(完整word版)角平分线的性质知识点小结及练习题
小学数学练习题认识角平分线
小学数学练习题认识角平分线角平分线是指将一个角分成两个大小相等的角的直线。
在几何学中，认识角平分线对于理解角的性质和解决相关问题非常重要。
在这篇文章中，我们将介绍什么是角平分线，它的性质及应用，并解答一些小学数学练习题来帮助巩固我们对角平分线的理解。
什么是角平分线？角平分线是指从一个角的顶点出发，将角分成两个大小相等的角的直线。
这条直线将角分成的两个小角被称为相邻角，它们的度数是相等的。
通过绘制角平分线，我们可以将一个角简单地分解成两个相等的角，从而更好地研究和解决与角相关的问题。
角平分线的性质1. 角平分线将一个角分成两个相等的小角。
2. 当且仅当一条线段与一个角的两边相交且将该角平分时，这条线段即为该角的平分线。
3. 角的平分线必定通过角的顶点。
角平分线的应用角平分线的应用非常广泛，特别是在解题过程中，常常需要利用角平分线的性质来求解。
以下是一些常见的应用场景：1. 求解角的度数：当我们知道一个角被平分成两个相等的小角时，可以根据已知角的度数来求解小角的度数。
2. 判断角相等：如果两个角的平分线相交于一点，并且两个相邻角的度数相等，那么可以得出这两个角是相等的。
3. 证明两条线段垂直：当两条线段的平分线相交于一点，并且这两条线段的相邻角的度数之和为90度时，可以断定这两条线段垂直。
练习题接下来，让我们通过一些小学数学练习题来巩固对角平分线的理解。
1. 如图所示，角ACD被直线AB平分，且∠BAC=40°，求∠CAD的度数。
（插入图片，角ACD，AB平分角ACD，∠BAC=40°）解答：根据角平分线的性质，∠BAC和∠CAD是相等的，所以∠CAD的度数也是40°。
2. 如图所示，直线ML和直线NP交于点P，且∠MPN=62°，求∠NPL和∠MPN的度数之和。
（插入图片，直线ML和直线NP交于点P，∠MPN=62°）解答：根据角平分线的性质，角NPL被直线NP平分，所以∠NPL的度数和∠MPN的度数相等，即∠NPL=∠MPN=62°。
第2讲 角平分线综合(word版)
2 角平分线综合知识目标模块一双垂型例1、例2、例3难度：★★★模块二截长全等型例4、例5难度：★★★模块三延长构等腰型例6难度：★★★模块四平行等腰型例7难度：★★模块一双垂型知识导航已知点Q是∠MON平分线上的一点．⑴如图①，若已有QE⊥OM，则常可以作QF⊥ON，可以得到．(2)如图②，过点Q分别作QE⊥OM，QF⊥ON，可以得到．题型一基本双垂型例1(2016年汉阳区八上期中24题第(1)(2)问)⑴问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°－α，BD平分∠ABC．①如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得AD＝CD，这个性质是；②在图2中，求证：AD＝CD；图1 图2如图，己知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，PM丄AC，PN丄AB，垂足分别为M、N，AB＝3，AC＝7，求CM的长度．题型二内心（旁心）的应用(1)证明：三角形的三条角平分线交于一点；(2)证明：三角形的一条内角平分线与其不相邻的两外角平分线交于一点．练习已知：四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ACB＝72°，∠ABC＝60°，并且∠BAD＋∠CAD＝180°，那么∠BDC的度数为．例3(2015年武汉二中八上期中）如图，△ABC中，点D是BC上一点，已知∠DAC＝30°，∠DAB＝75°，CE平分∠ACB交AB于点E，连接DE，则∠DEC＝_________．(2016年武昌区八上期中笫10题)如图，在△ABC中，点M、N是∠ABC和∠ACB的三等分线的交点，若∠A＝60°，求∠BMN的度数．真题演练(2016年武汉二中八上期中第23题第(1)(2)问)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，∠A－∠C＝36°．(1)如图1，点E为BD延长线上一点，EH丄AC于点H，求∠E的度数；(2)如图2，CP平分∠ACB的外角交BD延长线于点P，连AP，点F是BC延长线上一点，PF＝P A，若∠DPC＝a，求∠PFC的度数（用含a的式子表示)．图1 图2模块二截长全等型知识导航已知点Q是∠MON平分线上一点，若点E是射线OM上任意一点，可以在ON上截取OF＝OE，连接QF，构造△OQF≌OQE．例4(2016年江汉区八上期中)如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．求证：①AC＝AE＋CD；②FE＝FD．如图，已知四边形ABCD中，∠A＋∠C＝I80°，BD平分∠ABC．求证：DC＝AD．例5(2016年江岸区八上期中第9题)如图，△ABC中，CE平分∠ACB的外角，D为CE上一点，若BC＝a，AC＝b，DB＝m，AD＝n，求m －a，与b－n的大小关系．练习如图，D是△ABC的外角∠CAE平分线AP上一点，求证：DC＋DB＞AB＋AC．模块三延长相交构等腰型知识导航已知点Q是∠MON平分线上的一点．