角平分线的性质和判定经典复习题

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角平分线的性质及判定内容及典型例题[1]

For personal use only in study and research; not for commercial use 角平分线的性质及判定内容及典型例题【典型例题】例1.如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．例2. 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等．例3.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，问能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E，并给出证明；若不能，请说明理由．练习题一. 选择题1. 如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系是（）A. PC＞PDB. PC＝PDC. PC＜PDD. 不能确定（1）（4）2. 在R t△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若BC＝10，BD∶CD＝3∶2，则点D 到AB的距离是（）A. 4B. 6C. 8D. 103. 在△ABC中，∠C＝90°，E是AB边的中点，BD是角平分线，且DE⊥AB，则（）A. BC＞AEB. BC＝AEC. BC＜AED. 以上都有可能4. 如图所示，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE＝3，则点P 到AB的距离是（）A. 3B. 4C. 5D. 65. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AE＝AC，下列结论中错误的是（）A. DC＝DE B. ∠AED＝90° C. ∠ADE＝∠ADC D. DB＝DC（5）（7）（8）6. 到三角形三边距离相等的点是（）A. 三条高的交点B. 三条中线的交点C. 三条角平分线的交点D. 不能确定7. 如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB 于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（）A. 4cmB. 6cmC. 10cmD. 以上都不对8. 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（）A. 一处B. 二处C. 三处D. 四处二. 填空题9. 如图所示，点P是∠CAB的平分线上一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，如果PF＝3cm，那么PE＝__________．（9）（10）（11）10. 如图所示，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°，则∠BAD＝__________，∠CDA＝__________．11.如图所示，P在∠AOB的平分线上，在利用角平分线性质推证PD＝PE时，必须满足的条件是____________________．12. 如图所示，∠B＝∠C，AB＝AC，BD＝DC，则要证明AD是∠BAC的__________线．需要通过__________来证明．如果在已知条件中增加∠B与∠C互补后，就可以通过__________来证明．因为此时BD与DC已经分别是__________的距离．（12）（13）（14）13. 如图所示，C为∠DAB内一点，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，且CD＝CB，则点C 在__________．14. 如图所示，在R t△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．（1）若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是__________．（2）若BD∶DC＝3∶2，点D到AB的距离为6，则BC的长为__________．三. 解答题15. 已知：如图，在R t△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE ＝DC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数．16. 如图：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF ＋∠BAF＝180°．（1）求证：DE＝DF；（2）若把最后一个条件改为：AE＞AF，且∠AED＋∠AFD＝180°，那么结论还成立吗？17. 如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD相交于点C．求证：AC ＝BC．18. 如图所示，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到铁路图上距离为1cm．（1）在图上标出仓库G的位置．（比例尺为1∶10000，用尺规作图）（2）求出仓库G到铁路的实际距离．四. 探究题19. 有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法，其方法为：（1）如图所示，以O为圆心，任意长为半径画弧交OM、ON于点A、B；（2）以O为圆心，不等于（1）中的半径长为半径画弧交OM、ON于点C、D；（3）连接AD、BC相交于点E；（4）作射线OE，则OE为∠MON的平分线．你认为他这种作法对吗？试说明理由．仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。

[数学]-必考点05 角平分线的性质与判定-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学上

◆◆题型五与角的平分线有关的探究题
11．（2021秋•朝阳期中）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
③∠BAC＝2∠BPC；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．其中正确结论序号是．
7．（2021秋•松桃县期末）如图：已知BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：点D在∠BAC的平分线上．
◆◆题型三角的平分线的性质与判定的综合应用
8．（2021秋•鹿邑县月考）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA，交BA的延长线于点H．
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝．
1．（2022春•六盘水期末）如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，AB＝5，DE＝2，则△ABD的面积是（）
A．5B．7C．7.5D．10
2．（2022•雁塔区模拟）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P且与AB垂直．若AD＝8，BC＝10，则△BCP的面积为（）
A．△ABC三条高线的交点处
B．△ABC三条中线的交点处
C．△ABC三条角平分线的交点处
D．△ABC三边垂直平分线的交点处
【例题20】（2022春•兰州期末）某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（）
A．仅有一处B．有四处C．有七处D．有无数处

