三角函数、平面向量综合题六类型
-三角函数三角形平面向量高考常考14种题型解题方法
三角函数三角形平面向量高考常考题型解题方法本专题要特别小心： 1.平面向量的几何意义应用 2. 平面向量与三角形的综合 3. 三角形的边角互化4.向量的数量积问题等综合问题5. 向量夹角为锐角、钝角时注意问题6.三角形中角的范围7.正余弦定理综合。
【题型方法】（一）考查平面向量基本定理例1. 设D 为ABC ∆所在平面内一点，若3BC CD =，则下列关系中正确的是（ ） A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =-【解析】∵3BC CD = ∴AC −−AB =3(AD −−AC ) ∴AD =43AC −−13AB . 选C练习1．设四边形ABCD 为平行四边形，，.若点M ，N 满足，，则（ ）A ．20B ．15C ．9D ．6【解析】不妨设该平行四边形为矩形，以为坐标原点建立平面直角坐标系 则，故练习2. 如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____【解析】如图，过点D 作DF //CE ，交AB 于点F ，由BE =2EA ，D 为BC 中点，知BF =FE =EA ,AO =OD()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE =-=+-()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭得2213,22AB AC =即3,AB AC =故3AB AC=（二）考察数形结合思想（如：向量与圆等图形的结合） 例2. 已知点A ,B ,C 在圆上运动，且ABBC ，若点P 的坐标为（2，0），则的最大值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【解析】由题意，AC 为直径，所以当且仅当点B 为（-1，0）时，取得最大值7选B练习1. 在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足==, = = =–2，动点P ，M 满足=1，=，则的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】甴已知易得以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示则设由已知，得又，它表示圆上的点与点的距离的平方的，选B练习2. 在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λAB +μAD ，则λ+μ的最大值为（ ） A ．3 B ．22 C ．5 D ．2 【解析】如图，建立平面直角坐标系设()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y 根据等面积公式可得圆的半径是25，即圆的方程是()22425x y -+=()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=若满足AP AB AD λμ=+，即21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==- ，所以12xy λμ+=-+设12x z y =-+ ，即102xy z -+-= 点(),P x y 在圆()22425x y -+=上，所以圆心到直线的距离d r ≤，即221514z -≤+ ，解得13z ≤≤ 所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，选A（三）．考查向量的数量积 例3. 已知向量,则ABC =（ ）A ．30B ．45C ．60D ．120 【解析】由题意，得，所以，选A【小结】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质知，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题练习1. 已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是A ．B ．C ．D ．【解析】以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系则A （0，2），B （﹣2，0），C （2，0），设P （x ，y ）则=（﹣x ，2﹣y ），=（﹣2﹣x ，﹣y ），=（2﹣x ，﹣y ）所以•（+）=﹣x •（﹣2x ）+（2﹣y ）•（﹣2y ）=2x 2﹣4y +2y 2=2[x 2+（y ﹣）2﹣3]所以当x =0，y =时，•（+）取得最小值为2×（﹣3）=﹣6，选D练习2.在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==则AE AF ⋅的最小值为 . 【解析】因为1,9DF DC λ=12DC AB = 119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==；AE AB BE AB BC λ=+=+19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+ ()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19199421cos1201818λλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒21172117299218921818λλλλ=++≥⋅+= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅的最小值为2918BAD C E（四）考查三角形中的边角互化例 4. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ， b ， c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A = 【解析】()sin 2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A练习1. 