若EQ⊥OQ于点Q，可以延长EQ艾ON于点F，从而得到等腰三角形，Q是底边EF的中点，OQ为等腰△EOF的“三线合一”例6(2016年汉阳区八上期中）△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，若D 为线段BC 上一点，∠EDB＝12∠ACB ，BE ⊥DE ，垂足为E ，DE 交AB 于F ．(1)如图，当D 与C 点重合时，探究BE 、DF 的数量关系；(2)如图，当D 不与C 重合时，线段BE 与DF 的数量关系是否发生变化，变化．证明你的结论．练习(2016-2017学年度二中广雅八上月考改编) 等腰Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 为AB 上一点，AD ＝AC ，且BE ⊥CD 于E ，CH ⊥AB 于点H ． (1)求∠BCD 的度数；(2)求CDBE的值．拓展如图，BE 、CF 分别为△ABC 的两个外角平分线，过A 作从AE 丄BE 此于点E ，作AF 丄CF 于点F ，作AD ⊥BC 于点D ，已知AB ＋AC ＝8，AD ＝3，求S △ABE ＋S △ACF 的值．BD AEF模块四 平行等腰型 知识导航已知OQ 是∠MON 的角平分线，点D 为边MO 上一点． ①过D 作DE ∥ON 交OQ 于点E ，則可构造出等腰△DOE ；②过D 作DF //OQ 交ON 的反向延长线于点F ，则可构出等腰△DOF ．NED MQ ONDMQOF例7(2014年江岸区八上期中)如图所示，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，过点O 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，若AB ＝10，AC ＝8，求△AEF 的周长．ACBOEF拓展如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 、CD 分别是△ABC 两个外角的平分线．求证：AB ＝AD ．DF AB E总结归纳角平分线常见辅助线1．单垂或双垂型N MEO QFNMEO Q F2．截长全等型NMEFO QNMEF OQ3．延长等腰型NM EF O Q4．平行等腰型NED MQ ONDMQOF第二讲 本讲课后作业A 基础刚刚1．如图，∠DAE ＝∠ADE ＝15°，DE ∥AB ，DF ⊥AB ，若AE ＝8，则DF ＝( )． A ．5 B ．4 C ．3 D ．2FD BA E C2．如图所示，BD 是∠ABC 的角平分线，AB ＝BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，垂足分别为M 、N ．求证：P ＝PN ．CA D F BP M N3．(2014年江岸区八上期中)如图，在四边形ABCD中，BE、CF分别平分∠ABC、∠BCD，BE、CF相交于点O，BE交CD于E，CF 交AB于F．(1)试写出∠A，∠D，∠BOC的数量关系，然后证明．(2)若∠A＋∠D＝240°，求证：OE＝OF．BDAEOF4．已知点P是∠BAC平分线上上一点，AC＞AB，求证：AC－AB>PC－PB．D CABP5．如图，已知四边形ABCD中，CA平分∠BCD，BC＞CD，AB＝AD，求证：∠B＋∠D＝180°．BDC A6．如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB，ED∥AB，FD//AC，如果BC＝6，求△DEF 的周长．BA DFB综合训练7．如图，△ABC三条角平分线交于O点且三边AB、BC、CA长分別为4、5、6，O到AC的距离为2，则S△ABC＝．BCO8．(2016年武汉外校八上期中第23题）如图，等腰直角△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∠A 、∠C 的平分线交于点P ． (1)求证：AB ＝CP ＋BC ；(2)若∠A 的外角平分线以及∠C 的平分线交于点P ，(1)中结论是否仍成立？请画出图形，写出结论，并说明理由．BAP BA。
七年级角平分线知识点总结
七年级角平分线知识点总结在七年级的数学学习中，我们学习了很多新知识，其中包括角平分线的知识。
角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段。
在本文中，我将为大家总结七年级角平分线的知识点，让大家更好地掌握这一知识。
一、角平分线的定义角平分线指的是将一个角分成两个相等的角的线段。
通常情况下，我们将这个线段称为这个角的平分线。
二、角平分线的性质角平分线有很多性质，下面我们来一一介绍。
1、角平分线上的点角平分线上的点必须满足点到角两边的距离相等。
也就是说，如果一条线段在角内，并且到角两边的距离相等，那么这条线段就是这个角的平分线。
2、角平分线相交于一点一个角的两条平分线必定相交于一个点，我们称这个点为这个角的内心。
3、内角平分线定理内角平分线定理是指，如果一个点在角内，并且到角的两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上。
三、角平分线的应用角平分线在数学中有很多应用，下面我们来介绍一下角平分线的常见应用。
1、求角平分线的长度在图形中，如果已知角的大小和角平分线所在两边的长度，那么可以通过余弦定理或正弦定理来求角平分线的长度。
