角平分线的性质 知识点
八年级数学角平分线的性质知识点总结
角平分线的性质是八年级数学中的重要内容之一，它是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等角的线段。
下面是关于角平分线的性质的总结，包括定义、性质和应用：一、定义：角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等角的线段。
角平分线是角的重要构造之一二、性质：1.角平分线将角分成两个相等的角。
即如果一条线段是一个角的平分线，则它将这个角分成两个度数相等的角。
2.角平分线与角的两边相交于一个点。
即角平分线与角的两边交于角的顶点。
3.角平分线与角的两边垂直相交于角平分线的中点。
即角平分线与角的两边垂直相交于角平分线上的一个点，该点同时也是角平分线的中点。
4.角平分线上的点到角的两边的距离相等。
即角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。
5.两条平行线与角的顶点与顶边所在的线段构成的两个相似三角形，它们的角平分线平行。
即如果一条线段是一个角的平分线，另一条与之平行的线段也是这个角的平分线。
三、应用：1.判断角平分线。
当我们需要判断一个线段是否为一个角的平分线时，可以使用角平分线的定义和性质进行判断，即判断这个线段能否将角分成两个相等的角。
2.利用角平分线的性质解决问题。
当我们遇到需要将角分成两个相等的角的问题时，可以使用角平分线的性质进行解决。
例如，在解决相似三角形的问题中，可以利用角平分线的性质进行角的划分。
3.构造角平分线。
当我们需要构造角的平分线时，可以利用直尺和圆规进行构造。
常见的构造方法有尺规作图法和五线谱法等。
四、例题：1.已知角ABC，其中角平分线AD交角的两边于E、F两点，证明：AE=AF。
证明：根据角平分线的性质4，角平分线上的点到角的两边的距离相等，即DE=DF，又因为AD为角ABC的平分线，所以∠DAE=∠DAF。
再根据等腰三角形的性质，得知AE=AF。
2.已知直角三角形ABC中，角A=90°，角B的平分线BD与AC相交于点D，求证：∠ADB=45°。
证明：由直角三角形的性质，角B=90°-角A=90°-90°=0°，即角B为零角。
七年级角平分线知识点总结
七年级角平分线知识点总结在七年级的数学学习中，我们学习了很多新知识，其中包括角平分线的知识。
角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段。
在本文中，我将为大家总结七年级角平分线的知识点，让大家更好地掌握这一知识。
一、角平分线的定义角平分线指的是将一个角分成两个相等的角的线段。
通常情况下，我们将这个线段称为这个角的平分线。
二、角平分线的性质角平分线有很多性质，下面我们来一一介绍。
1、角平分线上的点角平分线上的点必须满足点到角两边的距离相等。
也就是说，如果一条线段在角内，并且到角两边的距离相等，那么这条线段就是这个角的平分线。
2、角平分线相交于一点一个角的两条平分线必定相交于一个点，我们称这个点为这个角的内心。
3、内角平分线定理内角平分线定理是指，如果一个点在角内，并且到角的两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上。
三、角平分线的应用角平分线在数学中有很多应用，下面我们来介绍一下角平分线的常见应用。
1、求角平分线的长度在图形中，如果已知角的大小和角平分线所在两边的长度，那么可以通过余弦定理或正弦定理来求角平分线的长度。
2、利用角平分线证明线段比例当一个角的内部有两个点与角的两边垂直相交时，可利用角平分线来证明线段比例。
四、角平分线的练习题为了更好地掌握角平分线的知识，在此为大家推荐两道练习题，供大家练习。
1、如图，∠A=97.5°,AD为∠A的平分线，AB=6cm，BC=10cm，则AD约等于____cm。
（结果保留一位小数）A、6.6B、5.8C、8.4D、7.2解：根据余弦定理，我们可以得出：AD≈7.2cm。
2、如图，求MN∶KL的值。
解：由角平分线定理可知：$\quad \frac{MK}{AK}=\frac{NL}{AL}\quad $又因为$AK=AL$，所以$MK=NL$又由题可知：$MK+NL=20$，所以$MK=NL=10$所以：$MN∶KL=MK-LM∶NL-LK=10-6∶10-5=4∶5$以上就是本文对七年级角平分线知识点的总结，希望能够对大家的学习有所帮助。
三角形中的角平分线和中线性质
三角形中的角平分线和中线性质一、角平分线性质1.定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。
（1）一个角有且只有一条角平分线。
（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。
二、中线性质1.定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。
（1）一个三角形有且只有三条中线。
（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。
（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。
三、角平分线与中线的交点性质1.定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。
（1）三角形的心是三角形内部的一个点。
（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。
（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。
四、角平分线和中线的应用1.判断三角形的形状：（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。
