第3章 图形处理技术

第一篇 第3章 图形处理技术3.1 图形变换图形变换是计算机图形学的重要基础，也是模具CAD ／CAM 的基础知识。

无论是几何造型，还是自动绘图，均要用到图形变换。

例如，通过图形变换可用二维图形来表示某些三维形体。

在图形显示中，可以放大图形使细节更加清楚；缩小图形使更多的部分成为可见。

3.1.1 窗口-视区变换3.1.1.1窗口在使用计算机绘图时，用户在不同时刻常常只关心整幅图形的某些局部，而对其它部分暂时不感兴趣，此时，希望关心的这部分图形能够尽量清晰地显示出来。

目前，大多数的图形软件都提供了这样的功能，即用户可以在输入的图形上选定一个观察区域，这个观察区域被称为窗口。

然后，经过图形软件系统的运算处理，窗口内的图形便在屏幕上显示出来。

在二维平面，通常定义窗口为一矩形区域，它的大小和位置在用户坐标上表示（图1.3.1所示），用4个变量代表窗口左下角和右上角点的坐标，即min 1XW W = m a x 2XW W = m i n 3YW W = m a x 4YW W =矩形内的形体，系统认为是可见的；矩形外的形体则认为是不可见的。

图1.3.1窗口中曲线为可见部分，而窗口两侧的曲线为不可见部分。

通过改变窗口的大小、位置、比例，控制图形的大小，可以方便地观察感兴趣的局部图形。

除了矩形窗口外，如果需要，还可以定义圆形窗口、多边形窗口等异形窗口。

图1.3.1 定义窗口 图1.3.2 定义视区3.1.1.2视区在显示窗口内图形时，可以占用整个屏幕，也可以只在屏幕的一个区域中显示。

为此，在图形输出设备上（显示屏、绘图仪等）用来复制窗口内容的矩形区域被称为视区，见图1.3.2。

通常也用4个变量加以表示，即min 1XV V = m a x 2XV V = m i n 3YV V = m a x 4YV V =视区是在设备坐标系（图形输出设备如显示器自身的坐标系）中定义的一个矩形区域，因此，视区决定了窗口中的图形要显示于屏幕上的位置和大小。

视区是一个有限的整数域，它应小于等于屏幕区域。

可以在同一屏幕上定义多个视区，来同时显示不同的图形信息。

如通常在绘图时将屏幕分为四个视区，其中三个用于显示零件的三视图，另一个用于显示零件的轴测图。

3.1.1.3窗口-视区变换在多数情况下，窗口与视区无论大小还是单位都不相同，为了把选定的窗口内容在视区上表现出来，即将窗口内某一点 (R X ，R Y ) 画在视区的指定位置时，必须进行坐标变换。

由图1.3.3，按照比例关系可以推导出334343112121))(())((V W W V V W Y Y V W W V V W XXR E RE+---=+---=（3-1）由公式（3-1）可以得出结论：1)视区不变，窗口缩小或放大时，显示的图形会相应放大或缩小。

2)窗口不变，视区缩小或放大时，显示的图形会相应缩小或放大。

3)视区纵横比不等于窗口纵横比时，显示的图形会有伸缩变化。

4)窗口与视区大小相同、坐标原点也相同时，显示的图形不变。

可见，采用窗口技术可选取整体图中的部分图形进行处理。

但要将窗口内的图形正确无误地从整体图中分离出来，还需要应用图形的裁剪技术，即对落在窗口边框上的图形进行裁剪，仅保留窗口内的部分。

3.1.2 二维图形变换3.1.2.1变换原理(一) 平移变换x-y 平面上的点P (x ，y)，在其坐标方向上增加平移量x T 和y T ，可变换至新位置('x ，'y )。

平移变换的关系式为x T x x +='，y T y y +='平移使图形相对于原坐标系由一个位置移动至另一个位置，而图形本身不发生变化。

(二) 比例变换若点的x 、y 坐标分别乘以x S 和y S ，可得到新的点 (图1.3.4)。

这种变换称为比例变换，图1.3.3 窗口视区变换x S 和y S 为两坐标方向上的比例系数。

比例变换的关系式为x xS x ='，y yS y ='比例变换有多种用途，当x S ＝y S 时，可把图形放大或缩小；当x S ≠y S 时，产生的效果相当于把图形沿平行于坐标轴的方向拉伸或压缩，使图形发生变形 (图1.3.5)；当x S 或y S 为负值时，变换后的图形与变换前的图形对称于x 轴或y 轴，即可产生图形的镜象。

图1.3.5 利用比例变换使图形发生变形 a)变换前 b) 沿x 向拉伸 c)沿y 向拉伸图1.3.6为当x S ＝ -1，y S ＝1时，产生对y 轴的镜象。

当x S ＝y S ＝ -1时，镜象对称于坐标系原点。

通过变换产生原图形镜象的变换又称反射变换。

(三) 旋转变换图形绕坐标原点旋转某一角度生成变换后的图形，这种变换称为旋转变换。

图1.3.6 利用比例变换产生对称图形 图1.3.7 图形的旋转变换 a) 变换前 b) 对y 轴的反射变换 a)变换前 b) 变换后设点P (x ，y) 绕原点O 顺时针方向旋转θ角后到达),('''y x P ，则图1.3.4 图形的比例变换θθsin cos 'y x x +=， θθc o s s i n 'y x y +-=图1.3.7为三角形绕坐标原点顺时针旋转︒45的变换情况。