在中，角，，所对应的边分别为，，.已知，则（）A．一定是直角三角形B．一定是等腰三角形C．一定是等腰直角三角形D．是等腰或直角三角形【解析】由题，已知，由正弦定理可得：即又因为所以即由余弦定理：，即所以所以三角形一定是等腰三角形，选B练习2. 在中，，为边上的一点，且，若为的角平分线，则的取值范围为（）A．B．C．D．【解析】因为，为的角平分线，所以在中，，因为，所以在中，，因为，所以，所以则因为，所以所以，则即的取值范围为,选A练习3. 在锐角三角形ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知,,,则的面积（ ） A ．B ．C ．D ．【解析】由题，，所以所以 又因为锐角三角形ABC ，所以 由题，即根据代入可得，，即再根据正弦定理： 面积故选D练习4. 在锐角ABC ∆中，角AB C ，，的对边分别为a b c ，，．且cos cos A B a b +=33Ca，23b =a c +的取值范围为_____．【解析】cos cos 33A B C a b a +=23cos cos sin 3b A a B C ∴+= ∴由正弦定理可得： 23sin cos sin cos sin 3B A A B BC +=，可得：23sin()sin sin A B C B C +==，3sin B ∴=， 又ABC ∆为锐角三角形，3B π∴=，∴可得：sin sin 24(sin sin )4sin 4sin sin sin 3b A b C a c A C A A B B π⎛⎫+=+=+=+- ⎪⎝⎭33A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 2,3A A π-均为锐角，可得：,62636A A πππππ<<-<-<，(6,43]a c ∴+∈.练习5. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin cos cos sin sin sin ab Ca Bb A a A b Bc C+=+-，且3a b +=，则c 的取值范围为________________． 【解析】因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ 所以由正弦定理可得cos cos a B b A c +=， 又因为sin cos cos sin sin sin ab C a B b A a A b B c C+=+-，所以由正弦定理可得222abcc a b c =+- 即222a b c ab +-=，所以222c a b =+-2()3ab a b ab =+-， 因为3a b +=，所以293c ab =-，因为29()24a b ab +≤=， 当且仅当23==b a 时取等号，所以27304ab -≤-<， 所以99394ab ≤-<，即2994c ≤<，所以332c ≤<，故c 的取值范围为3[,3)2（五）三角形与向量综合 例5. 在△中，为边上的中线，为的中点，则（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.【解析】根据向量的运算法则，可得，所以，故选A .练习1. 已知中，为的重心，则（）A．B．C．D．【解析】因为中，为的重心，所以，由余弦定理可得：且所以=练习2. 下列命题中，①在中，若，则为直角三角形；②若，则的最大值为；③在中，若，则；④在中，，若为锐角，则的最大值为．正确的命题的序号是______【解析】①在中，若，可得或，则为直角或钝角三角形，故①错；②若时，即，即垂直，则的最大值为，故②正确；③在中，若，，即，即，，即为，由，可得，故③正确；④在中，，即为，即为，可得，即，可得锐角，可得时，的最大值为，故④正确故答案为：②③④练习3. 在ABC 中， 60A ∠=︒， 3AB =， 2AC =. 若2BD DC =， ()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为______________. 【解析】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+ 则()1221233493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⎛⎫⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒= ⎪⎝⎭（六）向量与三角函数综合例6. 自平面上一点O 引两条射线OA ，OB ，点P 在OA 上运动，点Q 在OB 上运动且保持PQ 为定值a （点P ，Q 不与点O 重合），已知3AOB π∠=，7a =，则3||||PQ PO QP QOPO QO ⋅⋅+的取值范围为（ ）A ．1,72⎛⎤⎥⎝⎦B ．7,72⎛⎤⎥ ⎝⎦C ．1,72⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．7,72⎛⎤- ⎥ ⎝⎦【解析】设OPQ α∠=，则23PQO πα∠=- 322cos 3cos 7cos 3cos 33PQ PO QP QO PQ QP POQO ππαααα⋅⋅⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭()3331337cos cos 7cos 7sin 22ααααααϕ⎫⎫=-=-+=-⎪⎪⎪⎪⎭⎭其中3tan 9ϕ=，则7sin 14ϕ=20,3πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴当()sin 1αϕ-=时，原式取最大值7 ()()7sin sin 0sin 14αϕϕϕ->-=-=-，∴()77sin 2αϕ->- 37,72PQ PO QP QO PO QO ⎛⎤⋅⋅+∈- ⎥ ⎝⎦∴，选D练习1. 在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_________．【解析】以为轴，建立直角坐标系，则， 由的模为与与的夹角为，且知，，可得，，由可得 ，（七）三角形中的最值 例7. 在中，内角所对的边分别为．已知，，，设的面积为，，则的最小值为_______． 【解析】在中，由得， 因为利用正弦定理得，再根据，可得，，，由余弦定理得，求得，所以，所以 ，所以，当且仅当，即时取等，所以 的最小值为。
