正方形的性质习题-6
5 正方形的一条对角线长 2 2 ，则正方形的面积为（
A4
）
1 掌握正方形的定义及性质。 2 能熟练应用正方形的性质解答相关问题，并掌握基本的推理能力。
B8 B 20
C 4 2
D8 2
6 如图，在正方形 ABCD 中， PAD 是等边三角形，则 PBC 的度数是（
A 15
）
C 25
D 30
1 AD ， F 为边 AB 的中 4
课堂上没有真正的对与错，只要你敢想、敢发言，你就是最棒的。
2
每节展示一分钟，必定改变你一生。
课型 习题课 编号
B 125
C 135
D 150
）
1
课堂上没有真正的对与错，只要你敢想、敢发言，你就是最棒的。
每节展示一分钟，必定改变你一生。
★★★★八年级 B 段数学导学案
★★★★★八年级 B 段数学导学案
二解答题 9 如图， 四边形 ABCD 是正方形， 延长 AB 到点 E, 使 AE=AC,求 BCE 的度数。
★★★★八年级 B 段数学导学案
★★★★★八年级 B 段数学导学案
时间 2012.12.11
正方形的性质习题
使用人：
编号 47
※÷÷
师生札记
学习目标
班级
A 对角线互相垂直平分 B 四条边相等 D 一对角线平分一组对角 C 对角线相等 4 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A 内角和为 360 B 四个角都是直角 D 对角线平分对角 C 两组对边分别相等
7 如图，每个小正方形的边长为 1，A,B,C,是小正方形的顶点，则 ABC 的度 数为（ ）
A 90
B 60
C 45
D 30
8 如图，四边形 ABCD 是正方形，延长 BC 到点 E,使 CE=AC,连结 AE,AE 交 CD 于点 F，那么 AFC 等于（ ）
A 112.5
编写人： 张秋瑾 审核组 数学组 审核人 石金玺 姓名
学习重Байду номын сангаас点
重点：1 掌握正方形的定义及性质。 难点：2．能熟练应用正方形的性质解答相关问题，并掌握基本的推理 能力。 一选择题 1 下列说法正确的是（ ） A 四边相等的四边形是正方形 B 四个角相等的四边形是正方形 C 对角线互相垂直的四边形是正方形 D 邻边相等的矩形是正方形 2 下列四边形为正方形的是（ ） A 有一组邻边相等的四边形 B 有一组邻边相等的平行四边形 C 有一组邻边相等的矩形 D 有一个角是直角的平行四边形 3 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（
11 如图，在正方形 ABCD 外，以 BC 为边作等边三角形 BCE ，求 AED 的大 小。
10 如图，E 为正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，且 BE=BC,试求 DCE 的大 小。
12.如图，正方形 ABCD 中，点 E 在 AD 边上，且 AE 点，试说明： CEF 是直角三角形。
中考数学复习之正方形的性质与判定,考点过关与基础练习题
27.正方形➢考点分类考点1正方形的性质例1如图，以正方形ABCD的边AB为一边向外作等边△ABE，则∠BED的度数为（）A．55°B．45°C．42.5°D．40°考点2正方形与十字架模型例2如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是AD、CD边上的点，且AE=DF，连接BE、AF交于点M，N为BF的中点，若AB=10，AE=4，则MN的长为________考点3正方形与半角模型例3如图，正方形ABCD中，点M是边BC异于点B、C的一点，AM的垂直平分线分别交AB、CD、BD于E、F、K，连接AK、MK．下列结论：①EF＝AM；②AE＝DF+BM；③BKAK；④∠AKM＝90°．其中正确的结论有个．➢ 真题演练1．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，且CE ＝DF ，AE 、BF 相交于点O ，下列结论：①AE ＝BF ；①AE ①BF ； ①AO ＝OE ；①S ①AOB ＝S四边形DEOF ，其中正确的有（ ）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①2．如图，E 、F 、H 分别为正方形ABCD 的边AB 、BC 、CD 上的点，连接DF ，HE ，且HE ＝DF ，DG 平分①ADF 交AB 于点G ．若①BEH ＝52°，则①AGD 的度数为（ ）A ．26°B ．38°C ．52°D ．64°3．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，连接AF 、EF ，过点E 作EH ①AD 交AD 于点H ，EG ①AF 交AD 于点G ，连接GF ，若BE ＝DF ＝1，且EF ＝2+√2，则sin①FGD 的值为（ ）A ．√32B ．√33C ．√3−12D ．12 4．如图，点E 为正方形ABCD 的对角线BD 上的一点，连接CE ，过点E 作EF ①CE 交AB 于点F ，交对角线AC 于点G ，且点G 为EF 的中点，若正方形的边长为4√2，则AG 的长为（ ）A ．2B ．3C ．2√2D ．43√25．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E是BC边的中点，连接DE，延长EC至点F，使得EF＝DE，过点F作FG①DE，分别交CD、AB于N、G两点，连接CM、EG、EN，下列正确的是：①tan∠GFB=12；①MN＝NC；①CMEG=12；①S四边形GBEM=√5+12（）A．4B．3C．2D．16．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF①DE，交BC 延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①DE＝EF；①①DAE①①DCG；①AC①CG；①CE＝CF．其中正确的是（）A．①①①B．①①①C．①①①D．①①①7.如图，点E在正方形ABCD外，连结AE、BE、DE，过点A作AE的垂线交DE于点F．若AE＝AF＝4√2，BF＝10，则下列结论：①△AFD≌△AEB；②EB⊥ED；③点B到直线AE的距离为3√2；④S△ABF+S△ADF＝40．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）8．如图，边长为5的正方形ABCD中，点E、G分别在射线AB、BC上，F在边AD上，ED与FG交于点M，AF＝1，FG＝DE，BG＞AF，则MC的最小值为．9．如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP=√2．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则12DQ+CQ的最小值为．10．如图，小明同学将边长为5cm的正方形塑料模板ABCD与一块足够大的直角三角板叠放在一起，其中直角三角板的直角顶点落在点A处，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E，则四边形AECF的面积是．11.已知四边形ABCD是正方形．（1）如图1所示，点O是正方形对角线的交点，连接OB，OC，若AB＝4，求OB的长．（2）如图2所示，当点O是BC上一点，OC'⊥BC，连接BC'，C'D，点M是C'D的中点，连接OM，CM，求证：CM＝OM．12．如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，G 是CD 边上一点，连接BG 交AC 于E ，过点A 作AM ⊥BG ，垂足M ，AM 交BD 于点F ．（1）求证：OE ＝OF ．（2）若H 是BG 的中点，BG 平分∠DBC ，求证：DG ＝2OE ．➢ 课后练习1．如图，在边长为8的正方形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、BC 上的点，且BE ＝CF ＝2，连接DE 、AF 交于点O ，过点F 作AF 的垂线段FG ，连接CG 使得①GCF ＝135°，连接AG 交DE 于点M ，则①GFM 的面积为（ ）A ．24B ．25C ．25√22D ．262．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，过点E 作EF ①CD ，交AD 于点F ，交对角线BD 于点G ，取DG 的中点H ，连接AH ，EH ，FH ．下列结论：①FH ①AE ；①AH ＝EH 且AH ①EH ；①①BAH ＝①HEC ；①①EHF ①①AHD ．