[初二数学]用待定系数法确定函数关系式解决用代数式表示规律
用代数式表示变化规律
探究一：用代数式表示变化规律用代数式把一列变化着的式或图形的规律表示出来，是探究性题目中很重要的一类，现在我们来研究解决这类题目所用到的主要数学思想和思考方法： 它们是：Ⅰ、以归纳概括为指导的思考方法；Ⅱ、以函数思想为指导的方法；Ⅲ、以直接计算为指导的方法。
一、借助以归纳为指导的思想方法，得到表示变化规律的代数式这种思想方法的核心是通过分析与研究提供的“变化片断”—— 一些连续的特殊情况，归纳概括出整个变化过程所体现的规律，并用代数式将其表示出来，在实际运用中，又根据题目的实际情况，可分为三种形式：“一般归纳型”； “分类归纳型”；“递推归纳型 ”。
1、一般归纳型思考特点是：第一，系统考察所提供的一系列特殊，从每个特殊与其位次的对应关系上找共同的规律，第二，特别注意研究相邻两项之间的相关性。
例1 如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第n 个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有 。
①② ③【观察与思考】我们把上面各图中满足“只有两个面涂色的立方体”用涂色法表示出来：……① ②③0014⨯+⨯ 1424⨯+⨯ 2434⨯+⨯ ……第n 个: )1(44-+n n解:应选48-n.例2 如图,是用火柴棒摆出的一系列三角形图案,按这种方式摆下去,当每边上摆10根火柴棒时, 共需要摆 根火柴棒. ………下面一层…上面一层...下面两层…上面一层…上面一层…下面三层…下面n 层…上面一层10根10根10根【观察与思考】本题可以归结为在相应图形中求有多少个涂色的小三角形(所用火柴棒数就等于这样的三角形数再乘以3).为了找到规律,可以将每边4根火柴棒的情况也画出:…(1) (2 (3) (4) (10)涂色三角形 1 321=+6321=++104321=+++…归纳概括: 5510...321=+++的个数:165355=⨯解:应填165 .【说明】例1和例2，都是统一系列变化的“图形”，首先是要分离出符合要求的部分，使问题简化与明晰化，然后依次观察、对比，找出共同的规律来。
初中数学常考的知识点待定系数法
初中数学常考的知识点待定系数法待定系数法：先设出函数解析式，在根据条件确定解析式中的未知的系数，从而写出这个式子的方法，叫待定系数法。
用待定系数法确定解析式的步骤：①设函数表达式为：y=kx 或 y=kx+b②将已知点的坐标代入函数表达式，得到方程(组)③解方程或组，求出待定的系数的值。
④把的值代回所设表达式，从而写出需要的解析式。
注意; 正比例函数y=kx只要有一个条件就可以。
而一次函数y=kx+b 需要有两个条件。
初中数学知识点解析：构造方程构造方程是初中数学的基本方法之一在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。
1、一些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程"求解，从而获得问题解决。
例1：如果关于x的方程ax+b=2(2x+7)+1有无数多个解，那么a、b 的值分别是多少?解：原方程整理得(a-4)∵此方程有无数多解，∴a-4=0且分别解得a=42、有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造"一元二次方程"，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。
此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。
3、有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。
例3：已知3，5，2x，3y的平均数是4、20，18，5x，-6y的平均数是1、求的值。
分析：这道题考查了平均数概念，根据题目的特征构造二元一次方程组，从而解出x、y的值，再求出的值。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
求抽象函数表达式常见五种方法