专题03 三角函数与平面向量综合问题(答题指导)(解析版)
专题03 三角函数与平面向量综合问题（答题指导）【题型解读】题型特点命题趋势▶▶题型一：三角函数的图象和性质1．注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解． 2．解决三角函数图象与性质综合问题的步骤 (1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． (2)构造f (x )＝a 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2·sin x ＋b a 2＋b 2·cos x . (3)和角公式逆用，得f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角)． (4)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． (5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．【例1】 (2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．【答案】见解析【解析】(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sinωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z .故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.【素养解读】本题中图象的变换考查了数学直观的核心素养，将复杂的三角函数通过变形整理得到正弦型函数，从而便于对性质的研究，考查数学建模的核心素养．【突破训练1】 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 【答案】见解析 【解析】(1)f (x )＝32－3·1－cos2ωx 2－12sin2ωx ＝32cos2ωx －12sin2ωx ＝ －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω>0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32＝sin 5π3≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤sin 5π2＝1，所以－1≤f (x )≤32，即f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.▶▶题型二 解三角形1．高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主．其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题． 2．用正、余弦定理求解三角形的步骤第一步：找条件，寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向．第二步：定工具，根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化． 第三步：求结果，根据前两步分析，代入求值得出结果．第四步：再反思，转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性．【例2】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sin Csin B ． (1)求A ；(2)若a ＝3，求b ＋2c 的最大值． 【答案】见解析【解析】(1)cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sinCsinB ＝cos2(C ＋B)－sinCsinB ，则cos(C ＋B)[cos(C －B)－cos(C ＋B)]＝－sinCsinB ，则－cosA·2sinCsinB＝－sinCsinB ，可得cosA ＝12，因为0＜A ＜π，所以A＝60°.(2)由a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝23，得b ＋2c ＝23(sinB ＋2sinC)＝23[sinB ＋2sin(120°－B)]＝23(2sinB＋3cosB)＝221sin(B ＋φ)，其中tanφ＝32，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.由B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3得B ＋φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，7π6，所以sin(B ＋φ)的最大值为1，所以b ＋2c 的最大值为221.【素养解读】试题把设定的方程与三角形内含的方程(三角形的正弦定理、三角形内角和定理等)建立联系，从而求得三角形的部分度量关系，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．【突破训练2】 (2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值．【答案】见解析【解析】(1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知和余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝13，所以b ＝13.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝31313. (2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin2A cos π4＋cos 2A ·sin π4＝7226.