()11313340n n n n n d nd a a a d a d ++++-+=-+=>，故数列{}3n a nd +是递增数列成立，是真命题． 故选：B ．【点睛】本题考查用定义判断数列的单调性，考查学生的计算能力，正确运用递增数列的定义是关键，属于基础题．18.已知数列{}n a 和数列{}n b 都是无穷数列，若区间[],n n a b 满足下列条件：①[][]11,,n n n n a b a b ++Ü；②()lim 0n n n b a →∞-=；则称数列{}n a 和数列{}n b 可构成“区间套”，则下列可以构成“区间套”的数列是（ ）A. 12n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭B. 1n a n =-，11n b n=+ C. 1n n a n -=，113nn b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. 1n a =，21n n b n -=+ 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用已知条件，判断选项是否满足两个条件即可．【详解】由题意，对于A ：12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23n n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵1n 1n 1122n na a ++⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴[][]11,,n n n n a b a b ++Ü不成立，所以A 不正确； 对于B ：由1n a n =-，11n b n =+，得()2lim lim 110n n n n b a n →∞→∞⎛⎫-=+=≠ ⎪⎝⎭不成立，所以B 不正确；对于C ：11,13nn n n a b n -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，∵111111,11133nn n n n n n n a a b b n n +++-⎛⎫⎛⎫=>==+>=+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，∴[][]11,,n n n n a b a b ++Ü成立，并且()lim 0n n n b a →∞-=也成立，所以C 正确； 对于D ：由1n a =，21n n b n -=+，得1211111112333n n n b b n n n n +-==-<-=-=+++++， ∴[][]11,,n n n n a b a b ++Ü不成立，所以D 不正确；故选：C ．【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查数列的极限的求法，考查分析问题解决问题的能力及运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共4题，共42分）19.解关于x 的方程：22sin 5sin cos 6cos 0x x x x -+=【答案】{}|tan 2tan3,x x k arc x k arc k Z ππ=+=+∈或【解析】【分析】 根据方程解出tan 2x =或tan 3x =，利用三角函数的定义解出x ，再根据终边相同角的表示即可求出.【详解】由22sin 5sin cos 6cos 0x x x x -+=，得()()sin 2cos sin 3cos 0x x x x --=， 所以tan 2x =或tan 3x =，所以tan 2x k arc π=+或tan3x k arc π=+，所以x 的解集为：{}|tan 2tan3,x x k arc x k arc k Z ππ=+=+∈或. 【点睛】本题考查了三角方程的解法，终边相同角的表示，反三角函数的定义，考查计算能力，属于基础题.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2231n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式.【答案】4,141,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩【解析】【分析】当1n =时，11a S =，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，即可得出．【详解】∵已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2231n S n n =+-，当1n =时，114a S ==，当2n ≥时，()()1222312131141n n n n n n n a S n S -⎡⎤+---+--=⎣⎦-=+=， 检验：当1n =时，14a =不符合上式，∴4,141,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．21.已知等比数列{}n a 是递增数列，且满足：238a a ⋅=，149a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式：（2）设()21log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）12n n a -=；（2）2n S n =【解析】【分析】（1）利用等比数列的性质结合已知条件解得首项和公比，由此得通项公式；（2）由（1）得()21log 21n n n b a a n +=⋅=-，再利用等差数列的求和公式进行解答即可．【详解】（1）由题意，得12348a a a a ⋅=⋅=，又149a a +=，所以11a =，48a =，或18a = ，41a =，由{}n a 是递增的等比数列，得1q > ，所以11a =，48a =，且2q =，∴1111122n n n n a a q ---==⨯=，即12n n a -=；（2）由（1）得()()111212log log 2221n n n n n b a a n -+-+=⋅=⋅=-，得()1211212n n b b n n +-=+--+=， 所以数列{}n b 是以1为首项，以2为公差的等差数列，所以()122n n n b b n S +==.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，以及等差数列的其前n 项和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．22.已知数列{}n a 满足11a =，*1,N 21n n n a a a n +=∈+． （1）证明：数列n 1a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设21n n a b n =+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使不等式n S ＜k 对一切n *∈N 恒成立的实数k 的范围．【答案】（1）见解析，n 121a n =-；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】 （1）对递推式两边取倒数化简,即可得出1112n na a +-=，利用等差数列的通项公式得出1n a ，再得出n a ；（2）由（1）得11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，再使用裂项相消法求出n S ，使用不等式得出的n S 范围，从而得出k 的范围．【详解】（1）∵121n n n a a a +=+，两边取倒数,∴1112n n a a +=+，即1112n n a a +-=，又11a =， ∴数列n 1a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴()1112121n n n a a =+-=-，∴n 121a n =-． （2）由（1）得111121(21)(21)22121n n ab n n n n n ⎛⎫===- ⎪++--+⎝⎭，∴111111123352121n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ＝11112212n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭， 要使不等式S n ＜k 对一切n *∈N 恒成立，则k 12…． ∴k 的范围为:1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查了构造法求等差数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，属于中档题．23.己知数列{}n a 是等比数列，且公比为q ，记n S 是数列{}n a 的前n 项和.（1）若1a ＝1，q ＞1，求lim n n na S →∞的值； （2）若首项110a =，1q t =，t 是正整数，满足不等式|t ﹣63|＜62，且911n S <<对于任意正整数n 都成立，问：这样的数列{}n a 有几个？【答案】（1）11q -；（2）114 【解析】【分析】（1）利用等比数列的求和公式，进而可求lim n n na S →∞的值； （2）根据t 满足不等式|t ﹣63|＜62，可确定q 的范围，进而可得n S 随着n 的增大而增大，利用911n S <<，可求解．【详解】（1）已知数列{}n a 是等比数列，且公比为q ，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，1a ＝1， ∴ ()11111n nn a q q S q q --==--，111n n n a a q q --== ， 则11111lim lim lim lim 111111n n n n n n n n n n n n q q a q q q q S q q q q -→∞→∞→∞→∞⋅--====---⎛⎫- ⎪-⎝⎭； （2）Q t 满足不等式|t ﹣63|＜62，6263621125t t ⇒-<-<⇒<<．Q 1q t =，∴ 11(,1)125q t =∈，且110a =， ∴()111011111n n n a q t S q t⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦==--，得n S 随着n 的增大而增大，得1010,11n S t ⎡⎫⎪⎢∈⎪⎢⎪⎢-⎣⎭ ， 又且911n S <<对于任意正整数n 都成立，得101111t-…，11t ⇒≥，且t 是正整数， 满足t 的个数为：124﹣11+1＝114个，即有114个q ，所以有114个数列{}n a ．【点睛】本题以等比数列为载体，考查数列的极限，考查等比数列的求和，考查数列的单调性，属于中档题．。
2021-2022学年上海市延安中学高一上学期期末考数学试卷含详解
上海市延安中学2021学年第一学期期末考试高一年级数学试卷一､填空题（每题3分，满分42分）每个空格填对得3分，否则一律得零分.1.123-︒是第___________象限角.2.已知角α的终边经过点(1,3)P -，则tan α=___________.3.幂函数2y x -=的图像在第___________象限.4.函数()23x y x =<的值域为___________.5.不等式41log 2x ≤的解集为___________.6.函数1(5)2xy x -=≥的反函数为___________.7.函数22(12)y x x x =--≤≤的最大值为___________.8.已知扇形的半径为4，圆心角为34π，则扇形的面积为___________.9.已知()(1)(1)f x x ax =++是偶函数，则实数a 的值为___________.10.已知52a=，53b=，则259log 4=___________（用a ､b 表示）.11.已知5cos 13α=，(,2)αππ∈，则sin α=___________.12.某商厦去年1月份的营业额为100万元.如果该商厦营业额的月增长率为1%，则商厦的月营业额首次突破110万元是在去年的___________月份.13.已知函数()22,1,x x m f x x x m -≥⎧=⎨-<⎩恰有2个零点，则实数m 的取值范围是___________.14.已知()f x 是定义在正整数集上的严格减函数，它的值域是整数集的一个子集，并且(3)4f a a +=-，(15)22f a a +=-，则(11)f a +的值为___________.二､选择题（每题3分，满分12分）每题有且只有一个正确答案，选对得3分，否则一律得零分.15.下列四组函数中，定义域相同的一组是（）A.y =和lg y x=B.y =和1lg y x=C.y=和lg y x= D.y =和1lg y x=16.终边在y 轴上的角的集合不能表示成A.2,2k k Z πθθπ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭B.1,22k k Z πθθπ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭C.,2k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D.,2k k Z πθθπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭17.函数(10)lg 10xy x =-⋅的最小值为（）A.10- B.1- C.0 D.11018.有三个函数：①13x y x -=+，②|1||3|y x x =--+，③1lg 3xy x-=+，其中图像是中心对称图形的函数共有（）.A.0个B.1个C.2个D.3个三､解答题（本大题共有5题，满分46分）解答下列各题，必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤.19.证明：函数41()412x x f x =--是奇函数.20.已知函数()12f x x =-.（1）用函数单调性定义证明：函数2()()f x g x x=在区间(,0)-∞上是严格增函数；（2）函数2()()h x x f x =⋅在区间(0)+∞上是单调函数吗？为什么？21.如图，在同一平面上，已知等腰直角三角形纸片ABC 的腰长为3，正方形纸片CDEF 的边长为1，其中B ､C ､D 三点在同一水平线上依次排列.把正方形纸片向左平移a 个单位，03a <≤.设两张纸片重叠部分的面积为S .（1）求S 关于a 的函数解析式；（2）若78S =，求a 的值.22.已知函数()112()log 42x xf x k +=+⋅.（1）当3k =时，求函数()f x 的零点；（2）若不等式()0f x <在0x >时恒成立，求实数k 的取值范围.23.利用拉格朗日（法国数学家，1736-1813）插值公式，可以把二次函数()F x 表示成()()()()()()()()()()()()()d x b x ce x a x cf x a x b F x a b a c b a b c c a c b ------=++------的形式.（1）若1a =，2b =，3c =，4d =，e f <，把()F x 的二次项系数表示成关于f 的函数()G f ，并求()G f 的值域（此处视e 为给定的常数，答案用e 表示）；（2）若a b c <<，0d >，0e <，0f >，求证：()()()222222()()()d b ce c af a b a b b cd b ce c af a b -+-+-+<<+-+-+-.上海市延安中学2021学年第一学期期末考试高一年级数学试卷一､填空题（每题3分，满分42分）每个空格填对得3分，否则一律得零分.1.123-︒是第___________象限角.【答案】三【分析】根据给定的范围确定其象限即可.【详解】由18012390-︒<-︒<-︒，故123-︒在第三象限.故答案为：三.2.已知角α的终边经过点(1,3)P -，则tan α=___________.【答案】3-【分析】根据正切函数定义计算【详解】由题意3tan 31α==--．