数学解题学引论7
波利亚的解题理论_2022年学习资料
解题过程：-·第1弄清问题-·条件（已知）：-■1c-10:-2CosA/cosB-b/a=4/3-·③点 为△ABC内切圆上的动点、-口问题（未知）：-·求点P到项点A、B、C的距离的平方和的-最小值和最大值。6
第2拟订计划-回忆原来有没有见过同类问题（没有），但见-过相关的问题：-o-1已知三角形的某些边角关系，判 三角形-的形状、解三角形等（知三求一，已知的三个-边角元素中至少有一个是边，题目基本符-合-·②如果三角形 以确定，那么此题就是求这-个三角形的某个特征曲线上的动点到三个顶-点的距离的平方和的最值问题。-17
如何解题-1.积累认识的资源-2.掌握转化的方法-3。及时调控的能力-4.良好信念系统的支持
波利亚的怎样解题表-解题过程分为以下四个阶段：-1.弄清问题-2.拟订计划-3.实现计划-4.回顾
波利亚的怎样解题表-1弄清问题-1未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？-满足条件是否可能？要确定未知 ，条件是否充分？或-者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？-2画张图，并引入适当的符号.-3把条件的 部分分开，并把它们写下来。
波利亚《怎样解题表》简介-波利亚的数学教育思想概述-波利亚George Polya数学教育思想的核心问题数 学教育的目的是什么？-1波利亚主张数学教学的目的应当是提高学生的一般素-养：首先和主要的目标应当是教会青年 考、-2教什么样的思考？数学是什么？数学有什么特点？对数-学及其意义的认识的教学观起着决定性的作用。
我国数学解题研究的代表人物和代表作-罗增儒-戴再平-单蹲-朱华伟-·中学数学解题的-理论与实践M.-数学习 理论-南宁：广西教育-[M上海：上-出版社，2008-解题研究M.-海教育出版社，-年9：前言-南京：南京 -•数学解题策略-范大学出版社，-1991.3:-·数学解题学引论-2002.6-1996.10.-[M西 .陕西-•北京：科学出-师范大学出版社，-版社，2009.8.-1997.6-4
2024年浙教版七年级上册数学期末培优复习第17招分类讨论思想在解题中的应用
＋3.
④当 a ≥3时，原式＝(a－1)＋(a＋1)＋(a－3)＝3 a －3.
1
2
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分类训练
分类讨论思想在方程中的应用
2. [2024·金华义乌市月考]用 表示大于m的最小整
数，例如 ＝2， . ＝4， − ＝－2.用
A 表示的数为－1＋2 y ，点 B 表示的数为3＋ y ，
当点 A 在点 B 左边，两点相距3个单位长度时，－1＋
2 y ＋3＝3＋ y ，解得 y ＝1，
此时点 P 所对应的数为－6；
当点 A 在点 B 右边，两点相距3个单位长度时，3＋ y ＋
3＝－1＋2 y ，解得 y ＝7，
此时点 P 所对应的数为－42.
(3)甲、乙两户一个月共用水40 m3，已知甲户缴纳的水费
超过了24元，设甲户这个月用水 x m3，试求甲、乙两
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户这个月共缴纳的水费(用含 x 的式子表示).
【解】存在.
设点 P 所对Biblioteka 的数为 x .因为点 P 到点 A ， B 的距离之和为8，所以点 P 的位置
有2种情况：
如答图①，当点 P 在 A 左边时，－1－ x ＋3－ x ＝8，
解得 x ＝－3；
如答图②，当点 P 在 B 点右边时，
x －3＋ x －(－1)＝8，解得 x ＝5.
所以当 P 所对应的数为－3或5时，点 P 到点 A ， B 的
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典例剖析
解：因为｜ m ｜＝4，｜ n ｜＝3，所以 m ＝±4， n ＝
±3.又因为｜ m － n ｜＝ n － m ，所以 n － m ≥0，即
学解题的历程
刚才的发言——夸张宣传研讨平台首创解题高级研讨专家引领倾情打造解题专家第八期数学解题高级研讨班解题能力——中学数学教师的核心竞争力解题专家——价值发展平台的专业制高点老师们，热心数学解题的同志们：各种研讨会大家司空见惯，但数学解题研讨班却是首创，感谢《中学数学教学参考》编辑部继七期高级研讨班之后又为我们安排了这次难得的聚会．在这个高温炎热的夏日里，有这么多的热心人（11省市300多人）不惧酷暑，相聚在美丽的海滨城市连云港实在是一种缘分，但“如其说是我的幸运，不如说是‘数学解题’的幸运”，“不如说是中国数学教育工作者对数学解题的理论建设情有独钟、充满着渴望与追求．”（《数学解题学引论》第二版印刷说明）时代在发展，数学教学也在发展，除了爱心和良心不变之外，教师的角色也在变化：从经验型教师到技术型教师、再到研究型教师，亦已产生了很多很多的名师，但没有产生多少教育家．为什么有这么多的名师却只有这么少的教育家呢？值得研究．（教师教学的三个境界六个层面）我没有结论，但我认为中学教师成长为教育家是天经地义的．教师再也不能迷信蜡烛“照亮别人，毁灭自己”了（“蜡烛观”虽然曾经给教师们带来过颇为悲壮的安慰，但从未带来过振奋与激励），中学教师应该改变“蜡烛”为“航天火箭”，它熊熊燃烧把一个又一个卫星（学生）送进轨道，而自己的飞行水平也一次比一次更好、一次比一次更强、一次比一次更高．我们的研讨班是为教师成长为“航天火箭”服务的，下面，我想简要介绍一下这次会议的研讨目的、研讨内容、研讨方式和研讨安排．一、研讨目的体现在“研讨平台首创解题高级研讨、专家引领倾情打造解题专家”两句口号中．1．提供研讨平台．我们是围绕中学数学教师的解题和解题教学中进行系列和互动式研讨，并且，这个平台有广阔的时空，不仅仅是这五六天、也不仅仅是口头交流，还有《中学数学教学参考》杂志，这是一个强大的、具有全国影响力的讲台，等待大家登台演讲．2．打造解题专家．要成为解题专家，就要提高“核心竞争力”，占领“专业制高点”，那什么是中学教师的“核心竞争力”呢？什么是中学教师的“专业制高点”呢？我们认为，解题能力是中学数学教师的一个核心竞争力，解题专家是教师发展平台的一个专业制高点．3．建设解题理论．数学解题没有系统的理论不能继续下去了，应该在我们这一代结束．我高兴看到，历届学员中，有江苏省的朱占奎老师写出了《数学解题的“分级管理战略”初探》，对数学解题进行了理论思考；江苏的卢定波老师写出了《二次函数的解题汇报》，把解题理论应用于教学实践的勇敢探索；河北的段玉波老师写了好几篇文章，涉及解题理论．4．增强写作能力．