角平分线的性质与判定习题

[角平分线的性质与判定]一、选择题1.如图BP为∠ABC的平分线,过点D作BC,BA的垂线,垂足分别为E,F,则下列结论中错误的是()A.∠DBE=∠DBFB.DE=DFC.2DF=DBD.∠BDE=∠BDF2.在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到∠AOB两边距离相等的点应是()A.点MB.点NC.点PD.点Q3.如图已知在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,则四边形ABCD的面积是()A.24B.30C.36D.424.如图在平面直角坐标系中,AD平分∠OAB,DB⊥AB, BC∥OA交y轴于点C,若点B的横坐标为1,点D的坐标为(0,√3),则点C的坐标是()A.(0,2) B .(0,5) C.(0,√5) D.(0,√3+√2)二、填空题5.如图∠AOB=70°,QC⊥OA于点C,QD⊥OB于点D,若QC=QD,则∠CQO=°6.已知如图AB∥CD,AP,CP分别平分∠BAC和∠ACD, PE⊥AC于点E,且PE=3 cm,则AB与CD之间的距离为cm7.如图∠AOE=∠BOE=15°,EF∥OB,EC⊥OB.若EC=1,则EF=.8.如图AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为48和26,则△EDF的面积为.三、解答题9.如图在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB 于点E,CD=3.(1)求DE的长; (2)若AC=6,BC=8,求△ADB的面积10.如图P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,F,G分别是OA,OB上的点,且PF=PG,DF=EG.求证:OC是∠AOB的平分线.11.如图在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是Rt△ABC的一条角平分线,点O,E,F分别在BD,BC,AC上,且四边形OECF 是正方形.(1)求证:点O在∠BAC的平分线上;(2)若AC=5,BC=12,求OE的长.课时作业(十)[三角形三条内角的平分线]一、选择题1.如图是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一座凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,则凉亭的位置应选在()A.△ABC的三条中线的交点处B.△ABC的三边的垂直平分线的交点处C.△ABC的三条角平分线的交点处D.△ABC的三条高所在直线的交点处2.如图已知△ABC的周长是18 cm,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,OD⊥BC于点D,若OD=3 cm,则△ABC的面积是()A.24 cm2B.27 cm2C.30 cm2D.33 cm2二、填空题3.如图,在△ABC中,∠ABC=60°,∠ACB=40°,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,则∠BDC的度数是.4.在△ABC中,AB=13 cm,AC=5 cm,BC=12 cm,若△ABC 内有一点P到各边的距离相等,则这个距离为cm.5.如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC 的平分线BP相交于点P.若∠BPC=40°,则∠CAP=°.三、解答题如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:(1)如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD,CE分别是∠BAC,∠ACB的平分线,AD,CE相交于点F.请你判断FE与FD之间的数量关系(不需要证明).(2)如图③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其他条件不变,则你在(1)中所得到的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.(提示:四边形的内角和为360°)。

八年级数学角的平分线的性质、判定(人教版)(基础)(含答案)