求抽象函数表达式常见五种方法1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知 ()211x f x x =++,求()f x .2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例2：已知3311()f x x x x +=+，求()f x3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x例5．一已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1g x x =-， 求()f x ,()g x .5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x 的表达式例6：设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x参考答案：例1：解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u uf u u u -=+=--∴2()1xf x x -=-例2：解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)例3．解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c++-=+++++-+-+ =22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++例4.解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。
待定系数法在解题中的灵活运用
待定系数法在解题中的灵活运用待定系数法英文名称为undetermined coefficients 它是一种求未知数的方法。
一般用法是，设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等时同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值。
例如，将已知多项式分解因式，可以设某些因式的系数为未知数，利用恒等的条件，求出这些未知数。
求经过某些点的圆锥曲线方程也可以用待定系数法。
从更广泛的意义上说，待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数，利用已知条件确定这些未知数，使问题得到解决的方法。
求函数的表达式，把一个有理分式分解成几个简单分式的和，求微分方程的级数形式的解等，都可用这种方法。
对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。
广泛应用于多项式的因式分解，求函数的解析式和曲线的方程等。
如果我们的学生能掌握这种待定系数法在数学中的灵活应用，对我们解题思维，解题速度，解题方向都很有帮助。
下面就让我们一起体会一下：待定系数法在我们求不等式的取值范围中的灵活应用我们在解不等式时，若给定，求或或等等这些都是比较容易完成的题目，可以直接利用我们数学中的，则有这不等式的基本性质就可以完成，但我们对于稍微复杂一点，不能直接用我们的不等式性质完成的题目，我又该如何解答呢，例如：例：已知且，求的取值范围。
这个题目，我们首先想到的是把不能直接去求解和b的范围求解出，再利用我们的数学中不等式的基本性质完成就可以了。
但是，就这个求和b的范围是非常复杂的过程，花费的时间是不用说的，说不定有点题目到最后我们还求不出来呢。
这时我们就要想想是否有别的方法可以完成，我们不妨试试我们的待定系数法。
我们可以保持和范围的完整性，能不能把分解成与的和或者差的问题呢，如果能我们就可以用不等式的则把这个问题解决了。
初中数学冀教八年级下21.3 用待定系数法确定一次函数表达式
• 设、 代、 求、写
• 对于是实际问题时所求的结果还得考虑自变量的取値范围。
o
A
B'
x 则 y=kx+4
∴ 0=3k+4， ∴k= - 4
∴
y=
-
4 3
x+4
3
• 总结：用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤：先设函 数的一般形式( ) ，再求系数( )与( )。即根据题意列出关 于未知数（ ）与（）的方程或方程组，求出这两个未知系数 （ ）与（）再将它们代入y=kx+b中，从而得到所求结果。
• 分析：已知y是x的一次函数，它的表达式必有 y=kx+b(k≠0）的形式，问题就归结为求k和b的值。
• 当x＝10时，y=10；当x=50时y=18。分别将它们代入关 系式y=kx+b，进而求得k和b的值。
• 解：设所求的函数表达式是y=kx+b（k≠0）
• 可得方程组：
•
10k+b=10
•
50k+b=18
变式2：已知一次函数y=kx+b 的图象 与y=2x平行且过点(2,-1).求这个一次 函数的表达式． 解：∵ y=kx+b 的图象与y=2x平行.
∴ k=2 ∴ y=2x-b
∵ y=2x+b 的图象过点（2，-1）.
∴ -1=2×2 - b 解得 b=-5
∴这个一次函数的表达式为y=2x-5
变式3：已知一次函数的图象经过点(-1,1) 与（1，－5）.求当X=5时的函数值．
解：
∵当x=1时，y=1，当x=2时，y=3.