2、利用角平分线证明线段比例当一个角的内部有两个点与角的两边垂直相交时，可利用角平分线来证明线段比例。
四、角平分线的练习题为了更好地掌握角平分线的知识，在此为大家推荐两道练习题，供大家练习。
1、如图，∠A=97.5°,AD为∠A的平分线，AB=6cm，BC=10cm，则AD约等于____cm。
（结果保留一位小数）A、6.6B、5.8C、8.4D、7.2解：根据余弦定理，我们可以得出：AD≈7.2cm。
2、如图，求MN∶KL的值。
解：由角平分线定理可知：$\quad \frac{MK}{AK}=\frac{NL}{AL}\quad $又因为$AK=AL$，所以$MK=NL$又由题可知：$MK+NL=20$，所以$MK=NL=10$所以：$MN∶KL=MK-LM∶NL-LK=10-6∶10-5=4∶5$以上就是本文对七年级角平分线知识点的总结，希望能够对大家的学习有所帮助。
人版八年级数学[上册]第十二章《全等三角形的综合、角平分线》讲义(有答案解析)
![人版八年级数学[上册]第十二章《全等三角形的综合、角平分线》讲义(有答案解析)](https://img.taocdn.com/s3/m/6489c20110661ed9ad51f3da.png)
第7讲 全等三角形的综合、角平分线⑴平移全等型⑵ 对称全等型⑶ 旋转全等型⑴、角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵、到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB ，这种对称的图形应用得也较为普遍，ABOPPOBAABOP角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．考点1、三角形全等综合1、如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过B点的AB的垂线L 上取两点C、D，使CD=BC，再在过D点的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，ED=AB这时，测ED的长就得AB得长，判定△ACB≌△ECD的理由是（）A. SASB. ASAC. SSS D .AAS2、如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（ B ）A．PO B．PQ C．MO D．MQ（1）（2）3、如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚是35cm，点B与点O的垂直距离AB长是20cm，在点O处作一直线平行于地面，在直线上截取OC=35cm，过C作OC的垂线，在垂线上截取CD=20cm，连接OD，然后，沿着D0的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出．这是什么道理？4、1805年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战．德军在莱茵河北岸Q处，如图所示，因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌营．聪明的拿破仑站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营Q 处，然后他一步一步后退，一直退到自己的视线恰好落在他刚刚站立的点0处，让士兵丈量他所站立位置B与0点的距离，并下令按照这个距离炮轰德军．试问：法军能命中目标吗？请说明理由．用帽舌边缘视线法还可以怎样测量，也能测出河岸两边的距离吗？5、某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如下几种方案：甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的长即为A，B的距离．乙：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取C，D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B的距离．丙：如图③，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使∠BDC=∠BDA，这时只要测出BC的长即为A，B的距离．（1）以上三位同学所设计的方案，可行的有______；（2）请你选择一可行的方案，说说它可行的理由．1、已知: 如图,AB=AE,BC=ED, ∠B= ∠E,AF ⊥CD,F 为垂足, 求证:CF=DF.2、已知：如图，AB=CD，BC=DA，AE=CF．求证：BF=DE．3、如图，AB=AD，BC=DE，且BA⊥AC，DA⊥AE，你能证明AM=AN吗？1、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC. 求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF.2、已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于D，E是AD上一点，BE的延长线交AC于F，若BD=AD，DE=DC。
角的平分线的性质完整篇
3 4
E A
1 2
O
D
B