故答案为：3-．3.幂函数2y x -=的图像在第___________象限.【答案】一、二【分析】根据幂函数的定义域及对应值域，即可确定图像所在的象限.【详解】由解析式知：定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且值域(0,)+∞，∴函数图像在一、二象限.故答案为：一、二.4.函数()23xy x =<的值域为___________.【答案】(0,8)【分析】根据指数函数的性质，结合自变量范围求值域.【详解】由3x <，又2x y =递增，∴函数值域为(0,8).故答案为：(0,8).5.不等式41log 2x ≤的解集为___________.【答案】(0,2]【分析】根据对数函数的单调性解不等式即可.【详解】由题设，可得：1244log log 4x ≤，则12042x <≤=，∴不等式解集为(0,2].故答案为：(0,2].6.函数1(5)2xy x -=≥的反函数为___________.【答案】12y x =-(2)x ≤-【分析】由题设可得12{2x yy =-≤-，即可得反函数.【详解】由1(5)2xy x -=≥，可得12{2x y y =-≤-，∴反函数为12y x =-(2)x ≤-.故答案为：12y x =-(2)x ≤-.7.函数22(12)y x x x =--≤≤的最大值为___________.【答案】3【分析】根据二次函数的性质，结合给定的区间求最大值即可.【详解】由222(1)1y x x x =-=--，则开口向上且对称轴为1x =，又12x -≤≤，∴1|3x y =-=，2|0x y ==，故函数最大值为3.故答案为：3.8.已知扇形的半径为4，圆心角为34π，则扇形的面积为___________.【答案】6π【分析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积．【详解】根据扇形的弧长公式可得3434l r παπ==⨯=，根据扇形的面积公式可得1134622S lr ππ==⋅⋅=．故答案为：6π．9.已知()(1)(1)f x x ax =++是偶函数，则实数a 的值为___________.【答案】1-【分析】根据偶函数定义求解．【详解】由题意()()f x f x -=恒成立，即(1)(1)(1)(1)x ax x ax -+-+=++，(1)0x a +=恒成立，所以1a =-．故答案为：1-．10.已知52a =，53b =，则259log 4=___________（用a ､b 表示）.【答案】b a -##a b-+【分析】根据对数的运算性质可得25559log log 3log 24=-，再由指对数关系有5log 2a =，5log 3b =，即可得答案.【详解】由2555593log log log 3log 242==-，又52a =，53b =，∴5log 2a =，5log 3b =，故259log 4b a =-.故答案为：b a -.11.已知5cos 13α=，(,2)αππ∈，则sin α=___________.【答案】1213-【分析】根据余弦值及角的范围，应用同角的平方关系求sin α.【详解】由5cos 13α=，(,2)αππ∈，则12sin 13α==-.故答案为：1213-.12.某商厦去年1月份的营业额为100万元.如果该商厦营业额的月增长率为1%，则商厦的月营业额首次突破110万元是在去年的___________月份.【答案】11【分析】根据指数函数模型求解．【详解】设第x 月首次突破110万元，则1100(11%)110x -⨯+≥，(1)lg1.01lg1.1x -≥，lg1.1110.58lg1.01x ≥+≈，因此11月份首次突破110万元故答案为：11．13.已知函数()22,1,x x mf x x x m-≥⎧=⎨-<⎩恰有2个零点，则实数m 的取值范围是___________.【答案】(1,1](2,)-⋃+∞【分析】讨论x m ≥上()f x 的零点情况，结合题设确定x m <上的零点个数，根据二次函数性质求m 的范围.【详解】当x m ≥时，恒有20y x =->，此时无零点，则2m >，∴要使x m <上21y x =-有2个零点，只需1m >即可，故()f x 有2个零点有2m >；当x m ≥时，存在20y x =-≤，此时有1个零点，则2m ≤，∴要使x m <上21y x =-有1个零点，只需11m -<≤即可，故()f x 有2个零点有11m -<≤；综上，要使()f x 有2个零点，m 的取值范围是(1,1](2,)-⋃+∞.故答案为：(1,1](2,)-⋃+∞.14.已知()f x 是定义在正整数集上的严格减函数，它的值域是整数集的一个子集，并且(3)4f a a +=-，(15)22f a a +=-，则(11)f a +的值为___________.【答案】2-【分析】利用严格单调减函数定义求得a 值，然后在由区间[22,4]a a --上整数个数，可确定()f x (Z)x ∈的值．【详解】15(3)12a a +-+=，根据题意4(22)12a a ---≥，2a ≤-，又31a +³，2a ≥-，所以2a =-，即(1)6f =，(13)6f =-，在[6,6]-上只有13个整数，因此可得(11)(9)2f a f +==-，故答案为：2-．二､选择题（每题3分，满分12分）每题有且只有一个正确答案，选对得3分，否则一律得零分.15.下列四组函数中，定义域相同的一组是（）A.y =和lg y x = B.y=和1lg y x =C.y=和lg y x= D.y =和1lg y x=【答案】C【分析】根据根式、分式、对数的性质求各函数的定义域即可.【详解】A ：y =定义域为[0,)+∞，lg y x =定义域为(0,)+∞，不合题设；B ：y=定义域为(0,)+∞，1lg y x=定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，不合题设；C ：y=、lg y x =定义域均为(0,)+∞，符合题设；D ：y =定义域为[0,)+∞，1lg y x=定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，不合题设；故选：C.16.终边在y 轴上的角的集合不能表示成A.2,2k k Z πθθπ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭B.1,22k k Z πθθπ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭C.,2k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D.,2k k Z πθθπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭【答案】B【分析】分别写出终边落在y 轴正半轴和负半轴上的角的集合，然后进行分析运算即可得解.【详解】终边落在y 轴正半轴上的角的集合为：2,(21),22k k Z k k Z ππθθπθθπ⎧⎫⎧⎫=+∈==+-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，终边落在y 轴负半轴上的角的集合为：2,(21),22k k Z k k Z ππθθπθθπ⎧⎫⎧⎫=-∈==-+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，故终边在y 轴上的角的集合可表示成为2,2k k Z πθθπ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭，故A 选项可以表示；将2,2k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭与(21),2k k Z πθθπ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭取并集为：,2k k Z πθθπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，故C 选项可以表示；将(21),2k k Z πθθπ⎧⎫=+-∈⎨⎬⎩⎭与2,2k k Z πθθπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭取并集为：,2k k Z πθθπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭，故终边在y 轴上的角的集合可表示成为,2k k Z πθθπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭，故D 选项可以表示；对于B 选项，当1k =时，0θ=或θπ=，显然不是终边落在y 轴上的角；综上，B 选项不能表示，满足题意.故选：B .【点睛】本题考查轴线角的定义，侧重对基础知识的理解的应用，考查逻辑思维能力和分析运算能力，属于常考题.17.函数(10)lg 10xy x =-⋅的最小值为（）A.10-B.1- C.0D.110【答案】C【分析】利用对数函数单调性得出函数在10x =时取得最小值．【详解】(10)lg(10)(lg lg10)10xy x x x =-=--，因为lg y x =是增函数，因此当010x <<时，lg lg10x <，(10)(lg lg10)0x x -->，当10x >时，lg lg10x >，(10)(lg lg10)0x x -->，而10x =时，0y =，所以10x =时，min 0y =．故选：C ．18.有三个函数：①13x y x -=+，②|1||3|y x x =--+，③1lg 3xy x-=+，其中图像是中心对称图形的函数共有（）.A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】D【分析】根据反比例函数的对称性，图象变换，然后结合中心对称图形的定义判断．【详解】14133x y x x -==-+++，显然函数4y x=的图象是中心对称图形，对称中心是(0,0)，而13x y x -=+的图形是由4y x=的图象向左平行3个单位，再向下平移1个单位得到的，对称中心是(3,1)--；由103xx ->+得31x -<<，令()1lg 3x f x x-=+，则()()132lglg lg1031x xf x f x x x -++--=+==+-，所以()1lg 3xy f x x-==+图象的对称中心为()1,0-；4,31322,314,1x y x x x x x ≤-⎧⎪=--+=---<<⎨⎪->⎩，中间是一条线段，它关于点(1,0)-对称，因此有两个中心对称图形．故选：D ．三､解答题（本大题共有5题，满分46分）解答下列各题，必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤.19.证明：函数41()412x x f x =--是奇函数.【答案】证明见解析【分析】由奇偶性的定义证明即可得出结果.【详解】 41()412x x f x =--中，410x -≠，即0x ≠，∴()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，关于原点对称，41414141()()110412412411441x x x x x x x x x f x f x ---+-=-+-=+-=-=-----,∴()()f x f x -=-，函数()f x 是奇函数.20.已知函数()12f x x =-.（1）用函数单调性定义证明：函数2()()f x g x x =在区间(,0)-∞上是严格增函数；（2）函数2()()h x x f x =⋅在区间(0)+∞上是单调函数吗？为什么？【答案】（1）证明见解析；（2）不是单调函数，理由见解析.【分析】（1）根据函数解析式在给定区间内任取120x x <<，判断对应函数值的大小关系，即可说明函数的单调性.（2）利用三元基本不等式求()h x 在(0)+∞上的最值并确定等号成立的条件，即可判断()h x 的单调性.【小问1详解】由题设，22()12()f x g x x x x==-且(,0)x ∈-∞，任取120x x <<，则222112222222112212121212121122()()()x x g x g x x x x x x x x x x x --=---=--+=21122()x x x x --=21211221211222221212()(2)()[(1)(1)]x x x x x x x x x x x x x x x x -+---+-=，又210x x ->，22120x x >，21(1)0x x -<，12(1)0x x -<，即2112(1)(1)0x x x x -+-<，∴12()()0g x g x -<，即12()()<g x g x ，∴函数2()()f x g x x =在区间(,0)-∞上是严格增函数；【小问2详解】由题设，在(0)+∞上23(12)1()(12)[327x x x h x x x ++-=-≤=，当且仅当13x =时等号成立，∴max11()()327h x h ==，显然()h x 在13x =的两侧单调性不同.∴()h x 在(0)+∞上不是单调函数.21.如图，在同一平面上，已知等腰直角三角形纸片ABC 的腰长为3，正方形纸片CDEF 的边长为1，其中B ､C ､D 三点在同一水平线上依次排列.把正方形纸片向左平移a 个单位，03a <≤.设两张纸片重叠部分的面积为S .（1）求S 关于a 的函数解析式；（2）若78S =，求a 的值.【答案】（1）2,011,1221,232a a S a a a a ⎧⎪<≤⎪=<≤⎨⎪⎪-+-<≤⎩；（2）78a =或52a =.【分析】（1）讨论01a <≤、12a <≤、23a <≤分别求对应的S ，进而写出函数解析式的分段形式.（2）根据（1）所得解析式，将78S =代入求a 值即可.【小问1详解】如下图，延长EF 到AB 上的G ，又33AC FC ==，则23AF FG AC CB ==，∴2FG =，当01a <≤时，S a =；当12a <≤时，1S =；当23a <≤时，2211(2)2122a S a a =--=-+-.综上，2,011,1221,232a a S a a a a ⎧⎪<≤⎪=<≤⎨⎪⎪-+-<≤⎩.【小问2详解】由（1）知：在(0,1]上，78S a ==；在(2,3]上，272128a S a =-+-=，整理得241615(23)(25)0a a a a -+=--=，解得32a =（舍）或52a =.综上，78a =或52a =时，78S =.22.已知函数()112()log 42x x f x k +=+⋅.（1）当3k =时，求函数()f x 的零点；（2）若不等式()0f x <在0x >时恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2-；（2）3k ≥-.【分析】（1）由对数函数的性质可得14321x x ++⋅=，再解含指数的一元二次方程，结合指数的性质即可得解.（2）由题设有2142x x k >-⋅在0x >上恒成立，判断1()422x x g x =-⋅的单调性并确定其值域，即可求k 的范围.【小问1详解】由题设，令()112()log 4320x x f x +=+⋅=，则14321x x ++⋅=，∴24(2)1(421)(1)2203x x x x ⋅+-=⋅-+=⋅，可得124x =或21x =-（舍），∴2x =-，故()f x 的零点为2-.【小问2详解】由()112()log 420x x f x k +=+⋅<，则1421x x k ++⋅>，即2142x x k >-⋅在0x >上恒成立，∵1,422x x y y ==-⋅在0x >上均递减，∴1()422x x g x =-⋅在0x >上递减，则(0)143k g ≥=-=-，∴k 的取值范围为3k ≥-.23.利用拉格朗日（法国数学家，1736-1813）插值公式，可以把二次函数()F x 表示成()()()()()()()()()()()()()d x b x ce x a x cf x a x b F x a b a c b a b c c a c b ------=++------的形式.