（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
2.求解三角形的问题：（1）利用角平分线求解三角形的角度。
（2）利用中线求解三角形的边长。
三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。
掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。
习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。
答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。
又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。
2.习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。
答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。
根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。
又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。
3.习题：在三角形APQ中，若角APQ的角平分线与中线交于点M，且AM=4，PM=6，求AB的长度。
八年级角平分线知识点总结
八年级角平分线知识点总结角平分线是几何知识中的一个重要概念，也是初中数学中常见的考点之一。
在八年级中学习了角平分线的相关知识后，许多同学还存在一定的困惑。
因此，本文将对八年级角平分线的知识点做一个总结，以帮助大家更好地掌握该知识。
一、角平分线的定义和性质1. 定义所谓“角平分线”，是指将一个角平分为两个角的线段。
在角上下方形成两个新的角，它们的大小相等。
2. 性质(1) 角平分线把原来的角分成两个大小相等的角。
(2) 角平分线的两侧所对的两个角相等。
(3) 在三角形中，若一条线段是一个角的平分线，则它所在的线段所对的两侧角的大小之比等于它所在的线段所对的两侧边的长度之比。
二、与角平分线有关的定理1. 外角定理所谓“外角”，是指一个三角形的一个内角所对的另一个角。
外角定理是指一个三角形的一个外角等于它的不相邻两个内角之和。
2. 内角定理一个多边形的内角和等于这个多边形的狄利克雷函数乘以180°。
三、角平分线的应用了解了角平分线的定义和性质以及与角平分线有关的定理，我们就可以在解题过程中灵活应用，其中最常见的就是角平分线定理的应用。
在三角形中，若已知一条角平分线及其所分割的两边长度，则可以利用角平分线定理求解三角形中其它角的大小。
例如，已知在三角形ABC中，角BAD的平分线交BC边于点E，且BE=7，EC=5，则可以利用角平分线定理求解角DAB和角DAC的大小。
根据角平分线定理，有：$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$因此，$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{7}{5}$又有：$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{\sin \angle BAD}{\sin \angle DAC}$因此，$\dfrac{\sin \angle DAB}{\sin \angle DAC}=\dfrac{7}{5}$由于$\angle DAB+\angle DAC=180^\circ$，因此可以列出以下方程组：$\begin{cases} \dfrac{\sin \angle DAB}{\sin \angleDAC}=\dfrac{7}{5} \\ \sin \angle DAB+\sin \angle DAC=1\end{cases}$解得$\sin \angle DAB=\dfrac{7}{12}$，$\sin \angleDAC=\dfrac{5}{12}$，$\angle DAB=\sin^{-1} \dfrac{7}{12}$，$\angle DAC=\sin^{-1} \dfrac{5}{12}$，即$\angle DAB \approx 36.87^\circ$，$\angle DAC \approx 26.57^\circ$。
12.3 角平分线的性质(重难点突破)解析版
12.3 角平分线的性质（重难点）【知识点一、角的平分线及其性质】1．尺规作角平分线尺规作角平分线方法（重要）：已知:∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC．射线OC即为所求．2．角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【知识点二、角平分线的判定】1．角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．定理的几何表述：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE．∴点P 在∠AOB的平分线上．2．三角形的内角平分线结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等．已知如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，则点P到三边AB，BC，CA的距离相等．A．4B．【答案】B【分析】过点D作DH⊥AB，垂足为H，由题意可得DC=3，再由角平分线的性质可得CD=DH=3，即可得到答案．【详解】解：如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H，∵AC=9，DC=1AC，3∴DC=3，∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DH⊥AB，∴CD=DH=3，∴点D到AB的距离等于3，故选：B．