▶▶题型三 三角函数与平面向量的综合1．三角函数、解三角形与平面向量的综合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题．2．(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响． 【例3】 (2019·佛山调考)已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值． 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin2x ＝1＋cos2x －3sin2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)因为f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.因为0＜A ＜π，所以π3＜2A ＋π3＜7π3，所以2A ＋π3＝π，即A ＝π3.因为a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①因为向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，所以2sin B ＝3sinC ． 由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②可得b ＝3，c ＝2.【突破训练3】(2019·湖北八校联考) 已知△ABC 的面积为S ，且32AB →·AC →＝S ，|AC →－AB →|＝3.(1)若f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω＞0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离为2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝1，求△ABC 的面积S ；(2)求S ＋3 3 cos B cos C 的最大值． 【答案】见解析【解析】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 因为32AB →·AC →＝S ，所以32bc cos A ＝12bc sin A ， 解得tan A ＝3，所以A ＝π3.由|AC →－AB →|＝3得|BC →|＝a ＝3.(1)因为f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω>0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离T ＝2，即2πω＝2，解得ω＝π，故f (x )＝2cos(πx ＋B )．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝1，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝12.因为B 是△ABC 的内角，所以B ＝π6，从而△ABC 是直角三角形，所以b ＝3，所以S △ABC ＝12ab ＝332.(2)由题意知A ＝π3，a ＝3，设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝a sin A ＝ 332＝23，解得R ＝3，所以S＋33cos B cos C ＝12bc sin A ＋33cos B cos C ＝34bc ＋33cos B cos C ＝33sin B sin C ＋33cos B cos C ＝33cos(B －C )，故S ＋33cos B cos C 的最大值为3 3.。
2021年三角函数与平面向量的综合应用复习检测题型归纳
2021年三角函数与平面向量的综合应用复习检测题型归纳高中是重要的一年，大家一定要好好把握高中，小编为大家整理了三角函数与平面向量的综合应用复习检测，希望大家喜欢。
1.已知向量a=(cos ，sin )，b=(2,3)，若a∥b，则sin2-sin 2的值等于()A.-513B.-313C.313D.513解析：由a∥b，得2sin -3cos =0得tan =32.sin2-sin 2=sin2-2sin cos sin2+cos2=tan2-2tan tan2+1=322-232322+1=-313. 答案：B2.(经典考题)△ABC中，AB边的高为CD，若CB=a，CA=b，ab=0，|a|=1，|b|=2，则AD等于()A.13a-13bB.23a-23bC.35a-35bD.45a-45b解析：利用向量的三角形法则求解.如图，∵ab=0，ab，ACB=90，AB=AC2+BC2=5.又CDAB，AC2=ADAB，AD=455.AD=45AB=45(a-b)=45a-45b.答案：D3.已知，sin2+=-35，则tan的值为()A.34B.43C.-34D.-43解析：因为sin2+=-35，所以cos =-35，因为，所以sin =45，所以tan =sin cos=-43，所以tan()=-tan .答案：B4.已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m=(3，-1)，n=(cos A，sin A).若mn，且acos B+bcos A=csin C，则角A，B的大小分别为()A.3B.26C.6 3，3解析：由mn得mn=0，即3cos A-sin A=0，即2cosA+6=0，∵6又acos B+bcos A=2Rsin Acos B+2Rsin Bcos A=2Rsin(A+B)=2Rsin C=c=csin C，所以sin C=1，C=2，所以B=3-6.答案：C5.若1+tan 1-tan =2 014，则1cos 2+tan 2=________.解析：1cos 2+tan 2=1cos 2+sin 2cos 2=sin +cos 2cos2-sin2=sin +cos cos -sin =tan +11-tan =2 014.答案：2 0146.在直角坐标系_Oy中，已知点A(-1,2)，B(2cos _，-2cos 2_)，C(cos _,1)，其中_[0，]，若ABOC，则_的值为________.解析：因为AB=(2cos _+1，-2cos 2_-2)，OC=(cos _,1)，所以ABOC=(2cos _+1)cos _+(-2cos 2_-2)1=-2cos2_+cos _=0，可得cos _=0或cos _=12，所以_的值为3.答案：3在高中复习阶段，大家一定要多练习题，掌握考题的规律，掌握常考的知识，这样有助于提高大家的分数。