七期高级研讨班下来有了一些成果（但还不显著）：上面已经说到朱占奎老师、卢定波老师、段玉波老师，还有：河南的王安寓老师（第一期）在会议期间写出《失败的技巧——浅析一道排列组合题的错解原因》；深圳的刘会金老师（第二期）也在会议期间写出了“教育叙事”；深圳的刘焕玉老师谈了2010年广东高考21题的新看法，泰兴市黄桥初级中学黄玉华写了《在数学解题中试行波利亚“怎样解题表”的做法和体会》；广东省佛山市南海区南海执信中学柳江林谈了《2011年高考全国Ⅰ卷（理科数学）的一道解析几何题的三十余种解法》；四川丰都二中蒋良平也写了好几篇文章（2011，8，10发来《一题解法歧异的解析心路》）；江苏省滨海县明达中学单正才老师（第六期）《例谈“错解分析”文章的两大看点》已发表在中学数学教学参考（上）2011年第11期；江苏省海安县李堡镇初级中学刘东升（第六期）在教学中践行“解题分析”，写成文章：“解题分析”的意义不止于“学会解题”；浙江省天台平桥中学张启蒙老师（第七期），写成文章“解题示范——高中数学课堂教学的核心示范”．……但总体看成果还不够显著、还有待显著．5．提高教学效能．当前的数学教学效能不高，我的想法是通过认识解题规律来增强解题教学的效能．●江苏省大丰市第七中学卢定波（2009，2，11）：听您的讲座,这是我一生的荣幸.在几天的研讨班学习中,让我大开眼界.感受颇多.我的心情没有平静过,我为罗增儒教授的成长经历而震惊,为您的学习方法而叫好,在来之前,我已经在多家报刊杂志上看到过罗教授所写的文章听过别人对他的评价,使得他成为我崇拜的偶像,在听了罗教授的讲座后,更加深了对我的影响.●杭州江干区初中数学解题教学90学时集中培训日记（采荷中学郑华，2012，7，19）：听了几天的课，回想起罗教师的风格是什么？在我大脑里出现的首先是风趣，罗教授的风趣并不是众人理解的幽默．听他的课很有趣，一个又一个数学问题抛出、分析、解决，本来是很枯燥的报告让我们数学老师都听的津津有味便是证明．但是他在课堂上并不讲笑话来惹大家发笑，他的整个报告会都是在讲数学，但大家的笑声却时不时出现．他仅仅是利用数学题目中出现的问题，加以分析，加以联系，让我们区的数学老师听的兴致勃勃，动不动会心一笑，一天的培训时间感觉过的好快．二、研讨内容1．以《中学数学解题的理论与实践》为基本素材，研讨两个基本问题：问题1：怎样解题；问题2：怎样学会解题．主要参考文献【1】罗增儒．中学数学解题的理论与实践．南宁：广西教育出版社，2008，9【2】罗增儒．数学解题学引论（第二版）．西安：陕西师范大学出版社，2008，92．希望大家根据自己的解题实践，思考、畅谈“什么是解题”？希望大家根据自己的教学实践，思考、畅谈“怎样学会解题”？“怎样进行高效的解题教学”？请在你的笔记本中写下“什么是解题？”“怎样学会解题？”一周后对照．三、研讨方式方式1：“讲授——讨论——自学——写作”相结合；方式2：“自我反思——同行互助——专家引领”相结合．希望大家不要只是带耳朵（听）、眼睛（看）和手（记）来，还要带上嘴巴和脑袋来，就是说不能光听、光看、光记，更要思考、要发言、要写作．我体会，教学实践和专业写作是教师成长、转型、提高“核心竞争力”、占领“专业制高点”的有效途径，是研究型教师、名牌教师产生与发展的摇篮．四、研讨安排第一讲、学解题的历程（阅读文献2：前言、附录3）．主要介绍笔者解题理论的产生与形成过程，同时也提供这几天内容的概貌．第二讲、解题研究的现状分析（阅读文献1第1-1节）．主要介绍解题研究的基本工作和解题研究的存在问题，会涉及成功解题的基本要素（阅读文献1：第1-3节）和解题错误的主要类型（阅读文献2：第7-3节）．第三讲、什么是数学解题（阅读文献1：第1-2节）．主要介绍我对解题概念的基本看法，如什么是题？什么是解题？什么是解题理论？还会涉及一些名词，有解题思想、解题观点、解题目的、解题过程、解题程序、解题方法、解题原则、解题策略、解题分析、解题力量等．将概括数学解题新概念．第四讲、怎样学会解题 （阅读文献1：第1-4节，第三章）．主要介绍我对学解题的基本看法，包括学解题的“四程序”建议与“两步骤”做法．第五讲～第十讲、介绍几个主要的解题理论（阅读文献2：第二章）．如解题推理论，解题化归（化简）论，解题信息论，解题差异论，解题坐标系等．这将渗透大量的解题案例．最后我想强调一下，我在这个研讨班所说的内容，基本上都是我的个人体会，只表明有人这样看、有人这样想、有人这样做，既不一定是准确的、更不一定是正确的，我不求大家包含原谅，但求大家批评指正．共勉：()0x a a <>a x a ⇔-<<：一个甘于自我封闭的人，他只能越过弱者，永远也超不过强者．()0x a a >>⇔x a >或x a <-时：一个勇于突破封闭的人，既能超过强者，又能谦让弱者．数学上负数比零更小，教学中失责比未知更糟．数学上实数和虚数都是真实的数，奋斗中成功与失败都是生命的歌．最后，预祝会议圆满成功，预祝大家假期快乐．罗增儒，2013-7-19先做两个练习．练习1（自行车问题的解题分析）第一、案例的呈现．例1-1一个自行车新轮胎，若安装在前轮则行驶5000km后报废，若安装在后轮则行驶3000km后报废．如果行驶一定路程后交换前、后轮胎，使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶多少km？（请用方程或算术等多种方法求解．然后想想如何让学生也会解）解法1解法2解法3困难在哪里？（1）不清楚解题困难在哪里，反正读完题目之后就无从下手了．（2）感觉好像什么都不知道，总磨损量不知道，什么时候交换不知道，拿什么做等量关系不清楚，属于什么题型不清楚．（3）理不清题目的条件是什么．特别是“自行车的前轮后轮”把“甲乙两个轮胎”与“自行车前后两个位置”交叉在一起，理不清“自行车的前轮后轮”的数学含义是什么．（参见图2）（4）理不清题目的结论是什么．表面上，结论是求“一对新轮胎行驶多少km”写得很清楚，但这与“交换”前、后轮胎有关，并且“交换”好像是实质的，否则，怎能“使一辆自行车的一对新轮胎同时报废”呢？（解题的干扰因素）如果你不能求解，没关系，请先做第2题．例1-2一件工程，平均分为前、后两段，甲工程队干前半段5000小时完成，乙工程队干后半段3000小时完成，如果两工程队同时动工，甲工程队干前段、乙工程队干后段一定时间后，甲、乙两工程队交换（交换时间不计），使前、后两段同时完工，问整个工程一共几小时完成？（属于什么题型？中途交换如何处理？）如果你能求解第2题请返回做第1题；如果你也不能求解第2题，没关系，请先做第3题：例1-3一件工程，甲工程队干一半需5000小时，乙工程队干一半需3000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？（中途交换去掉了，属于什么题型？）如果你能求解第3题，请返回做第2、1题；如果你不能求解第3题，请看第4题．例1-4一件工程，甲工程队干需10000小时，乙工程队干需6000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？这是标准的工程问题了．最终至少要用两个以上的解法完成第1题．希望完成之后能谈谈感想，想说什么就说什么．第二、案例的分析．解题分析1：关于解法．解法1 （方程解法）设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ，则安装在前轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为5000k ，安装在后轮的轮胎每行使1km 的磨损量为3000k ．