• • • •
不改变已知条件： ①图中还有哪些线段相等？ ②图中有那些全等的三角形 ？ ③若连结ED，则AO与ED有怎样的位置关系？
• 本例对学生来说更具挑战性，既含新知又有旧知，旨在培养学生 的综合运用能力、推理能力和数学思维的周密性。另外对一题的 引申变化能激发学生对数学知识的深入探究。使教学达到举一反 三，事半功倍的效果。让学生学会引申、变更问题，以培养学生 发现问题、提出问题的创造性能力；使他们认识学数学不是题海 战术而是思维的革命。
（二）合作交流 探究新知
• （活动一）探究角平分仪的原理。用生活中的实 例感知。以最近大事作引入点，以最常见的事物 为载体，让学生感受到生活中处处都有数学，认 识到数学的价值。其中设计制作角平分仪，可培 养学生的创造力和成就感以及学习数学的兴趣。 使学生很轻松的完成活动二。具体过程如下： • 播放奥巴马访问我国的录像资料------引出雨伞----观察它的截面图，使学生认清其中的边角关系----引出角平分线；并且运用几何画板对伞的开合 进行动态演示，让学生直观感受伞面形成的角与 主杆的关系-----让学生设计制作角平分仪；并利 用以前所学的知识寻找理论上的依据，说明这个 仪器的制作原理。
A
·
如图，伞面支架中AB＝AD，支撑 支架BC＝DC ，则伞的主杆AE平 分∠BAC ，射线AE就是 ∠BAC 的 角平分线，你知道为什么吗？
D ·
B
·
C
·
E
• （活动二）通过上述探究，能否总结出尺 规作已知角的平分线的一般方法．自己动 手做做看．然后与同伴交流操作心得． • 分小组完成这项活动，教师可参与到学 生活动中，及时发现问题，给予启发和指 导，使讲评更具有针对性。
角平分线的四大模型(Word版)
角平分线四大模型模型一：角平分线上的点向两边作垂线如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,则PB=PA.模型分析：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
例1：（1）如图①，在△ABC,∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到AB的距离是___cm(2)如图②，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC.练习1 如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠C=180°练习2 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=（）模型二：截取构造对称全等如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB，则△OPB≅△OPA.模型分析：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等、利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
例2：(1)如图①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．(2)如图②所示．AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC -PB与AC-AB的大小，并说明理由．练习 3 已知：△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8，求线段BC的长。
练习4 已知,如图AB=AC,∠A=108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC=AB+CD.练习5 如图,在△ABC中,∠A=100°,∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD.求证：BC=AB+CE.模型三：角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP交ON于点B,则△AOB是等腰三角形。
九年级角平分线知识点总结
九年级角平分线知识点总结角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的小角的线段。
在九年级的几何学中，学生需要学习角平分线的性质和应用。
以下是对九年级角平分线知识点的总结。
一、角平分线的定义和性质角平分线的定义：从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的小角的线段被称为角的平分线。
角平分线的性质：1. 角平分线将角分成两个相等的小角。
2. 角平分线与所分角的两边相交于一个点，并且与所分角的两边垂直相交。
3. 一个角的平分线只有一个。
二、角平分线的应用1. 找出角平分线：当需要找出一个角的平分线时，可以使用直尺和量角器进行作图。
首先，绘制出所给角；然后，在顶点处使用量角器测量出等分的角度，然后沿着顶点指示的方向绘制角平分线。
2. 角平分线的性质应用于证明：角平分线的性质可以在证明中起到重要的作用。
例如，可以利用角平分线的性质证明两个角相等。
3. 解题中的应用：角平分线的性质也可以在解题中应用。