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．【变式训练1-1】如图，点E为∠BAC平分线AP上一点，AB=5，△ABE的面积为15，则点E到直线AC的距离为（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【分析】设点E到直线AB的距离为ℎ，根据三角形面积公式即可求解．【详解】解：如图，过点E作EM⊥AC，EN⊥AB，垂足分别为M，N，∵E为∠BAC平分线AP上一点，∴EM=EN，∵AB=5，△ABE的面积为15，AB×EN=15，∴12=6，∴EN=305∴EM=6，即点E到直线AC的距离为6．故选：B．【点睛】本题考查角平分线的性质定理及点到直线的距离之概念．其关键要理解角平分线上一点到角两边距离相等．【变式训练1-2】如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于点D，PD=2，则点P到OB的距离是（）A．1B．2C．4D．都不对【答案】B【分析】过点P作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质即可求解．【详解】解：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE=PD=2，即点P到边OB的距离为2．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．【变式训练1-3】如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD是△ABC的角平分线．若AC=9,CD=6，则点D到BC的距离是（）A．2B．4C．3D．6【答案】C【分析】过点D作DE⊥BC于点E，根据角平分线的性质得到DE=AD=3．【详解】解：过点D作DE⊥BC于点E，∵AC=9,CD=6，∴AD=AC―CD=9―6=3，∵BD是△ABC的角平分线，∠A=90°，DE⊥BC，∴DE=AD=3，∴点D到BC的距离是3，故选：C．【点睛】此题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确掌握性质是解题的关键．考点2：利用角平分线性质求周长例2．如图所示，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E．AB=10cm，则△DEB的周长是（）A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm【答案】B【分析】先根据角平分线的性质得出DE=DC，再利用HL证明Rt△ADE≌Rt△ADC，推出AC=AE，进而通过等量代换可得BD+DE+EB=AB=10cm．【详解】解：∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC，又∵AD=AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADC(HL)，∴AC=AE，∵AC=BC，∴AE=BC，∴BD+DE+EB=BD+DC+EB=BC+EB=AE+EB=AB=10cm，故选B．【点睛】本题主要考查角平分线的性质、直角三角形全等的判定与性质，解题的关键是通过证明Rt△ADE≌Rt△ADC推导出AC=AE．【变式训练2-1】．如图，△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于E，测得BC=9，BE=3，则△BDE的周长是（）A．15B．12C．9D．6【答案】B【分析】由△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质，即可得DE=CD，继而可求得△BDE的周长是：BE+BC，则可求得答案．【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°；∴AC⊥CD；∵AD平分∠BAC，DE⊥AB；∴DE=CD，∵BC=9，BE=3，∴△BDE的周长是：BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=3+9=12．故选：B．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质．注意角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【变式训练2-2】如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，AB=10cm，若BD平分∠ABC交AC 于点D，过D作DE⊥AB于点E，则△ADE的周长为（ ）cm．A．8B．10C．12D．14【答案】C【分析】根据角平分线的性质定理可得DE=CD，从而可证△BDE≌△BDC(HL)，即得出BE=BC=6cm，最后可求△ADE的周长为AC+AE=12cm．【详解】∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD．又∵BD=BD，∴△BDE≌△BDC(HL)，∴BE=BC=6cm，∴AE=AB―BE=10―6=4cm，∴C△ADE=AD+DE+AE=AD+CD+AE=AC+AE=8+4=12cm．故选C．【点睛】本题考查角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质．证明C△ADE=AC+AE是解题关键．【变式训练2-3】如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，BE=2，BC=6，则△BDE的周长为（ ）A．6B．8C．10D．