三角函数平面向量一题多解 28题89解
题目及解答(a+-证法二：由正弦定理，sina b c A+≥⇒+2<三角函数图像变换问题的2，所以2BD =(0,)πθ∈，所以（2）由0[1,1]41010b a bb a b a >⎧⎪⎪-∉-⎪⎨⎪-+≥⎪++≥⎪⎩得44a b a b <->或若4,a b <-则302a b b +<-<<；若4,a b >则由10b a ++≥得1413b a b b <≤+⇒<，故51223a b b +≤+<<． （3）由20[1,1]442(1)0b a b a b b >⎧⎪⎪-∈-⎨⎪∆=-⨯-+≤⎪⎩得2218()22a b +-≤， 由柯西不等式，2222291112[8()]1()8282a b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪⨯≥+-+≥+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故13222a b a b +-≤⇒+≤， 当且仅当2218()2218()2a b a b ⎧+-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即4323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号，此时满足1[1,1]42a b -=-∈-． 综上，a b +的最大值为2.第6题 三角形内角平分线定理的2种证法三角形内角平分线定理：△ABC 中，AD 平分BAC ∠交边BC 于D ，则AB DB AC DC=． 证法一：初中平面几何证法 利用平行线分线段成比例 证明：过D 作DE AC交AB 于E ，则ADE DAC ∠=∠，又DAE DAC ∠=∠，所以DAE DAC ∠=∠，所以AE DE =，又由DE AC 得，DB EB EB AB DC EA ED AC ===，所以AB DBAC DC =． 证法二：高中三角证法 正弦定理法 证明：在△ABD 和△ACD 中，sin sin AB ADBBD BAD ∠=∠， sin sin AC ADCCD CAD∠=∠， 而BAD CAD ∠=∠，ADB ADC π∠+∠=，所以sin sin ,BAD CAD ∠=∠sin sin ,ADB ADC ∠=∠所以AB DBAC DC=． 说明：还可以利用面积法第7题 三角形重心定理的2种证法三角形重心定理：三角形的三条中线交于一点，该点到每个顶点的距离等于它到该顶点对边中点距离的2倍．如图，AD BE CF 、、是△ABC 的三条中线，则它们交于一点G ，且2AG BG CGGD GE GF===. 证法一：初中平面几何证法，构造三角形中位线法连接EF ，由已知EF 为△ABC 的中位线， 所以,EFBC 12EF BC =， 设CF BE 、交于1G ，则再由EFBC 得11112BG CG BCG E G F EF===，同理可证AD BE 、的交点2G 满足同样的性质，所以12G G 、重合于G ，且2AG BG CGGD GE GF=== 证法二：高中向量几何证法，利用相等向量法在中线AD 上取点1G 满足112AG G D=，则112AG G D =，于是123AG AD =，又D 为BC 中点，所以1()2AD AB AC =+，所以11()3AG AB AC =+， 对于平面ABC 内任意点O ，11()3OG OA OB OA OC OA -=-+-所以11()3OG OA OB OC =++，同理在中线BE 上取点2G 满足222BG G E=，则21()3OG OA OB OC =++，在中线CF 上取点3G 满足332CG G F=，则31()3OG OA OB OC =++， 所以123OG OG OG ==，所以123G G G 、、重合于G 且 2.AG BG CG GD GE GF===第8题 垂心定理的2种证法若AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高，则AD 、BE 、CF 相交于一点H ．H 叫做△ABC 的垂心．证法一：初中平面几何证法，运用四点共圆性质证明：设△ABC 的两条高AD 、BE 相交于点H ，连结CH 交AB 于点F ． ∵AD ⊥BC 于E ，BE ⊥AC 于E ，∴A 、B 、D 、E 四点共圆，∴∠1＝∠ABE ， 同理∠2＝∠1，∴∠2＝∠ABE ， ∵∠ABE+∠BAC ＝90°， ∴∠2+∠BAC ＝90°即CF ⊥AB ．证法二：高中解析几何法，坐标法如图，以直线BC 为x 轴，高AD 为y 轴，建立直角坐标系， 设A(0 , a) , B(b , 0) , C(c , 0)，由两条直线垂直的条件1,BE AC ck k a =-=1,CF AB b k k a=-=则三条高的直线方程为：解（2）和（3）得()(),c bx b x c aa-=-()0b c x -=，)0,0(><≠c b c b∴0=x ，这说明BE 和CF 得交点在AD 上，所以三角形的三条高相交于一点。
三角函数与平面向量综合题(合编打印)