（1）若1a =，2b =，3c =，4d =，e f <，把()F x 的二次项系数表示成关于f 的函数()G f ，并求()G f 的值域（此处视e 为给定的常数，答案用e 表示）；（2）若a b c <<，0d >，0e <，0f >，求证：()()()222222()()()d b c e c a f a b a b b c d b c e c a f a b -+-+-+<<+-+-+-.【答案】（1）1(2,)2e -++∞；（2）证明见解析．【分析】（1）根据已知写出二次项系数()G f 后可得；；（2）注意到()()()0d b c e c a f a b -+-+-<，因此可以在不等式两边同乘以分母后化简不等式，然后比较可得（可作差或凑配证明）．【小问1详解】由题意41()2()()()()()()1(2)1(1)212d e f e f G f f e a b a c b a b c c a c b =++=++=-+-------⨯-⨯-⨯又f e >，所以11()2222G f e e e >-+=-+．即()G f 的值域是1(2,)2e -++∞；【小问2详解】因为a b c <<，0d >，0e <，0f >，所以()()()0d b c e c a f a b -+-+-<，22()[()()()]()()()()()a b d b c e c a f a b d b c a b e c a a b f a b +-+-+-=-++-++-22()([()()]()[()()]()d b c b c a ce c a c a b cf a b =-++-+-++-+-222222()()()()()()()d b ce c af a b d b c a c e c a b c =-+-+-+--+--因为a b c <<，0d >，0e <，0f >，所以()()0,()()0d b c a c e c a b c -->-->，所以()[()()()]a b d b c e c a f a b +-+-+->222222()()()d b c e c a f a b -+-+-，所以()()()222222()()()d b c e c a f a b a b d b c e c a f a b -+-+-+<-+-+-，22()[()()()]()()()()()b c d b c e c a f a b d b c e c a b c f a b b c +-+-+-=-+-++-+22()()()()()d b ce c a c a b af a b a b c a =-+--+-+-++-222222()()()()()()()d b ce c af a b e c a b a f a b c a =-+-+-+--+--因为a b c <<，0d >，0e <，0f >，所以()()0,()()0e c a b a f a b c a --<--<，所以()[()()()]b c d b c e c a f a b +-+-+-<222222()()()d b c e c a f a b -+-+-，所以()()()222222()()()d b c e c a f a b b c d b c e c a f a b -+-+-+>-+-+-，综上，原不等式成立．。
2021-2022学年上海市延安中学高一下学期数学期末考试卷含详解
2021-2022学年上海市长宁区延安中学高一（下）期末数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分，每题3分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（3分）在等差数列{a n}中，a3＝10，a7＝30，则公差d＝．2．（3分）﹣1与﹣4的等比中项是．3．（3分）已知复数（2﹣i）（a+i）是纯虚数，则实数a＝．4．（3分）若关于x的实系数一元二次方程2x2﹣5x+a＝0有一对共轭虚根，则实数a的取值范围是．5．（3分）已知向量，，则＝．6．（3分）已知向量，，若，则的单位向量的坐标为．7．（3分）已知复数z满足z﹣3i＝iz+5，则||＝．8．（3分）已知复平面上平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（﹣2，﹣1）、（2，4）、（11，7），则向量所对应的复数是．9．（3分）已知数列{a n}的通项公式为，则＝．10．（3分）已知等比数列{a n}的前n项积为T n，若T2＝T5＝32，则T6＝．11．（3分）如图，圆O是正八边形ABCDEFGH的外接圆，其半径为1，则＝．12．（3分）已知复数列{z n}满足：z1＝1+i，，设复数z n在复平面中对应点Z n．当n无限增大时，点Z n越来越趋近于一个确定的点A，点A 的坐标是．二、选择题（本大题共有6题，满分18分，每题3分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（3分）设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．（3分）设复数z1＝﹣6+8i，z2＝5﹣9i在复平面所对应的点为Z1与Z2，则关于点Z1、Z2与以原点为圆心，10为半径的圆C的位置关系，描述正确的是（）A．点Z1在圆C上，点Z2不在圆C上B．点Z1不在圆C上，点Z2在圆C上C．点Z1、Z2都在圆C上D．点Z1、Z2都不在圆C上15．（3分）现有下列四个结论：①对任意向量、，有；②对任意向量，有；③对任意复数z，有z2＝|z|2；④对任意复数z，有|z2|＝|z|2．其中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．316．（3分）用数学归纳法证明等式（n+1）（n+2）（n+3）⋯⋯（n+n）＝2n•1•3•⋯•（2n﹣1），其中n∈N，n≥1，从n＝k到n＝k+1时，等式左边需要增乘的代数式为（）A．2k+2B．（2k+1）（2k+2）C．D．2（2k+1）17．（3分）已知△ABC的外心是O，且，，则在方向上的投影向量为（）A．B．C．D．18．（3分）著名的斐波那契数列{F n}满足：F1＝F2＝1，F n+1＝F n+F n﹣1（n∈N，n≥2）．记数列{F n}的前n项和为S n，则（）A．S50＝F50+F51B．S50＝F50+F51﹣1C．S50＝F51+F52D．S50＝F51+F52﹣1三、解䇾题（本大題共有5题，满分46分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要步骤．19．（8分）设向量、满足，．（1）求与的夹角θ；（2）若与垂直，求实数k的值．20．（8分）已知复数z满足，z2的虚部为﹣2．（1）求复数z；（2）若Rez＞0，设z、z2、4z﹣z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．21．（10分）森林资源是全人类共有的宝贵财富，其在改善环境，保护生态可持续发展方面发挥重要的作用．为了实现“到2030年，中国的森林蓄积量比2005年增加60亿立方米”的目标，A地林业管理部门着手制定本地的森林蓄积量规划．经统计，A地2020年底的森林蓄积量为120万立方米，森林每年以25%的增长率自然生长，而为了保证森林通风和发展经济的需要，每年冬天都要砍伐掉t（10＜t＜30）万立方米的森林．设a n为自2021年开始，第n年末的森林蓄积量（例如a1＝150﹣t）．（1）试写出数列{a n}的一个递推公式；（2）设b n＝a n﹣4t（n∈N，n≥1），证明：数列{b n}是等比数列；（3）若到2030年末，A地要实现“森林蓄积量要超过640万立方米”这一目标，那么每年的砍伐量t最多是多少万立方米？（精确到1万立方米）22．（10分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，，，其中m，n∈（0，1），设DE中点为M，AB中点为N．（1）若m＝n，求证：C、M、N三点共线；（2）若m+n＝1，求||的最小值．23．（10分）已知数列{a n}的前n项和．（1）证明：数列{a n}是等差数列；（2）设b n＝a n S n（n∈N，n≥1），试问：数列{b n}是否有最大项、最小项，若有，分别指出第几项最大、最小；若没有，试说明理由．2021-2022学年上海市长宁区延安中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分36分，每题3分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．【解答】解：在等差数列{a n}中，a3＝10，a7＝30，则公差d＝＝5．故答案为：5．2．【解答】解：﹣1与﹣4的等比中项是：＝±2．故答案为：±2．3．【解答】解：∵（2﹣i）（a+i）＝2a+1+（2﹣a）i是纯虚数，∴，解得a＝﹣，故答案为：﹣．4．【解答】解：由已知可得：Δ＝（﹣5）2﹣4×2×a＜0，解得a＞，∴a的取值范围是（，+∞）．故答案为：（，+∞）．5．【解答】解：因为向量，，所以cos＝＝＝，因为∈[0，π]，所以＝arccos．故答案为：arccos．6．【解答】解：∵向量，，∴＝（3，4），∴的单位向量的坐标为：±（3，4），故答案为：±（3，4）．7．【解答】解：由z﹣3i＝iz+5，得z＝＝＝＝1+4i，z的共轭复数等于1﹣4i，所以||＝＝，故答案为：．8．【解答】解：由平行四边形ABCD可得＝＝（11﹣2，7﹣4）＝（9，3），则向量所对应的复数是9+3i．故答案为：9+3i．9．【解答】解：＝，故答案为：．10．【解答】解：等比数列{a n}的前n项积为T n，T2＝T5＝32，设等比数列{a n}的公比为q，则＝，解得a4＝1，∴＝1，∵，∴q5＝，解得，∴＝，则T6＝T5a6＝32×＝8．故答案为：8．11．【解答】解：易得的夹角为，再由图可得＝，故答案为：．12．【解答】解：∵，z1＝1+i，∴，，，...，，累加得：＝＝．当n无限最大时，z n无限接近于2+，故A的坐标为（2，）．故答案为：（2，）．二、选择题（本大题共有6题，满分18分，每题3分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．【解答】解：设z1＝1+i，z2＝i，满足z1、z2中至少有一个数是虚数，则z1﹣z2＝1是实数，则z1﹣z2是虚数不成立，若z1、z2都是实数，则z1﹣z2一定不是虚数，因此当z1﹣z2是虚数时，则z1、z2中至少有一个数是虚数，即必要性成立，故“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的必要不充分条件，故选：B．14．【解答】解：复数z1＝﹣6+8i，z2＝5﹣9i在复平面所对应的点为Z1（﹣6，8），Z2（5，﹣9），由于（﹣6）2+82＝102，52+（﹣9）2≠102，可得点Z1在圆C上，点Z2不在圆C上，故选：A．15．【解答】解：①•＝||•||cos＜，＞，只有当cos＜，＞＝±1时，才有，即①错误；②2＝•＝||•||cos0°＝||2，即②正确；对于③和④，设复数z＝a+bi，则z2＝（a+bi）•（a+bi）＝a2﹣b2+2abi，|z|2＝a2+b2，所以z2与|z|2不一定相等，即③错误；而|z2|＝＝＝a2+b2，所以|z2|与|z|2相等，即④正确．故选：C．16．【解答】解：当n＝k时，式子左边＝（k+1）（k+2）•（k+k），最后一项为2k，当n＝k+1时，式子左边＝（k+1+1）（k+1+2）•（k+1+k）（k+1+k+1），最后一项变为2k+2，故增乘的代数式为＝．故选：D．17．【解答】解：设＝2，因为，所以＝+，所以四边形ABDC是平行四边形，且AD为圆O的直径，所以∠BAC＝∠ABD＝90°，即四边形ABDC是矩形，因为||＝，所以△OAB为等边三角形，所以∠ABC＝60°，所以在方向上的投影向量为||cos（180°﹣∠ABC）•＝||cos120°•＝﹣．故选：C．18．【解答】解：因为F1＝F2＝1，F n+1＝F n+F n﹣1（n≥2，n∈N*），所以数列{a F}的前50项和为：F1+F2+F3+F4+…+F50＝F2+F1+F2+F3+F4+…+F50﹣1＝F3+F2+F3+F4+…+F50﹣1＝F4+F3+F4+…+F50﹣1＝F5+F4+F5+…+F50﹣1＝F6+F5+F6+…+F50﹣1＝......＝F50+F51﹣1．故选：B．三、解䇾题（本大題共有5题，满分46分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要步骤．19．【解答】解：（1）由，得4﹣4•﹣3＝19，因为，所以4×4﹣4×2×cosθ﹣3×3＝19，所以cosθ＝﹣，因为θ∈[0，π]，所以θ＝．（2）因为与垂直，所以（）•＝+k•＝0，所以4+k×2××（﹣）＝0，解得k＝．20．【解答】解：（1）设z＝a+bi（a，b∈R），则|z|2＝a2+b2＝2，z2＝a2﹣b2+2abi，由z2的虚部为2，有2ab＝2，∴或，即z＝1+i或z＝﹣1﹣i；（2）因为Rez＞0，所以z＝1+i，z2＝（1+i）2＝2i，4z﹣z2＝4+2i，∴点A（1，1），B（0，2），C（4，2），直线BC：y＝2，所以A到BC的距离为1，∴，∴△ABC的面积为2．21．【解答】解：（1）由题意得：a1＝120×（1+25%）﹣t＝150﹣t，a n+1＝a n×（1+25%）﹣t＝a n﹣t；（2）因为a n+1＝a n﹣t，所以a n+1﹣4t＝（a n﹣4t），当n＝1时，b1＝a1﹣4t＝150﹣5t，即＝，故{b n}是以150﹣5t为首项，为公比的等比数列．（3）由（2）知：{a n﹣4t}是以150﹣5t为首项，为公比的等比数列，所以其通项公式为a n﹣4t＝（150﹣5t）•，所以a n＝4t+（150﹣5t）•，2030年底的森林蓄积量为数列{a n}的第10项为a10＝4t+（150﹣5t）•，由题意可知：森林蓄积量到2030年底要达到超过640万立方米的目标，所以a10≥640，即4t+（150﹣5t）•≥640，即4t+（150﹣5t）×7.45＝4t+1117.5﹣37.25t≥640，解得：t≤12.82．所以每年的砍伐量最大为12万立方米．22．【解答】证明：（1）当m＝n时，，故，故C、M、N三点共线，即得证；解：（2）当m+n＝1时，，故，故＝，故当时，取得最小值，即的最小值为．23．【解答】证明：（1）因为数列{a n}的前n项和，当n＝1时，a1＝S1＝2023﹣1＝2022，当n≥2时，，因为当n＝1时也满足，故，故a n+1﹣a n＝2024﹣2（n+1）﹣（2024﹣2n）＝﹣2为常数，故{a n}是等差数列；解：（2）由（1）a n＝2024﹣2n，故，则＝2（3n2+3n+1）﹣6070（2n+1）+2024×2023＝6n2﹣12134n+4088484，因为n∈N，n≥1，故令b n+1﹣b n＞0可解得1≤n≤427或n≥1596，即b1＜b2＜b3＜…＜b427＜b428，b428＞b429＞b430＞…＞b1595，b1595＜b1596＜b1597＜…，因为，故数列{b n}有最小项为第1595项，又随着n的增大b n一直增大无最大值，故数列{b n}第1595项最小，无最大项．。
上海西延安中学数学高一下期末经典练习题(培优专题)