14【答案】B【分析】根据角平分线的性质定理可得DE=DC，进而可以求出△BDE的周长；【详解】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，∴DE=DC，∴C△BDE=BE+DE+BD=BE+BC=2+6=8，故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理；熟练运用该定理实现线段的转化是解题的关键．考点3：利用角平分线性质求面积例3．在△ABC中，BD是△ABC的高线，CE平分∠ACB，交BD于点E，BC=6，DE=3，则△BCE的面积等于（）A．3B．5C．9D．12【答案】C【分析】过点E作EF⊥BC于点F，根据角平分线的性质可得EF=DE=3，再根据三角形的面积公式求解即可．【详解】解：过点E作EF⊥BC于点F，∵CE 平分∠ACB ，ED ⊥AC ，EF ⊥BC ，∴EF =DE =3，∴S △BCE =12BC ⋅EF =12×6×3=9，故选：C ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到两边距离相等．【变式训练3-1】如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，已知，BC =8，DE =2，则△BCE 的面积等于（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C 【分析】作EF ⊥BC 于F ，根据角平分线的性质得到EF =DE =2，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：如图，作EF ⊥BC 于F ，∵BE 平分∠ABC ，ED ⊥AB ，EF ⊥BC ，∴EF =DE =2，∴△BCE 的面积=12×BC ×EF =12×8×2=8，故选C ．【点睛】本题考查角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．【变式训练3-2】如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC 于E ，M ，N 分别是边AB ，AC 上的点，DM =DN ，若△ADM 和△ADN 的面积分别为30和16，则△ADE 的面积是（ ）A ．22B ．23C ．24D ．25【答案】B 【分析】如图所示（见详解），过点D 作DF ⊥AB 于F ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC 于E ，可证Rt △DFM ≌Rt △DEN(HL)，同理可证Rt △ADF ≌Rt △ADE(AAS)，设S △DFM =x ，△ADM 和△ADN 的面积分别为30和16，列方程30―x =16+x 即可求解．【详解】解：如图所示，过点D 作DF ⊥AB 于F ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC 于E ，∴DE =DF ，在Rt △DFM,Rt △DEN 中，DM =DN DF =DE ，∴Rt △DFM ≌Rt △DEN(HL)，∴S △DFM =S △DEN ，在Rt △ADF,Rt △ADE 中，∠FAD =∠EAD ∠AFD =∠AED =90°AD =AD(公共边)，∴Rt △ADF ≌Rt △ADE(AAS)，∴S △AFD =S △AED =S △ADN +S △DEN =S △ADN +S△AFM ，设S △DFM =x ，△ADM 和△ADN 的面积分别为30和16，∴30―x =16+x ，解方程得，x =7，∴S △AFM =S △AEN =7，∴S△ADE=S△ADN+S△AEN=16+7=23，故选：B．【点睛】本题主要考查角平分线，三角形全等和性质的综合，理解并掌握角平分线上点到角两边的距离相等，全等三角形的判定和性质是解题的关键．【变式训练3-3】如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，BC=10，BD平分∠ABC，则△BCD的面积是（）A．10B．12C．16D．20【答案】D【分析】过D点作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”得到DE=DA=4，根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：过D点作DE⊥BC于E，如图，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，∠A=90°，∴DE=DA=4，×10×4=20．∴△BCD的面积=12故选：D．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质以及求三角形面积角，理解并掌握角平分线的性质是解题关键．考点4：判定结论是否正确例4．如图，ΔAOB的外角∠CAB,∠DBA的平分线AP,BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE=PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB=90°―∠O，其中正确的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【分析】过点P 作PG ⊥AB ，由角平分线的性质定理，得到PE =PG =PF ，可判断（1）（2）正确；由∠APB =12∠EPF ，∠EPF +∠O =180°，得到∠APB =90°―12∠O ，可判断（3）错误；即可得到答案．【详解】解：过点P 作PG ⊥AB ，如图：∵AP 平分∠CAB ，BP 平分∠DBA ，PE ⊥OC ，PF ⊥OD ，PG ⊥AB ，∴PE =PG =PF ；故（1）正确；∴点P 在∠COD 的平分线上；故（2）正确；∵∠APB =∠APG +∠BPG =12∠EPF ，又∠EPF +∠O =180°，∴∠APB =12×(180°―∠O)=90°―12∠O ；故（3）错误；∴正确的选项有2个；故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线的判定定理和性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质进行解题．【变式训练4-1】如图，∠ABC =∠ACB ，AD 、BD 、CD 分别平分△ABC 的∠EAC 、∠ABC 、∠ACF ，以下结论：①AD ∥BC ；②∠ACB =2∠ADB ；③∠ADC =90°―∠ABD ；④BD 分∠ADC ；⑤3∠BDC =∠BAC 。