又设一对新轮胎交换位置前走了a km 、交换位置后走了b km ，分别以一个轮胎总磨损量为等量关系列方程，有（方程组）, 50003000, 50003000ka kb k kb ka k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②两式相加，得()()2,50003000k a b k a b k +++= ③ 则250003000k a b k k +=+ 237501150003000===+ 怎么算？（km ）． ④作为“怎样解题”任务是完成了，但作为“怎样学会解题”这只不过是新的开始——反思分析．当然，这个解法条理清晰，书写完整，答案正确，也不乏趣味性的技巧．特别是，这个解法对“字母表示数”的运用很熟练，“缺什么设什么”、引进过渡性的字母,,k x y ，既有助于写出相关代数式、建立等量关系、列出方程，又“设而不求”（像化学反应中的催化剂），表现出解题的艺术．但也正是这些技巧给我们的教学讲解和学生接受带来困惑，把所求的未知数设为两个未知数之和a b +，学生不太好理解，这是“怎样想到的”也不容易说清楚，这促使我们思考：能不能把题目处理得更好接受一些？第1次反思：既然,,k a b 都只有辅助的作用，而①、②式的等量关系也被更实质性的③式代替了，那么，我们能不能一开始就抓住③式这个本质结构呢？事实上，不管甲轮胎还是乙轮胎作前（后）轮，磨损率是一样的，交换是非实质的，有（可以不列方程组，列方程就行了）解法2：（方程解法）设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ，则安装在前轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为5000k ，安装在后轮的轮胎每行使1km 的磨损量为3000k ．又设一对新轮胎可走x km ，则一对轮胎分别在前后轮各走了x km ，有2,50003000kx kx k += 则 250003000k x k k =+237501150003000==+（km ）． ⑤说明1：如果说原解法更关注前轮、后轮两个“局部”的话，那么新解法则把前轮、后轮合起来作“整体处理”了；原解法将两个“局部”列成两条方程，新解法则已经完成两条方程相加、“整体”得出④式．第2次反思： 这个解法中k 只有辅助作用，能不能也去掉？怎么去？另外，由④及⑤中的运算式237501150003000=+，我们看到了一种结构——工程问题（这正是上述教学设计的一个基本考虑），我们能不能一开始就抓住这个本质结构呢？有（解法2暗示了解法3）：解法3：（算术解法）设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则一对新轮胎报废时的总磨损量为2；又由已知得，安装在前轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为15000，安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为13000，进而，每1km 一对轮胎磨损量为1150003000+；用总磨损量除以单位磨损量可得“一对新轮胎同时报废最多可行驶”237501150003000=+（km ）． 说明2：这个题型小学说是“工程问题”，到中学可以说是“调和平均”211a b+（高中），“反比例函数模式”xy k =（初中）．第3次反思： 解法3是在④、⑤250003000kk k +中取1k =（这是小学的惯例），请问k 只能取1吗？回答是：取5000与3000的最小公倍数更方便．有解法4：（技巧解法）假设自行车行驶了15000km ，则前轮用了3个，后轮用了5个，共报废8个，所以，一对新轮胎同时报废能行驶1500037504=（km ）． 说明3：这也是把前轮、后轮合起来作“整体处理”． 第4次反思：解法1由目标牵引，进行了①、②“两式相加”，而由两式相减呢，立即可得a b =，就是说，若一对新轮胎同时报废，则单个轮胎安装在前轮行驶的路程等于其安装在后轮行驶的路程．这个实事有明显的几何意义：方程组①、②中的两条不平行直线关于对角线x y =对称，其交点在对角线x y =上（或说两个互为反函数的图像——两条直线，相交于对角线），有解法5 设一对新轮胎交换位置后同时报废时自行车共行驶了x km ，不妨设想自行车的车把和车座都可以旋转，用人和车的掉头代替前、后轮交换的装卸．当自行车行驶到2x km 时，磨掉了一半的磨损量（正好等于一个轮胎的磨损量），有（如图1）：前轮的磨损量恰好是后轮的磨损剩余量，前轮的磨损剩余量恰好是后轮的磨损量，如果此时旋转车把和车座掉头返回出发地，就交换了前、后轮，再行驶2x km 回到出发地时一对新轮胎同时报废．于是一个新轮胎的总磨损量=前进2x km 的磨损量+返程2x km 的磨损量， 有22150003000x x +=， 得 13750112500023000x ==+⨯⨯． 图1不管题目还会有的多少解法，我们已经有了三类解法：方程解法、算术解法、技巧解法．这可以认为是反思解法1的成果，并且是“只要去做、人人都能做到”．解题分析2：关于教学设计的意图．这是一个“亲身参与”的解题教学案例，体现解题教学是解题活动的教学，当中有三个基本的考虑．（不知在大家的体会中有没有谈到）（1）解题化归的教学设计．如果你不能求解第1题，请先做第2题；如果你能求解第2题请返回做第1题，如果你也不能求解第2题，请先做第3题；如果你能求解第3题请返回做第2、第1题，如果你也不能求解第3题，请先做第4题，一路转化为基本题型．这就是化归：把一个未解决或较难解决的问题转化为已解决或较易解决的问题．（2）揭示问题的深层结构．自行车问题有工程问题的深层结构．可列表说明如下：可见，“自行车问题”与“工程问题”有相同的结构！甲乙轮胎对应前后两段工程、自行车前后位置对应甲乙两个工程队（轮胎是工程、位置是工程队、磨损是干工程，如图2）．于是，从工程的观点看例1-1，可以认为有两个条件：其一是磨完一个新轮胎，自行车的前轮位置需走5000km （完成工程前半段甲工程队需5000小时），其二是磨完一个新轮胎，自行车的后轮位置需走3000km （完成工程后半段乙工程队需3000小时完成）；结论是：求自行车的前、后轮一起磨完两个新轮胎需走多少km （甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成）．图2（3）沟通一题多解的内在联系．从原解法出发，上面呈现了方程、算术、技巧三类解法，我们说三类解法不是各别孤立的．由③（或⑤）式有250003000ka b k k +=+237501150003000==+（km ）． 这是方程解法的结果，约去k （或说令1k =）便是工程解法，而取15000k =，就是技巧解法．所以，三类解法是可以沟通的．也惟有沟通不同解法的联系，我们才能洞察问题的深层结构，形成优化的认知结构．解题分析3：工程问题的深层提炼．题目 完成一件工程，甲单独干需要2天，乙单独干需要3天，甲乙一齐干几天完成？