其中正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在边AB 上，BE ＝1，①DAM ＝45°，点F 在射线AM 上，且AF =√2，过点F 作AD 的平行线交BA 的延长线于点H ，CF 与AD 相交于点G ，连接EC 、EG 、EF ．下列结论：①CG =34√34；①①AEG 的周长为8；①①EGF 的面积为1710．其中正确的是（ ）A ．①①①B ．①①C ．①①D ．①①4．如图，E 为正方形ABCD 的边AB 的中点，过点E 作①GEF ＝90°，分别与边AD ，BC 交于点G ，F ．若AG ＝2，BF ＝4，则GF 的长为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．105．如图，在正方形ABCD 中，点E ，点F 分别是对角线BD ，AC 上的点，连接CE ，EF ，DF ，若EF ①BC ，且①CEF ＝15°，则①EDF 的度数为（ ）A ．22.5°B ．25°C ．30°D ．35°6．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，点A 在y 轴上运动，点B 在x 轴上运动，点E 为对角线的交点，在运动过程中点E 到y 轴的最大距离是（ ）A ．√22B ．1C ．√2D ．27．如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，E、F分别为边BC、CD上一点，且OE①OF，连接EF．若∠AOE=150°，DF=√3，则EF的长为（）A．2√3B．2+√3C．√3+1D．38．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG，下列结论：①CE＝DF；①CE①DF；①①AGE＝①CDF；①①EAG＝30°，其中正确的结论是（）A．①①B．①①C．①①①D．①①①9．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，延长AD到点E，使得DE＝1，EF⊥AE，EF＝AE．分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为．10．如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，以BC为边向外作正方形BCDE，连接AD，则AD＝．11．如图，已知正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若AC＝2√2cm，点E在DC 边的延长线上，若∠CAE＝15°，则AE＝cm．12．如图，点E在正方形ABCD边CD上，以CE为边向正方形ABCD外部作正方形CEFG，连接AF，P、Q分别是AF、AB的中点，连接PQ．若AB＝7，CE＝5，则PQ＝．13．如图，正方形ABCD的边长为6．E，F分别是射线AB，AD上的点（不与点A重合），且EC⊥CF，M为EF的中点．P为线段AD上一点，AP＝1，连接PM．当△PMF为直角三角形时，则AE的长为．14.如图，正方形ABCD中，点E为BC边上一点，点F为CD边上一点，且BE＝CF，连接AE、BF交于点G．（1）求证：∠AGF＝90°；（2）连接GC，若GC平分∠EGF，求证：AB＝2CF；（3）在（2）的条件下，连接GD，过点E作EH∥GD交CD边于点H，交BF于点M，若FH＝2，求线段FM的长．➢冲击A+如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC 的中点，连接MH．（1）求证：MH为⊙O的切线．（2）若MH=32，ACBC=34，求⊙O的半径．（3）如图2，在（2）的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于点N，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段AO、CN、NQ的长度．。
中考数学复习----《正方形的性质》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《正方形的性质》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2.正方形的性质：①具有平行四边形的一切性质。
②具有矩形与菱形的一切性质。
所以正方形的四条边都相等，四个角都是直角。
对角线相互平分且相等，且垂直，且平分每一组对角，把正方形分成了四个全等的等腰直角三角形。
正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。
对角线交点是对称中心，对角线所在直线是对称轴，过每一组对边中点的直线也是对称轴。
练习题1．（2022•黄石）如图，正方形OABC的边长为，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为（）A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，2）【分析】连接OB，由正方形的性质和勾股定理得OB＝2，再由旋转的性质得B1在y轴正半轴上，且OB1＝OB＝2，即可得出结论．【解答】解：如图，连接OB，∵正方形OABC的边长为，∴OC＝BC＝，∠BCO＝90°，∠BOC＝45°，∴OB＝＝＝2，∵将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°后点B旋转到B1的位置，∴B 1在y 轴正半轴上，且OB 1＝OB ＝2，∴点B 1的坐标为（0，2），故选：D ．2．（2022•广州）如图，正方形ABCD 的面积为3，点E 在边CD 上，且CE ＝1，∠ABE 的平分线交AD 于点F ，点M ，N 分别是BE ，BF 的中点，则MN 的长为（ ）A ．26B ．23C ．2﹣3D ．226− 【分析】连接EF ，由正方形ABCD 的面积为3，CE ＝1，可得DE ＝﹣1，tan ∠EBC ＝＝＝，即得∠EBC ＝30°，又AF 平分∠ABE ，可得∠ABF ＝∠ABE ＝30°，故AF ＝＝1，DF ＝AD ﹣AF ＝﹣1，可知EF ＝DE ＝×（﹣1）＝﹣，而M ，N 分别是BE ，BF 的中点，即得MN ＝EF ＝． 【解答】解：连接EF ，如图：∵正方形ABCD 的面积为3，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝，∵CE ＝1，∴DE＝﹣1，tan∠EBC＝＝＝，∴∠EBC＝30°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°，∵AF平分∠ABE，∴∠ABF＝∠ABE＝30°，在Rt△ABF中，AF＝＝1，∴DF＝AD﹣AF＝﹣1，∴DE＝DF，△DEF是等腰直角三角形，∴EF＝DE＝×（﹣1）＝﹣，∵M，N分别是BE，BF的中点，∴MN是△BEF的中位线，∴MN＝EF＝．故选：D．3．（2022•贵阳）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（）A．4B．8C．12D．16【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，然后即可得到小正方形的周长．【解答】解：由题意可得，小正方形的边长为3﹣1＝2，∴小正方形的周长为2×4＝8，故选：B．4．（2022•青岛）如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE 的长度为（ ）A ．26B ．6C ．22D ．23【分析】首先利用正方形的性质可以求出AC ，然后利用等边三角形的性质可求出OE ．【解答】解：∵四边形ABCD 为正方形，AB ＝2，∴AC ＝2，∵O 为正方形ABCD 对角线AC 的中点，△ACE 为等边三角形，∴∠AOE ＝90°，∴AC ＝AE ＝2，AO ＝，∴OE ＝×＝． 故选：B ．5．（2022•泰州）如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为与点D 不重合的动点，以DE 为一边作正方形DEFG ．设DE ＝d 1，点F 、G 与点C 的距离分别为d 2、d 3，则d 1+d 2+d 3的最小值为（ ）A ．2B ．2C ．22D ．4【分析】连接AE ，那么，AE ＝CG ，所以这三个d 的和就是AE +EF +FC ，所以大于等于AC ，故当AEFC 四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案．