∴ k+b=1 解得 k=2
2k+b=3
初二数学函数知识点总结
初二数学《函数》知识点总结（一）平面直角坐标系1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系2、已知点的坐标找出该点的方法：分别以点的横坐标、纵坐标在数轴上表示的点为垂足，作x 轴y 轴的的垂线，两垂线的交点即为要找的点。
3、已知点求出其坐标的方法：由该点分别向x 轴y 轴作垂线，垂足在x 轴上的坐标是改点的横坐标，垂足在y 轴上的坐标是该点的纵坐标。
4、各个象限内点的特征:第一象限：（+，+） 点P （x,y ），则x ＞0,y ＞0；第二象限：（-，+） 点P （x,y ），则x ＜0,y ＞0；第三象限：（-， -） 点P （x,y ），则x ＜0,y ＜0；第四象限：（+，-） 点P （x,y ），则x ＞0,y ＜0；5、坐标轴上点的坐标特征：x 轴上的点，纵坐标为零；y 轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（0 , 0）。
两坐标轴的点不属于任何象限。
6、点的对称特征：已知点P(m,n),关于x 轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号关于y 轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号7、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于x 轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；平行于y 轴的直线上的任意两点：横坐标相等。
8、各象限角平分线上的点的坐标特征：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。
点P(a,b)关于第一、三象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(b, a)第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。
点P(a,b)关于第二、四象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(-b,-a)9、点P （x,y ）的几何意义：点P （x,y ）到x 轴的距离为 |y|，点P （x,y ）到y 轴的距离为 |x|。
点P （x,y ）到坐标原点的距离为22y x10、两点之间的距离：X 轴上两点为A )0,(1x 、B )0,(2x |AB|||12x x -=Y 轴上两点为C ),0(1y 、D ),0(2y |CD|||12y y -=已知A ),(11y x 、B ),(22y x AB|=212212)()(y y x x -+-11、中点坐标公式：已知A ),(11y x 、B ),(22y x M 为AB 的中点则：M=(212x x + , 212y y +) 12、点的平移特征： 在平面直角坐标系中，将点（x,y ）向右平移a 个单位长度，可以得到对应点（ x-a ，y ）；将点（x,y ）向左平移a 个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y ）；将点（x,y ）向上平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y ＋b ）；将点（x,y ）向下平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y －b ）。
数学人教版八年级下册待定系数法求函数解析式
19.2.2 一次函数解析式的求法陇西县文峰初级中学张永强教学目标：（一）知识与能力1.了解一个条件确定一个正比例函数，两个条件确定一个一次函数。
2.会用待定系数法求出一次函数和正比例函数表达式,利用数形结合思想解决相关问题。
（二）过程与方法：1.复习一次函数做图像的方法，引出由图像来确定关系式，进而确定一次函数表达式的问题，体现了数形结合的思想。
2.通过例题讲解，根据函数的图像与函数关系式的关系，明确求一次函数表达式的方法。
（三）情感态度与价值观1.通过探究，引出一次函数表达式，培养学生的逆向思维。
2.学会求一次函数及其他函数表达式的一般方法。
教学重难点：重点：会用待定系数法确定一次函数表达式;难点：能够根据一次函数图像或者其他一些情境，熟练灵活地利用待定系数法确定函数的表达式。
教学方法：以问题的解决为中心，设计、展开各教学环节，构建“以问题研究和学生活动”为中心的课堂学习环境，通过在教师指导下学生的自主探究、合作交流，形成自己的观点和方法。
学法指导：让学生在回顾已学内容的基础上通过“数”与“形”的相互转化来确定一次函数的表达式。
在练习的过程中相互交流来加以巩固。
教学过程：一、回顾导入1.计算过点（1,3）的正比例函数解析式。
2.画出直线y=2x-2的函数图像，回答下列问题：（1）图像经过_____象限，y随x的增大而____；（2）它是由y=2x向__平移__得到的；（3）图像与两坐标轴的交点坐标是____，____；（4）图像与两坐标轴围成三角形的面积是______.二、新课讲授认真阅读课本第93至94页的内容,完成下面练习并体验知识点的形成过程.例题4：已知一次函数的图象经过点(3,5)与（-4，-9）.求这个一次函数的解析式．•四、巩固练习1、若一次函数平行与y=-2x，且经过点（1，5），则函数解析式为________.2、已知一次函数当x=1时，y=2，且它的图像与y轴交点的纵坐标是-5，那么该函数的解析式为______.3．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k、b的值分别为_______4.根据上表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，求p的值。
八年级数学待定系数法确定函数解析式
y
o -1
1
x
1 b
解之，得
∴ 其函数解析式为
k 1 b 1
y=x+1
3.如图所示，一次函数图像与y轴交于点A且点A(0,4)，与 正比例函数y=-2x交于点B，点B的横坐标为-1，确定其 函数解析式. 解：设函数解析式为y=kx+b， ∵点B在函数y=-2x图像上 y ∴把x=-1代入 y=-2x中， 得 y=2 故B（-1，2) 4 A 又∵点A（0,4），B（-1，2）在 B 一次函数图像上， ∴把x=0，y=4，x=-1，y=2代入 y=kx+b， -1o 得 4b
得 -2=6+b 解之，得 b=-8 ∴其解析式为 y=2x-8
二.k,b均未知时
1.已知一次函数其图像过点A(2,1)和B （1,5），试确定其解析式.