角的平分线的性质、判定（人教版）（基础）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图所示，利用尺规作∠AOB的平分线，作法如下：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；③画射线OC，射线OC即为所求．在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是( )A.SSSB.ASAC.AASD.SAS答案：A解题思路：由作法得OM=ON，CM=CN，在△OMC和△ONC中∴△OMC≌△ONC（SSS）∴∠MOC=∠NOC（全等三角形对应角相等）即OC是∠AOB的平分线故选A．试题难度：三颗星知识点：略2.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是( )A.PC=PDB.∠CPO=∠DOPC.∠CPO=∠DPOD.OC=OD答案：B解题思路：∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB∴PC=PD在Rt△OPC和Rt△OPD中，∴Rt△OPC≌Rt△OPD（HL）∴∠CPO=∠DPO，OC=OD故选B．试题难度：三颗星知识点：略3.如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是( )A.2B.4C.6D.8答案：B解题思路：如图，过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，AD过点P，且与AB垂直∴AD⊥CD∵BP平分∠ABC，PA⊥AB，PE⊥BC∴PA=PE∵CP平分∠BCD，PD⊥CD，PE⊥BC∴PE=PD∴PA=PE=PD即PE=AD==4故选B．试题难度：三颗星知识点：略4.三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是( )A.三条高线的交点B.三条中线的交点C.三条角平分线的交点D.三边垂直平分线的交点答案：C解题思路：由角平分线的性质“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”，故要使集贸市场到三条公路的距离相等，集贸市场应建在∠A，∠B，∠C的角平分线的交点处．故选C．试题难度：三颗星知识点：略5.如图，已知PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA=PB．若∠MON=50°，∠OPC=30°，则∠PCA 为( )A.20°B.45°C.55°D.80°答案：C解题思路：∵PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA=PB∴点P在∠MON的角平分线上即OP平分∠MON∴∠POC=∠MON=50°=25°∵∠PCA是△POC的一个外角∴∠PCA=∠POC+∠OPC=25°+30°=55°故选C．试题难度：三颗星知识点：略6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是( )A.15B.30C.45D.60答案：B解题思路：如图，过点D作DE⊥AB于E，由题意可知AP是∠BAC的平分线∵∠C=90°，DE⊥AB∴DE=CD=4∴故选B．试题难度：三颗星知识点：略7.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E．若S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC 的长是( )A.3B.4C.5D.6答案：A解题思路：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F∴DE=DF∴∴AC=3故选A．试题难度：三颗星知识点：略8.如图，已知△ABC的周长是21，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，则△ABC的面积是( )A.25B.84C.42D.21答案：C解题思路：如图，连接OA，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE=OD，∵CO平分∠ACB，OD⊥BC，OF⊥AC，∴OF=OD，故选C．试题难度：三颗星知识点：略9.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为( )A.11B.5.5C.7D.3.5答案：B解题思路：如图，过点D作DH⊥AC，垂足为H，∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，DH⊥AC，∴DH=DF在Rt△DEF和Rt△DGH中，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL）∴，在Rt△ADF和Rt△ADH中，∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL）∴，设，则，∴，∴，解得：．故选B试题难度：三颗星知识点：略10.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数有( )①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③S△DAC:S△ABC=1:3．A.0个B.1个C.2个D.3个答案：D解题思路：由尺规作图可知AD是∠BAC的平分线，故①正确∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠BAD=∠BAC=30°，∵在△ACD中，∠C=90°，∠CAD=30°，∴∠ADC=60°，故②正确如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB∴DC=DE在Rt△ACD和Rt△AED中，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）∴，在△ADE和△BDE中，∴△ADE≌△BDE（AAS），∴，∴，∴S△DAC:S△ABC=1:3，故③正确故选D试题难度：三颗星知识点：略。

角平分线的性质定理和判定经典习题

角平分线的性质定理和判1.已知：在等腰Rt △ABC 中，AC=BC ，∠C=90°， AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，AB=15cm ，（1）求证：BD+DE=AC ．（2）求△DBE 的周长．2. 如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 中点， DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB ．3. 如图，已知△ABC 的周长是22，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD=3，△ABC 的面积是多少？4.已知：如图所示，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ，求证：OB=OC ．5. 如图，已知∠1=∠2，P 为BN 上的一点， PF ⊥BC 于F ，PA=PC ，求证：∠PCB+∠BAP=180º21NPF CBA7.已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论；（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由．（3）CD、AB、AD间有什么关系？直接写出结果8.如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上．9.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，求△ABC的面积．9.如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．10.已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。