【解答】解：如图，连接AE ，∵四边形DEFG 是正方形，∴∠EDG ＝90°，EF ＝DE ＝DG ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADC ＝90°，∴∠ADE ＝∠CDG ，∴△ADE ≌△CDG （SAS ），∴AE ＝CG ，∴d 1+d 2+d 3＝EF +CF +AE ，∴点A ，E ，F ，C 在同一条线上时，EF +CF +AE 最小，即d 1+d 2+d 3最小，连接AC ，∴d 1+d 2+d 3最小值为AC ，在Rt △ABC 中，AC ＝AB ＝2，∴d 1+d 2+d 3最小＝AC ＝2， 故选：C ．6．（2022•黔东南州）如图，在边长为2的等边三角形ABC 的外侧作正方形ABED ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，则DF 的长为（ ）A ．23+2B ．5﹣33C ．3﹣3D ．3+1【分析】方法一：如图，延长DA 、BC 交于点G ，利用正方形性质和等边三角形性质可得：∠BAG ＝90°，AB ＝2，∠ABC ＝60°，运用解直角三角形可得AG ＝2，DG ＝2+2，再求得∠G ＝30°，根据直角三角形性质得出答案．方法二：过点E 作EG ⊥DF 于点G ，作EH ⊥BC 于点H ，利用解直角三角形可得EH ＝1，BH ＝，再证明△BEH ≌△DEG ，可得DG ＝BH ＝，即可求得答案．【解答】解：方法一：如图，延长DA、BC交于点G，∵四边形ABED是正方形，∴∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠BAG＝180°﹣90°＝90°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∴AG＝AB•tan∠ABC＝2×tan60°＝2，∴DG＝AD+AG＝2+2，∵∠G＝90°﹣60°＝30°，DF⊥BC，∴DF＝DG＝×（2+2）＝1+，故选D．方法二：如图，过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠DGE＝90°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∵四边形ABED是正方形，∴BE＝DE＝2，∠ABE＝∠BED＝90°，∴∠EBH＝180°﹣∠ABC﹣∠ABE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴EH＝BE•sin∠EBH＝2•sin30°＝2×＝1，BH＝BE•cos∠EBH＝2cos30°＝，∵EG⊥DF，EH⊥BC，DF⊥BC，∴∠EGF＝∠EHB＝∠DFH＝90°，∴四边形EGFH是矩形，∴FG＝EH＝1，∠BEH+∠BEG＝∠GEH＝90°，∵∠DEG+∠BEG＝90°，∴∠BEH＝∠DEG，在△BEH和△DEG中，，∴△BEH≌△DEG（AAS），∴DG＝BH＝，∴DF＝DG+FG＝+1，故选：D．7．（2022•随州）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，AP⊥EF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．则在剪开之前，关于该图形，下列说法正确的有（）①图中的三角形都是等腰直角三角形；②四边形MPEB是菱形；③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的．A．只有①B．①②C．①③D．②③【分析】①利用正方形的性质和中位线的性质可以解决问题；②利用①的结论可以证明OM≠MP解决问题；③如图，过M作MG⊥BC于G，设AB＝BC＝x，利用正方形的性质与中位线的性质分别求出BE和MG即可判定是否正确．【解答】解：①如图，∵E，F分别为BC，CD的中点，∴EF为△CBD的中位线，∴EF∥BD，∵AP⊥EF，∴AP⊥BD，∵四边形ABCD为正方形，∴A、O、P、C在同一条直线上，∴△ABC、△ACD、△ABD、△BCD、△OAB、△OAD、△OBC、△OCD、△EFC都是等腰直角三角形，∵M，N分别为BO，DO的中点，∴MP∥BC，NF∥OC，∴△DNF、△OMP也是等腰直角三角形．故①正确；②根据①得OM＝BM＝PM，∴BM≠PM∴四边形MPEB不可能是菱形．故②错误；③∵E，F分别为BC，CD的中点，∴EF∥BD，EF＝BD，∵四边形ABCD是正方形，且设AB＝BC＝x，∴BD＝x，∵AP⊥EF，∴AP⊥BD，∴BO＝OD，∴点P在AC上，∴PE＝EF，∴PE＝BM，∴四边形BMPE是平行四边形，∴BO＝BD，∵M为BO的中点，∴BM＝BD＝x，∵E为BC的中点，∴BE＝BC＝x，过M作MG⊥BC于G，∴MG＝BM＝x，∴四边形BMPE的面积＝BE•MG＝x2，∴四边形BMPE的面积占正方形ABCD面积的．∵E、F是BC，CD的中点，∴S△CEF＝S△CBD＝S四边形ABCD，∴四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的（1﹣﹣﹣）＝．故③正确．故选：C．8．（2022•宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．正方形纸片的面积B．四边形EFGH的面积C．△BEF的面积D．△AEH的面积【分析】根据题意设PD＝x，GH＝y，则PH＝x﹣y，根据矩形纸片和正方形纸片的周长相等，可得AP＝x+y，先用面积差表示图中阴影部分的面积，并化简，再用字母分别表示出图形四个选项的面积，可得出正确的选项．【解答】解：设PD＝x，GH＝y，则PH＝x﹣y，∵矩形纸片和正方形纸片的周长相等，∴2AP+2（x﹣y）＝4x，∴AP＝x+y，∵图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣2△ADH﹣2S△AEB＝（2x+y）（2x﹣y）﹣2ו（x﹣y）（2x+y）﹣2ו（2x﹣y）•x＝4x2﹣y2﹣（2x2+xy﹣2xy﹣y2）﹣（2x2﹣xy）＝4x2﹣y2﹣2x2+xy+y2﹣2x2+xy＝2xy，A、正方形纸片的面积＝x2，故A不符合题意；B、四边形EFGH的面积＝y2，故B不符合题意；C、△BEF的面积＝•EF•BQ＝xy，故C符合题意；D、△AEH的面积＝•EH•AM＝y（x﹣y）＝xy﹣y2，故D不符合题意；故选：C．9．（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为（）A．45°B．60°C．67.5°D．77.5°【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到∠ADF的度数，从而可以求得∠CDF的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BA，∠DAF＝∠ABE＝90°，在△DAF和△ABE中，，△DAF≌△ABE（SAS），∠ADF＝∠BAE，∵AE平分∠BAC，四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠BAC＝22.5°，∠ADC＝90°，∴∠ADF＝22.5°，∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝90°﹣22.5°＝67.5°，故选：C．10．（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°【分析】利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，OA＝OB＝OD＝OC．∵OE＝OF，∴△OEF为等腰直角三角形，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∵∠AFE＝25°，∴∠AFO＝∠AFE+∠OFE＝70°，∴∠F AO＝20°．在△AOF和△BOE中，，∴△AOF ≌△BOE （SAS ）．∴∠F AO ＝∠EBO ＝20°，∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等腰直角三角形，∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°，∴∠CBE ＝∠EBO +∠OBC ＝65°．故选：C ．11．（2022•益阳）如图，将边长为3的正方形ABCD 沿其对角线AC 平移，使A 的对应点A ′满足AA ′＝31AC ，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是 ．【分析】由正方形边长为3，可求AC ＝3，则AA ′＝AC ＝，由平移可得重叠部分是正方形，根据正方形的面积公式可求重叠部分面积．【解答】解：∵正方形ABCD 的边长为3，∴AC ＝3，∴AA ′＝AC ＝， ∴A ′C ＝2，由题意可得重叠部分是正方形，且边长为2，∴S 重叠部分＝4．故答案为：4．12．