三角函数与平面向量题型归类解析1.考查三角函数的化简或求值2.考查三角函数中的求角问题3. 考查三角形的边长或角的运算4. 考查三角函数的最值与向量运算5. 考查三角函数解析式的求法一、结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例1】（2007年高考安徽卷）已知04πα<<，β为()cos(2)8f x x π=+的最小正周期，(tan(),1),(cos ,2),4a b a b m βαα=+-=⋅=，求22cos sin 2()cos sin ααβαα++-的值．【解答】因为β为()cos(2)8f x x π=+的最小正周期，故βπ=．因为a b m ⋅=，又cos tan()24a b βαα⋅=⋅+-，故cos tan()24m βαα⋅+=+．由于04πα<<，所以22cos sin 2()cos sin ααβαα++=-22cos sin(22)cos sin ααπαα++-22cos sin 2cos sin αααα+=-2cos (cos sin )cos sin ααααα+=-1tan 2cos 1tan ααα+=⋅-cos tan()24m βαα=⋅+=+．【评析】 合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入求值或化简。
题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题 【例2】 （2006年高考浙江卷）如图，函数2sin(),y x x R πϕ=+∈（其中02πϕ≤≤）的图像与y 轴交于点（0，1）。
（Ⅰ）求ϕ的值；（Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM 与PN 的夹角。
【解答】（I ）因为函数图像过点(0,1)， 所以2sin 1,ϕ=即1sin .2ϕ= 因为02πϕ≤≤，所以6πϕ=.（II ）由函数2sin()6y x ππ=+及其图像，得115(,0),(,2),(,0),636M P N -- 所以11(,2),(,2),22PM PN =-=-从而cos ,||||PM PNPM PN PM PN ⋅<>=⋅1517=，故,PM PN <>=15arccos 17.【评析】 此类问题的一般步骤是：先利用向量的夹角公式：cos ,a b a b a b⋅=⋅求出被求角的三角函数值，再限定所求角的范围，最后根据反三角函数的基本运算，确定角的大小；或者利用同角三角函数关系构造正切的方程进行求解。
三角函数与平面向量综合测试题
约稿：三角函数与平面向量综合测试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，恰有一项．．．．是符合题目要求的。
1．下列函数中，周期为2π的是（ ） A ．sin 2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4xy = D ．cos 4y x =2．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >3. 条件甲a =+θsin 1，条件乙a =+2cos2sinθθ，那么 （ ）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的充要条件C ．甲是乙的必要不充分条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件4．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ）Ａ．AO OD =Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =5. 若函数f (x )=3sin21x , x ∈[0, 3π], 则函数f (x )的最大值是 ( )A.21 B.32C.22D.236. (1+tan25°)(1+tan20°)的值是( )A.-2B.2C.1D.-17. α、β为锐角a =sin(βα+)，b =ααcos sin +，则a 、b 之间关系为 （ ）A ．a ＞bB ．b ＞aC ．a =bD ．不确定8. 下面有五个命题：①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π.BACD②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =Z k k ∈π,2|. ③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点.④把函数.2sin 36)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =ππ+=⑤函数.0)2sin(〕上是减函数，在〔ππ-=x y其中真命题的序号是 ① ④ （（写出所有真命题的编号））9. )sin()(ϕω+=x A x f （A ＞0，ω＞0）在x =1处取最大值，则 （ ）A ．)1(-x f 一定是奇函数B ．)1(-x f 一定是偶函数C ．)1(+x f 一定是奇函数D ．)1(+x f 一定是偶函数10. 使x y ωsin =（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为（ ）A ．π25B ．π45C ．πD ．π2311、在直角坐标系xOy 中，,i j分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，2A Bi j =+ ，3AC i k j =+，则k 的可能值有 ( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 12. 如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1， l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是 （ ）（A ）32 （B ）364（C ）4173 （D ）3212二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
三角函数与平面向量综合问题—6种类型