例如，当需要计算一个角的度数时，可以利用角平分线将角分成两个相等的小角，从而更方便计算角的度数。
三、角平分线相关定理1. 角平分线定理：如果一条线段将一个角分成两个相等的小角，那么这条线段就是这个角的平分线。
2. 角平分线的角度关系：当一条角平分线与另外一个角的两边相交时，所形成的角与原角之间存在着特定的关系。
具体而言，两个原角与所形成的两个小角互为补角，并且两个小角之间互为互补角。
四、综合练习1. 练习题一：在下图中，角ABC被角平分线AD分成两个小角，若∠BAC = 40°，求∠BAD和∠DAC的度数。
2. 练习题二：如下图所示，∠ABC的角平分线AD交边BC于点D，若∠A = 120°，求∠BAD的度数。
五、总结本文总结了九年级角平分线的相关知识点，包括角平分线的定义和性质、角平分线的应用、角平分线相关定理以及综合练习题。
通过掌握这些知识，可以更好地理解和应用角平分线相关的概念，在几何学中取得更好的成绩。
七年级数学下册《第十二章全等三角形-角的平分线的性质》练习题
七年级数学下册《第十二章全等三角形-角的平分线的性质》练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________一、填空题1．如图，点C 在AOB ∠的平分线上，CD OA ⊥于点D ，且1CD =，如果E 是射线OB 上一点，那么CE 长度的最小值是______．2．如图，点P 在AOB ∠内，因为PM OA ⊥，PN OB ⊥，垂足分别是M 、N ，PM PN =，所以OP 平分AOB ∠，理由是______．3．如图，ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O ，连接OA ，OB ，OC ，将ABC 分成三个三角形，则::ABO BCO CAO S S S 等于__________．4．如图所示，点O 在一块直角三角板ABC 上（其中30ABC ∠=︒），OM AB ⊥于点M ，ON BC ⊥于点N ，若OM ON =，则ABO ∠=_________度．5．如图，BE、CF都是ABC的角平分线，且110∠=︒，则ABDC∠=___________．二、单选题6．如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOE≅FOE，你认为要添加的那个条件是（）A．OD=OE B．OE=OF C．∠ODE =∠OED D．∠ODE=∠OFE<，将ABC以点A为中心逆时针旋转得到ADE，点D在BC边上，DE交7．如图，在ABC∆中，AB AC∠=∠，其中所有正确结论的AC于点F．下列结论：∠AFE DFC△△；∠DA平分BDE∠；∠CDF BAD序号是（）A．∠∠B．∠∠C．∠∠D．∠∠∠8．如图，三条公路两两相交，现计划在∠ABC中内部修建一个探照灯，要求探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，则探照灯位置是∠ABC（）的交点．A．三条角平分线B．三条中线C ．三条高的交点D ．三条垂直平分线9．如图，Rt∠ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，AB ＝10，S △ABD ＝15，则CD 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5三、解答题10．已知40AOB ∠=︒．(1)用直尺和圆规作出AOB ∠的平分线OD （不写作法，但保留作图痕迹，写出结论）；(2)已知AOB ∠与BOC ∠互为补角，画出符合条件的所有可能的图形，并求出COD ∠的度数．11．如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中，一段圆弧经过网格的格点A 、B 、C ．(1)请完成如下操作：∠以点O 为原点，竖直和水平方向所在的直线为坐标轴，小正方形的边长为单位长，建立平面直角坐标系； ∠用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D 的位置，不写作法，保留作图痕迹，并连接AD 、CD ．(2)请在（1）的基础上，解答下列问题：∠写出点的坐标：C ______、D ______；∠D 的半径为______（结果保留根号）；∠若扇形DAC 是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面积为______（结果保留π）；∠若点E 的坐标为()7,0，试判断直线EC 与D 的位置关系，并说明理由．12．如图，已知AOC BOC ∠=∠，点P 在OC 上，PD OA ⊥，PE OB ⊥，垂足分别为D ，E ．求证：OPD OPE ≌．13．如图，∠ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，若点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线A －C －B －A 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．(1)若点P 在AC 上，且满足P A ＝PB 时，求此时t 的值；(2)若点P 恰好在∠BAC 的平分线上，求t 的值．14．