（2022•海南）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，AE ＝AF ，∠EAF ＝30°，则∠AEB ＝ °；若△AEF 的面积等于1，则AB 的值是 ．【分析】利用“HL”先说明△ABE与△ADF全等，得结论∠BAE＝∠DAF，再利用角的和差关系及三角形的内角和定理求出∠AEB；先利用三角形的面积求出AE，再利用直角三角形的边角间关系求出AB．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）．∴∠BAE＝∠DAF．∴∠BAE＝（∠BAD﹣∠EAF）＝（90°﹣30°）＝30°．∴∠AEB＝60°．故答案为：60．过点F作FG⊥AE，垂足为G．∵sin∠EAF＝，∴FG＝sin∠EAF×AF．∵S△AEF＝×AE×FG＝×AE×AF×sin∠EAF＝1，∴×AE2×sin30°＝1．即×AE2×＝1．∴AE＝2．在Rt△ABE中，∵cos∠BAE＝，∴AB＝cos30°×AE＝×2＝．故答案为：．13．（2022•广西）如图，在正方形ABCD中，AB＝42，对角线AC，BD相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF，交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是．【分析】作辅助线，构建全等三角形，先根据翻折的性质得△EGH'≌△EGH，所以△EGH′的周长＝△EGH的周长，接下来计算△EGH的三边即可；证明△BME≌△FNE（ASA）和△BEO≌△EFP（AAS），得OE＝PF＝2，OB＝EP＝4，利用三角函数和勾股定理分别计算EG，GH和EH的长，相加可得结论．【解答】解：如图，过点E作EM⊥BC于M，作EN⊥CD于N，过点F作FP⊥AC于P，连接GH，∵将△EFH沿EF翻折得到△EFH′，∴△EGH'≌△EGH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝4，∠BCD＝90°，∠ACD＝∠ACB＝45°，∴BD＝BC＝8，△CPF是等腰直角三角形，∵F是CD的中点，∴CF＝CD＝2，∴CP＝PF＝2，OB＝BD＝4，∵∠ACD＝∠ACB，EM⊥BC，EN⊥CD，∴EM＝EN，∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴∠MEN＝90°，∵EF⊥BE，∴∠BEF＝90°，∴∠BEM＝∠FEN，∵∠BME＝∠FNE，∴△BME≌△FNE（ASA），∴EB＝EF，∵∠BEO+∠PEF＝∠PEF+∠EFP＝90°，∴∠BEO＝∠EFP，∵∠BOE＝∠EPF＝90°，∴△BEO≌△EFP（AAS），∴OE＝PF＝2，OB＝EP＝4，∵tan∠OEG＝＝，即＝，∴OG＝1，∴EG＝＝，∵OB∥FP，∴∠OBH＝∠PFH，∴tan∠OBH＝tan∠PFH，∴＝，∴＝＝2，∴OH＝2PH，∵OP＝OC﹣PC＝4﹣2＝2，∴OH＝×2＝，在Rt△OGH中，由勾股定理得：GH＝＝，∴△EGH′的周长＝△EGH的周长＝EH+EG+GH＝2+++＝5+．故答案为：5+．14．（2022•无锡）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE 且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝．【分析】设CG＝x，则BG＝8﹣x，根据勾股定理可得AB2+BG2＝CE2+CG2，可求得x 的值，进而求出BG的长．【解答】解：连接AG，EG，∵E是CD的中点，∴DE＝CE＝4，设CG＝x，则BG＝8﹣x，在Rt△ABG和Rt△GCE中，根据勾股定理，得AB2+BG2＝CE2+CG2，即82+（8﹣x）2＝42+x2，解得x＝7，∴BG＝BC﹣CG＝8﹣7＝1．故答案是：1．15．（2022•江西）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为．【分析】根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，然后利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，则长方形的对角线长＝＝．故答案为：．。
八年级数学下册正方形的性质练习题及解析
第十八章 平行四边形18.2.3 正方形第1课时 正方形的性质学习目标：1.理解正方形的概念；2. 探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别；3. 会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.重点：探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别. 难点：会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.一、知识回顾1.你还记得长方形有哪些性质吗？2.菱形的性质又有哪些？一、要点探究探究点1：正方形的性质想一想 1.矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？2.菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？要点归纳：正方形定义：有一组邻边_____并且有一个角是_____的__________叫正方形. 想一想 正方形是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.那你能说出正方形的性质吗？1.正方形的四个角都是_________,四条边_________.2.正方形的对角线________且互相______________. 证一证 已知：如图,四边形ABCD 是正方形. 求证：正方形ABCD 四边相等,四个角都是直角. 证明：∵四边形ABCD 是正方形.∴∠A=____°, AB_____AC. 又∵正方形是平行四边形.课堂探究自主学习教学备注学生在课前完成自主学习部分配套PPT 讲授1.情景引入 （见幻灯片3）2.探究点1新知讲授（见幻灯片4-19）邻边_____一个角是_____∴∠A___∠B___∠C___∠D =____°,AB___BC___CD___AD.已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.证明：∵正方形ABCD是矩形,∴AO___BO___CO___DO.∵正方形ABCD是菱形.∴AC___BD.想一想请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?要点归纳：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：正方形的性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.典例精析例1如图，在正方形ABCD中，ΔBEC是等边三角形.求证：∠EAD＝∠EDA＝15°.DAB CE变式题1 四边形ABCD是正方形,以正方形ABCD的一边作等边△ADE,求∠BEC的大小．教学备注2.探究点1新知讲授（见幻灯片4-19）易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等．本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部．变式题2 如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．（1）求证：△APB≌△DPC；（2）求证：∠BAP=2∠PAC．例3 如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.方法总结：在正方形的条件下证明两条线段相等：通常连接对角线构造垂直平分的模型，利用垂直平分线性质，角平分线性质，等腰三角形等来说明.针对训练1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )A.四个角相等B.对角线互相垂直平分C.对角互补D.对角线相等教学备注2.探究点1新知讲授（见幻灯片4-19）2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等3.如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC与BD相交于点O,AO＝2,求正方形的周长与面积．二、课堂小结内容正方形的性质定义：有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.性质：1.四个角都是直角2.四条边都相等3.对角线相等且互相垂直平分1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对角线互相垂直且相等2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（）A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm23.在正方形ABC中,∠ADB=________,∠DAC=_________, ∠BOC=__________.4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是___________.当堂检测教学备注配套PPT讲授3.课堂小结（见幻灯片25）4.当堂检测（见幻灯片20-24）第3题图第4题图5.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．6.如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.教学备注4.当堂检测（见幻灯片20-24）。