一、选择题1．(0分)[ID ：12724]已知向量()cos ,sin a θθ=，()1,2b =，若a 与b 的夹角为6π，则a b +=（ ） A ．2B ．7C ．2D ．12．(0分)[ID ：12720]如图，在ABC ∆中，已知5AB =，6AC =，12BD DC =，4AD AC ⋅=，则AB BC ⋅=A ．-45B ．13C ．-13D ．-373．(0分)[ID ：12713]若cos(π4−α)=35，则sin2α=（ ） A ．725B ．15C ．−15D ．−7254．(0分)[ID ：12709]已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．05．(0分)[ID ：12705]已知()()()sin cos ,02f x x x πωϕωϕωϕ=+++＞，＜，()f x 是奇函数，直线2y =与函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则（ ） A ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 C ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 6．(0分)[ID ：12702]已知D ，E 是ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，则xy 的取值范围是( )A ．14,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．21,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．(0分)[ID ：12689]函数()23sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是 A ．713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8．(0分)[ID ：12679]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为A ．12尺 B ．815尺 C ．1629尺 D ．1631尺 9．(0分)[ID ：12672]若||1OA =，||3OB =0OA OB ⋅=，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则mn的值为（ ） A ．13B ．3C 3D 310．(0分)[ID ：12631]设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 11．(0分)[ID ：12665]设函数，则()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．()y f x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线4x π=对称 D ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线2x π=对称12．(0分)[ID ：12654]已知二项式2(*)nx n N x ⎛∈ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（ ） A ．14B ．14-C ．240D ．240-13．(0分)[ID ：12645]如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点，则（ ）A ．BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线B ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线C ．BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线D ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线14．(0分)[ID ：12640]在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则1BC 与侧面1ACC A 所成角的大小为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．9015．(0分)[ID ：12719]如图，在ABC 中，90BAC ︒∠=，AD 是边BC 上的高，PA ⊥平面ABC ，则图中直角三角形的个数是（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10二、填空题16．(0分)[ID ：12814]已知函数()sin 03y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若将该函数的图像向左平移()0m m >个单位后，所得图像关于原点对称，则m 的最小值为________.17．(0分)[ID ：12800]若直线1x y -=与直线(3)80m x my ++-=平行，则m =______________．18．(0分)[ID ：12788]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b =___. 19．(0分)[ID ：12783]函数()2sin sin 3f x x x =+-的最小值为________.20．(0分)[ID ：12733]若a 10=12，a m =22，则m =______． 21．(0分)[ID ：12769]设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，*n N ∈，则数列{}n b 的通项公式n b = ．22．(0分)[ID ：12766]函数()sin f x x ω=（0>ω）的图像与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为1A ，2A ，3A ，⋅⋅⋅，n A ，⋅⋅⋅，在点列{}n A 中存在三个不同的点k A 、l A 、p A ，使得△k l p A A A 是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数记为n ω，则6ω=________.23．(0分)[ID ：12752]已知复数z x yi =+，且23z -=，则yx的最大值为__________．24．(0分)[ID ：12751]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．下列命题正确的为_______________.①存在点E ，使得11A C //平面1BED F ； ②对于任意的点E ，平面11AC D ⊥平面1BED F ； ③存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ；④对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变．25．(0分)[ID ：12760]△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________． 三、解答题26．(0分)[ID ：12924]已知直线12:210:280,l x y l ax y a ，++=+++=且12l l //． （1）求直线12,l l 之间的距离；（2）已知圆C 与直线2l 相切于点A ，且点A 的横坐标为2-，若圆心C 在直线1l 上，求圆C 的标准方程．27．(0分)[ID ：12910]为了解某地区某种产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：（1）求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取到最大值？（保留两位小数）参考公式：121()()()ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑1221ni ii nii x y nxyxnx ==-=-∑∑ ，^^y x a b=- 28．(0分)[ID ：12902]ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若7c =33ABC S ∆=ABC ∆的周长. 29．(0分)[ID ：12881]已知平面向量()3,4a =，()9,b x =，()4,c y =，且//a b ，a c ⊥.（1）求b 和c ；（2）若2m a b =-，n a c =+，求向量m 与向量n 的夹角的大小.30．(0分)[ID ：12875]已知向量(3,2)a =-，(2,1)=b ，(3,1)c =-，,m t ∈R . （1）求||a tb +的最小值及相应的t 的值； （2）若a mb -与c 共线，求实数m .【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．D3．D4．B5．A6．D7．A8．C9．B10．D11．D12．C13．B14．A15．C二、填空题16．【解析】【分析】先利用周期公式求出再利用平移法则得到新的函数表达式依据函数为奇函数求出的表达式即可求出的最小值【详解】由得所以向左平移个单位后得到因为其图像关于原点对称所以函数为奇函数有则故的最小值17．【解析】【分析】由题意得到关于m的方程解方程即可求得最终结果【详解】由题意结合直线平行的充分必要条件可得：解得：此时两直线方程分别为：两直线不重合据此可知：【点睛】本题主要考查直线平行的充分必要条件18．【解析】试题分析：因为且为三角形的内角所以又因为所以【考点】正弦定理两角和差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信19．【解析】【分析】利用换元法令然后利用配方法求其最小值【详解】令则当时函数有最小值故答案为【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式性求最值；20．5【解析】21．2n+1【解析】由条件得且所以数列是首项为4公比为2的等比数列则22．【解析】【分析】由可求得的横坐标进而得到的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分析以为顶点的三角形为等腰直角三角形即可由垂直关系可得平面向量数量积为零进而求得的通项公式代入即可得到结果【详解】由得：……23．【解析】【分析】根据复数z的几何意义以及的几何意义由图象得出最大值【详解】复数且复数z的几何意义是复平面内以点为圆心为半径的圆的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：即的最大值为故答案为：24．①②④【解析】【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可【详解】①当为棱上的一中点时此时也为棱上的一个中点此时//满足//平面故①正确；②连结则平面因为平面25．【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为化简求得利用余弦定理结合题中的条件可以得到可以断定为锐角从而求得进一步求得利用三角形面积公式求得结果【详解】因为结合正弦定理可得可得因为结合余弦定理可三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B【解析】 【分析】先计算a 与b 的模，再根据向量数量积的性质22()a b a b +=+即可计算求值. 【详解】因为()cos ,sin a θθ=，()1,2b =， 所以||1a =，||3b =.又222222()2||2||||cos||6a b a b a a b b a a b b +=+=+⋅+=+π+137=++=， 所以7a b +=，故选B. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题.2．D解析：D 【解析】 【分析】先用AB 和AC 表示出2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-， 再根据，12BD DC =用用AB 和AC 表示出AD ，再根据4AD AC ⋅=求出A AB C ⋅的值，最后将A AB C ⋅的值代入2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-，，从而得出答案． 【详解】()2A =A AB BC AB C AB AB C AB ⋅=⋅-⋅-，∵12BD DC =， ∴111B C ?C B 222AD A A AD AD A AD A -=-=-+（）， 整理可得：12AB 33AD AC +＝， 221A A 433AD AC AB C C ∴⋅⋅+=＝∴ A =-12AB C ⋅，∴2=A =122537AB BC AB C AB ⋅⋅---=-．， 故选：D ．本题考查了平面向量数量积的运算，注意运用平面向量的基本定理，以及向量的数量积的性质，考查了运算能力，属于中档题．3．D解析：D 【解析】试题分析：cos[2(π4−α)]=2cos 2(π4−α)−1=2×(35)2−1=−725， 且cos[2(π4−α)]=cos[π2−2α]=sin2α，故选D.【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．4．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点,22⎛ ⎝⎭，22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.5．A解析：A 【解析】 【分析】首先整理函数的解析式为()4f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由函数为奇函数可得4πϕ=-，由最小正周期公式可得4ω=，结合三角函数的性质考查函数在给定区间的单调性即可. 【详解】由函数的解析式可得：()4f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 函数为奇函数，则当0x =时：()4k k Z πϕπ+=∈.令0k =可得4πϕ=-.因为直线y =与函数()f x 的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π 结合最小正周期公式可得：22ππω=，解得：4ω=.故函数的解析式为：()4f x x =.当3,88x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，34,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数在所给区间内单调递减； 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()40,x π∈，函数在所给区间内不具有单调性； 据此可知，只有选项A 的说法正确. 故选A . 【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，考查了三角函数的周期性、单调性，三角函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．D解析：D 【解析】 【分析】利用已知条件推出x +y ＝1，然后利用x ，y 的范围，利用基本不等式求解xy 的最值． 【详解】解：D ，E 是ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，可得x y 1+=，x ，12y ,33⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2x y 1xy ()24+≤=，当且仅当1x y 2==时取等号，并且()2xy x 1x x x =-=-，函数的开口向下， 对称轴为：1x 2=，当1x 3=或2x 3=时，取最小值，xy 的最小值为：29．则xy 的取值范围是：21,.94⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选D ． 【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．7．A解析：A 【解析】 【分析】首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形，然后求解其单调区间即可.【详解】 函数的解析式即：()223sin 23sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其单调增区间满足：()23222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得：()7131212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A . 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．C解析：C 【解析】试题分析：将此问题转化为等差数列的问题，首项为，,求公差，，解得：尺，故选C.考点：等差数列9．