求证：AF为∠BAC的平分线。

11．已知：AD 是△ABC 角平分线，DE ⊥AB ， DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BD ＝CD ，证：∠B ＝∠C.12．如图，已知在△ABC 中，90C ∠=，点D 是斜边AB 的中点，2AB BC =，DE AB ⊥ 交AC 于E ．求证：BE 平分ABC ∠．13.如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB .14.如图，在∠AOB 的两边OA ，OB 上分别取OM=ON ， OD=OE ，DN 和EM 相交于点C ．求证：点C 在∠AOB 的平分线上．ＢＤＥAFCDEB。

角平分线的性质和判定(人教版)(含答案)

C.①和② D.①,②和③
答案：C
解题思路：
解：如图，
连接AP，
在Rt△APR和Rt△APS中，
,
∴Rt△APR≌Rt△APS(HL)
∴∠1=∠2，AR=AS，
∵AQ=PQ
∴∠2=∠3
∴∠1=∠3
∴PQ∥AR
故①，②正确，③不确定，综上，选C
试题难度：三颗星知识点：全等三角形的性质与判定
10.如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P.若∠BPC=40°,则∠CAP等于( )
A.40° B.45°
C.50° D.60°
答案：C
解题思路：
1．思路点拨
①见到两条角平分线相交，考虑角平分线的性质，过点P分别向角的两边作垂线，垂线段相等．
②借助常见结构：找到∠BPC和∠BAC的关系，求出∠BAC的度数．
③借助三角形的内角和定理和平角解决问题．
2．解题过程
解：如图，
过点P分别向BC，AC，BA边所在直线作垂线，垂足分别为点E，F，G，
3.如图,已知点O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等.若∠A=40°,则∠BOC等于( )
A.110° B.120°
C.130° D.140°
答案：A
解题思路：
①由点O到△ABC三边的距离相等，可知点O是△ABC三个角的角平分线；
②设，
分别在△ABC和△BOC中利用三角形内角和定理，
答案：C
解题思路：
（1）根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可以得到DE=DC，
∴①正确；
（2）角平分线可以看成一个角的对称轴，对称轴两侧的图形全等，即△ADC≌△ADE，

角平分线的性质和判定经典题

D FE C BA例题4已知：AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BD ＝CD ，求证：∠B ＝∠C.例题5 已知:如图所示,点O 在∠BAC 的平分线上,BO ⊥AC,CO ⊥AB,垂足分别为D ，E,求证：OB ＝OC.例题6 如图,△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,AD 平分∠BAC 交BC 于D,DE ⊥AB,垂足为E,且AB=10 cm,求△DEB 的周长.A F DE B例题7如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BE=CF,求证:BD=FD.例题8如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,E,F分别为AB,AC上的点,且∠EDF+∠EAF=180°.求证:DE=DF.例题8 求证：有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等.角平分线的性质二例题1如图,P是∠BAC内的一点,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为点E，F,AE=AF.求证：(1)PE=PF；(2)点P在∠BAC的平分线上.例题2如图,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D,连接AD.求证：AD是∠BAC的外角平分线.例题3已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点O.求证：（1）当∠1＝∠2时，OB＝OC；（2）当OB＝OC时，∠1＝∠2.例题4已知：如图所示，在△ABC中，BD=DC,∠1=∠2，求证：AD平分∠BAC.例5、如图，AD⊥DC，BC⊥DC：，E是DC上一点，AE平分∠DAB．E是DC 的中点，求证：BE平分∠ABC．例题6 .如图所示,在四边形ABCD中,∠ADC+∠ABC=180°,BC=DC,CE⊥AD,交AD的延长线于点E,CF⊥AB于点F.求证:AC平分∠BAD.例7如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？。