正方形性质练习题
正方形性质练习题一．选择题（共6小题）1．如图：正方形ABCD 中点A 和点C 的坐标分别为（﹣2，3）和（3，﹣2），则点B 和点D 的坐标分别为（ ） A ．（2，2）和（3，3） B ．（﹣2，﹣2）和（3，3） C ．（﹣2，﹣2）和（﹣3，﹣3） D ．（2，2）和（﹣3，﹣3）2．如图，直线y=﹣x+4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，正方形OCDE 的顶点C ，E ，D 分别在边OA ，OB ，AB 上，则点D 的坐标为（ ） A ．（2，1） B ．（2，3） C ．（2，2） D ．（﹣2，﹣2）3．如图，正方形OABC 对角线交点为D ，过D 的直线分别交AB ，OC 于E ，F ，已知点E 关于y 轴的对称点坐标为（﹣，2），则图中阴影部分的面积是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，在平面直角坐标系内，正方形ABCD 中的顶点B ，D 的坐标分别是（0，0），（2，0），且A ，C 两点关于x 轴对称，则C 点对应的坐标是（ ）A ．（1，1）B ．（1，﹣1）C ．（1，﹣2）D ．（2，﹣2）5．如图，E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，且BC=CE ，若CE=5cm ，则CF 的长为（ ）A ．cmB ．3cmC ．cmD ．5cm6．（2007•滨州）对角线互相垂直平分的四边形是（ ）A ．平行四边形、菱形B ．矩形、菱形C ．矩形、正方形D ．菱形、正方形二．填空题（共5小题） 7．（2008•包头）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是正方形，A 点坐标为（0，2），E 是线段BC 上一点，且∠AEB=60°，沿AE 折叠后B 点落在点F 处，那么点F 的坐标是 _________ ． 8．（2011•黑龙江）如图所示，正方形ABCD 中，点E 在BC 上，点F 在DC 上，请添加一个条件： _________ ，使△ABE ≌△BCF （只添一个条件即可）． 9．如图，若正方形ABCD 的边长为12cm ，BP=5cm ，EF ⊥AP ，且与AB 、CD 分别交于E 、F ，则EF 的长为 _________ cm ． 10．（2010•苏州）如图，四边形ABCD 是正方形，延长AB 到E ，使AE=AC ，则∠BCE 的度数是 _________ 度．11．如图，E 是正方形ABCD 的边AB 延长线上一点，且BE=AC ，则∠BED= _________ ．三．解答题（共6小题）12．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF．求证：DE=BF．13．已知：如图，F是正方形ABCD中BC边上一点，延长AB到E，使得BE=BF，试猜想AF与CE的数量关系和位置关系，并说明理由．14．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD边上的点，CE=DF，AE与BF交于点M求证：AE⊥BF．15．如图：AE是正方形ABCD中∠BAC的平分线，AE分别交BD、BC于F、E，AC、BD相交于O，求证：OF=CE．16．（2006•海南）如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G 与B、C不重合），AE⊥DG于E，CF∥AE交DG于F．（1）在图中找出一对全等三角形，并加以证明；（2）求证：AE=FC+EF．17．（2003•娄底）如图所示，在正方形ABCD中，点E、F是BC边上的三等分点，求证：AF=DE．。
正方形的性质和判定练习题
正方形的性质和判定练习题1、下列命题中正确的是（）A、对角线相等的四边形是矩形B、对角线互相垂直的四边形是棱形C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形2、两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是（）A、平行四边形B、矩形C、棱形D、正方形3、下列说法不正确的是（）A、四条边相等的四边形是正方形B、有一个角是直角的棱形是正方形C、对角线互相垂直的矩形是正方形D、有一组邻边相等的矩形是正方形4、正方形具有而矩形不具有的性质是（）A、对角线相等B、每一条对角线平分一组对角C、对角线互相平分D、对角线的平方等于一组邻边的平方和5、矩形、棱形和正方形都具有的性质是（）A、对角线相等B、对角线互相平分C、对角线平分一组对角D、对角线互相垂直6、在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（）A、AC=BD AB∥CD AB=CDB、AD∥BC ∠A=∠CC、AO=BO=CO=DO AC⊥BDD、AO=CO BO=D0 AB=BC7、已知四边形ABCD是平行四边形，再从：①AB=BC ②∠ABC=90°③AC=BD ④AC⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有四种选项，其中错误的是（）A、①②B、②③C、①③D、②④8、已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，就可退出四边形是正方形的是（）A、∠D=90°B、AB=CDC、AD=BCD、BC=CD9、棱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：______，使得该棱形是正方形。
10、如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB 于点E，DF⊥BC于点F，求证：四边形DEBF是正方形11、如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的点，且AE=BF，求证：CE=DF12、如图所示，已知点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AE=BF=CG=DH，求证：四边形EFGH是正方形。
正方形的性质与判定练习题
(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的
等腰直角三角形（
√
） ）
(3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定 是正方形 （
√
）
(4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它 一定是正方形 （ 是正方形（
√
）
(5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形
√
）
×
(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（
A
D
G B
BE=CF，探索图中AE与BF的关系。
F
E
C
10、如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，
11、如图，在正方形ABCD中，E在BC的延长线上，
且CE=AC，AE交CD于F，则求∠AFC的度数。
A
D
F
B
C
E
12、在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,
DF⊥AC,垂足分别是E,F. 1)试说明:DE=DF 2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.
