运输问题

i=1 j=i n m n
s.t.
∑ xij = si i = 1,2,…,m
j=1 m
∑ xij = dj j = 1,2,…,n
i=1
xij ≥ 0 (i = 1,2,…,m ; j = 1,2,…,n)
其系数矩阵为
1 1 L 1 1 1 L 1 O 1 1 L 1 A= 1 1 1 1 1 1 O O O O O 1 1 1 O
从每一空格出发一定存在和可以找到唯一的闭回路。 从每一空格出发一定存在和可以找到唯一的闭回路。 (m+n-1)个数字格 基变量)对应的系数向量是一个基。 个数字格( 因(m+n-1)个数字格(基变量)对应的系数向量是一个基。 任一空格(非基变量) 任一空格(非基变量)对应的系数向量是这个基的线性 i,j∈N可表示为 组合。 组合。如Pij, i,j∈N可表示为
第六节 运输问题的表上作业法
一 . 运输问题模型与性质 • 运输问题的数学模型 例、某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地 B1、B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各 产地运往个销地每件物品的运费如下表所示，问： 应如何调运可使总运输费用最小？
A1 A2 销 量
B1 6 6 150
B2 4 5 150
1、初始基本可行解的确定： 、初始基本可行解的确定： （1）西北角法：从西北角（左上角）格开始，在格 ）西北角法： 内的右下角标上允许取得的最大数。然后按行（列） 标下一格的数。若某行（列）的产量（销量）已满 足，则把该行（列）的其他格划去。如此进行下去， 直至得到一个基本可行解。 （2）最小元素法：从运价最小的格开始，在格内的 ）最小元素法： 右下角标上允许取得的最大数。然后按运价从小到大 顺序填数。若某行（列）的产量（销量）已满足，则 把该行（列）的其他格划去。如此进行下去，直至得 到一个基本可行解。
• 一般运输问题的数学模型 （产销平衡） 产销平衡） A1、 A2、…、 Am 表示某物资的 个产地； B1、B2、…、Bn 表示某物资的m个产地 个产地； 、 、 表示某物质的n个销地 个销地； 表示产地A 的产量； 表示销地B 表示某物质的 个销地；si 表示产地 i的产量； dj 表示销地 j 的销量； 表示把物资为从产地A 运往销地B 的单位运价。 的销量； cij 表示把物资为从产地 i运往销地 j的单位运价。 • 设 xij 为从产地 i运往销地 j的运输量，得到下列一般运输 为从产地A 运往销地B 的运输量， 量问题的模型： 量问题的模型： Min f = ∑ ∑ cij xij
A1 A2 销量
Min f = 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23 s.t. x11+ x12 + x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 x12 + x22 = 150 x13 + x23 = 200 1、 1、 xij ≥ 0 ( i = 1、2；j = 1、2、3）
• 用下述方法找检验数 • Step 1：写出初始基解的运价； ：写出初始基解的运价； • Step 2：利用“对角和相等”填空格，得 ：利用“对角和相等”填空格， 新表； 新表； • Step 3：老运价表 新运价表 检验数表 新运价表=检验数表 ：老运价表-新运价表 • 如上例的最小元素法所得初始解的检验 数
1
5
6 3 6 5
总的运输费用＝（3 总的运输费用＝（3×1）＋（6×4） ＝（ ）＋（6 ＋（4 ）＋（1 ）＋（3 10）＋（ ）＋（3 ）＝86 86元 ＋（4×3）＋（1×2）＋（3×10）＋（3×5）＝86元
（2）元素差额法 B1 B2 A1 3 11
B3 3
B4 10
2
A2 1 9 2
注：除最后一个元素（相当于同时删去 一行一列）外，每填一个数都只删去一 行或一列。若当前的行、列同时满足， 可在当前的行（或列）的一个格子标0， 同时删去当前的列（或行）。
2、最优性检验： 、最优性检验： 判别方法： 判别方法：计算 σij = cij - CB B –1Pij , i = 1, … , m ; j = 1, … , n。 。 因为目标函数求最小， 因为目标函数求最小，当所有检验数均大于等 时为最优解。 于0时为最优解。 时为最优解 （1）闭回路法 ） 从每一空格出发，用水平或垂直向前划， 从每一空格出发，用水平或垂直向前划， 每碰到一合适的数字格转90度 直到回到初始空格， 每碰到一合适的数字格转 度，直到回到初始空格， 得一闭回路，而且是唯一的闭回路。 得一闭回路，而且是唯一的闭回路。
• 系数矩阵 1 0 1 0 0 特点： 特点：
1 0 0 1 0
1 0 0 0 1
0 1 1 0 0
0 1 0 1 0
0 1 0 0 1

1、共有m+n行，分别表示产地和销地；mn列分别表示各变量； 2、每列只有两个 1，其余为 0，分别表示只有一个产地和一个 销地被使用；