这是小学时的“工程问题”，其基本关系是：工作效率×工作时间=工程总量（定值）． ① 对这个基本关系作抽象，有单位量×单位数=总量（定值）． ② 再作形式化抽象，得xy k =（定值）． 可见，“工程问题”的本质是一个反比例函数模式：（1）一件工程，对应着存在一个反比例函数关系()k y f x x==．这是反映题型特征的基本关系（x 对应工作效率，y 对应工作时间，k 对应定值工程总量）． （2）甲单独干需要2天，乙单独干需要3天，对应着在反比例函数()y f x =中因变量取122,3y y ==．（3）甲乙一齐干几天完成，对应着求函数值()12f x x +:()12121212111k k k f x x f k k y y y y y y ⎛⎫+=+== ⎪⎝⎭++．计算结果与比例系数k 无关，这就是说，即使不知道比例系数k （工程总量）和自变量12,x x （每个工程队的工作效率），也能求出函数值()12f x x +（两个工程队一齐干工作时间）．（4）更一般地，“工程问题”的反比例函数模式是：对反比例函数()y f x =，给出函数值12,,,n y y y ，求()12n f x x x +++ ．其求解步骤是：首先将i x 表示为i k y ，然后代入所求式()121212121.111n n n n k k k f x x x f y y y k k k k y y y y y y ⎛⎫+++=+++ ⎪⎝⎭==++++++计算结果与比例系数k 无关，这就是说，即使不知道比例系数k 和自变量12,,,n x x x ，也能求出函数值()12n f x x x +++ ．（5）如果把工程平分为n 段，n 个工程队干每一段分别需12,,,n y y y 天，则n 个工程队一起干需12n n y y y +++ 天完成．有了工程问题的这些认识，就能对“形异而质同”的问题迅速识别，并提取相应的方法加以解决．例1-6 某人从甲地走往乙地，甲、乙两地有定时公共汽车往返，而两地发车的间隔都相等，他发现每隔6分钟开过来一辆到甲地的公共汽车，每隔12分钟开过去一辆到乙地的公共汽车，问公共汽车的发车间隔为几分钟．例1-7 向一个水池里注水，甲龙头6小时注满，乙龙头12小时注满，甲乙龙头一齐注水几小时注满？例1-8 有甲、乙两个码头，轮船从甲到乙顺流而下需要6小时，从乙到甲逆流而上需要12小时，问轮船在静水中走甲乙同样的距离需要几小时？例1-9 从甲地到乙地，客车需a 小时，货车需b 小时，现两车分别从甲乙两地同时出发，相向而行，几小时两车相遇？例1-10 某公路由上坡、下坡两个等长的路段组成，已知一汽车上坡时速度为a 千米／小时，下坡时时速度为b 千米／小时，求这部汽车在整段路面上的平均速度．例1-11 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b （a b <），其全程的平均时速为v ，则 （ A ）（A）a v <<（B）v = （C）v <<2a b + （D ）2a b v += （2012高考数学陕西文科第10题） 解 设甲乙的路程为S ，则往返为2S ，又小王从甲到乙用时为S a ，从乙到甲用时为S b ，往返共用时S S a b +，其全程的平均时速为211v a b=+，下来取,a b 的特殊值便可比较出算术平均、几何平均与调和平均的大小，但是，十几万考生的得分率只有0．14，比随机回答的得分率0．25还低，这再次说明，人们认识“调和平均”的结构是有难度的．例1-12 某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为v 1，v 2,v 3,该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为（A ）3321v v v ++（B ）3111321v v v ++ （C ）3321v v v（D ）3211113v v v ++ （2007高考数学陕西文科第12题）例1-13 妈妈去商店买布，所带的钱刚好可买甲布2米，或乙布3米．若两种布都买同样多的米数，问所带的钱最多可各买几米？例1-14 妈妈去商店买布，所带的钱刚好可买甲布2米，或乙布3米，或丙布6米．若三种布都买同样多的米数，问所带的钱最多可各买几米？例1-15 如图3，在直线a上平放有3个面积相等的矩形，其高分别为2米，3米，6米．现作一平行于底的直线b，使截得三部分阴影面积之和恰好等于一个矩形的面积，求,a b之间的距离．图3解题分析4：对“学解题、教解题、编习题”的启示．总结上面的讲解，每个人都有机会领悟一些有益的启示（千万别进宝山而空还），由于这是一个个性化的经验生成过程，认识的差异是难免的，作为抛砖引玉，我们谈三点启示就教于同行．（1）关于解题学习的启示．解题获得答案是必要的，但学解题不要满足于获得答案，继续分析解题过程是认识问题深层结构、学会怎样解题的有效途径．如同大家所看到的，对本例的反思分析就如同给我们的眼睛配备了显微镜和望远镜，既看得更细了（微观更透彻），又看得更远了（宏观更开阔）．（2）关于解题教学的启示．解题教学不仅要教解题活动的结果（答案），而且要呈现解题活动的必要过程——暴露数学解题的思维活动．没有过程的结果是事实的外在灌输，没有结果的过程是时间的低效消费，解题教学不仅要获得答案，而且要从获得答案的过程中学会怎样解题，把过程与结果结合起来．对于本例，我们建议：不妨依次转化为例1-2、例1-3、例1-4——进行化归思想的教学；或者反过来回忆小学时的例1-4，然后逐步深入到例1-3、例1-2、例1-1，从小学的“公式”讲到中学的“方程”——进行模式提炼的教学（数学是关于模式的科学）．把获得答案转变为获得答案的过程、转变为渗透数学思想方法的活动过程．（3）关于习题编拟的启示．沿着例1-4、例1-3、例1-2、例1-1的路线，我们可以从教材出发编拟出很多习题，既实用又易行，于是，我们每一个教师都可以方便地在自己的每一节课上进行“变式练习”，并把中国数学教育的“变式教学”传统发扬光大．（罗增儒：一个自行车问题的教学分析．中学数学教学参考（中旬），2013，1～2）练习2（空间图形的最短路程）例2-1（2005年贵阳中考）如图1，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为4cm，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到C点的最短路程大约是（）．图1（A）6cm（B）12cm（C）13cm（D）16cm 解把圆柱体沿母线AB展开，得图2所示的矩形，从A 点到C点的最短路程就是线段AC的长（路径L）．因为BC的长是底面圆的周长的一半12cm，高AB的长是4cm，所以在直角ABC中，由勾股定理得AC===≈（cm）．图213标准答案选（C）．同意的举手．不同意的站起来．首先指出，上例的处理中有三个“化归”是很好的：化归1：把一个实际问题转化为一个数学问题；化归2：把一个空间问题转化为平面问题；化归3：把一个平面问题转化为解直角三角形．（用到两点之间直线距离最短）但是，在把空间图形展平时没有注意到由A点到C点有两类路径：路径1：只走侧面．展平后，转变为“两点之间直线距。
组合数学引论课后习题答案