角的平分线的性质知识点讲解
过点 Ｄ作 Ｄ ＬＢ Ｆ Ｃ于点
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Ｂ Ｄ平 分 ＡＡ Ｃ． ＿Ｂ
ＤＥ ＝ Ｄ
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Ｃ
在 Ｒ △Ｅ Ｄ 和 Ｒ △Ｆ Ｄ 中 ，Ｄ ｔ Ａ ｔ Ｃ Ｅ＝Ｄ Ｆ’
ｌ Ｄ ＝ＤＣ． Ａ
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图 ２
Ｒ △ Ｄ ｔ Ｒ Ａ Ｆ Ｄ（ ） ｔ Ｃ ＨＬ ，
Ｃ＝ Ｄ．
‘
．
．
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‘
．
Ｄ＋
Ｄ ＝１ Ｏ ８ 。．
‘ ． ．
Ｃ ＋ Ａ ＝ ｌ ０。 ８ ．
点 拔 从条件 Ｂ Ｄ是 ＬＡ Ｃ的平分 线人手 ， Ｂ 联想角平分 线的性质 ， 过
点 Ｄ作 ＬＡ Ｃ两 边 的垂 线 ， 造 出相 等 线 段 和 相 应 的 直 角 三 角 形 ，通过 全 Ｂ 构
这 个 角 的 平 分线 上 ． 以 １ ２ 所 ： ．
Ｍｅ ｌ ｆ ｉ ｉ ｇｔ ｎ ｔ ｋ ｏ ｌ ｎ ｍｅ， ｈ ｌ ｍｅｑ ｉｔ ｉ ｓ ｈ ｍ． ａ ｋｌ ｉ ｗ ｉ ｔ ｕｅｌ ｋ ｌ ｅ ｅｉ ｙ ｌｔ
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七年级角平分线知识点
七年级角平分线知识点七年级的数学学习中，角平分线是比较重要的知识点之一，它是几何中的一个比较基础的概念。
本文将针对角平分线的定义、性质、求解方法以及应用场景等方面进行详细介绍，希望对各位学生的数学学习有所帮助。
一、角平分线的定义角平分线是指将一个角平分成两个相等的角的直线，也称为角的平分线。
如下图所示，$BD$就是角$ABC$的平分线。
（请参见附图一）二、角平分线的性质1. 角平分线上的点到角两边的距离相等。
如下图所示，$BP$是角$ABC$的平分线，$BD$和$BC$是该角的两边，那么有$BD=PC$，$BC=PD$。
（请参见附图二）2. 在一个三角形中，角平分线将对边分成相似的线段。
如下图所示，$AD$为角$BAC$的平分线，那么有$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}$。
（请参见附图三）3. 在一个四边形中，对角线相交于一点，当且仅当相邻角的平分线相交于该点。
如下图所示，$AC$和$BD$是四边形$ABCD$的对角线，$BF$和$CE$分别是角$B$和角$C$的平分线，那么$BF$和$CE$交于点$P$，$AC$和$BD$也交于该点。
（请参见附图四）三、角平分线的求解方法1. 利用角平分线的定义和性质进行推导。
如下图所示，$BD$是角$ABC$的平分线，那么有$\angleABD=\angle DBC$，$\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC$，又因为$\angle ABD=\angle DBC$，所以$\angle ABC=2\angle ABD$。
因此，当角的度数已知时，可以通过计算得到角平分线所对应的度数。
2. 利用相似三角形的性质。
如下图所示，$AD$为角$BAC$的平分线，那么有$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}$，因此可得出$BD$所对应的线段长度。
3. 利用对角线的交点进行计算。
如下图所示，$AC$和$BD$是四边形$ABCD$的对角线，$BF$和$CE$分别是角$B$和角$C$的平分线，那么$BF$和$CE$交于点$P$，可以通过计算点$P$的坐标来求解角平分线。
八年级数学专题07 角平分线的性质 (知识点串讲)(解析版)
专题07 角平分线的性质重点突破知识点一角平分线概念：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；数学语言：∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OM PB⊥ON∴PA=PB判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上．数学语言：∵PA⊥OM PB⊥ON PA=PB∴∠MOP=∠NOP知识点二角平分线常考四种辅助线：1.图中有角平分线，可向两边作垂线。
2.角平分线加垂线，三线合一试试看。
3.角平分线平行线，等腰三角形来添。
4.也可将图对折看，对称以后关系出现。