B解析：B 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算即可算出． 【详解】 解：30AOC ︒∠=3cos ,2OC OA ∴<>=32OC OA OC OA⋅∴=()32mOA nOB OA mOA nOB OA+⋅∴=+ 22222322m OA nOB OAm OA mnOA OB n OB OA+⋅=+⋅+1OA =，3OB =，0OA OB ⋅== 229m n ∴=又C 在AB 上 0m ∴>，0n > 3m n∴= 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用．10．D解析：D 【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确；∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确； 由于f 2π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误． 故选D.11．D解析：D 【解析】()sin(2)cos(2))2442f x x x x x πππ=+++=+=,由02,x π<<得02x π<<，再由2,x k k Z ππ=+∈,所以,22k x k Z ππ=+∈. 所以y=f(x)在()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线2x π=对称,故选D.12．C解析：C 【解析】【分析】由二项展开式的通项公式为()12rn rrr n T C x -+⎛= ⎝及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：6n =，令展开式通项中x 的指数为3，即可求得2r ，问题得解． 【详解】二项展开式的第1r +项的通项公式为()12rn rrr n T C x -+⎛= ⎝由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：12:2:5n n C C =. 解得：6n =.所以()()366216221rr n rr rr r r n T C x C x---+⎛==- ⎝令3632r -=，解得：2r ，所以3x 的系数为()2262621240C --=故选C 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．13．B解析：B 【解析】 【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题． 【详解】如图所示， 作EO CD ⊥于O ，连接ON ，过M 作MF OD ⊥于F ． 连BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ．,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴∆与EON ∆均为直角三角形．设正方形边长为2，易知12EO ON EN ===，5,22MF BF BM ==∴=BM EN ∴≠，故选B ．【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角性．14．A解析：A 【解析】 【分析】由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ，求得1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角，在1BC O ∆中，即可求解． 【详解】由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ,因为正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1， 所以1,BO AC BO AA ⊥⊥，因为1AC AA A ⋂=，所以BO ⊥平面11ACC A ， 所以1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角， 因为222113131(),(2)()2222BO C O =-==+=， 所以11332tan 332BO BC O OC ∠===， 所以0130BC O ∠=，1BC 与侧面11ACC A 所成的角030．【点睛】本题主要考查了直线与平面所成的角的求解，其中解答中空间几何体的线面位置关系，得到1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化与化归思想，属于中档试题．15．C解析：C 【解析】 【分析】根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形． 【详解】①PA ⊥平面ABC ，,,,PA AB PA AD PA AC PAB ∴⊥⊥⊥∴∆,,PAD PAC ∆∆都是直角三角形；②90,BAC ABC ︒∠=∴是直角三角形； ③,,AD BC ABD ACD ⊥∴∆∆是直角三角形；④由,PA BC AD BC ⊥⊥得BC ⊥平面PAD ，可知：,,BC PD PBD PCD ⊥∴∆∆也是直角三角形.综上可知：直角三角形的个数是8个，故选C ．【点睛】本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题．二、填空题16．【解析】【分析】先利用周期公式求出再利用平移法则得到新的函数表达式依据函数为奇函数求出的表达式即可求出的最小值【详解】由得所以向左平移个单位后得到因为其图像关于原点对称所以函数为奇函数有则故的最小值解析：3π【解析】 【分析】先利用周期公式求出ω，再利用平移法则得到新的函数表达式，依据函数为奇函数，求出m 的表达式，即可求出m 的最小值．【详解】由2T ππω==得2ω=，所以sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向左平移()0m m >个单位后，得到sin[2()]sin(22)33y x m x m ππ=++=++，因为其图像关于原点对称，所以函数为奇函数，有2,3m k k Z ππ+=∈，则62k m ππ=-+，故m 的最小值为3π．【点睛】本题主要考查三角函数的性质以及图像变换，以及sin()y A x ωϕ=+ 型的函数奇偶性判断条件．一般地sin()y A x ωϕ=+为奇函数，则k ϕπ=；为偶函数，则2k πϕπ=+；cos()y A x ωϕ=+为奇函数，则2k πϕπ=+；为偶函数，则k ϕπ=．17．【解析】【分析】由题意得到关于m 的方程解方程即可求得最终结果【详解】由题意结合直线平行的充分必要条件可得：解得：此时两直线方程分别为：两直线不重合据此可知：【点睛】本题主要考查直线平行的充分必要条件解析：32- 【解析】 【分析】由题意得到关于m 的方程，解方程即可求得最终结果. 【详解】由题意结合直线平行的充分必要条件可得：()()1130m m ⨯--⨯+=， 解得：32m =-，此时两直线方程分别为：1x y -=，338022x y --=， 两直线不重合，据此可知：32m =-. 【点睛】本题主要考查直线平行的充分必要条件，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．【解析】试题分析：因为且为三角形的内角所以又因为所以【考点】正弦定理两角和差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信 解析：2113【解析】试题分析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C π=-+=+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==. 【考点】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．19．【解析】【分析】利用换元法令然后利用配方法求其最小值【详解】令则当时函数有最小值故答案为【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式性求最值； 解析：134-【解析】 【分析】利用换元法，令sin x t =，[]1,1t ∈-，然后利用配方法求其最小值． 【详解】令sin x t =，[]1,1t ∈-，则2113324y t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 当12t =-时，函数有最小值134-，故答案为134-.【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成2sin sin y a x b x c =++的形式利用配方法求最值；②形如sin sin a x by c x d+=+的可化为sin ()x y φ=的形式性求最值；③sin cos y a x b x =+型，可化为)y x φ=+求最值；④形如()sin cos sin cos y a x x b x x c =±++可设sin cos ,x t ±=换元后利用配方法求最值. 20．5【解析】解析：5 【解析】5,52a m ====21．2n+1【解析】由条件得且所以数列是首项为4公比为2的等比数列则解析：2n+1由条件得111112222222111n n n n n n n n a a a b b a a a ++++++++====---，且14b =，所以数列{}n b 是首项为4，公比为2的等比数列，则11422n n n b -+=⋅=．22．【解析】【分析】由可求得的横坐标进而得到的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分析以为顶点的三角形为等腰直角三角形即可由垂直关系可得平面向量数量积为零进而求得的通项公式代入即可得到结果【详解】由得：…… 解析：112π【解析】 【分析】 由2x k πωπ=+可求得n A 的横坐标，进而得到n A 的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分析以1A ，2n A ，41n A -为顶点的三角形为等腰直角三角形即可，由垂直关系可得平面向量数量积为零，进而求得n ω的通项公式，代入6n =即可得到结果. 【详解】由2x k πωπ=+，k Z ∈得：()212k x πω+=，k Z ∈1,12A πω⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，23,12A πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，35,12A πω⎛⎫ ⎪⎝⎭，47,12A πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，…… 若123A A A ∆为等腰直角三角形，则212232,2,240A A A A πππωωω⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：2πω=，即12πω=同理若147A A A ∆为等腰直角三角形，则14470A A A A ⋅= 232πω∴= 同理若1611A A A ∆为等腰直角三角形，则166110A A A A ⋅= 352πω∴= 以此类推，可得：()212n n πω-= 6112πω∴=故答案为：112π本题考查正弦型函数图象与性质的综合应用问题，关键是能够根据正弦函数周期性的特点确定所分析成等腰直角三角形的三个顶点的位置，进而由垂直关系得到平面向量数量积为零，构造方程求得结果.23．【解析】【分析】根据复数z 的几何意义以及的几何意义由图象得出最大值【详解】复数且复数z 的几何意义是复平面内以点为圆心为半径的圆的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：即的最大值为故答案为： 解析：【解析】 【分析】根据复数z 的几何意义以及yx的几何意义，由图象得出最大值. 【详解】复数z x yi =+且23z -=，复数z 的几何意义是复平面内以点(2,0)为圆心，3为半径的圆22(2)3x y -+=.yx的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：max331y x ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 即yx3 3【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用，属于中档题.24．①②④【解析】【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可【详解】①当为棱上的一中点时此时也为棱上的一个中点此时//满足//平面故①正确；②连结则平面因为平面解析：①②④ 【解析】 【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可． 【详解】①当E 为棱1CC 上的一中点时，此时F 也为棱1AA 上的一个中点，此时11A C //EF ，满足11A C //平面1BED F ，故①正确；②连结1BD ，则1B D ⊥平面11AC D ，因为1BD ⊂平面1BED F ，所以平面11A C D ⊥平面1BED F ，故②正确；③1BD ⊂平面1BED F ，不可能存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ，故③错误； ④四棱锥11B BED F -的体积等于1111D BB F D BB E V V --+，设正方体的棱长为1. ∵无论E 、F 在何点，三角形1BB E 的面积为111122⨯⨯=为定值，三棱锥11D BB E -的高111D C =，保持不变，三角形1BB F 的面积为111122⨯⨯=为定值，三棱锥11D BB F -的高为111D A =，保持不变.∴四棱锥11B BED F -的体积为定值，故④正确. 故答案为①②④. 【点睛】本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的位置关系的判断，解答本题的关键正确利用分割法求空间几何体的体积的方法，综合性较强，难度较大．25．【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为化简求得利用余弦定理结合题中的条件可以得到可以断定为锐角从而求得进一步求得利用三角形面积公式求得结果【详解】因为结合正弦定理可得可得因为结合余弦定理可解析：3. 【解析】 【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，化简求得1sin 2A =，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到2cos 8bc A =，可以断定A 为锐角，从而求得cos 2A =，进一步求得3bc =，利用三角形面积公式求得结果. 【详解】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=， 可得1sin 2A =，因为2228b c a +-=， 结合余弦定理2222a b c bccosA =+-，可得2cos 8bc A =， 所以A为锐角，且cos A =，从而求得bc =， 所以ABC ∆的面积为111sin 222S bc A ===. 【点睛】本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc +-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30、45、60等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.三、解答题26．（12）22x (y 1)5++=．【解析】【分析】 ()1先由两直线平行解得a 4=，再由平行直线间的距离公式可求得；()2代x 2=-得()A 2,2--，可得AC 的方程，与1l 联立得()C 0,1-，再求得圆的半径，从而可得圆的标准方程．