如图，在∠ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD ＝CD ，DE ∠AB ，DF ∠AC ，垂足分别为E 、F ，求证：AB ＝AC参考答案：1．1【分析】过点C 作CE ∠OB 于点E ，根据角平分线的性质解答即可．【详解】解：过点C 作CE ∠OB 于点E ，∠点C 在∠AOB 的平分线上，CD ∠OA 于点D ，且CD ＝1，∠CE ＝CD ＝1，即CE 长度的最小值是1，故答案为：1．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．2．角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上【分析】根据角平分线判定定理即可得到结果．【详解】解：∠PM∠OA ，PN∠OB ，PM=PN∠OP 平分∠AOB （在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）故答案为：角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上．【点睛】本题考查角平分线判定定理，掌握角平分线判定定理的内容是解题的关键．3．2：3：4【分析】过点O 分别向三边作垂线段，通过角平分线的性质得到三条垂线段长度相等，再通过面积比等于底边长度之比得到答案．【详解】解：过点O 分别向BC 、BA 、AC 作垂线段交于D 、E 、F 三点．∠CO 、BO 、AO 分别平分、、ACB CBA BAC ∠∠∠∠OD OE OF == ∠12ABO SAB OE =，12△BCO S BC OD =，12△CAO S AC OF = ∠::::10:15:202:3:4ABO BCO CAO S S S AB BC AC ===故答案为：2：3：4【点睛】本题考查了角平分线的性质，往三角形的三边作垂线段并得到面积之比等于底之比是解题关键．4．15【分析】根据ON BC ⊥，OM AB ⊥，OM ON =判断OB 是ABC ∠的角平分线，即可求解．【详解】解：由题意，ON BC ⊥，OM AB ⊥，OM ON =，即点O 到BC 、AB 的距离相等，∠ OB 是ABC ∠的角平分线，∠ 30ABC ∠=︒， ∠1152ABO ABC ∠=∠=︒． 故答案为：15．【点睛】本题考查角平分线的定义及判定，熟练掌握“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”是解题的关键．5．40°##40度【分析】根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可．【详解】解：∠BE 、CF 都是∠ABC 的角平分线，∠∠A ＝180°−（∠ABC ＋∠ACB ），＝180°−2（∠DBC ＋∠BCD ）∠∠BDC ＝180°−（∠DBC ＋∠BCD ），∠∠A ＝180°−2（180°−∠BDC ）∠∠BDC ＝90°＋12∠A ，∠∠A ＝2（110°−90°）＝40°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，用已知角表示出所求的角是解题的关键．6．D【分析】根据OB 平分∠AOC 得∠AOB =∠BOC ，又因为OE 是公共边，根据全等三角形的判断即可得出结果．【详解】解：∠OB 平分∠AOC∠∠AOB =∠BOC当∠DOE ∠∠FOE 时，可得以下结论：OD =OF ，DE =EF ，∠ODE =∠OFE ，∠OED =∠OEF ．A 答案中OD 与OE 不是∠DOE ∠∠FOE 的对应边，A 不正确；B 答案中OE 与OF 不是∠DOE ∠∠FOE 的对应边，B 不正确；C 答案中，∠ODE 与∠OED 不是∠DOE ∠∠FOE 的对应角，C 不正确；D 答案中，若∠ODE =∠OFE ，在∠DOE 和∠FOE 中，DOE FOE OE OEODE OFE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∠∠DOE ∠∠FOE （AAS ）∠D 答案正确．故选：D ．【点睛】本题考查三角形全等的判断，理解全等图形中边和角的对应关系是解题的关键．7．D【分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解．【详解】解：∠将ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE ，∠ADE ABC ≌，E C ∴∠=∠，AFE DFC ∠=∠，∴AFE DFC △△，故∠正确；ADE ABC ≌，AB AD ∴=，ABD ADB ∴∠=∠，ADE ABC ∠=∠，ADB ADE ∴∠=∠，∴DA 平分BDE ∠，故∠正确；ADE ABC ≌，BAC DAE ∴∠=∠，BAD CAE ∴∠=∠，AFE DFC△△，CAE CDF∴∠=∠，CDF BAD∠=∠∴，故∠正确故选D【点睛】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．8．A【分析】根据角平分线的性质即可得到探照灯的位置在角平分线的交点处，即可得到结论．【详解】解：∠探照灯的位置到这三条公路的距离都相等，∠探照灯位置是∠ABC的三条角平分线上，故选：A．【点睛】此题考查了角平分线的性质，数据角平分线的性质定理是解题的关键．