A
G B C
D
F E
A
D G
F
B C E
10、如图，M为正方形ABCD边AB的中 点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM， 且交∠CBE的平分线于点N。 （1）求证：MD=MN （2）若将上述条件中的“M是AB的中点” 改为“M为AB上任意一点”，其它条件不 变，问结论MD=MN是否仍然成立。
D F
●
C N M B
D P
●
C N
A
E A
M B
E
11、探究三: 若正方形OEFG继续旋转时AM与
BN之间的关系是否还成立？ 探究四： 如图，有两个大小不等的两个正 方形，其中小正方形的面积是大正方形面 积的一半，若阴影部分的面积为8，则小正 方形的边长为腰直角三角形OAB的两条直 角边AO和BO，使AO=OC，BO=OD 求证：四边形ABCD是正方形。 A O B C D
22.3正方形的性质习题(含详细的答案解析)
22.3正方形的性质习题解答一、选择题（共13小题）1、如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（）A、12B、13C、26D、302、（2006•大兴安岭）如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个3、如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF=FH，②∠HAE=45°，③BD=2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（）A、①②③B、①②④C、①③④D、①②③④4、一个围棋盘由18×18个边长为1的正方形小方格组成，一块边长为1.5的正方形卡片放在棋盘上，被这块卡片覆盖了一部分或全部的小方格共有n个，则n的最大值是（）A、4B、6C、10D、125、如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（）A、75°B、60°C、54°D、67.5°6、在平面直角坐标系中，称横、纵坐标均为整数的点为整点，如下图所示的正方形内（包括边界）整点的个数是（）A、13B、21C、17D、257、在同一平面上，正方形ABCD的四个顶点到直线l的距离只取四个值，其中一个值是另一个值的3倍，这样的直线l可以有（）A、4条B、8条C、12条D、16条8、如图，正方形ABCD的边长为1，E为AD中点，P为CE中点，F为BP中点，则F到BD的距离等于（）A、B、C、D、9、搬进新居后，小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方形的挂式小饰品ABCD，彩线BD、AN、CM将正方形ABCD分成六部分，其中M是AB的中点，N是BC的中点，AN与CM交于O点．已知正方形ABCD的面积为576cm2，则被分隔开的△CON的面积为（）A、96cm2B、48cm2C、24cm2D、以上都不对10、如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，在BD上截取BE=BC，连接CE，点P是CE上任意一点，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，若正方形ABCD的边长为1，则PM+PN=（）A、1B、C、D、1+11、顶点为A（6，6），B（﹣4，3），C（﹣1，﹣7），D（9，﹣4）的正方形在第一象限的面积是（）A、25B、36C、49D、3012、ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，则△BPD的面积为（）A、B、C、D、13、如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC+PE的和最小，则这个最小值为（）A、4B、2C、2D、2二、填空题（共8小题）14、如图，所示，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是_________cm2．15、如图，若正方体的边长为a，M是AB的中点，则图中阴影部分的面积为_________．16、如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系、已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，若在y轴上存在点P，且满足FE=FP，则P点坐标为_________．17、如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为_________，线段O1O2的长为_________．18、已知正方形纸片ABCD的面积为2007cm2．现将该纸片沿一条线段折叠（如图），使点D落在边BC上的点D′处，点A落在点A′处，A′D′与AB交于点E．则△BD′E的周长等于_________cm．19、已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A（0，1），点B（0，0），则点C，D坐标分别为_________和_________．（只写一组）20、如图，在一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形，点A与点B在两个格点上．在格点上存在点C，使△ABC的面积为2，则这样的点C有_________个．21、已知正方形内接于圆心角为90°，半径为10的扇形（即正方形的各顶点都在扇形上），则这个正方形的边长为_________．三、解答填空题（共6小题）22、如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点F．（1）求证：；（2）点A1、点C1分别同时从A、C两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E⊥A1C1，垂足为E，请猜想EF1，AB与三者之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，当A1E1=6，C1E1=4时，则BD的长为_________．23、（2005•扬州）（1）计算：=_________；（2）已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF．求证：DE=BF．24、如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG=AB，则∠EAF=_________度．25、如图，正方形ABCD中，AB=，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15度．（1）求证：DF+BE=EF；（2）则∠EFC的度数为_________度；（3）则△AEF的面积为_________．26、已知正方形ABCD的边长为4cm，E，F分别为边DC，BC上的点，BF=1cm，CE=2cm，BE，DF相交于点G，则四边形CEGF的面积为_________cm2．27、（2007•江苏）如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转n°后得到正方形AEFG，边EF与CD交于点O．（1）以图中已标有字母的点为端点连接两条线段（正方形的对角线除外），要求所连接的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由；（2）若正方形的边长为2cm，重叠部分（四边形AEOD）的面积为，则旋转的角度n=_________度．答案与评分标准一、选择题（共13小题）1、如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（）A、12B、13C、26D、30考点：全等三角形的判定；等腰直角三角形；正方形的性质。
正方形的性质与判定-教材习题解答