组合数学引论课后习题答案组合数学引论课后习题答案组合数学是一门研究离散结构和计数问题的数学学科，它在计算机科学、密码学、统计学等领域中有着广泛的应用。
在学习组合数学的过程中，课后习题是巩固知识、提高技能的重要环节。
本文将为大家提供一些组合数学引论课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 问题：有6个不同的球，要将其放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，一共有多少种放法？解答：这是一个将球放入盒子的问题，可以使用组合数学中的排列组合方法求解。
首先，我们可以确定每个盒子中至少放一个球，所以可以将问题转化为将剩下的3个球放入3个盒子中的问题。
对于每个球来说，都有3个选择，即放入第一个盒子、放入第二个盒子或放入第三个盒子。
因此，总的放法数为3^3=27种。
2. 问题：有8个人，其中4个人是男性，4个人是女性，要从中选出一个小组，要求男性人数和女性人数相等，一共有多少种选法？解答：这是一个选择问题，可以使用组合数学中的组合方法求解。
首先，我们需要确定男性和女性的人数必须相等，所以可以将问题转化为从4个男性和4个女性中各选取相同数量的人的问题。
对于男性来说，可以从4个人中选择0个、1个、2个、3个或4个。
对于每种选择，女性也需要选择相同数量的人。
因此，总的选法数为C(4,0) * C(4,0) +C(4,1) * C(4,1) + C(4,2) * C(4,2) + C(4,3) * C(4,3) + C(4,4) * C(4,4) = 1 + 16 + 36 + 16 + 1 = 70种。
3. 问题：有10个人，要从中选出一个小组，要求这个小组中至少有3个人，一共有多少种选法？解答：这是一个选择问题，可以使用组合数学中的组合方法求解。
首先，我们需要确定小组中至少有3个人，所以可以将问题转化为从10个人中选取3个、4个、5个...直到10个人的问题。
对于选取3个人的情况，可以从10个人中选择3个，即C(10,3)。
小学数学解题研究(第一、二、三章)
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【例2-25】从5点整开始，再经过多少分钟，
时针正好与分针重合？
如果把钟面上1分钟的距离看作1格，那么分针每小时走 60格，时针每小时走5格。因此，分针毎走1格的同时时针
1 就走 12
格
要求经过多少时间分针与时针重合，实质上就是求多 少时间后分针追上时针。
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【解答】5点整时，时针指向5，分针指 向12，时针和分针相隔25小格。此时分 针和时针同时出发，当分针追上时针时， 两针就重合了。
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解法一：【分析】假设该汽车站再售出成人票700张，
则售出的学生票的张数就与成人票的张数同样多了，
那么成人票又要多收入700×14=9 800元。 这样，成人票就比学生票一共要多收入
6 200+9 800=16 000 元。
由于每张成人票比学生票要多收入 14-6=8元， 而16 000元里面包含了16 000÷8=2 000个8元，那么学生票共 售出了2 000张，成人票2000-700=1300张
11
《数学思维论》(任樟辉， 1990年)中提出了十个解题策 略
以简驭繁 进退互用 数形迁移 化生为熟 正难则反 倒顺相通 动静转换 分合相辅 引参求变 以美启真
• • • • • •
模式识别 映射化归 差异分析 分合并用 进退互化 正反相辅 动静转化 数形结合 有效增设 以美启真
菌 种 数 100万
50万
25万
8小时
时 间 10小时 9小时
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第五节 假设
根据所研究的具体问题，从题设条件的各种
可能情况中做出某种假设，然后从这一假设出发
，对其进行推理或计算，n从而寻找到问题的正
聆听大师教诲 感悟解题教学真谛
聆听大师教诲感悟解题教学真谛浙江省乐清市教育局教研室吴立建1.欢聚杭城聆听教诲2012年7月15—20日，全国第七届“解题教学高级研讨班”活动在浙江省杭州市江干区进修学校举行。
来自吉林、内蒙古、北京、上海、重庆等18个省（市）的数学特级教师、教研员、中学数学骨干教师代表180多人参加了本次活动，活动的开幕式由中学数学教学参考杂志社社长段养民主持，中学数学教学参考杂志主编石生民、陕西师范大学出版总社副社长马小为教授等在各个层面进行大会重要发言，主编石生民谈到“解题教学高级研讨班”的由来是因为华师大张奠宙教授的提议“让罗增儒的解题教学走向全国，让钟情于解题教学的数学教师能有聆听大师报告的机会”，马小为教授盛称：罗增儒就是中国的“波利亚”，他的经历与成就空前绝后，勉励学员们珍惜学习、交流机会。
杭州市江干区教育局沈志清副局长、杭州市江干区进修学校易良斌副校长也参加了开班典礼。
结业典礼上，三位不同层面学员代表发言，更是由衷地表达了全体学员的感激、敬仰、折服的心态。
有幸聆听了罗大师五天的报告，受益匪浅。
2. 内容丰实讲解到位五天来，罗大师以自己编著的《中学数学解题的理论与实践》为基本素材，围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”这两个基本问题进行理论分析指导与实践探索说明。
就“怎样解题”还细致入微地介绍了解题推理论、解题化归论、解题信息论、解题差异论和解题坐标系等有代表性的解题观点；就“怎样学会解题”提出了学会解题的四步骤基本程式：“简单模仿、变式练习、自发领悟、自觉分析”，并通过大量鲜活的案例说明：“分析典型例题的解题过程是学会解题的有效途径”。
无论是在“解题思路的探求”上，还是在“解题过程的反思”中，都不乏陈题新解、难题简解、佳题巧解、名题多解、悬题获解。
3.感触至深震撼不已3.1不畏权威，追求真理讲座中涉及许多历年高考、中考、数学竞赛试题，凡有失偏颇皆无情鞭挞，铿锵有力且句句在理，令人折服，让有命题权的老师很受教育，深怕一不小心就会被罗大师逮个正着。
中学数学解题研究
第二，用某种指定的代数运算（这就是所谓的“叠加”）把一 些特殊情形组合起来，从而获得一般情形的解。
波利亚通过对各种典型问题的细致剖析，提炼出四个常用的解题 模式——可供仿照的楷模．
Ⅰ．双轨迹模式 （1）把问题归结为要确定一个“点”． （2）把条件分成两部分，使得对每一部分，未知点都形成一个 “轨迹”．这两个“轨迹”的交集，就是我们要求的“点”．
波利亚解题过程的四个阶段:
1. 弄清问题——认识、并对问题进行表征的过程 ，
是成功解决问题的一个必要前提
2. 拟订计划——是探索解题思路的发现过程，是关
键环节和核心内容。
3. 实现计划——是思路打通之后具体实施信息资源
的逻辑配置，“我们所需要的只是耐心”
4. 回顾——是最容易被忽视的阶段，波利亚对其作。 为解题的必要环节而固定下来，是一个有远见的做法 .