【详解】解：()121l //l ，a 28a 211+∴=≠，解得a 4=， 1l ∴：2x y 10++=，2l ：2x y 60++=， 故直线1l 与2l的距离d === ()2当x 2=-代入2x y 60++=，得y 2=-，所以切点A 的坐标为()2,2--，从而直线AC 的方程为()1y 2x 22+=+，得x 2y 20--=， 联立2x y 10++=得()C 0,1-．由()1知C所以所求圆的标准方程为：22x (y 1)5++=．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了两条平行线的距离公式，属中档题． 27．(1) 8.69 1.ˆ23yx =- (2) 2.72x =，年利润z 最大 【解析】分析：（1）由表中数据计算平均数与回归系数，即可写出线性回归方程；（2）年利润函数为(2)z x y =-，利用二次函数的图象与性质，即可得到结论. 详解：（1）3x =，5y =，5115i i x ==∑，5125i i y ==∑，5162.7i i i x y ==∑，52155i x ==∑，52155i i x ==∑， 解得：^ 1.23b =-，^8.69a =，所以：8.69 1.ˆ23yx =-， （2）年利润()28.69 1.232 1.23 6.69z x x x x x =--=-+ 所以 2.72x =，年利润z 最大.点睛：本题考查了线性回归方程以及利用回归方程预测生产问题，试题比较基础，对于线性回归分析的问题：（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数r 公式求出r ，然后根据r 的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性． 28．（1）3C π=（2）5【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=12cos sin()sin cos 23C A B C C C π∴+=⇒=⇒=（2）11sin 622ABC S ab C ab ab ∆=⇒=⇒= 又2222cos a b ab C c +-=2213a b ∴+=，2()255a b a b ∴+=⇒+=ABC ∆∴的周长为5考点：正余弦定理解三角形.29．（1）()9,12b =，()4,3c =-；（2）34π. 【解析】【分析】（1）利用共线向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示并结合条件//a b ，a c ⊥，列方程求出x 、y 的值，可得出向量b 和c 的坐标；（2）求出m 、n 的坐标，利用向量数量积的坐标运算计算出向量m 与向量n 夹角的余弦值，由夹角的取值范围可求出这两个向量夹角的值.【详解】（1）()3,4a =，()9,b x =，()4,c y =，且//a b ，a c ⊥，3493440x y =⨯⎧∴⎨⨯+=⎩， 解得123x y =⎧⎨=-⎩，因此，()9,12b =，()4,3c =-； （2）()()()223,49,123,4m a b =-=⨯-=--，()()()3,44,37,1n a c =+=+-=，则374125m n ⋅=-⨯-⨯=-，()(35m ∴=-+-=，271n =+=设m 与n 的夹角为θ，25cos ,55m nm n m n ⋅-∴===⨯⋅，0θπ≤≤，则34πθ=. 因此，向量m 与向量n 的夹角为34π. 【点睛】 本题考查平面向量的坐标运算，涉及共线向量、向量垂直以及利用坐标计算向量的夹角，解题的关键就是将问题转化为向量的坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 30．（1）45t =2）35. 【解析】【分析】(1)利用向量的模长公式计算出||a tb +的表达式然后求最值.(2)先求出a mb -的坐标，利用向量平行的公式得到关于m 的方程，可解得答案.【详解】（1）∵(23,2)a tb t t +=-+，∴||(2a tb t +=-==当45t =时，||a tb +. （2）(32,2)a mb m m -=---. ∵a mb -与c 共线，∴32630m m +-+=，则35m =. 【点睛】本题考查向量的模长的计算以及其最值和根据向量平行求参数的值，属于基础题.。
2022-2023学年上海市延安中学高一(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年上海市延安中学高一（上）期末数学试卷1. 已知集合A ={x|x 2+4x +3=0}，B ={x|x 2=1}，则A ∩B =______.2. 角2023∘是第象限角______.3. 用有理数指数幂的形式表示x 2⋅√x =______.4. 不等式1x ≥1的解集是______.5. 幂函数y =(m 2−m −1)x m 2−2m−3在区间(−∞,0)上为严格减函数，则m =______.6. 已知log 23=m ，用m 表示log 68=______.7. 函数f(x)=x 2+2x 在区间(−∞,−1]上的反函数f −1(x)=______.8. 若函数y =log 2(ax 2+3x +a)的定义域为R ，则a 的取值范围是______.9. 当x >0时，函数f(x)=(2a −1)x (a >0,a ≠12)的函数值总大于1，则函数y =log a (2x −x 2)在区间______上是严格增函数． 10. 函数y =a 1−x (a >0,a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 的坐标满足方程mx +2ny −1=0(mn >0)，则1m +1n的最小值______. 11. 点A(x 1,x 2)、B(x 2,y 2)是平面直角坐标系上的两点，定义A 到B 的曼哈顿距离L(A,B)=|x 1−x 2|+|y 1−y 2|，已知点A(1,4)，点B 在y =x 2上，则L(A,B)的最小值是______.12. 已知函数f(x)={|log 2x|,x >0−x 2−2x,x ≤0，关于x 的方程f(x)=m(m ∈R)有四个不同的实数解x 1，x 2，x 3，x 4则x 1x 2x 3x 4的取值范围为______.13. 下列同组的两个函数是相同函数的是( )A. y =x,y =√x 2B. y =x ，y =e lnxC. y =x,y =(1x )−1D. y =x +1，y =t +1 14. 下列函数在定义域内不是严格增函数的是( ) A. y =x 35 B. y =(43)x C. y =log 2x D. y =x +1x 15. 某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题：已知函数y =f(x)的定义域为D ，x 1，x 2∈D ，①若当f(x 1)+f(x 2)=0时，都有x 1+x 2=0，则函数y =f(x)是D 上的奇函数；②若当f(x 1)<f(x 2)时，都有x 1<x 2，则函数y =f(x)是D 上的严格增函数；下列判断正确的是( )A. ①和②都是真命题B. ①是真命题，②是假命题C. ①和②都是假命题D. ①是假命题，②是真命题 16. 对于x ∈R ，[x]表示不超过x 的最大整数，定义在R 上的函数f(x)=[2x]+[4x]+[8x]，若A ={y|y =f(x),0≤x ≤12}，则A 中所有元素的和为( )A. 12B. 3C. 14D. 1517. (1)4x−2x−2<0；(2)(log2x)2−5log2x+6≥0.18. 已知函数f(x)=−x2+2ax+a2+1，a∈R(1)函数在区间[−1,1]上为严格减函数，求a的取值范围；(2)函数在区间[−1,1]上的最大值为3，求a的值．19. 已知函数f(x)={|x+1x|−|x−1x|x≠00,x=0.(1)作出函数y=f(x)的大致图像；(2)结合图像讨论函数y=f(x)−a(a∈R)的零点个数情况(无需证明).20. 新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，生产口罩的固定成本为400万元，每生产x万箱(x>0,x∈N)，需另投入成本p(x)万元．当产量不足60万箱时，p(x)=12x2+50x；当产量不小于60万箱时，p(x)=101x+6400x−1860，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．(1)求口罩销售利润y(万元)关于产量x(万箱)的函数关系式；(2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获利润最大？21. 对于函数f1(x)，f2(x)，ℎ(x)，如果存在实数a，b，使得ℎ(x)=af1(x)+bf2(x)，那么称ℎ(x)为f1(x)，f2(x)的生成函数．(1)下面给出两组函数，ℎ(x)是否分别为f1(x)，f2(x)的生成函数？并说明理由．第一组：f1(x)=lg(x10),f2(x)=lg(10x),ℎ(x)=lgx第二组：f1(x)=x2+x，f2(x)=x2+x+1，ℎ(x)=x2−x+1；(2)设f1(x)=log2x,f2(x)=log12x，a=2，b=1，生成函数ℎ(x).若不等式3ℎ2(x)+2ℎ(x)+ t<0在x∈[2,4]上有解，求实数t的取值范围；(3)设f1(x)=x(x>0)，f2(x)=1x(x>0)，取a>0，b>0，生成函数ℎ(x)的图像的最低点坐标为(2,8).若对于任意正实数x1，x2且x1+x2=1，试问是否存在最大的常数m，使得ℎ(x1)ℎ(x2)≥m恒成立？如果存在，求出这个m的值；如果不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】{−1}【解析】解：集合A={x|x2+4x+3=0}={−3.−1}，B={x|x2=1}={−1,1}，则A∩B={−1}.故答案为：{−1}.根据交集的运算即可求出．本题考查了交集的运算，属于基础题．2.【答案】三【解析】解：因为α=2023∘=360∘×5+223∘，而180∘<223∘<270∘，所以α的终边在第三象限．故答案为：三．由α=2023∘=360∘×5+223∘，即可得到α的终边所在象限．本题主要考查了象限角的表示，属于基础题．3.【答案】x52【解析】解：x2⋅√x=x2⋅x 12=x52.故答案为：x 5 2.由已知结合指数幂的运算性质可求．本题主要考查了指数幂的运算性质，属于基础题．4.【答案】{x|0<x≤1}【解析】解：不等式1x ≥1可化为1x−1≥0，通分可得1−xx ≥0，即x−1x≤0，解得0<x≤1，故答案为：{x|0<x≤1}.移项通分可化原不等式为x−1x≤0，易得解集．本题考查分式不等式的解集，属基础题．5.【答案】2【解析】解：因为幂函数y =(m 2−m −1)x m2−2m−3在区间(−∞,0)上为严格减函数，所以{m 2−m −1=1m 2−2m −3<0， 解得m =2.故答案为：2.由已知结合幂函数的定义及性质可求．本题主要考查了幂函数的定义及性质，属于基础题．6.【答案】31+m【解析】解：log 68=3log 62=3log 26=31+log 23=31+m， 故答案为：31+m . 利用对数的运算公式，即可解出．本题考查了对数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题．7.【答案】y =−√x +1−1(x ≥−1)【解析】解：f(x)=y =x 2+2x =(x +1)2−1，当x ≤−1时，y ≥−1，y +1=(x +1)2，∵x ≤−1，∴x +1=−√y +1，即x =−√y +1−1，将x ，y 互换，∴y =−√x +1−1 (x ≥−1).故答案为：y =−√x +1−1 (x ≥−1).根据已知条件，结合反函数的求法，即可求解．本题主要考查反函数的求法，属于基础题．8.【答案】(32,+∞)【解析】解：∵函数y =log 2(ax 2+3x +a)的定义域为R ，∴ax 2+3x +a >0对任意x ∈R 恒成立，若a =0，则x >0，不合题意；若a ≠0，则{a >09−4a 2<0，解得a >32. ∴a 的取值范围是(32,+∞).故答案为：(32,+∞).问题转化为ax 2+3x +a >0对任意x ∈R 恒成立，然后对a 分类讨论求解得答案．本题考查函数的定义域及其求法，考查化归与转化、分类讨论思想，是基础题．9.【答案】(0,1)(或(0,1])【解析】解：当x >0时，函数f(x)=(2a −1)x (a >0,a ≠12)的值总大于1，即2a −1>1，解得a >1，由2x −x 2>0，解得0<x <2，设t =2x −x 2，则函数y =log a t 为增函数，则要求函数y =log a (2x −x 2)的单调增区间，即求t =2x −x 2的增区间，∵函数t =2x −x 2的增区间为(0,1)，∴函数y =log a (2x −x 2)的单调增区间是(0,1)，故答案为：(0,1)(或(0,1]).根据指数函数的性质结合复合函数单调性之间的关系即可得到结论．本题主要考查单调区间的求解，根据指数函数单调性以及复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键，考查运算求解能力，属于中档题．10.【答案】3+2√2【解析】解：令1−x =0，解得x =1，所以y =a 0=1，所以函数y =a 1−x 的图像恒过定点A(1,1)， 因为点A 的坐标满足方程mx +2ny −1=0(mn >0)，即m +2n =1，所以1m +1n =(1m +1n )(m +2n)=1+2+2n m +m n ≥3+2√2n m ⋅m n =3+2√2，当且仅当2n m =m n ，即m =√2−1，n =1−√22时取“=”， 所以1m +1n的最小值为3+2√2.故答案为：3+2√2.根据幂函数的图象与性质求出点A 坐标，代入方程mx +2ny −1=0中，再求1m +1n 的最小值． 本题考查了幂函数的图象与性质应用问题，也考查了利用基本不等式求最值的问题，是基础题． 11.【答案】1【解析】解：因为B 在y =x 2上，设B(x,x 2)，由题意L(A,B)=|x −1|+|x 2−4|={ x 2−4−x +1,x <−24−x 2−x +1,−2≤x ≤14−x 2+x −1,1<x <2x 2−4+x −1,x ≥2，即L(A,B)={ (x −12)2−134,x <−2−(x +12)2+214,−2≤x ≤1−(x −12)2+134,1<x <2(x +12)2−214,x ≥2， 当x <−2时，L(A,B)单调递减，无最小值，且L(A,B)>(−2)2−4−(−2)+1=3，当−2≤x ≤1时，L(A,B)先增后减，x =−1离对称轴较远，所以L(A,B)≥4−(−2)2−(−2)+1=3，当1<x <2时，L(A,B)单调递减，为最小值，且L(A,B)>4−22+2−1=1，当x ≥2时，L(A,B)单调递增，且L(A,B)≥22−4+2−1=1，综上所述，L(A,B)的最小值为1，故答案为：1.设B 的坐标，由题意可得L(A,B)的解析式，由自变量的范围，可得为分段函数，再由函数的单调性，可得函数的最小值．本题考查分段函数的最小值的求法，属于基础题．12.【答案】(0,1)【解析】解：作函数f(x)={|log 2x|,x >0−x 2−2x,x ≤0的图象如下， 结合图象可知，−log 2x 3=log 2x 4，故x 3x 4=1，令−x 2−2x =0得，x =0或x =−2，令−x 2−2x =1得，x =−1；故x 1x 2∈(0,1)，故x 1x 2x 3x 4∈(0,1).故答案为：(0,1).作函数f(x)={|log 2x|,x >0−x 2−2x,x ≤0的图象，从而可得x 3x 4=1，推出x 1x 2的范围即可求解结果． 本题考查了数形结合的思想应用及学生的作图能力，同时考查了配方法的应用．13.【答案】D【解析】解：对于A ，y =x 的定义域为R ，y =√x 2=|x|的定义域为R ，两函数的定义域相同，解析式不同，故不是相同函数；对于B ，y =x 的定义域为R ，y =e lnx 的定义域为(0,+∞)，两函数的定义域不相同，故不是相同函数；对于C ，y =x 的定义域为R ，y =(1x )−1的定义域为{x|x ≠0}，两函数的定义域不相同，故不是相同函数；对于D，y=x+1，y=t+1的解析式和定义域都相同，两函数相同．故选：D.判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样即可．