（3）元素差额法：在运价表中分别计算出各行各 ）元素差额法： 列最小元素与次小元素的差额，并分别列于差额行 的第一行与差额列的第一列，在差额最大的行或列 找出最小元素，先安排该位置，划去一行或一列。 计算剩余行与列的最小元素与次小元素的差额，并 分别列于差额行的第二行与差额列的第二列，在差 额最大的行或列找出最小元素，先安排该位置，划 去一行或一列，如此反复，直到划去所有的行与列。 注：应用西北角法，最小元素法和元素差额法，每次 填完数，都只划去一行或一列，只有最后一个元例外 （同时划去一行和一列）。当填上一个数后行、列同 时饱和时，也应任意划去一行（列）在保留的列 （行）任意没被划去的格内标一个0。
• 求解思路
基本可行解
最优否
否
是
结束
换基 • 运输问题基变量的特点 * 运输问题的基变量共有 m + n -1 个，A的秩为 m + n -1。 的秩为 。 * 运输问题的 可行解一定存在。 可行解一定存在。 * 运输问题的最优解一定存在。 运输问题的最优解一定存在。
二、表上作业法
步骤： 步骤： 找出初始基本可行解（初始调运方案， ⑴.找出初始基本可行解（初始调运方案，一 m+n- 个数字格），用西北角法、最小元素法, ），用西北角法 般m+n-1个数字格），用西北角法、最小元素法, 元素差额法； 元素差额法； ⑵.求出各非基变量的检验数，判别是否达到 求出各非基变量的检验数， 最优解。如果是停止计算，否则转入下一步， 最优解。如果是停止计算，否则转入下一步，用 位势法计算； 位势法计算； 改进当前的基本可行解（确定换入、 ⑶.改进当前的基本可行解（确定换入、换 出变量），用闭合回路法调整； ），用闭合回路法调整 出变量），用闭合回路法调整； ⑷.重复⑵. ⑶，直到找到最优解为止。 重复⑵ 直到找到最优解为止。
最小元素法： ⑵.最小元素法： 基本思想是就近供应， 基本思想是就近供应，即从运价最小的地方开始供 调运），然后次小，直到最后供完为止。 ），然后次小 应（调运），然后次小，直到最后供完为止。 B1 A1 A2 A3 销量
3 1 11 9
B2
3
B3 4
2 8
B4
10
产量 7
3 4 9 3 6
3
7 4 10
3 1 7
11 9 4
3 2 10
10 8 5
2
9 8 4
3 2 -2
10 9 5
__
1 -3
1
2 1 0
0 0 12
0 -1 0
==
0 10
（2）位势法： ）位势法： 根据单纯形法中检验数的定义， 根据单纯形法中检验数的定义，从约束条件中 解出基变量，代入目标函数中， 解出基变量，代入目标函数中，消去目标函数中的 基变量，得到的非基变量的系数就是检验数。 基变量，得到的非基变量的系数就是检验数。 • 位势：设对应基变量 xij 的 m + n - 1 个 i、j ，存在 位势： 、 ui , vj 满足 ui + vj = cij ，i = 1, … , m ; j = 1, … , n . 为该基本可行解对应的位势。 称这些 ui , vj 为该基本可行解对应的位势。 个变量（ ），m 由于有 m + n 个变量（ ui , vj ）， + n - 1 个 方程（基变量个数），故有一个自由变量， ），故有一个自由变量 方程（基变量个数），故有一个自由变量，位势不 唯一。 唯一。 • 利用位势求检验数： 利用位势求检验数： σij = cij - ui - vj i = 1, … , m ; j = 1, … , n
• 变化： 变化： 有时目标函数求最大， 1）有时目标函数求最大，如求利润最大或 营业额最大等； 营业额最大等； 当某些运输线路上的能力有限制时， 2）当某些运输线路上的能力有限制时，模 型中可直接加入（等式或不等式）约束； 型中可直接加入（等式或不等式）约束； 产销不平衡时，可加入虚设的产地（ 3）产销不平衡时，可加入虚设的产地（产 大于销时）或销地（销大于产时）。 大于销时）或销地（销大于产时）。
1、求初始方案： 求初始方案：
例一、某运输资料如下表所示： 例一、某运输资料如下表所示：
单位 销地 运价 产地
B1 B 2
3 1 7 3 11 9 4 6
B3 B4
3 2 10 5 10 8 5 6
产量
A1 A2 A3
销量
7 4 9
西北角法（或左上角法）： ⑴.西北角法（或左上角法）： 此法是纯粹的人为的规定， 此法是纯粹的人为的规定，没有理论依据和实际背 但它易操作，特别适合在计算机上编程计算， 景，但它易操作，特别适合在计算机上编程计算，因 而受欢迎。方法如下： 而受欢迎。方法如下： 3 4 7 4 0 0 0 0 4 4 4 2 0 0 2 2 3 6 9 9 9 9 9 0 3 6 5 6 0 6 5 6 3 4 0 0 0 2 5 6 0 2 2 0 0 0 5 6 0 0 3 6 0 0 3 6 总的运费＝(3×3)＋(4×11)＋(2× 总的运费＝(3×3)＋(4×11)＋(2×9) 0 0 0 0 ＋(2×2)＋(3×10)＋(6×5)＝135元 (2×2)＋(3×10)＋(6×5)＝135元