考查题型考查题型一与角平分线有关的计算典例1（2020·廊坊市期末）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等于( ).A．35°B．70°C．110°D．145°【答案】C【详解】∵OC平分∠DOB，∠COB=35°，∴∠BOD=2∠COB=2×35°=70°,∴∠AOD=180°-70°=110°.故选C.变式1-1．（2019·通辽市期末）已知：如图，直线BO⊥AO于点O，OB平分∠COD，∠BOD＝22°．则∠AOC的度数是( )A．22°B．46°C．68°D．78°【答案】C【提示】由垂直的定义可知∠AOB=90°，由角平分线的定义可知∠BOC=∠BOD=22°，从而求得∠AOC的度数.【详解】解：∵BO⊥AO，∴∠AOB=90°，∵OB平分∠COD，∴∠BOC=∠BOD=22°，∴∠AOC=90°-22°=68°.故选C.【名师点拨】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义.变式1-2．（2018·路北区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOF=90°，OF平分∠AOE，若∠BOD=32°，则∠EOF的度数为（）A．32°B．48°C．58°D．64°【答案】C【解析】∵∠DOF=90°，∠BOD=32°，∴∠AOF=90°-32°=58°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠EOF=58°．故选C．变式1-3．（2018·石家庄市期末）如图，O B是∠A O C的平分线，O D是∠C O E的平分线．如果∠A O B＝50°，∠C O E ＝60°，则下列结论错误的是()A．∠A O E＝110°B．∠B O D＝80°C．∠B O C＝50°D．∠D O E＝30°【答案】A【提示】根据角平分线的性质，角的和差倍分关系计算作答．【详解】解：∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOB=50°，∠COE=60°，∴A、∠AOE=2∠AOB+∠COE=160°，故错误；B、∠BOD=∠BOC+∠COD=∠AOB+12∠COE=80°，故正确；C、∠BOC=∠AOB=50°，故正确；D、∠DOE=12∠COE=30°，故正确．故选A．【名师点拨】本题结合角平分线的性质考查了角的和差倍分关系计算．变式1-4．（2018·郑州市期末）已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD 的度数是（）A．20°或50°B．20°或60°C．30°或50°D．30°或60°【答案】C【解析】试题解析：分为两种情况：如图1，当∠AOB在∠AOC内部时，∵∠AOB=20°，∠AOC=4∠AOB，∴∠AOC=80°，∵OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，∴∠AOD=∠BOD=12∠AOB=10°，∠AOM=∠COM=12∠AOC=40°，∴∠DOM=∠AOM-∠AOD=40°-10°=30°；如图2，当∠AOB在∠AOC外部时，∠DOM═∠AOM+∠AOD=40°+10°=50°；故选C．考查题型二角平分线的性质定理典例2（2019·云龙县期中）如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PD=6,则点P到边OB的距离为( )A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A 【详解】试题提示：如图，过点P 作PE ⊥OB 于点E ，∵OC 是∠AOB 的平分线，PD ⊥OA 于D ，∴PE=PD ，∵PD=6，∴PE=6，即点P 到OB 的距离是6．故选A ．变式2-1．（2019·邵阳市期中）如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，AB=10，S △ABD =15，则CD 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A 【详解】作DE ⊥AB 于E ， ∵AB=10，S △ABD =15， ∴DE =3，∵AD 平分∠BAC ,∠C =90°，DE ⊥AB ， ∴DE =CD =3， 故选A.变式2-2．（2020·景泰县期中）如图所示，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A 、B ．下列结论中不一定成立的是（ ）．A ．PA PB = B ．PO 平分APB ∠C ．OA OB =D ．AB 垂直平分OP【答案】D 【提示】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得出PA=PB ，再利用“HL ”证明△AOP 和△BOP 全等，可得出APO BPO ∠=∠，OA=OB ，即可得出答案．【详解】解：∵OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥ ∴PA PB =，选项A 正确； 在△AOP 和△BOP 中，PO POPA PB =⎧⎨=⎩， ∴AOP BOP ≅∴APO BPO ∠=∠，OA=OB ，选项B ，C 正确；由等腰三角形三线合一的性质，OP 垂直平分AB ，AB 不一定垂直平分OP ，选项D 错误． 故选：D ． 【名师点拨】本题考查的知识点是角平分线的性质以及垂直平分线的性质，熟记性质定理是解此题的关键．变式2-3．（2019·肥城市期末）如图，AD 是ABC 的角平分线，DF AB ⊥，垂足为F ，DE DG =，ADG 和AED 的面积分别为60和35，则EDF 的面积为( )A ．25B ．5.5C ．7.5D ．12.5 【答案】D 【提示】过点D 作DH ⊥AC 于H ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH ，再利用“HL”证明Rt △ADF 和Rt △ADH 全等，Rt △DEF 和Rt △DGH 全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可. 【详解】如图，过点D 作DH AC ⊥于H ，AD 是ABC 的角平分线，DF AB ⊥， DF DH ∴=，在Rt ADF 和Rt ADH 中，AD ADDF DH =⎧⎨=⎩， Rt ADF ∴≌()Rt ADH HL ，RtADFRtADH S S ∴=，在Rt DEF 和Rt DGH 中，DE DGDF DH =⎧⎨=⎩Rt DEF ∴≌()Rt DGH HL ，RtDEFRtDGHS S ∴=，ADG 和AED 的面积分别为60和35，Rt DEFRtDGH 35S 60S ∴+=-，RtDEF S ∴=12.5，故选D ．