解：设其解析式为y=kx+b ∵其直线过点A(2,1)和B（1,5） ∴把x=2，y=1，x=1，y=5，代入 y=kx+b， 得
解之，得
1 2 k b
5k b
∴这个函数解析式为 y=-4x+9
பைடு நூலகம்
k 4 b9
练习2. 已知点A（-4,0）,B（0,5）,C（m，-5） 在同一直线上，求m
练习1. 已知直线过点（-1,0）和（1,-4）,求其 解析式.
2. 一次函数图像如图所示，确 定其函数解析式 解：设其解析式为y=kx+b 由图可知：其直线过点 （1,0）和点（0，-1） ∴把x=1，y=0，x=0，y=-1 代入 y=kx+b， 0k b 得
用待定系数法确定一次函数的解析式
一. k已知或者b已知时
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[初二数学]用待定系数法确定函数关系式解决用代数式表示规律
用待定系数法确定函数关系式解决用代数式表示规
律
例 1 观察图，（1）至（4）中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第n个图中小圆圈的个数为m，则=m（用含n的代数式表示）。
n时2=n时3=n时
=
1
=
n时
4
=
m
m11 =
=
5
m8
=
m
14
（1）（2）（3）（4）
【观察与思考】题目提供的图形的序数与小圆圈的个数满足（1，5），（2，8），（3，11），（4，14），……序数n（自变量）每增大1，对
应的函数值m 就增大3。
因此，它们就应当成一次函数关系。
这样，我们就可以用待定系数法求其表达式。
设b kn m +=，由（1，5），（2，8）满足关系，可知有：
从中解得
23+=∴n m
解：应填23+n
例2 一根绳子弯曲成如图（1）所示的形状，当用剪刀像图（2）那样沿虚线a 把绳子剪断时，绳子被剪为5段；当用剪刀像图（3）那样沿虚线)//(a b b 把绳子再剪一次时，绳子就被剪成9段。
若用剪刀在虚线b a ,之间把绳子再剪)2(-n 次（剪刀的方向与a 平行），这样一共剪n 次时绳子的段数是（ ）
A 、14+n
B 、24+n
C 、34+n
D 、54+n
b k +=5 b k +=28 3=k 2=b
（1） （2）
（3）
【观察与思考】我们先找出图1，2，3，4中序号和绳子段数的对应情况，有（1，1），（2，5），（3，9），（4，13）。
序号每增大1，段数值就增大4，应呈一次函数关系。
设为b kn y +=，由（1，1），（2，5）得：
解得 a
a b b k +=1 b k +=25 4=k 3-=b
即3
y。
4-
=n
本题要求的是“剪n次”，实际上是序号1+n所对
应的图，其中绳子的段数应为1
+
=n
n
-
y。
=
3
4
)1
(4+
解：应选A。
【说明】对于本题应特别注意的是，图形序号和剪的次数是不一致的，我们建立的是图形序号与绳子线段的函数，而剪n刀则是第1+n个图，二者不应弄混。
当然，本题也可一开始就考虑“剪的次数n”与绳子段数y之间的关系，那就有（0，1），（1，5），（2，9），
（3，13）…仍借助于待定系数法求出函数关系
式1
y,最后的结果是一样的.
4+
=n
例3 将图(1)所示的正六边形进行分割得到图(2),再将图(2)中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图(3),再将(3) 中最小的
某一个正六边形按同样的方式进行分割,…，则
第n个图形中，其有个六边形。
……
（1）（2）（3）
【观察与思考】图形序号n与图形中正六边形的
个数m满足（1，1），（2，4），（3，7），n每
增大1，m就增大3，
可知m是n的一次函数，用待定系数法（略）求得
m
=n
2
3-
解：)2
n。
3(-
由函数思想和待定系数法,将那些可用一次函
数表示的变化规律问题用统一而程序化的方式
解决,对。