9．B【分析】过点D作DE∠AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用∠ABD 的面积列式计算即可得解．【详解】解：如图，过点D作DE∠AB于E，∠∠C＝90°，AD平分∠BAC，∠DE＝CD，∠S△ABD＝12AB•DE＝12×10•DE＝15，解得：DE＝3，∠CD＝3.故选：B.【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．10．(1)见解析(2)图见解析，60°或120°【分析】（1 ）根据角平分线的定义作出图形即可；（2）分两种情形，分别画出图形求解即可．（1）解：如图，射线OD即为所求．（2）解：如图，∠BOC与∠AOB、∠BOC'与∠AOB都互为补角，∠∠AOB=40°，且OD平分∠AOB，∠∠BOC=140°，∠BOC'=140°，∠AOD=∠BOD=12∠AOB=20°，当射线OA在∠BOC的外侧时，∠COD=∠BOC+∠BOD=140°+20°=160°；当射线OA在∠BOC'内部时，∠C'OD=∠BOC'-∠BOD=140°-20°=120°．综上，∠COD的度数为60°或120°．【点睛】本题考查作图 复杂作图，角平分线的定义，补角的定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．11．(1)答案见详解(2)∠62（，）；20（，）；∠∠54π；∠相切，理由见详解 【分析】（1）∠根据叙述，利用正方形的网格即可作出坐标轴；∠利用过三点的圆可得圆心为圆上任意两条弦的垂直平分线的交点，即可得到D ．（2）∠利用（1）中所作的坐标系，即可表示出点的坐标；∠在Rt OAD 中，利用勾股定理即可求得半径长；∠理由直角三角形全等可证得∠ADC =90°，则可求得AC 的长度，AC 的长就是圆锥的底面圆的周长，在利用圆的周长公式即可求得答案；∠利用勾股定理逆定理证明DCE 为直角三角形即可证得DC CE ⊥，从而即可得出结论．（1）∠如图，建立平面直角坐标系；∠利用过三点的圆可得圆心为圆上任意两条弦的垂直平分线的交点，即可得到D ，如图所示：（2）∠根据平面直角坐标系可得C （6，2）；D （2，0）；故答案为：C （6，2）；D （2，0）；∠在Rt AOD △中，90AOD ∠=︒,4AO =，2OD =，AD =故答案为：∠由∠得AD =在Rt DCF △中，90DFC ∠=︒，4DF =，2CF =，DC ∴在Rt AOD △和Rt DFC 中，AD DC OA DF=⎧⎨=⎩， ()Rt AOD Rt DFC HL ≅，DAO CDF ∴∠=∠，90DAO ADO ∠+∠=︒，90CDF ADO ∴∠+∠=︒，18090ADC ADO CDF ∴∠=︒-∠-∠=︒，AC ∴==，由2r π=，解得r =2254S r πππ∴===⎝⎭， ∴该圆锥的底面积为54π， 故答案为：54π． ∠直线EC 与D 相切，由图可知，在Rt CEF 中，90CFE ∠=︒，1EF =，2CF =，22222125CE EF CF ∴=+=+=，又由∠得DC =2220DC ==，2220525DC CE +=+=，22525DE ==，222DC CE DE ∴+=，∴DCE 为直角三角形，90DCE ∠=︒，DC CE ∴⊥，∴直线EC 与D 相切．【点睛】本题考查了不共线的三点确定圆心的方法、直线与圆相切的判定、根据平面直角坐标系写出点的坐标、勾股定理和圆锥的侧面展开图的弧长即为圆锥的底面圆的周长，垂径定理，圆锥的计算，正确求出弧长是难点．12．见解析【分析】根据角平分线的性质得PD PE =，再用HL 证明OPD OPE ≌．【详解】证明：∠AOC BOC ∠=∠，∠OC 为AOB ∠的角平分线，又∠点P 在OC 上，PD OA ⊥，PE OB ⊥，∠PD PE =，90PDO PEO ∠=∠=︒，又∠PO PO =（公共边），∠()HL OPD OPE ≌．【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定，利用合适的条件证明三角形全等是本题的关键． 13．(1)254 (2)323【分析】（1）连接PB ，在Rt ∠ABC 中，根据勾股定理得AC =6，由于AP ＝PB ＝t ，则PC ＝8-t ，在Rt ∠PCB 中，根据勾股定理得222PC BC PB +=，进行计算即可得；（2）由题意得，PC ＝t -8 ， PB ＝14-t ，过点P 作PE ∠AB ，由于AP 平分∠BAC ，且∠ACB ＝90°得PC ＝PE ，根据HL 得Rt ∠ACP ∠Rt ∠AEP ，即可得AC ＝AE ＝8， BE ＝2，在 Rt ∠PEB 中，根据勾股定理得222PE BE PB +=，进行计算即可得．（1）解：如图所示，连接PB ，∠在Rt ∠ABC 中，AB ＝10，BC ＝6，∠8AC =由于AP ＝PB ＝t ，则PC ＝8-t ，在Rt ∠PCB 中，根据勾股定理得：222PC BC PB +=222(8)6t t -+= 解得254t =， 即此时t 的值为254． （2）解：由题意得，PC ＝t -8 ， PB ＝14-t ，如图所示，过点P 作PE ∠AB ，由于AP 平分∠BAC ，且∠ACB ＝90°，∠ PC ＝PE ，在Rt ∠ACP 与Rt ∠AEP 中，PC PE AP AP =⎧⎨=⎩∠Rt ∠ACP ∠Rt ∠AEP （HL ），∠AC ＝AE ＝8， BE ＝2，在 Rt ∠PEB 中，根据勾股定理得，222PE BE PB +=，222(8)2(14)t t -+=- 解得：323t =， ∠当点P 在∠BAC 的平分线上时，t 的值为323． 