随堂练习(教材第24页)(1)已知:如图(1)所示,四边形ABCD是菱形,且∠ABC＝90°.求证:四边形ABCD是正方形.证明:连接BD,∵四边形ABCD是菱形,∴BD平分∠ABC,∴∠ABD＝45°,在菱形ABCD中,AB＝AD,∴∠ADB＝∠ABD＝45°,∴∠BAD＝90°,同理,可证∠BCD＝90°,∴菱形ABCD也为矩形,∴四边形ABCD是正方形.(2)已知:如图(2)所示,四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD,垂足为点O.求证:四边形ABCD是正方形.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OD＝OB.又∵AC⊥BD,∴AB ＝AD,同理,AB＝BC＝CD,∴矩形ABCD也为菱形,∴四边形ABCD是正方形.习题1.8(教材第25页)1.已知:如图所示,四边形ABCD是菱形,AC,BD相交于点O,且AC＝BD.求证:四边形ABCD是正方形.证明:∵四边形ABCD是菱形,∴四边形ABCD也是平行四边形,又∵AC＝BD,∴四边形ABCD也为矩形,∴四边形ABCD是正方形.2.证明:连接AC交BD于点O,∵四边形ABCD是正方形,∴OA＝OC,OD＝OB,AC⊥BD,又∵BE＝DF,∴OF＝OE,∴四边形AECF是菱形.3.解:四边形EFGH是正方形.证明如下:在正方形ABCD中,AB＝BC＝CD＝AD,∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°,∵AE＝BF＝CG＝DH,∴BE＝CF＝DG＝AH,∴ΔEAH≌ΔFBE≌ΔGCF≌ΔHDG,∴HE＝EF＝FG＝GH,∠AEH＝∠BFE,∴四边形EFGH是菱形.在RtΔBEF中,∠BFE＋∠FEB＝90°,∴∠AEH＋∠FEB＝90°,∴∠HEF＝90°,∴四边形EFGH是正方形.4.解:重叠部分的面积等于正方形ABCD面积的.证明如下:重叠部分为等腰直角三角形时,重叠部分的面积为正方形ABCD面积的,即SΔAOB＝SΔBOC＝SΔCOD＝SΔAOD＝S正方形ABCD.重叠部分为四边形时,如图所示,设OA'与AB相交于点E,OC'与BC相交于点F.∵四边形ABCD是正方形,∴OA＝OB,∠EAO＝∠FBO＝45°,AO⊥BD.又∵∠AOE＝90°-∠EOB,∠BOF＝90°-∠EOB,∴∠AOE＝∠BOF,∴ΔAOE≌ΔBOF.∴SΔAOE＋SΔBOE＝SΔBOF＋SΔBOE,∴SΔAOB＝S四边形EBFO.又∵SΔAOB＝S正方形ABCD,∴S四边形EBFO＝S正方形ABCD.复习题(教材第26页)1.解:设该菱形为菱形ABCD,两对角线交于点O,则ΔAOB为直角三角形,直角边长分别为2 cm和4 cm,则由勾股定理,得AB＝＝2(cm),即菱形的边长为2 cm.2.解:四边形ABCD是正方形.理由如下:由OA＝OB＝OC＝OD易证得四边形ABCD是矩形.又∵OA＝OB＝AB,∴OA2＋OB2＝AB2,∴∠AOB＝90°,∴四边形ABCD是正方形.3.解:不一定,还有可能是矩形.4.已知:如图所示,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC＝60 cm,周长为200 cm.求:(1)BD的长;(2)菱形的面积.解:(1)因为菱形四边相等,对角线互相垂直平分,所以AB＝×200＝50(cm),AC⊥BD且OA＝OC＝AC＝×60＝30(cm),OB＝OD.在RtΔAOB中,OB＝＝40(cm).所以BD＝2OB＝80 cm.(2)S 菱形ABCD＝AC·BD＝×60×80＝2400(cm2).5.已知:如图所示,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,且AC＝BD,E,F,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFPQ为正方形.证明:∵E,Q分别为AB,AD的中点,∴EQ BD.同理FP BD,EF AC.∴EQ FP.∴四边形EFPQ为平行四边形.∵AC＝BD,∴EF＝EQ.∴▱EFPQ为菱形.∵AC⊥BD,∴EF⊥EQ.∴∠QEF＝90°.∴菱形EFPQ 是正方形.6.解:∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥EC,∠DAC＝45°,∴∠DAE＝∠E.∵AC＝CE,∴∠E＝∠CAE.∴∠CAE＝∠DAE,∴∠DAE＝∠DAC＝×45°＝22.5°.7.解:(1)是正方形.因为此菱形的对角线相等,对角线相等的菱形是正方形.(2)是正方形.因为此四边形的对角线互相垂直、平分且相等,所以这个四边形是正方形.8.证明:∵DE∥AF,DF∥AE,∴四边形AEDF是平行四边形.∵AE∥DF,∴∠EAD＝∠ADF.∵AD平分∠BAC,∴∠EAD ＝∠DAF,∴∠ADF＝∠DAF,∴AF＝DF,∴四边形AEDF是菱形.9.证明:如图所示,∵BE⊥AC,ME为RtΔBEC的中线,∴ME＝BC.同理,MF＝BC,∴ME＝MF.10.已知四边形ABCD是正方形,对角线AC＝BD＝l.求正方形的周长和面积.解:在正方形ABCD中,AB＝BC,∠ABC ＝90°.在RtΔABC中,AB 2＋BC2＝AC2,2AB2＝l2,所以AB＝l.所以正方形的周长为4AB＝4×l＝2l,S四边形ABCD ＝AB 2＝l2.11.证明:∵PC∥OD,PD∥OC,∴四边形CODP是平行四边形,∵四边形ABCD是矩形,∴OD＝OC.∴平行四边形CODP 是菱形.12.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OA＝OB＝OC＝OD,∵AM＝BP＝CN＝DQ,∴OM＝OP＝ON＝OQ,∴四边形MPNQ是平行四边形,MN＝PQ,∴四边形MPNQ是矩形.13.证明:由题意得∠ACB＝∠CED＝∠DFC＝90°,∴四边形CEDF是矩形,∵CD平分∠ACB,∴∠ECD＝45°,∴∠EDC ＝45°,∴CE＝ED.∴矩形CEDF是正方形.14.解:由题意得AP＝4t cm,DQ＝(20-t) cm,当四边形APQD为矩形时,则AP＝DQ,即4t＝20-t,∴t＝4.15.解:重叠部分是等腰三角形.理由如下:由折叠可知∠DBC＝∠DBF,又∵在矩形ABCD中,AD∥BC,∴∠DBC＝∠ADB,∴∠DBF＝∠ADB,∴ΔBFD是等腰三角形.16.解:由题意知矩形ABCD≌矩形FGCE,∴AB＝FG,BC＝GC,AC＝FC,∴ΔABC≌ΔFGC,∴∠ACB＝∠FCG.∵∠ACB＋∠ACD＝90°,∴∠FCG＋∠ACD＝90°,即∠ACF＝90°.∵AC＝CF,∴ΔACF是等腰直角三角形.∴∠AFC＝45°. 17.提示:小颖的这块纱巾不一定是正方形.根据老板的方法,只能说明这块纱巾的两组对角分别相等,四条边都相等,这只能保证纱巾是菱形,并不能保证它是正方形.正方形的对称轴共有四条,除了两条对角线所在的直线外,还有两条是两组对边中点所在的直线.所以只要拉起一组对边的中点将纱巾对折,看另一组对边是否重合.若另一组对边不能重合,那么此纱巾不是正方形;若另一组对边能重合,那么此纱巾一定是正方形. 18.证明:∵▱ABCD各角的平分线分别相交于点E,F,G,H,∴∠CDF＝∠ADF,∠DCF＝∠BCF,又∵在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠ADC＋∠BCD＝180°,∴∠CDF＋∠FCD＝90°,∴∠F＝90°,同理,∠H＝∠HEF＝∠HGF＝90°,∴四边形EFGH 是矩形.19.提示:如图所示.20.提示:举例如下:四边形平行四边形正方形21.已知线段a,b.求作菱形ABCD,使得a,b分别为菱形ABCD的两条对角线.作法:如图所示,(1)先画线段AC＝a.(2)作AC的垂直平分线,与AC的交点为O,以交点O为圆心,为半径画弧分别交AC的垂直平分线于B,D两点.(3)顺次连接AB,BC,CD,DA,四边形ABCD就是所求作的菱形.。
正方形的性质与判定习题
授课老师：木子老师
01 正方形的定义及对称性
正方形的定义及其对称性 ·木子老师
正方形的定义及其对称性 ·木子老师
02 正方形的边角性质
正方形的边角性质·木子老师
正方形的边角性质·木子老师
正方形的边角性质·木子老师
不能运用正方形的轴对称性将两线 段和转化为一条线段而致错
不能运用正方形的轴对称性将两线段和转化为一条线段而致错·木子老师
04
利用正方形的边角性质证线段相等
利用正方形的边角性质证线段相等 ·木子老师
05
利用正方形的边角性质证线段的 和差关系
利用正方形的边角性质证线段的和差关系 ·木子老师
06
正方形对角线的性质
正方形对角线的性质 ·木子老师
正方形对角线的性质 ·木子老师
12
将特殊四边形的判定相混淆导致 出错
将特殊四边形的判定相混淆导致出错 ·木子老师
13
以菱形为基础判定正方形
以菱形为基础判定正方形 ·木子老师
14
以矩形为基础判定正方形
以矩形为基础判断正方形 ·木子老师
15
正方形的性质与判定
正方形的性质与判定 ·木子老师
正方形的性质与判定 ·木子老师
16
中点四边形
中点四边形 ·木子老师
中点四边形 ·木子老师
17
利用正方形的性质与判定判断中点 四边形的形状
利用正方形的性质与判定判断中点四边形的形状 ·木子老师
18
利用正方形的性质与判定求 线段的长
利用正方形的性质与判定求线段的长 ·木子老师
谢谢欣赏
正方形对角线的性质 ·木子老师
07
正方形的对称变换
2021-2022学年北师大版九年级数学上册正方形的性质习题含答案