三角函数与平面向量综合问题—6种类型一、三角函数与平面向量综合问题经典回顾三角函数与平面向量是高中数学的两大重点内容，在近几年的数学高考中，除了单独考查三角函数问题和平面向量问题以外，还常常考查三角函数与平面向量的交汇问题．即一个问题中既涉及三角函数内容，又涉及平面向量知识，以此检测我们综合处理问题的能力．因此，在高三数学复习中，我们应当有意识地关注平面向量与三角函数的交汇，通过典型的综合问题的分析和研究，逐步掌握这类问题的求解策略．开心自测题一：设的三个内角，向量，，若，则=（）A．B．C．D．题二：设两个向量和，其中为实数．若，则的取值范围是（）．A．B．C．D．金题精讲题一：平面上三点不共线，设，则的面积等于（）．A．B．C．D．题二：设向量（Ⅰ）若与垂直，求的值；（Ⅱ）求的最大值；（Ⅲ）若，求证：∥．题三：在中，角所对的边分别为，且满足，．（I）求的面积；（II）若，求的值．题四：设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且．(Ⅰ)求角的值；(Ⅱ)若，求（其中）．三角函数与平面向量综合问题经典回顾参考答案开心自测题一：C．题二：A．金题精讲题一：C．题二：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）略．题三：（I）；（II）．题四：(Ⅰ)；(Ⅱ)．二、三角函数与平面向量综合问题—6种类型题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值【例1】已知，为的最小正周期，，求的值．【解答】因为为的最小正周期，故．因为，又，故．由于，所以．【评析】合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入求值或化简。
题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题【例2】如图，函数（其中）的图像与轴交于点（0，1）。
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设是图像上的最高点，M、N是图像与轴的交点，求与的夹角。
【解答】（I）因为函数图像过点，所以即因为，所以.（II）由函数及其图像，得所以从而，故.【评析】此类问题的一般步骤是：先利用向量的夹角公式：求出被求角的三角函数值，再限定所求角的范围，最后根据反三角函数的基本运算，确定角的大小；或者利用同角三角函数关系构造正切的方程进行求解。
三角函数平面向量及解三角形的综合运用
三角函数平面向量及解三角形的综合运用运用三角函数、平面向量和解三角形的综合运用时，常涉及到问题的空间几何解析、力学问题、电磁场问题等等。
本文将从求解平面三角形、力学问题和电磁场问题三个方面进行综合运用的详细说明。
1.求解平面三角形在平面三角形的解析中，我们经常会使用到三角函数的性质。
例如，已知三角形的两边和一个角，可以通过余弦定理求解出第三边的长。
另外，已知三个角或三个边中的一对和对应的一个角，我们可以利用正弦定理求解出其他的边和角。
举例说明：假设有一个平面三角形ABC，其中已知AB=3，AC=4，∠BAC=60°。
求解BC的长度和∠ABC、∠ACB的大小。
首先，我们可以利用余弦定理计算出BC的长度：BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cos(∠BAC)BC² = 3² + 4² - 2·3·4·cos(60°)BC²=9+16-24·0.5BC²=25-12=13BC=√13接下来，利用正弦定理求解∠ABC和∠ACB的大小：sin(∠ABC) / AB = sin(∠BAC) / BCsin(∠ABC) / 3= sin(60°) / √13sin(∠ABC) = 3·sin(60°) / √13∠ABC = arcsin(3·sin(60°) / √13)sin(∠ACB) / AC = sin(∠BAC) / BCsin(∠ACB) / 4 = sin(60°) / √13sin(∠ABC) = 4·sin(60°) / √13∠ACB= arcsin(4·sin(60°) / √13)通过以上计算，我们可以得出BC≈3.605，∠ABC≈39.23°，∠ACB≈80.77°。
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三角函数与平面向量综合题的六种类型
题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例1】（2007年高考安徽卷）已知04
πα<<
，β为()cos(2)8
f x x π
=+
的最小正
周期，(tan(),1),(cos ,2),4
a b a b m β
αα=+-=⋅=，求22cos sin 2()
cos sin ααβαα++-的值．
【解答】因为β为()cos(2)8
f x x π
=+的最小正周期，故βπ=．因为a b m ⋅=，
又cos tan()24
a b β
αα⋅=⋅+
-，故cos tan()24
m β
αα⋅+
=+．
由于04
π
α<<，所以22cos sin 2()cos sin ααβαα++=-22cos sin(22)
cos sin ααπαα++-
22cos sin 2cos sin αααα+=-2cos (cos sin )cos sin ααααα+=-1tan 2cos 1tan α
αα
+=⋅
- cos tan()24
m β
αα=⋅+
=+．
【评析】 合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、
差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入求值或化简。
题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题
【例2】 （2006年高考浙江卷）如图，函数2sin(),y x x R πϕ=+∈（其中02
π
ϕ≤≤）
的图像与y 轴交于点（0，1）。
（Ⅰ）求ϕ的值；
（Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM 与PN 的夹角。
【解答】（I ）因为函数图像过点(0,1)， 所以2sin 1,ϕ=即1
sin .2
ϕ= 因为02
π
ϕ≤≤
，所以6
π
ϕ=
.
（II ）由函数2sin()6y x π
π=+
及其图像，得115
(,0),(,2),(,0),636
M P N -- 所以11
(,2),(,2),22
PM PN =-=-从而
cos ,||||PM PN
PM PN PM PN ⋅<>=
⋅1517
=，故,PM PN <>=15arccos 17.