世大学的会议致词中说过：“每个大学 波利亚(1887.12.13-
生、每个学者、特别是每个教师都应该
1985.9.7)
读这本引人入胜的书”(1952年2月2
日)．
数学解题教学
没有一道题可以解决得十全十美，总存在值 得我们探究的地方。 ——[美]G. 波利亚
我国数学解题研究的代表人物和代表作
戴再平
数学解题方法与数学方法数学解题方法与数学教学数学解题方法与数学思维数学解题方法与数学解题策略数学解题方法与数学思路数学解题方法与数学方法原理数学解题方法与数学学科结构数学解题方法与数学概念数学解题方法与数学操作数学解题方法与一般科学方法数学通用解题方法与实现解题技巧数学基本解题方法与数学通用解法第十五讲数学解题基本方法一公理化与数学结构型方法1分析法2综合法3归纳法4演绎法5类比法6对称方法7构造法8面积法体积法例题
第七章数学解题的思维过程
分离
预见
重组 组织 充实
结合
例5已知a1 , a2 , L , an , L 成等差数列，且诸ai 及公差都是 非零实数，考虑方程ai x 2 2ai 1 x ai 2 0(i 1, 2, L ). (1)证明这些方程有公共根，并求出这个公共根。 （2）设这个方程的另一根是i，则 1 1 1 , ,L , , L 成等差数列。 1 1 2 1 n 1
例 1解不等式：
x 1 x2
1 x 0. （三角公式） 2 1 x
2
分析：令x tan (
2
2
),即解 sin cos 2 0.
例2已知： cos cos 2m,sin sin 2n. 求 tan tan 的值。（三角函数--中点坐标公式
6、思维过程的解释
解题都要提取已储存的信息，对信息进行加工，运用，收 集信息的反馈，并进行再处理，这里面包含着辩证思维和直觉 思维，它们弥漫在整个解题坐标平面上，体现了解题活动的实 质是思维活动。一条解题折线的画出往往经历许多类比、联想、 归纳、尝试和失败，这就像解题坐标系上，试着用铅笔画草图 折线，画了又擦，擦了又画，但决不是盲目瞎碰，有是一个机 智的数学念头导致了一个卓有成效的解题计划，这个念头正是 有准备的思考和解题经验长期积累的升华。
3、审题同心圆 审题，尽量从题意中获取更多的信息，可以表示 为以条件和结论为中心的一系列同心圆。从条件出发 的同心圆信息，预示可知并启发解题手段；从结论出 发的同心圆信息，预告须知并诱导解题方法，两组同 心圆的交接处，就是分别从条件、结论出发进行思考 的结合点，也是手段与目标的统一处。
4、内容与方法的统一 在解题坐标系上，内容是提高方法的内容，方法 是体现内容的方法。解题坐标系上的每一点，一方面 是内容与方法的统一，另一方面是其在两轴上的投影 又都不唯一。同一内容可以从不同的角度去理解，同 一方法又可以在不同的地方发挥效能。这就为多角度、 多侧面考虑数学对象及其之间的关系提供了理论依据。
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第七讲《怎样解题》的解题观《怎样解题》是乔治·波利亚（George Polya 1887～1985）写的一本风靡世界的名著.现代数学家瓦尔登早在1952年2月2日瑞士苏黎世大学的会议致词中就曾说过：“每个大学生、每个学者，每个教师都应该读这本引人入胜的书.”作为数学家，波利亚在众多的数学分支，如函数论、变分学、概率论、数论、组合数学以及计算和应用数学等领域多有建树，留下了许多以他的名字命名的术语和定理.1963年，美国数学会曾授予他最高职业奖.在数学教育方面，他曾以数十年的时间悉心研究数学启发法和数学教学，从而为数学方法的现代研究奠定了必要的理论基础.作为一个数学教育家，他的教育思想的宗旨是：“教会年轻人去思考，”培养学生的“独立性、能动性和创新精神”，根据社会需要培养成合格的人才.他认为一个人在学校所受的教育应该受益终生，他赞成，良好的教育应该“系统地给学生自己发现事物的机会”、“应该帮助学生自己再发现所教的内容”，应该能使学生主动学习，他特别重视发展学生的数学思维能力，强调数学教学要加强思维训练，要发展学生运用所学知识的能力，发展技能、技巧、有益的思考方式和科学的思维习惯.他反复指出，数学教育的目的不仅仅是传授知识，还要“发展学生本身的内蕴能力”，波利亚对教师的教和学生的学进行了综合研究，提出了著名的“学习三原则”（也可作为“教学三原则”）和“教师十要”.波利亚对数学解题学的影响是通过他关于“怎样解题”的理论来实现的.主要著作有《怎样解题》（1945年）、《数学与似真推理》（1954年）和《数学的发现》（1962年）.早在青年时代，由于不满足于教师那种照本宣科式的讲述和教科书上那种突如其来的、“像是帽子里跑出一只兔子”式的证明，从而开始探索数学中的发明创造问题.面对一个数学定理和巧妙的证明，他问自己：数学家是怎样发现这个定理的？是什么促使数学家想到了这个证法？在执教之后，他竭力帮助学生弄清定理和证明的来龙去脉.为此，他阅读了大量数学和哲学文献，并利用在各级任教的机会，对学生进行细致观察，终于制订出了“现代启发法”纲领和解题艺术的大成——“怎样解题”表.到1945年发展成为名著《怎样解题》（How To Solve it）一书.这本书的问世，标志着作者关于解题论和数学发现学说的形成.此后，波利亚继续撰写论文和专著，使自己的学说更加系统完整、丰富多彩、博大精深.随着时间的推移，今天已经看得很清楚，20世纪40年代波利亚学说的出现是世界数学史和数学教育史上一个意义重大的事件.在数学解题方面，波利亚是一面旗帜、是一代宗师.2-1-1“怎样解题”表弄清问题⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧?.????????你能否把它们写下来个部分分开把条件的各引人适当的符号画张图或者是矛盾的或者是多余的或者它是否不充分条件是否充分数要确定未知满足条件是否可能是什么条件已知数据是什么未知数是什么、•，•，•拟定计划你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题 .这里有一个与人现在的问题有关，且早已解决的问题 . 你能不能利用吗？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？ 你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？ 回到定义去 . 如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关问题.你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？实现计划••，•??.正确的你能否证明这一步骤是的步骤是正确你能否清楚地看出这一检验每一步骤实现你的求解计划回顾⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧????题法用于其他的问你能不能把这结果或方它来你能不能一下子看出方法导出这个结果你能否用别的你能否检验这个论证•• 《怎样解题》一书就是围绕着上述“波利亚”表进行的 .作为初步说明，波利亚说：“只要应用得当，如果你向自己提出表中的这些问题与建议，它们可以帮助你解决你的问题；而如果你向你的学生提出同样的问题与建议，你就可以帮助解决他们的问题 .”因而，当教师向学生提出表中的问题或建议时，有可能达到两个密切相关的目的：“第一、帮助学生解决手头的问题；第二、培养学生将来能够独立解题的能力.”波利亚本人认为，此表有两个特点：普遍性与常识性 .“普遍性 表中所提问题与建议的重要特点之一是普遍性，例如：未知数是什么？已知数是什么？条件是什么？这些问题都是普遍适用的，对于所有各类问题，我们提出这些问题都会取得良好效果.它们的用途不限于任何题目.我们的问题可以是代数的或几何的，数学的或非数学的，理论的或实际的，一个严肃的问题或仅仅是个谜语.这没什么差别，上述问题都是有意义的，而且有助于我们解题 .”“常识性 表中的建议是自然的、简单的、显而易见的并且来自于普遍常识.例如这条建议：看着未知数！试想出一个具有相同未知数或类似未知数的熟悉的问题，这条建议不管怎样总是劝告你去做你想做的事，而对于你认真要解决的问题并未提出具体的劝告.你是不是肚子饿了？如果你希望搞点吃的，你就会想起你的熟悉的搞到食物的一些办法.你是不是有一个几何作图题？如果你想作一个三角形，你也会想所熟悉的一些作三角形的办法.你是否有一个任意的问题？你若希望找出某个未知数，你就会想起找出这样一个未知数或你所熟悉的类似未知数的一些办法.如果你这样做了，那你的路子也是对头的；这个建议是个好建议，它向你提出一个常能成功的程序 .”例 2 – 1 已知a 1，a 2，…，a n 是个正数，满足a 1a 2…a n = 1， ①求证 （2+a 1）（2+a 2）…（2+a n ）≥3n . ②[1989年全国高中数学联赛]讲 解 我们来实践一下波利亚的解题表 .第一、你必须弄清问题1．这是一个什么问题？这是一个代数问题，一个条件不等式证明题 .2．已知条件是什么？共有两个：（1）a 1,a 2…,a n 是n 个正数；（2）a 1a 2…a n =1 .3．求证是什么？是一个不等式：（2+a 1）（2+a 2）…（2+a n ）≥＝3n .其左边是n 个因式的积，每一个因式有相同的结构（2+a i ）；而右边是一个与a i无关的常数3n ,其中“3”是一个特征数 .第二、拟定计划4．你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？以前没有见过 . 但在原高中统编教材《代数》（甲种本）第二册P ·14第24题见过一道条件相同，而结论不同的不等式证明题：（1+a 1）（1+a 2）…（1+a n ）≥2n . ③5．你能不能利用它？记得作业题的证明是：由1+a i ≥2i a ,得 n n n n i ia a a a 22)1(211=⋯≥+∏= .如果同法泡制，可由i i a a 222≥+ ， ④得 ∏===⋯≥+n i n n n n i＞a a a a 1213)22()22()2(6．实现你的求解计划，检验每一步骤. 你能否清楚看出这一步是正确的，你能否证明这一步骤是正确的？其实，由8＜9知22＜3，从而（22）n ＜3n .可见，形式套用有关作业题不能成功 .7．尚未成功不等于彻底失败，你能找出没有成功的原因吗？（第五公设试证没有成功，却诞生了更加伟大的非欧几何）首先，我们看到用二维平均不等式i i a a 222≥+ ，没有出现求证不等式所需要的特征数“3”.其次，由232＜使我们进一步想到（22）n 不是（2+a 1）（2+a 2）…（2+a n ）的最小值，它是一个比3n 更小的下界，这也就说明，用④式时缩小得过头了 .事实上，式④不能取等号，否则a i +2 ，（i =1 ,2,…,n ）有 a 1a 2…a n =2n ≠1 ，与已知矛盾 .这就从反面告诉我们，要考虑当a 1 = a 2 = … = a n 时，求证式能取等号的条件，因而，基本不等式的应用，应使a i =1时取等号 .8．重新回到课本习题，再考虑你能利用它吗？你能利用它的方法吗？如果你不能直接利用它，那么你能不能用适当的变通？为了要出现特征常数“3”，为了要使等号成立时a i =1,拆项的的念头迟早会产生？2+a i =1+1+a i ≥3i a 3 ， 从而 ∏==⋯≥+n i n n n ia a a a 12133)2( .第三、实现计划（略）第四、回顾9．你能否用别的方法导出这些结论？可以，因为这是一个与自然数有关的命题，所以我们会想到用数学归纳法（此外，还有其他办法，如柯西不等式、磨光变换等）.（1） 当m =1时，命题显然成立（取等号）.（2） 假设n =k 时，命题成立，即a i ＞0且当a 1a 2…a k =1 ⑤时，有 （1+a 1）（1+a 2）…（1+a k ）≥3n . ⑥则当n = k +1时，有a 1a 2…a k a k +1 =1 ， ⑦与⑤联系，得 a k +1 =1 .从而 （2+a 1）（2+a 2）…（2+a k ）（2+a k +1）= （2+a 1）（2+a 2）…（2+a k ）（2+1）（由⑥）≥3k ·3= 3k +1 .这表明n = k +1时命题成立 .由数学归纳法知，命题对一切自然数成立 .10．你能否检验这个论证？回顾第二步中⑤式与⑦式联立的推理，会发现违反了同一律（偷换概念）：即第k 号命题中的a i 虽然使用了同一个字母，但一般地字母所代替的数值是不相同的 .如果保持⑤式，那么⑦式实际上是a ′1 a ′2 a ′k a ′k +1 = 1 ⑧所以，不能由⑤与⑧联立得出a ′k +1 = 111．此题到底能不能用数学归纳法？回答是肯定的，对第二步作调整如下，其基本想法是把⑦中某两个a i 的积看成⑤式中的某一个a i .当n = k + 1时，由a 1a 2…a k a k +1 = 1知，其中必有a i ≤1且a i ≥1（1≤i ≠j ≤k +1），不妨设a 1≤1 ，a 2 ≥1 ，有 （1-a 1）(1-a 2)≤0 ，得 1+a 1a 2≤a 1+a 2 .从而 （2+a 1）（2+a 2）= 4+2(a 1+a 2)+a 1a 2≥ 4+2（1+a 1a 2）+a 1a 2= 3(2+a 1a 3) .得 （2+a 1）（2+a 2）（2+a 3）+…+（2+a k ）（2+a k +1）≥3（2+a 1a 2）(2+a 3)…(2+a k )(2+a k +1)由于（a 1a 2），a 3，… ，a k ，a k +1满足归纳假设，有（2+a 1a 2）(2+a 3)…(2+a k )(2+a k +1)≥3k ，从而（2+a 1）（2+a 2）（2+a 3）…（2+a k ）（2+a k +1）≥3·3k =3k +1 .