【名师点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记掌握相关性质、正确添加辅助线构造出全等三角形是解题的关键．变式2-4．（2019·磴口县期中）如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，且AB=6cm ，则△DEB 的周长为（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【答案】B 【解析】 ∵DE ⊥AB ， ∴∠C=∠AED=90°， ∵AD 平分∠CAB ， ∴∠CAD=∠EAD ，在△ACD 和△AED 中，C AED CAD EAD AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACD ≌△AED(AAS)， ∴AC=AE ，CD=DE ，∴BD+DE=BD+CD=BC=AC=AE ， BD+DE+BE=AE+BE=AB=6， 所以，△DEB 的周长为6cm. 故选B.考查题型三 角平分线的判定定理典例3．（2019·漳州市期中）如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若PA=2，则PQ 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】提示：根据题意点Q是射线OM上的一个动点，要求PQ的最小值，需要找出满足题意的点Q，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以我们过点P作PQ垂直OM，此时的PQ最短，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=PQ，利用已知的PA的值即可求出PQ的最小值．解答：解：过点P作PQ⊥OM，垂足为Q，则PQ为最短距离，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，∴PA=PQ=2，故选B．变式3-1．（2018·广安市期末）如图，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，则下列结论中正确的是( )A．DE＝DF B．BD＝FD C．∠1＝∠2 D．AB＝AC【答案】C【解析】提示：如图，由已知条件判断AD平分∠BAC即可解决问题．详解：如图，∵DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，且DE=DC，∴点D在∠BAC的角平分线上，∴∠1=∠2．故选C．名师点拨：该题主要考查了角平分线的判定及其性质的应用问题；牢固掌握角平分线的性质是解题的关键．变式3-2．（2018·深圳市期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4cm，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB 于点E，则以下结论：①AD平分∠CDE；②DE平分∠BDA；③AE-BE=BD；④△BDE周长是4cm．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【提示】根据角平分线性质求出CD=DE，根据等腰三角形的判定得出BE=DE，求出CD=DE=BE，根据勾股定理和CD=DE 求出AC=AE，求出AC=AE=BC，再逐个判断即可．【详解】解：∵DE⊥AB，∴∠DEA=∠DEB=90°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD，∵∠C=90°，∠CDA+∠C+∠CAD=180°，∠DEA+∠BAD+∠EDA=180°，∴∠CDA=∠EDA，∴①正确；∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∴∠CAB=∠B=45°，∵∠C=∠DEA=∠DEB=90°，∴∠CDE=360°-90°-45°-90°=135°，∠BDE=180°-90°-45°=45°，∵∠CDA=∠EDA，∴∠CDA=∠EDA=11352︒⨯=67.5°≠45°，∴∠EDA≠∠BDE，∴DE不平分∠BDA，∴②错误；∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，由勾股定理得：AC=AE，∵AC=BC，∴AE=AC=BC，∵∠B=∠BDE=45°，∴BE=DE=CD，∴AE-BE=BC-CD=BD，∴③正确；△BDE周长是BE+DE+BD=BE+CD+BD=BC+BE=AE+BE=AB=4cm，∴④正确；即正确的个数是3，故选：B．【名师点拨】本题考查了等腰三角形的判定、勾股定理、角平分线性质等知识点，能求出AC=AE=BC和CD=DE=BE 是解此题的关键．变式3-3．（2020·嵩县期末）如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角平分线上的点到这个角两边的距离相等B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确【答案】B【提示】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB.【详解】如图，过点P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵两把完全相同的长方形直尺的宽度相等，∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选B.