本题主要考查两个函数是否为同一函数的判断，属于基础题．14.【答案】D【解析】解：对于A，由幂函数的性质可知y=x 35在R上单调递增，故A不符合题意；对于B，由指数函数的性质可知y=(43)x在R上单调递增，故B不符合题意；对于C，由对数函数的性质可知y=log2x在(0,+∞)上单调递增，故C不符合题意；对于D，由对勾函数的性质可知y=x+1x在(−∞,−1)，(1,+∞)上单调递增，在(−1,0)，(0,1)上单调递减，故D符合题意．故选：D.由基本初等函数的单调性逐项判断即可得解．本题主要考查函数单调性的判断，掌握基本初等函数的单调性是解题的关键，考查逻辑推理能力，属于基础题．15.【答案】C【解析】解：因为函数y=f(x)的定义域为D，x1，x2∈D，①若当f(x1)+f(x2)=0时，都有x1+x2=0，此时的x1，x2是存在而不是任意的，不满足奇函数的定义，故错误；②若当f(x1)<f(x2)时，都有x1<x2，则函数y=f(x)不一定是D上的严格增函数，故错误．故选：C.根据奇函数的定义判断①；根据函数单调性的定义判断②．本题考查了对奇函数的定义和函数单调性的定义，属于基础题．16.【答案】D【解析】解：当0≤x<18时，f(x)=[2x]+[4x]+[8x]=0+0+0=0，当18≤x<14时，f(x)=[2x]+[4x]+[8x]=0+0+1=1，1 4≤x<38时，f(x)=[2x]+[4x]+[8x]=0+1+2=3，当38≤x<12时，f(x)=[2x]+[4x]+[8x]=0+1+3=4，x=1时，f(x)=[2x]+[4x]+[8x]=1+2+4=7，2故A={0,1,3,4,7}，元素和为0+1+3+4+7=15.故选：D.由已知结合新定义对x进行分类讨论，求出f(x)的取值，进而可求．本题以新定义为载体，主要考查了集合元素的确定，属于基础题．17.【答案】解：(1)设t=2x>0，则原不等式化为t2−t−2<0，即(t−2)(t+1)<0，∵t>0，∴0<t<2，即2x<2，∴x<1，不等式解集为(−∞,1)；(2)设t=log2x，则原不等式化为t2−5t+6≥0，即(t−2)(t−3)≥0，∴t≥3或t≤2，即log2x≥3或log2x≤2，∴x≥8或0<x≤4，不等式解集为(0,4]∪(8,+∞).【解析】(1)设t=2x，(2)设t=log2x，都是利用换元法，将原不等式转化为一元二次不等式即可．本题考查，指数不等式的解法，对数不等式的解法，一元二次不等式的解法，属于基础题．18.【答案】解：(1)f(x)=−x2+2ax+a2+1=−(x−a)2+2a2+1，对称轴为x=a.若函数在区间[−1,1]上为严格减函数，则a≤−1，所以a的取值范围为(−∞,−1]；(2)①若a≥1，此时函数f(x)在区间[−1,1]上单调递增，所以最大值f(1)=−1+2a+a2+1=3，解得a=1或a=−3(舍去)；②若−1<a<1，此时当x=a时，函数f(x)最大，最大值f(a)=2a2+1=3，解得a=±1(舍去)；③若a≤−1，此时函数f(x)在区间[−1,1]上单调递减，所以最大值f(−1)=−1−2a+a2+1=3，解得a=−1或a=3(舍去)；综上所述，a=1或−1.【解析】(1)结合二次函数的图象和性质，分析对称轴和区间[−1,1]的关系，可得a的取值范围；(2)用对称轴和区间[−1,1]的关系进行分类讨论，求出函数的最大值，再根据题意即可求得a的值．本题主要考查了二次函数的图象和性质，综合性较强，要求熟练掌握二次函数性质和应用．19.【答案】解：(1)函数y =f(x)的大致图像如下图所示，；(2)由图像可知，当a <0或a >2时，y =f(x)−a 无零点；当a =0时，y =f(x)−a 仅有一个零点；当0<a <2时，y =f(x)−a 有四个零点；当a =2时，y =f(x)−a 有两个零点．【解析】(1)根据函数解析式，直接作图即可；(2)根据图像，即可得出y =f(x)−a(a ∈R)的零点个数情况．本题考查分段函数的图像以及函数零点个数判断，考查数形结合思想，属于基础题．20.【答案】解：(1)由题意得y =100x −p(x)−400，当0<x <60时，p(x)=12x 2+50x ，则y =100x −(12x 2+50x)−400=−12x 2+50x −400， 当x ≥60时，p(x)=101x +6400x −1860，则y =100x −(101x +6400x −1860)−400=1460−x −6400x ，综上所述，y ={−12x 2+50x −400(0<x <60)1460−x −6400x (x ≥60)； (2)由(1)得y ={−12x 2+50x −400(0<x <60)1460−x −6400x (x ≥60)， 当0<x <60时，y =−12x 2+50x −400==−12(x −50)2+850，二次函数y 的图象开口向下，且对称轴为x =50，∴当x =50时，y max =850，当x ≥60时，y =1460−x −6400x ≤1460−2√x ⋅6400x =1300，当且仅当x =6400x ，即x =80时等号成立，∵1300>850，∴当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中所获利润最大．【解析】(1)由题意得y =100x −p(x)−400，分类讨论0<x <60，x ≥60，即可得出答案；(2)由(1)得y ={−12x 2+50x −400(0<x <60)1460−x −6400x (x ≥60)，分别求出0<x <60，x ≥60，的最大值，比较大小，即可得出答案．本题考查根据实际问题选择函数类型，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)当f 1(x)=lg(x 10),f 2(x)=lg(10x),ℎ(x)=lgx 时，假设存在实数a ，b ，使得ℎ(x)=af 1(x)+bf 2(x)，所以lgx =a(lgx −1)+b(1+lgx)，所以{a +b =1a −b =0，解得：a =b =12，即存在实数a =b =12，使得lgx =a(lgx −1)+b(1+lgx)成立，当f 1(x)=x 2+x,f 2(x)=x 2+x +1,ℎ(x)=x 2−x +1时．假设存在实数a ，b ，使得ℎ(x)=af 1(x)+bf 2(x)，所以x 2−x +1=a(x 2+x)+b(x 2+x +1)，所以{a +b =1a +b =−1b =1，无解，即不存在实数a ，b ，使得ℎ(x)=af 1(x)+bf 2(x)成立；(2)当f 1(x)=log 2x,f 2(x)=log 12x,a =2,b =1时，有ℎ(x)=2log 2x +log 12x =log 2x ，令m =log 2x ，x ∈[2,4]，则m ∈[1,2]，不等式3ℎ2(x)+2ℎ(x)+t <0在x ∈[2,4]上有解可化为不等式3m 2+2m +t <0在m ∈[1,2]上有解，只需t <−(3m 2+2m)max ，m ∈[1,2]，因为y =−(3m 2+2m)的对称轴为x =−13，所以y =−(3m 2+2m)在m ∈[1,2]上单调递减，所以当m =1时，y =−5最大，所以t <−5，即实数t 的取值范围为(−∞,−5)；(3)由题意得：ℎ(x)=ax +b x ,(x >0)，则ℎ(x)=ax +b x ≥2√ab ，故{2a +b 2=82√ab =8，解得：{a =2b =8，所以ℎ(x)=2x +8x ,(x >0)， 假设存在最大的常数m ，使得ℎ(x 1)ℎ(x 2)≥m 恒成立，于是设u =ℎ(x 1)ℎ(x 2)=4(x 1+4x 1)(x 2+4x 2)=4x1x2+64x1x2+16(x1x2+x2x1)=4x1x2+64x1x2+16(x12+x22x1x2)=4x1x2+64x1x2+16((x1+x2)2−2x1x2x1x2)=4x1x2+80x1x2−32(其中x1+x2=1)，设t=x1x2，则t=x1x2≤(x1+x22)2=14，即t∈(0,14].所以u=4t+80t −32,t∈(0,14],由对勾函数的性质可知u=4t+80t−32在t∈(0,14]上单调递减，所以u≥u(14)=4×14+8014−32=289.故存在最大的常数m=289.【解析】(1)利用“生成函数”的定义直接求解；(2)先求出ℎ(x)=log2x，令m=log2x，x∈[2,4]，把题意转化为t<−(3m2+2m)max，m∈[1,2]，利用二次函数的单调性求出实数t的取值范围；(3)先求出ℎ(x)=2x+8x ,(x>0)，设u=ℎ(x1)ℎ(x2)，整理得u=4x1x2+80x1x2−32，设t=x1x2,u=4t+80t −32,t∈(0,14].利用对勾函数的性质求出u≥289.即可求出最大的常数m.本题考查了函数与方程的综合应用，属于中档题．第11页，共11页。
上海市延安中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题及答案
要使函数有 5 个零点, 则 3πω ∈[4π,5π) ,
解得
ω
的范围为
4 3
,
5 3
.
故答案为:
4 3
,
5 3
.
12．192
【分析】由题意画出满足条件的图，再由平面向量的运算可得
( ) (a − b)2 ⋅ (a − c)2 −[
a − b
⋅(a − c)]2
= (2S
ABC
)
2
，再由图形的几何性质即可得解．
( ) (2)若 (a − kc) ⋅ kb < 6 ，求实数 k 的取值范围．
19．已知数列{an} 的前 n 项和为 Sn , Sn =3n2 + 4n,bn =a2n−1 ．
(1)求数列{an},{bn} 的通项公式；
n
(2)求所有使不等式 2023 < ∑ bi < 20230 成立的 n 的取值集合． i =1
此时 ABC
的面积取得最大值，即
(S
ABC
)max
=
1 ×2×4 2
3= 4
3，
( ) 因此 (a − b)2 ⋅ (a − c)2 −[ a − b ⋅(a − c)]2 的最大值为 4× (4 3)2 = 192 ．
故答案为：192 ． 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用平面向量数量积的运算法则，将问题转化为求
14．若 O 是 ABC 内一点， OA + OB + OC = 0 ，则 O 是 ABC 的（ ）
A．内心
B．外心
C．垂心
D．重心
15．已知等比数列{an} 前 n 项和为 Sn ，则下列结论一定成立的是（ ）
2019年-延安中学高一期末
延安中学高一期末数学试卷2019.06一. 填空题1. 函数tan()6y x π=+的最小正周期是 2. 计算：3lim 1n n n →∞=- 3. 设函数()arcsin f x x =，则1()3f π-= 4. 已知数列{}n a 是等差数列，若11a =，59a =，则公差d =5. 已知数列{}n a 是等比数列，若24a =，512a =-，则公比q = 6. 计算：1111lim[1()]393n n -→∞-+-⋅⋅⋅+-= 7. 方程cos sin 6x π=的解集为8. 已知数列{}n a 是等差数列，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1133S =，则6a =9. 夏季某座高山上的温度从山脚起每升高100米降低0.8度，若山脚的温度是36度，山顶 的温度是20度，则这座山的高度是 米10. 若arccos 4x π≥，则x 的取值范围是11. 若函数()cos f x x x =-，[0,]x m ∈m 的值是12. 已知a 、b 是两个不相等的正实数，若a ，b ，2-这三个数可适当排序后成等差数列， 也可适当排序后成等比数列，则a b +=13. 已知数列{}n a 满足11a =，22a =，23cos()n n a a n π+-=+，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则100S =14. 已知数列{}n a 的通项公式是2n a n =，若将数列{}n a 中的项从小到大按如下方式分组：第一组：(2,4)，第二组：(6,8,10,12)，第三组：(14,16,18,20,22,24)，⋅⋅⋅，则2018位于第 组二. 选择题15. “数列{}n a 为等比数列”是“数列{||}n a 为等比数列”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件16. 设(1)(2)(3)()n S n n n n n =+++⋅⋅⋅+()n *∈N ，则1n nS S +=（ ） A. 21n + B. 22n + C. (21)(22)n n ++ D. 2(21)n +17. 已知数列{}n a 和数列{}n b 都是无穷数列，则下列四个命题中正确的是（ ）A. 若0n a >且lim n n a A →∞=，则0A >B. 若22lim n n a A →∞=，则lim n n a A →∞= C. 若lim()0n n n a b →∞⋅=，则lim 0n n a →∞=或lim 0n n b →∞= D. 若1lim(2)1n n a n →∞-=，则1lim 2n n a →∞= 18. 已知数列{}n a 和数列{}n b 都是无穷数列，若区间[,]n n a b 满足下列条件：① 11[,]n n a b ++ [,]n n a b ；② lim()0n n n b a →∞-=；则称数列{}n a 和数列{}n b 可构成“区间套”，则下列可以构成“区间套”的数列是（ ） A. 1()2n n a =，2()3n n b = B. 1n a n =-，11n b n =+ C. 1n n a n -=，11()3n n b =+ D. 1n a =，21n n b n -=+三. 解答题19. 解关于x 的方程：22sin 5sin cos 6cos 0x x x x -+=.20. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2231n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式.21. 已知等比数列{}n a 是递增数列，且满足：238a a ⋅=，149a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21log ()n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .22. 已知数列{}n a 满足111512n n n a a a a +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. （1）证明数列1{}na 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若2n n n ab a +=，记数列{}n b 的前n 项积为12n n T b b b =⋅⋅⋅⋅⋅，求n T 的最小值.23. 已知数列{}n a 是等比数列，且公比为q ，记n S 是数列{}n a 的前n 项和.（1）若1q ≥，求lim n n na S →∞的值； （2）若1a *∈N ，1q t=（1113t <<），且911n S <<对于任意正整数n 都成立，求满足条件的1a 的值.参考答案一. 填空题1. π2. 33.4. 25. 12-6. 347. {|2,}3x x k k ππ=±+∈Z 8. 3 9. 200010. [1,2- 11. 2π12. 5 13. 750014. 32二. 选择题15. A 16. D 17. D 18. C三. 解答题19. arctan2x k π=+，arctan3x k π=+，k ∈Z20. 1n =，4n a =；当2n ≥且n ∈*N ，41n a n =+21.（1）12n -；（2）21n b n =-，2n S n =22.（1）172n a n =-；（2）3272n n b n -=-，最小值为115-23.（1）1q q -；（2）10.。
2020-2021学年上海市长宁区延安中学高一下学期数学期末考试卷含详解