由数学归纳法知，原不等式成立 .这种解法可以改写成“磨光变换”的形式 .(1) 当 a 1 = a 2 = … = a n = 1时，显然（2+a 1）（2+a 2）…（2+a n ）=3n .命题成立 .(2) 若a 1 ，a 2 ，… ，a n 不全为1，则必有一个大于1，也必有另一个小于1，不妨设a 1 ＞1 ，a 2 ＜1 .记 a ′1 = 1 ，a ′2 =a 1a 2 ，a ′3 =a 3 ，… ，a ′n = a 3 .则由 （1-a 1）（1-a 2）＜0 ，得 1+a 1a 2 ＜ a 1+a 2 ，从而 （2+a 1）（2+a 2）=4+2(a 1+a 2)+a 1a 2＞4+2（1+a 1a 2）+a 1a 2=3（2+a 1a 2）=（ 2 + a ′1）（ 2 + a ′2） ，有 （2+a 1）（2+a 2）…（2 + a n ）≥ （ 2 + a ′1）（ 2 + a ′2）…（ 2 + a ′n ）.这时，a ′1 ，a ′2 ，… ，a n ′至少比a 1 ，a 2 ，… ，a n 多一个1 .（3） 若a ′1 ，a ′2 ，…，a ′n 不全为1，则重复上述步骤，得a ″1 ，a ″2 ，… ，a ″n 至少比a ′1 ，a ′2 ，…，a ′n 多一个1，且（2+a ′1 ）（2+a ′2 ）…（2+a ′n ）≥（2+ a ″1 ）（2+ a ″2）…（2+ a ″n ） .（4） 重复上述步骤，最多进行n -1次，即可把a 1 ，a 2 ，… ，a n （凹凸不平）变为（磨光）n 个1，且（2+a 1）（2+a 2）…（2 + a n ）≥（ 2 + a ′1）（ 2 + a ′2）…（ 2 + a ′n ）≥ …≥（2+1）（2+1）（2+1）= 3 n这样，我们便有了两个完全不同的解题方法，一个是着眼于“2”，折“2”为（1+1）而a i 任意的；另一个是着眼于a i ，对a i 磨光，而“2”可换为任意实数 .这两种方法的倾向和价值是不一样的，前者利用了“2”为自然数的特殊性，过程简单；后者更有一般性，但对本例显得麻烦 .12．你能不能把这个结果或方法用于其他的问题？两种方法都可以把“2”推广为m ∈N ，由11)1(11+++≥++⋯+=+m i i m i a m a a m, 有 ∏=+≥+n i n im a m 1)1()( .但是，这种推广是平凡的，按照这种拆m 为m =1+…+1的模式，不能解决m 为正实数的情况，更不能解决此题的一般形式：推广题 已知a 1 ，a 2 ，… ，a n ；b 1 ，b 2 ，… ，b n 均为正数，求证简证 由 n n n n nnn b a b a b a b b b a a a )())((22112121++++=n n n n b a a b a a b a a ++∙+ 222111+n n n n b a b b a b b a b ++∙+ 222111≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++n n n b a a b a a b a a n 2221111 +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++n n n n b a b b a b b a b n 221111 =1变形即得，等号成立当仅当⎩⎨⎧======.,2121n n b b b a a a 13.在你找到第一个蘑菇（或作出一个发现）后，要环顾四周，因为它们总是成堆生长的.用推广题的方法，可以解决更多的问题，参见例4-39例2-2给定正四棱台的高h ，上底的一条边长a 和下底的一条边长b ，求正四棱台的体积F （学过了棱柱、棱锥的体积）.讲 解 第一、弄清的问题问 题 1 你要的是什么？要求的是几何体的体积，在思维中的位置用一个单点F 象征性地表示出来（图2-1）.图2-1n nn n n n n b b b a a a b a b a b a ⋯+⋯≥+⋯++21212211)())((问题2你有些什么？我们在图形上增加3个已知量a ,b ,h .相应的，在图示处添上3个新点a，b，h .它们与F之间有一条鸿沟，这象征着尚未解决问题. 我们的目标就是将未知量F与已知量a，b和h联系起来（图2-2）.图2-2第二、拟定计划问题3怎样才能求得F ？由于我们知道棱台可以看成用一个平行于底面的平面从一个大棱锥中截去一个小棱锥所生成. 如果我个知道了这二个棱锥的体积B和A，我们就能求出棱台的体积F =B – A我们在图上引进两个新的点A和B，用斜线把它们与F联结起来，以此表示这三个量之间的关系（图2-3）.图2-3问题4怎样才能求得A与B ？依据棱锥的体积公式，只需求出两个棱锥的高.特殊是，一旦求出小棱锥的高x，大棱锥的高显然为（x+h）.我们在图示上引进一个新的点x，用斜线把A和x，A和a联结起来，表示由x和a 能得出A；类似地，用斜线分别联结B和b，B和h，B和x ，表示B能由b，h和x得出（图2 - 4）.图2-4问 题 5 怎样才能求得x ?为使未知数x 与已知数a ，b , h 联系起来，我们进行“平面化”的思考，用一个通过高以及底面一边上的中点的平面去截这两个棱锥，有△VPO 1∽△VQO 2 ，从而（见图2 - 5）图2 - 5ba h x x =+ . 这样，我们就可由已知的a ,b 和h 去求得x .在图示中，便可用斜线把x 和a , x 和h , x 和b 联结起来，至此，我们就在F 和已知数a , b , h 之间建立了一个不中断的联络网 .第三、实现计划1．由a ,b , h 表示x .ab ah x b a h x x -=⇒=+ . 2．由a , x 表示A ，由b , x , h 表示B ，)(33a b h a A -= ， )(33a b h b B -= 3．由A ，B 求F ，F = B – A=)(3)(33a b h a b -- =()223b ab a h ++ . 第四、回顾1．在方法上，这是“分析法”的一次成功应用 .从结论出发往前找充分条件，为了求F ，我们需要求A ，B ；为了求A ，B ，我们需要求x ；最后x 可求，问题的思路就畅通了 .书写恰好次序相反 .这个例子显示了分析一综合的关系，“分析自然先行，综合后继；分析是创造，综合是执行；分析是制定一个计划，综合是执行这个计划”.2．数学思想上，这是“组合与分解”的一次成功应用 .首先把棱台补充（组合）为棱锥，然后再把棱锥成（分解）棱台，这种想法在求棱锥体积时已经用过，它又一次向我们展示，“能割善补”是解决立体几何问题的一个诀窍.3．在公式的一般性上，当a =0时，得出棱锥的体积；当a = b，得出棱柱的体积.这也是“特殊化”的检验 .。