角平分线的性质和判定经典复习题

角平分线的性质和判定复习二、典型例题例1 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？例2.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E， AB=10求△BDE的周长例3、如图，AD⊥DC，BC⊥DC：，E是DC上一点，AE平分∠DAB．E是DC的中点，求证：BE 平分∠ABC．例4、如图，△ABC中，∠ABC=1000，∠ACB的平分线交AB于E，在AC上取一点D，使∠CBD=200，连结DE．求∠CED的度数．三、巩固练习1. 在R t△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若BC＝10，BD∶CD＝3∶2，则点D到AB 的距离是（） A. 4 B. 6 C. 8 D. 102. 到三角形三边距离相等的点是（）A. 三条高的交点B. 三条中线的交点C. 三条角平分线的交点D. 不能确定3. 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（）A. 一处B. 二处C. 三处D. 四处第3题图第4题图第5题图4.如图，AB∥CD，点P到AB,BC,CD距离都相等，则∠P=5、如图，已知AB∥CD，0为∠CAB、∠ACD的平分线的交点．OE⊥AC，且OE=2，则两平行线AB、CD间的距离等于6、BD是∠ABC的平分线交AC于D，DE⊥AB于点E，AB=36，BC=24，S△ABC=144则DE=7、在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，且BC=CD，求证∠B+∠D＝180°8. （上一题变式）如图：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF＋∠BAF＝180°．求证：DE＝DF；9．如图，∠C=900，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB．10．如图，已知在△ABC中，∠B=600,△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE+CD=AC．。

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角平分线的性质和判定复习
一知识要点：
1. 角平分线的作法（尺规作图）
思考：这一画法的根据是什么？
2. 角平分线的性质及判定
（1）角平分线的性质：
文字表达：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
几何表达：
∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，（已知）
∴PA＝PB．（角平分线的性质）
思考：这一性质定理的根据是什么？
（2）角平分线的判定：
文字表达：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
几何表达：
∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB（已知）
∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）（角平分线的判定）
思考：这一判定定理的根据是什么？
二、典型例题
例1 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？
思考：画一个任意三角形并作一个内角、一个外角的平分线相交；两个外角的平分线相交，观察交点到这个三角形三条边所在直线的距离的关系．
例2.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC 于D，DE⊥AB于E，AB=10求△BDE的周长
例3、如图，AD⊥DC，BC⊥DC：，E是DC上一点，AE平分∠DAB．E是DC 的中点，求证：BE平分∠ABC．
例4、如图，△ABC中，∠ABC=1000，∠ACB的平分线交AB于E，在AC上取一点D，使∠CBD=200，连结DE．求∠CED的度数．
【思维方法总结】
1、学过“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”与“到角的两边的距离
相等的点在角的平分线上”这两个结论后，许多涉及角的平分线的问题用这两个结论解决很方便，需要注意的是有许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用这两个结论，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次这两个结论。

2、如果已知角平分线，（或要证角平分线）可以考虑：有一条距离可以考虑
再作一条距离，一条距离也没有可以考虑作两条距离。

从而利用角平分线的性质定理和判定定理解决问题。

三、巩固练习
1. 在R t△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若BC＝10，BD∶CD＝3∶2，则点D到AB的距离是（）
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
2. 到三角形三边距离相等的点是（）
A. 三条高的交点
B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点
D. 不能确定
3. 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（）
A. 一处
B. 二处
C. 三处
D. 四处
第3题图第4题图第5题图
4.如图，AB∥CD，点P到AB,BC,CD距离都相等，则∠P=
5、如图，已知AB∥CD，0为∠CAB、∠ACD的平分线的交点．OE⊥AC，且OE=2，则两平行线AB、CD间的距离等于
6、BD是∠ABC的平分线交AC于D，DE⊥AB于点E，AB=36，BC=24，
S△ABC=144则DE=
7、在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，且BC=CD，求证∠B+∠D＝180°
8. （上一题变式）如图：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF＋∠BAF＝180°．求证：DE＝DF；
9．如图，∠C=900，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB．
10．如图，已知在△ABC中，∠B=600,△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE+CD=AC．。