2020-2021学年上海市长宁区延安中学高一（下）期末数学试卷一、填空题（每小题3分，共39分）1．（3分）复数z＝2+i的虚部为．2．（3分）计算：＝．3．（3分）函数，的值域为．4．（3分）方程的解集为．5．（3分）已知M（3，﹣2），N（0，4），若，则点P的坐标为．6．（3分）已知复数z满足＝，则|z+i|＝．7．（3分）已知复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，，则|z1﹣z2|＝．8．（3分）已知向量，，若平面上任意向量都可以唯一地表示为与的线性组合，则实数m的取值范围是．9．（3分）已知虚数z是1的一个四次方根，复数μ＝z n+（）n，n∈N，用列举法表示满足条件的μ组成的集合为．10．（3分）已知向量，，则在方向上的投影的坐标为．11．（3分）已知复数﹣3+3i在复平面上所对应的向量是，将绕原点O顺时针旋转120°得到向量，则向量所对应的复数为（结果用复数的代数形式表示）．12．（3分）已知函数y＝tanωx在区间上是严格减函数，则实数ω的取值范围是．13．（3分）如图是某自行车的平面结构示意图，已知圆A（前轮）、圆D（后轮）的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形；设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为．二、选择题（每小题3分，共15分)14．（3分）设z1、z2∈C，则“z12+z22＝0”是“z1＝z2＝0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．（3分）的三角形式是（）A．B．C．D．16．（3分）在下列各式中，正确的是（）A．B．C．若，则D．若，且，则17．（3分）已知平面向量，，满足，且，，则下列选项正确的是（）A．若，则x＞0，y＞0B．若，则x＜0，y＜0C．若，则x＞0，y＞0D．若，则x＜0，y＜018．（3分）甲、乙两个同学对问题“已知m＞0，n＞0，若关于x的实系数一元二次方程x2﹣px+m＝0的两个根x1，x2，满足|x1﹣x2|＝n，求实数p的值”，各自提出一个猜测：甲说：“对于任意一组m，n的值，p的不同值最多有4个；”乙说：“存在一组m，n的值，使得p的不同值恰有3个．”则下列选项正确的是（）A．甲的猜测正确，乙的猜测错误B．甲的猜测错误，乙的猜测正确C．甲、乙的猜测都正确D．甲、乙的猜测都错误三、解答题（共46分)19．（8分）已知复数z满足z+4为纯虚数，且为实数；若复数（z+mi）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．20．（8分）已知向量，．（1）求，的夹角；（2）若，求实数k的值．21．（8分）若在复数范围内，关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣a＝0至少有一个模为2的根，求实数a的值．22．（10分）如图，平行四边形ABCD中，．（1）若，E为AM中点，求证：点D，E，N共线；（2）若∠DAB＝60°，，求的最小值，及此时的值．23．（12分）已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为y＝a sin x+b cos x（x∈R），向量称为函数y＝a sin x+b cos x的“相伴向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．（1）已知α∈R，h（x）＝cos（x+α）+2cos x，若函数y＝h（x）为集合S中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范围；（2）已知点M（a，b）满足条件：a＝3，；若向量的“相伴函数”y＝f （x）在x＝x0处取得最大值，当b在区间变化时，求tan2x0的取值范围．2020-2021学年上海市长宁区延安中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题3分，共39分）1．【解答】解：由复数的基本概念知：复数z＝2+i的虚部为1．故答案为：1．2．【解答】解：∵＝＝＝＝2+i，∴＝|2+i|＝＝．故答案为：．3．【解答】解：当x∈（，），x﹣∈（，），∴函数＞1，故函数y的值域为（1，+∞），故答案为：（1，+∞）．4．【解答】解：方程sin x＝，在（0，2π）的解为x＝或x＝，根据终边相同的角三角函数值相等，可得方程sin x＝的解集为：{x|x＝2kπ+，或x＝2kπ+，k∈Z}＝{x|x＝kπ+（﹣1）k，k∈Z}．故答案为：{x|x＝kπ+（﹣1）k，k∈Z}．5．【解答】解：设点P（x，y），由M（3，﹣2），N（0，4），所以＝（x﹣3，y+2），＝（﹣x，4﹣y），由，得，解得，所以点P的坐标为（1，2）．故答案为：（1，2）．6．【解答】解：设z＝a+bi，则＝a﹣bi，∵＝，∴（）（z+i）＝9，即，∴a2+b2﹣a﹣bi+ai+b﹣i＝9∴（a2+b2﹣a+b）+（a﹣b﹣1）i＝9，则，解得或．当时，|z+i|＝|（）+（）i|＝＝；当时，|z+i|＝|（）+（）i|＝＝．故答案为：（）或（）．7．【解答】解：∵复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，∴令z1＝cos A+i sin A，z2＝cos B+i sin B∵|z1+z2|＝，∴（cos A+cos B）2+（sin A+sin B）2＝2，整理得2cos A cos B+2sin A sin B＝0，又|z1﹣z2|2＝（cos A﹣cos B）2+（sin A﹣sin B）2＝2﹣2cos A cos B﹣2sin A sin B＝2，∴|z1﹣z2|＝．故答案为：．8．【解答】解：因为平面上任意向量都可以唯一地表示为与的线性组合，则与为平面向量的一组基底，故与为不共线的非零向量，所以4（1﹣m）≠﹣3（m+2），所以m≠10，故实数m的取值范围是（﹣∞，10）∪（10，+∞）．故答案为：（﹣∞，10）∪（10，+∞）．9．【解答】解：∵虚数z是1的一个四次方根，∴z＝i或z＝﹣i，故μ＝z n+（）n＝i n+（﹣i）n，当n＝1时，μ＝0，当n＝2时，μ＝﹣2，当n＝3时，μ＝0，当n＝4时，μ＝2，故满足条件的μ组成的集合为{0，﹣2，2}，故答案为：{0，﹣2，2}．10．【解答】解：向量，，所以•＝9﹣24＝﹣15，则在方向上的投影的坐标为||cosθ•＝•＝×（3，﹣4）＝（﹣，）．故答案为：（﹣，）．11．【解答】解：向量与复数﹣3+3对应，把绕原点O按顺时针方向旋转120°得到，可得与对应的复数为（﹣3+3i）•[cos（﹣120°）+i sin（﹣120°）]＝（﹣3+3i）（﹣）＝，故答案为：．12．【解答】解：∵函数y＝tanωx在区间上是严格减函数，∴ω＜0，且﹣≤•ω，﹣•ω≤，求得﹣1≤ω＜0，故实数ω的取值范围为[﹣1，0），故答案为：[﹣1，0）．13．【解答】解：据题意：圆D（后轮）的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．点P为后轮上的一点，如图建立平面直角坐标系：则A（﹣8，0），B（﹣6，2），C（﹣2，2）．圆D的方程为x2+y2＝3，可设P（cosα，sinα），0≤α＜2π，所以＝（6，），＝（cosα+6，sinα﹣2）．故＝6sinα+6cosα+24＝12（sinα+cosα）+24＝12sin（α+）+24≤12+24＝36，当且仅当α＝时，取得最大值36．故答案为：36．二、选择题（每小题3分，共15分)14．【解答】解：若z1＝i，z2＝1，满足设“z12+z22＝0”，但“z1＝z2＝0”不成立，若z1＝z2＝0，则z12+z22＝0成立，故“z12+z22＝0”是“z1＝z2＝0”的必要不充分条件，故选：B．15．【解答】解：＝．故选：B．16．【解答】解：||＝|||||cos＜，＞|不一定等于|||，∴A错；（）2＝（||||cos＜，＞）2＝•cos2＜，＞不一定等于•，∴B错；由两边平方，得+2•+＝﹣2•+，∴•＝0，∴C对；由，得•﹣•＝0，∴•（﹣）＝0，又∵≠，∴﹣＝，∴＝，∴D错．故选：C．17．【解答】解：由于，且，若，取，则由于，即有0＝x﹣2y，1＝x+y，解得，则可排除B，取，则由于，即有1＝x+2y，1＝y，解得x＝﹣1，y＝1，则可排除C，D，故选：A．18．【解答】解：实系数一元二次方程x2﹣px+m＝0，则Δ＝p2﹣4m，当Δ＝0时，x1＝x2，则|x1﹣x2|＝n＝0与条件n＞0矛盾，当Δ＞0时，，，可得有两个值，当Δ＜0时，，，可得有一个或两个值．综上可知，当4m＝n2时，p的值有3个，当4m＞n2时，p的值有4个，所以甲、乙二人的猜测都正确．故选：C．三、解答题（共46分)19．【解答】解：设z＝x+yi（x，y∈R），则z+4＝（x+4）+yi，∵z+4为纯虚数，∴x+4＝0且y≠0，即x＝﹣4，y≠0．又＝＝∈R，∴2y﹣4＝0，即y＝2．∴z＝﹣4+2i，∵m为实数，且（z+mi）2＝[﹣4+（m+2）i]2＝（12﹣4m﹣m2）﹣8（m+2）i，由题意，，解得﹣2＜m＜2．∴实数m的取值范围为（﹣2，2）．20．【解答】解：（1）根据题意，向量，．则||＝，||＝1，•＝﹣1，则cos＝＝＝﹣，又由0≤≤π，则＝π﹣arccos；（2）根据题意，3﹣2＝（5，6），k+＝（k﹣1，2k），若，则有（3﹣2）•（k+）＝5（k﹣1）+12k＝0，解可得：k＝．21．【解答】解：①若两根为实根时，不妨设|x1|＝2，则x1＝±2，当x1＝2时，则a2﹣5a+4＝0，解得a＝1或a＝4；当x1＝﹣2时，则a2+3a+4＝0，由于Δ＝9﹣16＝﹣7＜0，可得a无解．②若两根为虚根时，则x1＝，x1•x2＝＝4，即a2﹣a＝4，求得a＝．再根据此时Δ＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣a）＝4a＜0，得a＜0，所以a＝．综上可得，a＝，或a＝4，或a＝1．22．【解答】解：（1）∵平行四边形ABCD中，，，E为AM中点，∴＝＝（+）＝（+）＝+，∵+＝1，∴D，E，N共线；（2）设||＝||＝x＞0，||＝||＝y＞0，根据∠DAB＝60°，，可得xy ＝1，2＝（+）2＝（+）2＝x2+xy×+y2＝x2+y2+≥xy+＝2，∴||≥，当且仅当x＝y且xy＝1，即x＝，y＝时，||取得最大值，此时的值．23．【解答】解：（1）证明：h（x）＝cos（x+α）+2cos x＝﹣sinα⋅sin x+（2+cosα）cos x，∴函数h（x）的相伴向量，∴h（x）∈S．，∴cosα＝1时，；cosα＝﹣1时，．∴的取值范围为[1，3]．（2）的相伴函数f，其中．当，即时，f（x）取得最大值，∴，∴，为直线OM的斜率，由几何意义知，令，则，当m时，，∴．。
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延安中学高一期末数学试卷
2019.06
一. 填空题
1. 函数tan()6y x π=+
的最小正周期是 2. 计算：3lim 1
n n n →∞=- 3. 设函数()arcsin f x x =，则1()3
f π
-= 4. 已知数列{}n a 是等差数列，若11a =，59a =，则公差d =
5. 已知数列{}n a 是等比数列，若24a =，512a =-
，则公比q = 6. 计算：1111lim[1()]393
n n -→∞-+-⋅⋅⋅+-= 7. 方程cos sin 6x π
=的解集为
8. 已知数列{}n a 是等差数列，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1133S =，则6a =
9. 夏季某座高山上的温度从山脚起每升高100米降低0.8度，若山脚的温度是36度，山顶 的温度是20度，则这座山的高度是 米
10. 若arccos 4x π
≥，则x 的取值范围是
11. 若函数()cos f x x x =-，[0,]x m ∈m 的值是
12. 已知a 、b 是两个不相等的正实数，若a ，b ，2-这三个数可适当排序后成等差数列， 也可适当排序后成等比数列，则a b +=
13. 已知数列{}n a 满足11a =，22a =，23cos()n n a a n π+-=+，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则100S =
14. 已知数列{}n a 的通项公式是2n a n =，若将数列{}n a 中的项从小到大按如下方式分组：第一组：(2,4)，第二组：(6,8,10,12)，第三组：(14,16,18,20,22,24)，⋅⋅⋅，则2018位于第 组
二. 选择题
15. “数列{}n a 为等比数列”是“数列{||}n a 为等比数列”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件
16. 设(1)(2)(3)()n S n n n n n =+++⋅⋅⋅+()n *∈N ，则1n n
S S +=（ ） A. 21n + B. 22n + C. (21)(22)n n ++ D. 2(21)n +
17. 已知数列{}n a 和数列{}n b 都是无穷数列，则下列四个命题中正确的是（ ）
A. 若0n a >且lim n n a A →∞=，则0A >
B. 若22lim n n a A →∞=，则lim n n a A →∞
= C. 若lim()0n n n a b →∞⋅=，则lim 0n n a →∞=或lim 0n n b →∞= D. 若1lim(2)1n n a n →∞-=，则1lim 2
n n a →∞= 18. 已知数列{}n a 和数列{}n b 都是无穷数列，若区间[,]n n a b 满足下列条件：
① 11[,]n n a b ++ [,]n n a b ；② lim()0n n n b a →∞
-=；则称数列{}n a 和数列{}n b 可构成“区间套”，则下列可以构成“区间套”的数列是（ ） A. 1()2
n n a =，2()3n n b = B. 1n a n =-，11n b n =+ C. 1n n a n -=，11()3n n b =+ D. 1n a =，21n n b n -=+
三. 解答题
19. 解关于x 的方程：22sin 5sin cos 6cos 0x x x x -+=.
20. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2231n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式.
21. 已知等比数列{}n a 是递增数列，且满足：238a a ⋅=，149a a +=.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设21log ()n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .
22. 已知数列{}n a 满足111512n n n a a a a +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
. （1）证明数列1{}n
a 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若2n n n a
b a +=
，记数列{}n b 的前n 项积为12n n T b b b =⋅⋅⋅⋅⋅，求n T 的最小值.
23. 已知数列{}n a 是等比数列，且公比为q ，记n S 是数列{}n a 的前n 项和.
（1）若1q ≥，求lim n n n
a S →∞的值； （2）若1a *∈N ，1q t
=（1113t <<），且911n S <<对于任意正整数n 都成立，求满足条件的1a 的值.
参考答案
一. 填空题
1. π
2. 3
3.
4. 2
5. 12-
6. 34
7. {|2,}3
x x k k ππ=±+∈Z 8. 3 9. 2000
10. [1,2- 11. 2π
12. 5 13. 7500
14. 32
二. 选择题
15. A 16. D 17. D 18. C
三. 解答题
19. arctan2x k π=+，arctan3x k π=+，k ∈Z
20. 1n =，4n a =；当2n ≥且n ∈*N ，41n a n =+
21.（1）12n -；（2）21n b n =-，2
n S n =
22.（1）1
72n a n =-；（2）3272n n b n -=-，最小值为1
15-
23.（1）1
q q -；（2）10.。