三角形的顶点坐标分别由原来的 ( 20，0 )、( 60，0 )、( 40，l00 ) 变为 ( 14.14，-14.14 )、( 42.43，-42.43 )、( 98.99，42.43 )。

3.1.2.2变换的矩阵表示(一) 齐次坐标对点向量 [x y] 和 ['x 'y ] 引入第三分量，使它们成为 [x y 1] 和 ['x 'y 1]。

位置向量 [x y 1] 和 ['x 'y 1] 中的第三元素1，可看作是一个附加坐标，即平面上的一个点 (二维向量) 用三个坐标 (三维向量) 来表示。

这种用三维向量表示二维位置向量，或用n ＋1维向量表示n 维向量的方法称为齐次坐标表示法。

在齐次坐标表示法中，n 维向量的变换是在n ＋1维空间内实现的。

在n ＋1维齐次空间中的一个向量可看作一个n 维空间中的向量多了一个比例因子H 。

通常笛卡尔坐标系中的二维点 [x y] 的齐次表达式是 [Hx Hy H]，其中H ≠0。

于是，给出点的齐次表达式 [X Y H]，就可求得其二维笛卡尔坐标，即[][]1yx H H HY HXH YX=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→这个过程称为正常化处理。

用齐次坐标时不存在位置向量的唯一表示。

例如齐次坐标 [15 9 3]、[-30 -18 -6] 和 [5 3 1] 都表示笛卡尔坐标点 [5，3]。

在二维变换中，为简单起见，令H ＝1。

此时，二维点 (x y) 的齐次坐标表示为 [x y 1]，其中x ，y 坐标没有变化，只是增加了H ＝1的一个附加坐标。

在几何意义上，相当于把发生在三维空间的变换限制在H ＝1的平面内。

(二) 变换矩阵如果点的位置向量用齐次坐标表示，那么平移变换矩阵、比例变换矩阵和旋转变换矩阵将分别采取如下形式： 平移变换矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010001yx T T T 比例变换矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100000y xS S S 旋转变换矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100cos sin 0sin cos θθθθR若对点 [x y 1] 进行平移变换，则有[][][]1110100011''yxT y T x T T yxyx yx =++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡当S ＞l 时，对点的位置向量进行如下变换，可使两个坐标同时缩小。

[][][]1100100011''yx Sy SxS yx S yx=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡以上三种变换都具有可逆性，即[][]1''11-=T y x y x [][]1''11-=R y x y x [][]1''11-=Syxyx3.1.2.3变换的级联图形除了需要进行以上所讨论的一些简单变换外，通常需要进行更复杂的变换。

例如，图形绕任意点旋转，可以通过三个简单变换来实现，即平移－>旋转－>平移。

一系列的简单变换（变换序列）可以通过级联组合成为一个变换。

在对变换序列进行级联时，顺序问题十分重要。

例如，将图1.3.8a) 所示三角形旋转︒90，然后平移x T ＝-80，y T ＝0，变换后的情形如图1.3.8b) 所示。

若将变换次序颠倒，则得到的图形就如图1.3.8c) 所示。

图1.3.8 不同变换顺序产生的结果 a) 变换前 b) 旋转－平移 c) 平移－旋转级联的目的是将一个变换序列表示成一个变换。

假设点P 经过n 次变换1T 、2T 、3T …n T ，则总的变换结果为PT T T T PT P n n ==-121'所以，总的变换矩阵n n T T T T T 121-=例 求绕平面上任意点旋转的变换矩阵 (图1.3.9)。

图1.3.9 绕平面上任意点的旋转变换 a) 绕c 点旋转θ角 b) 平移 c) 旋转 d) 平移绕平面上任意点C (c x ，c y ) 的旋转是一个组合变换。

可以通过下列步骤实现：首先将旋转中心平移到坐标原点；然后进行旋转变换；最后再平移变换，恢复原坐标系。

通过以上三种变换的有序级联，可求得其组合结果，即总的变换矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=1010001100cos sin 0sin cos 1010001ccccy x y x T θθθθ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--++--=1cos sin sin cos 0cos sin 0sin cos cc c cc c y y x x y x θθθθθθθθ 3.1.3 三维图形变换前面所讨论的二维变换扩展到三维时，三维点的位置向量齐次坐标表示为[x y z1]，齐次变换矩阵是4×4方阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=s kjir n m h q f e d p c b aT 因此，三维空间点的变换可写为[X Y Z H] ＝ [x y z 1]T 正常化处理后的坐标为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11'''HZ HY HX ZYX下面介绍一些基本的三维变换。

一、平移变换把点（x ，y ，z ）平移到新点（X Y Z ）的变换为[][]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10100001000011zyxT T T zy xH ZY X其中，x T ，y T ，z T 分别为在X ，Y ，Z 坐标轴方向上的平移分量。

二、比例变换用比例变换可以分别调节每个坐标方向上的大小。