【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握这些知识点．14．证明见解析【分析】根据角平分线的性质得到DE=DF，证明Rt∠BDE≅Rt∠CDF(HL)，根据全等三角形的性质得到结论．【详解】证明：∠AD是∠ABC的角平分线又∠DE∠AB于E，DF∠AC于F∠DE=DF，∠BED=∠CFD=90°又∠BD=CD∠Rt∠BED∠Rt∠CFD（HL）∠∠B=∠C∠AB=AC．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明．。
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1 B
A O E
P D B D C A （第3题） （第2题）
角的平分线的性质及其练习题
1、尺规作图画角平分线
（1）、以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N 。
（2）、分别以M 、N 为圆心，大于1/2MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部交于点C 。
（3）、画射线OC 。
射线OC 即为所求。
2、角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
图形表示：若CD 平分∠ADB,点P 是CD 上一点PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，
则PE=PF 。
3、角的平分线的性质推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
图形表示：若PE ⊥AD 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，PE=PF ，则PD 平分∠ADB
4、证明命题的步骤：
（1）明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
角平分线的性质（1）
一、选择题
1．用尺规作已知角的平分线的理论依据是（ ）
A ．SAS
B ．AAS
C ．SSS
D ．ASA
2．如图，OP 平分∠AOB ， PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，下列结论错误的是（ ）
A ．PD ＝PE
B ．OD ＝OE
C ．∠DPO ＝∠EPO
D ．PD ＝OD
二、填空题 3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若BC ＝5㎝，BD ＝3㎝，则点D 到AB 的距离为______㎝．
三、解答题
4．已知：如图，AM 是∠BAC 的平分线，O 是AM 上一点，过点O 分别作AB ，AC 的垂线，垂足为F ，D ，
2 E F C B A D （第3题） D E A F B
C （第2题） 且分别交AC 、AB 于点G ，E ．
求证：OE=OG ．
5．如图，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且BD=CD ．求证：BE=CF ．
6．如图，△ABC 中，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，AD =BD ． （1）求证：AC =BE ；（2）求∠B 的度数。
角平分线的性质 （2） 一、选择题
1．三角形中到三边距离相等的点是（ ）
A ．三条边的垂直平分线的交点
B ．三条高的交点
C ．三条中线的交点
D ．三条角平分线的交点
2．如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，有下面四个结论：①DA 平分∠EDF ；②AE=AF ；③AD 上的点到B ，C 两点的距离相等；④到AE ，AF 的距离相等的点到DE ，DF 的距离也相等．其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
3．如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 面积是28 cm 2，AB=20cm ，AC=8cm ，则DE 的长为_________ cm ． 三、解答题
4．已知：如图，BD=CD ，CF ⊥AB 于点F ，BE ⊥AC 于点E ．求证：AD 平分∠BAC ．
5．如图，AD ∥BC ，∠DAB 的平分线与∠CBA 的平分线交于点P ，过点P 的直线垂直于AD ，垂足为点D ，交BC 于点C ．
试问：（1）点P 是线段CD 的中点吗？为什么？ （2）线段AD 与线段BC 的和等于图中哪一条线段的长度？为什么？
M A C B
E O
F D D A E B
F A
C D （第6题）
A B
C D P （第5题） E F A
D B C 第4题
3。