【名师点拨】本题考查角平分线的判定定理，角的内部，到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上；熟练掌握定理是解题关键.考查题型四角平分线性质的实际应用典例4．（2020·济南市期末）如图，已知△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，且CD：BD=3：4.若BC=21，则点D到AB边的距离为( )A．7 B．9 C．11 D．14【答案】B【提示】先确定出CD=9，再利用角平分线上的点到两边的距离相等，即可得出结论．【详解】解：∵CD：BD=3：4．设CD=3x，则BD=4x，∴BC=CD+BD=7x，∵BC=21，∴7x=21，∴CD=9，过点D作DE⊥AB于E，∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，∴DE=CD=9，∴点D到AB边的距离是9，故选B．【名师点拨】本题考查了角平分线的性质，线段的和差，解本题的关键是掌握角平分线的性质定理．变式4-1．（2018·成都市期末）如图，在△ABC 中，∠B=90º，AC=10，AD 为此三角形的一条角平分线，若BD=3，则三角形ADC 的面积为（）A．3 B．10 C．12 D．15【答案】D【提示】过D作DE⊥AC于E，根据角平分线性质得出BD=DE=3，再利用三角形的面积公式计算即可．【详解】解：过D作DE⊥AC于E．∵AD是∠BAC的角平分线，∠B=90°（DB⊥AB），DE⊥AC，∴BD=DE，∵BD=3，∴DE=3，∴S△ADC=12•AC•DE=12×10×3=15【名师点拨】本题考查了角平分线的性质，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．变式4-2．（2018·潍坊市期中）如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A，B，D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是（）A．3公里B．4公里C．5公里D．6公里【答案】B【详解】解：如图，连接AC，作CF⊥l1，CE⊥l2；∵AB=BC=CD=DA=5公里，∴四边形ABCD是菱形，∴∠CAE=∠CAF，∴CE=CF=4公里．变式4-3．（2019·东城区期末）已知△ABC,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB,AC 上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（）.A ．∠A 的平分线上B ．AC 边的高上C ．BC 边的垂直平分线上D ．AB 边的中线上【答案】A 【提示】根据角平分线的判定推出M 在∠BAC 的角平分线上，即可得到答案． 【详解】 如图，∵ME ⊥AB ，MF ⊥AC ，ME=MF ， ∴M 在∠BAC 的角平分线上， 故选：A ． 【名师点拨】本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键． 变式4-4．（2019·河西区期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围城的一块三角形平地ABC 上修建一个度假村。
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角平分线的性质
一、本节学习指导
角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关题型。
其实不仅仅是角平分线，还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形题目有效的途径。
本节有配套免费学习视频。
二、知识要点
1、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。
如下图：OC平分∠AOB
∵OC平分∠AOB
∴∠AOC=∠BOC
2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
【重点】
如第一个图：
∵OC平分∠AOB（或∠1=∠2），PE⊥OA,PD⊥OB
∴PD=PE,此时我们知道△OPE≌△OPD（直角三角形斜边是OP即公共边，直角边斜边）
3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
如第一个图：
∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE
∴OC平分∠AOB（或∠1=∠2）
4、线段的中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的中点。
如下图：
∵C是AB的中点
∴AC=BC
5、垂直的定义：两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，这两条直线互相垂直。
如图：【重点】
∵AB⊥CD
∴∠AOC=∠AOD=∠BOC =∠BOD=90°
或∵∠AOC=90°
∴AB⊥CD
注意：要判断两条直线垂直，只要知道这两条相交直线所形成的四个角中的
一个角是直角就可以了。
反过来，两条直线互相垂直，它们的四个交角都是直角。
6、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
∵△ABC≌△A'B'C'
∴AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C'; ∠A=∠A', ∠B=∠B', ∠C=∠C'
三、经验之谈：
本节的重点是第2点，角平分线的性质，这条性质在以后的几何题型中用的非常多，本章的三角形全等也不例外，如果我们碰到题目中出现角平分线，我们要会利用它的性质。
告诉大家一个秘密：在几何题型中，99%的题目给出的条件都是要用到的，除非此题属于难题范围，故意给些误导性条件。