【评析】 此类问题的一般步骤是：先利用向量的夹角公式：cos ,a b a b a b
⋅=
⋅求出
被求角的三角函数值，再限定所求角的范围，最后根据反三角函数的基本运算，确定角的大小；或者利用同角三角函数关系构造正切的方程进行求解。
题型三：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算
【例3】（山东卷）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan 37C =． （1）求cos C ；
（2）若5
2
CB CA ⋅=，且9a b +=，求c ． 【解答】（1）tan 37C =，∴sin 37cos C
C
=,
又22
sin cos 1C C +=，解得：1cos 8C =±，
tan 0C >，∴C 是锐角，∴1
cos
8
C =．
（2）52CB CA ⋅=，∴5
cos 2
ab C =，∴20ab =，
又
9a b +=，22281a ab b ∴++=，2241a b ∴+=，
2222cos 36c a b ab C ∴=+-=，6c ∴=．
【评析】 根据题中所给条件，初步判断三角形的形状，再结合向量以及正弦定理、余
弦定理实现边角转化，列出等式求解。
题型四：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算 【例4】（2007年高考陕西卷）()f x a b =⋅，其中向量(,cos 2)a m x =，
(1sin 2,1)b x =+，x R ∈，且函数()y f x =的图象经过点(,2)4
π
．
（Ⅰ）求实数m 的值；
（Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。
【解答】（Ⅰ）()f x a b =⋅(1sin 2)cos 2m x x =++ 由已知()4
f π=(1sin
)cos
22
2
m π
π
++=，得1m =．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得()1sin 2cos 212)4
f x x x x π
=++=++
∴当sin(2)14
x π
+=-时，()y f x =的最小值为12
由sin(2)14x π
+
=-，得x 值的集合为3|,8x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭
．
【评析】 涉及三角函数的最值与向量运算问题时，可先根据向量的数量积的运算法则求出相应的函数基本关系式，然后利用三角函数的基本公式将所得出的代数式化为形如
sin()y A x k ωϕ=++，再借助三角函数的有界性使问题得以解决。
题型五：结合向量平移问题，考查三角函数解析式的求法
【例5】（2007年高考湖北卷）将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量,24π⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭a 平移，则平移
后所得图象的解析式为（ ）
Ａ．2cos 234x y π⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
Ｂ．π2cos 234x y ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
Ｃ．π2cos 2312x y ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
【解答】∵,24π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭a ，∴平移后的解析式为π2cos 23612x y π⎛⎫
=++- ⎪⎝⎭
2cos 234x π⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
，选A ．
【评析】理清函数()y f x ω=按向量(,)h k =a 平移的一般方法是解决此类问题之关键，平移后的函数解析式为[()]y f x h k ω=--．
题型六：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题
【例6】（2006年高考湖北卷）设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈，函数()()f x a a b =⋅+.
（Ⅰ）求函数()f x 的最大值与最小正周期；
（Ⅱ）求使不等式3
()2
f x ≥
成立的x 的取值集. 【解答】（Ⅰ）∵()()f x a a b =⋅+222
sin cos sin cos cos a a a b x x x x x =⋅+⋅=+++
11321sin 2(cos 21))2224
x x x π=+++=+
∴()f x 的最大值为32
22+，最小正周期是22
ππ=
（Ⅱ）要使3
()2
f x ≥成立，当且仅当323)2242x π+
+≥， 即sin(2)04
x π
+
≥⇔2224k x k π
πππ≤+
≤+⇔3,88
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈, 即3()2f x ≥成立的x 的取值集合是3|,88x k x k k Z ππππ⎧⎫
-≤≤+
∈⎨⎬⎩⎭
． 【评析】 结合向量的坐标运算法则，求出函数()f x 的三角函数关系式，再根据三角公式对函数()f x 的三角恒等关系，然后借助基本三角函数的单调性，求简单三角不等式的解集。
【跟踪训练】
1．设函数()()f x a b c =⋅+，其中向量(sin ,cos ),(sin ,3cos )a x x b x x =-=-，
(cos ,sin ),c x x x R =-∈．
（Ⅰ）求函数()x f 的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心
对称，求长度最小的d ．
2．已知向量(sin ,1),(1,cos ),2
2
a b π
π
θθθ==-<<
．
（Ⅰ）若a b ⊥，求θ； （Ⅱ）求a b +的最大值． 【参考答案】
1．解：(Ⅰ)由题意得，()()(sin ,cos )(sin cos ,sin 3cos )f x a b c x x x x x x =⋅+=-⋅--
223sin 2sin cos 3cos 2cos 2sin 22)4
x x x x x x π
=-+=+-=+
，
所以，()f x 的最大值为2=
22
π
π=. （Ⅱ）由3sin(2)04x π+
=得324x k ππ+=，即3,28
k x k Z ππ=-∈， 于是3(
,2)28
k d ππ
=--，(2k d k Z π=-∈． 因为k 为整数，要使d 最小，则只有1k =，此时(,2)8
d π
=-
-即为所求．
2．解：（Ⅰ）若a b ⊥，则sin cos 0θθ-=，由此得：tan 1,()2
2
π
π
θθ=--<<
，
所以， 4
π
θ=-
．
（Ⅱ）由(sin ,1),(1,cos ),a b θθ==得：
(sin a b θ+==
=
当sin()14
π
θ+
=时，a b +取得最大值，即当4
πθ=
时，a b +的最大值为1．。