中考数学专题题库∶锐角三角函数的综合题附详细答案
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一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC.
(1)求证:∠AEC=90°;
(2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由;
(3)若DC=2,求DH的长.
【答案】(1)证明见解析;
(2)四边形AOCD为菱形;
(3)DH=2.
【解析】
试题分析:(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得
,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出
∠AEC=90°;
(2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形);
(3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由
DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长.
试题解析:(1)连接OC,
∵EC与⊙O切点C,
∴OC⊥EC,
∴∠OCE=90°,
∵点CD是半圆O的三等分点,
∴,
∴∠DAC=∠CAB,
∵OA=OC,
∴∠CAB=∠OCA,
∴∠DAC=∠OCA,
∴AE∥OC(内错角相等,两直线平行)
∴∠AEC+∠OCE=180°,
∴∠AEC=90°;
(2)四边形AOCD为菱形.理由是:
∵,
∴∠DCA=∠CAB,
∴CD∥OA,
又∵AE∥OC,
∴四边形AOCD是平行四边形,
∵OA=OC,
∴平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形);(3)连接OD.
∵四边形AOCD为菱形,
∴OA=AD=DC=2,
∵OA=OD,
∴OA=OD=AD=2,
∴△OAD是等边三角形,
∴∠AOD=60°,
∵DH⊥AB于点F,AB为直径,
∴DH=2DF,
在Rt△OFD中,sin∠AOD=,
∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°=,
∴DH=2DF=2.
考点:1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形.2.如图,在⊙O的内接三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,过C作AB的垂线l交⊙O
于另一点D,垂足为E.设P是上异于A,C的一个动点,射线AP交l于点F,连接PC与PD,PD交AB于点G.
(1)求证:△PAC∽△PDF;
(2)若AB=5,,求PD的长;
(3)在点P运动过程中,设=x,tan∠AFD=y,求y与x之间的函数关系式.(不要求写出x的取值范围)
【答案】(1)证明见解析;(2);(3).
【解析】
试题分析:(1)应用圆周角定理证明∠APD=∠FPC,得到∠APC=∠FPD,又由∠PAC=∠PDC,即可证明结论.
(2)由AC=2BC,设,应用勾股定理即可求得BC,AC的长,则由AC=2BC得
,由△ACE∽△ABC可求得AE,CE的长,由可知△APB是等腰直角三角形,从而可求得PA的长,由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4,从而求得DF的长,
由(1)△PAC∽△PDF得,即可求得PD的长.
(3)连接BP,BD,AD,根据圆的对称性,可得,由角的转换可得
,由△AGP∽△DGB可得,由△AGD∽△PGB可得,两式相乘可得结果.
试题解析:(1)由APCB内接于圆O,得∠FPC=∠B,
又∵∠B=∠ACE=90°-∠BCE,∠ACE=∠APD,∴∠APD=∠FPC.
∴∠APD+∠DPC=∠FPC+∠DPC,即∠APC=∠FPD.
又∵∠PAC=∠PDC,∴△PAC∽△PDF.
(2)连接BP,设,∵∠ACB=90°,AB=5,
∴.∴.
∵△ACE∽△ABC,∴,即. ∴.
∵AB⊥CD,∴.
如图,连接BP,
∵,∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB=45°,.
∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.
由(1)△PAC∽△PDF得,即.
∴PD的长为.
(3)如图,连接BP,BD,AD,
∵AC=2BC,∴根据圆的对称性,得AD=2DB,即.
∵AB⊥CD,BP⊥AE,∴∠ABP=∠AFD.
∵,∴.
∵△AGP∽△DGB,∴.
∵△AGD∽△PGB,∴.
∴,即.
∵,∴.
∴与之间的函数关系式为.
考点:1.单动点问题;2.圆周角定理;3.相似三角形的判定和性质;4.勾股定理;5.等腰直
角三角形的判定和性质;6.垂径定理;7.锐角三角函数定义;8.由实际问题列函数关系式.
3.如图,二次函数y=x2+bx﹣3的图象与x轴分别相交于A、B两点,点B的坐标为(3,0),与y轴的交点为C,动点T在射线AB上运动,在抛物线的对称轴l上有一定点D,其纵坐标为23,l与x轴的交点为E,经过A、T、D三点作⊙M.
(1)求二次函数的表达式;
(2)在点T的运动过程中,
①∠DMT的度数是否为定值?若是,请求出该定值:若不是,请说明理由;
②若MT=1
2
AD,求点M的坐标;
(3)当动点T在射线EB上运动时,过点M作MH⊥x轴于点H,设HT=a,当OH≤x≤OT 时,求y的最大值与最小值(用含a的式子表示).
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3(2)①在点T的运动过程中,∠DMT的度数是定值②(0,3)(3)见解析
【解析】
【分析】
(1)把点B的坐标代入抛物线解析式求得系数b的值即可;
(2)①如图1,连接AD.构造Rt△AED,由锐角三角函数的定义知,tan∠DAE=3.即∠DAE=60°,由圆周角定理推知∠DMT=2∠DAE=120°;
②如图2,由已知条件MT=1
2
AD,MT=MD,推知MD=
1
2
AD,根据△ADT的外接圆圆
心M在AD的中垂线上,得到:点M是线段AD的中点时,此时AD为⊙M的直径时,MD
=1
2
AD.根据点A、D的坐标求得点M的坐标即可;
(3)如图3,作MH⊥x于点H,则AH=HT=1
2
AT.易得H(a﹣1,0),T(2a﹣1,