北师版九年级数学上册1.3.1正方形的性质一、选择题（共10小题，3*10=30）1．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是()A．∠D＝90°B．AB＝CD C．AD＝BC D．BC＝CD2．正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )A.四条边都相等B．对角线互相垂直平分C．对角线相等D．对角线平分一组对角3．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BED的度数为( )A．15° B．35° C．45° D．55°4．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )A．14 B．15 C．16 D．175．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是( )A．45° B．22.5° C．67.5° D．75°6. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是()A．1 B．2 C．3 D．47．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE ＋PF 的值为( )A ．4B ．2 2C ． 2D ．28．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD 的内角，正方形ABCD 变为菱形ABC′D′.若∠D′AB ＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD 的面积之比是( )A ．1B ．12C ．22D ．329．如图，正方形ABCD 的边长为1，点E ，F 分别是对角线AC 上的两点，EG ⊥AB.EI ⊥AD ，FH ⊥AB ，FJ ⊥AD ，垂足分别为G ，I ，H ，J.则图中阴影部分的面积等于 ( )A ．1B ．12C ．13D ．1410．如图，正方形ABCD 的边AB 上有一动点E ，以EC 为边作矩形ECFG ，且边FG 过点D.在点E 从点A 移动到点B 的过程中，矩形ECFG 的面积( )A ．先变大后变小B ．先变小后变大C ．一直变大D ．保持不变 二．填空题（共8小题，3*8=24）11．如图，在正方形ABCD 中，E 是对角线BD 上一点，AE 的延长线交CD 于点F ，连接CE.若∠BAE ＝56°，则∠CEF ＝________．12. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有_______个13．如图，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝4，EC＝2，则AE的长为_______．14．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上的一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是_______.15．如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME＝.16．如图，正方形ABCD的边长为1，点E在边DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，F为垂足，那么FC＝__________.17．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为______.18．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M，N分别是DC，DF的中点，连接MN.若AB＝7，BE＝5，则MN＝__ __．三．解答题（共6小题，46分）19．(6分) 如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE ＝DF，连接AE和BF相交于点M. 求证：AE＝BF.20．(7分) 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边AD和CD上的点，且AE＝CF，连接AF，CE 交于点G.求证：AG＝CG.21．(7分) 如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE，AF，EF.(1)求证：△ABE≌△ADF；(2)若AE＝5，请求出EF的长．22．(8分) 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE.(1)求证：△BAE≌△CDE；(2)求∠AEB的度数．23．(8分) 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且AF＝CE.(1)求证：△ABF≌△CBE；(2)若AB＝4，AF＝1，求四边形BEDF的面积．24．(10分) 如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF.(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)若正方形边长为4，AE＝2，求菱形BEDF的面积．参考答案1-5 DCCCB 6-10CCBBD11. 22° 12. 8 13. 213 14. 22.5° 15. 45° 16. 2 －1 17. 135° 18. 13 219. 解：在正方形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∵CE ＝DF ，∴BE ＝CF ，在△AEB 和△BFC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF ，BE ＝CF ，∴△AEB ≌△BFC(SAS)，∴AE ＝BF 20. 证明：易证△ADF ≌△CDE(SAS)，∴∠DAF ＝∠DCE ，在△AGE 和△CGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GAE ＝∠GCF ，∠AGE ＝∠CGF ，AE ＝CF ，∴△AGE ≌△CGF(AAS)，∴AG ＝CG21. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADC ＝∠ADF ＝90°.又∵BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF(SAS)(2)由(1)知△ABE ≌△ADF ，∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠DAF ，∴∠EAF ＝∠DAF ＋∠EAD ＝∠BAE ＋∠EAD ＝90°，∴EF ＝ 2 AE ＝5 222. 解：(1)∵△ADE 为等边三角形，∴AD ＝AE ＝DE ，∠EAD ＝∠EDA ＝60°，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠CDA ＝90°，∴∠EAB ＝∠EDC ＝150°，在△BAE 和△CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，∠EAB ＝∠EDC ，AE ＝DE ，∴△BAE ≌△CDE(SAS) (2)∵AB ＝AD ，AD ＝AE ，∴AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∵∠EAB ＝150°，∴∠AEB ＝12 (180°－150°)＝15°23. 解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝CB ，∠A ＝∠C ＝90°.在△ABF 和△CBE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠A ＝∠C ＝90，AF ＝CE ，∴△ABF ≌△CBE(SAS) (2)由已知可得S 正方形ABCD ＝16，S △ABF ＝S △CBE ＝12×4×1＝2.所以S 四边形BEDF ＝16－2×2＝1224. 解：(1)连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ，OD ＝OB ＝OA ＝OC ，∵AE ＝CF ，∴OA －AE ＝OC －CF ，即OE ＝OF ，∴四边形BEDF 为平行四边形，又∵BD ⊥EF ，∴▱BEDF 为菱形(2)∵正方形边长为4，∴BD ＝AC ＝42，∵AE ＝CF ＝2，∴EF ＝AC －22＝22，∴S 菱形BEDF＝12BD·EF ＝12×42×22＝8。