高中数学 第七讲 化归—解方程组的基本思想
高中数学解题中化归思想的运用
高中数学解题中化归思想的运用化归思想是高中数学解题过程中的一种重要思维方法。
它通过转化问题的表达方式，简化问题的结构，从而找到更容易理解和解决的方法。
化归思想的运用，可以大大提高解题的效率和准确性。
下面我将以2000字的篇幅，详细介绍化归思想在高中数学解题中的运用。
一、化归思想的基本概念和原理化归思想是指将一个复杂的问题转化为一个简单的问题，从而易于理解和解决。
化归有两种常见的表现形式：一是通过等价变换，将问题转化为同类问题或更简单的问题；二是通过数值代换，将问题转化为已知的问题。
化归思想的基本原理是将复杂问题拆解成简单问题，并找到各个简单问题之间的联系和规律，从而解决复杂问题。
化归思想在高中数学解题中的应用非常广泛，以下列举几个典型的例子来说明。
1. 方程求解化归思想在方程求解中经常被使用。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，如果我们能将其化为一个平方差的形式，例如(x+m)^2+n=0，那么就可以轻松求解出x的值。
同样，对于其他类型的方程，也可以使用化归思想，将其转化为已知的方程类型，从而求得解的值。
2. 几何图形的性质证明在几何学中，化归思想可以用于证明几何图形的性质。
对于一个三角形ABC，要证明三边的中线交于一点，可以将三边的中线延长至交于一点D，然后使用向量运算或者相似三角形的性质，证明BD=DC，从而得出结论。
3. 数列求和在数列求和中，化归思想也经常被使用。
当要求解一个等差数列的前n项和时，可以通过化归将其转化为求解一个等差数列的平方和的问题，从而得到更简单的解法。
同样，在等比数列的求和中也可以使用化归思想，将其转化为求解一个等比数列的前n项和的问题。
4. 不等式的证明在不等式证明中，化归思想也可以起到很好的作用。
要证明一个不等式的真假性，可以将其化为一个等价的不等式，然后根据该不等式的性质，通过化归运算得到结论。
同样，在不等式的证明中，也可以使用化归思想将复杂的不等式化为简单的不等式，从而更容易进行证明。
数学教学过程中的化归思想
数学教学过程中的化归思想化归是数学教学中非常重要的思想之一，它在数学的各个领域都有广泛的应用。
化归思想可以通过将问题简化为更容易处理的形式，帮助学生解决复杂的数学问题，同时也能够帮助学生培养抽象思维能力和逻辑思维能力。
化归思想最早用于解决代数方程中的问题。
对于一个复杂的代数方程式，通过使用化归思想，可以将方程式转化为更简单的形式，从而更容易得到解。
例如，若要求解$x^2-3x+2=0$，我们可以使用化归思想，将其转化为 $(x-1)(x-2)=0$，从而得到$x=1$ 或 $x=2$ 两个解。
这个例子表明了化归思想在代数问题中的应用，使得我们可以通过简化问题来更容易地解决它。
化归思想也可以用于几何中的问题。
例如，考虑如何证明一个三角形是等边三角形。
我们可以通过化归思想，将等边三角形的性质转化为更容易证明的形式。
具体来说，我们可以首先证明等腰三角形的两边相等，然后证明等腰三角形的底边垂直于两条边，最后再证明等腰三角形的底边也相等。
通过这样的化归思想，我们将问题简化为单个的证明步骤，使得证明过程更加简单清晰。
化归思想还可以用于解决组合问题。
例如，我们可以使用化归思想来解决古典概型问题，如从一个有限的集合中随机地抽取若干个元素的问题。
我们可以将这个问题化归为计算每个元素是否被抽中的问题，然后计算每个元素被抽中的概率。
通过这样的化归思想，我们可以更清晰地解决组合问题，更好地理解古典概率问题的基本原理。
化归思想还可以在数论中得到广泛应用。
例如，我们可以使用化归思想来证明欧几里得算法的正确性。
欧几里得算法用于计算两个自然数的最大公约数。
通过使用化归思想，我们可以将证明主要分为两部分。
首先证明两个自然数的公约数也必定是两个数的最大公约数的公约数，从而最大公约数是一个有限集合中的一个元素。
然后我们验证最大公约数集合具有偏序关系和最大元素，从而得到两个自然数的最大公约数是唯一确定的。
总的来说化归思想是数学教学过程中非常重要、必不可少的思想，有利于学生更好地理解数学概念和方法，提高数学思维能力和解决问题的能力。
化归思想在高中数学函数学习中的运用
化归思想在高中数学函数学习中的运用高中数学函数学习是数学学科中的重要内容之一，也是学生数学思维能力和解题能力培养的关键环节。
化归思想是数学思维中的一种重要方法，它在高中数学函数学习中有着广泛的应用。
本文将从化归思想的概念、基本原理以及在高中数学函数学习中的具体运用三个方面进行介绍。
化归思想是数学思维中的一种归纳整理、简化问题的方法。
它通过找到一定的性质、规律或等价变换，将复杂的问题转化为简单的问题从而解决。
化归思想的基本原理是通过变量代换、函数关系等方式将问题进行转化，从而得到一个新的等价问题，进而求解原问题。
在高中数学函数学习中，化归思想有着广泛的应用。
在函数的性质研究中，化归思想可以将复杂的函数性质转化为简单的函数性质进行分析。
在研究函数的单调性时，可以通过函数的导数和二阶导数等方法将复杂的函数性质化归为对导数的符号研究，从而简化问题的分析。
在函数方程的求解中，化归思想可以将复杂的函数方程转化为简单的代数方程进行求解。
在解二次函数方程时可以通过配方等方式将二次函数方程化归为求解一元二次方程，从而简化问题的求解。
在函数的图像研究中，化归思想可以将复杂的函数图像转化为简单的函数图像进行绘制和分析。
在研究函数的平移和伸缩时可以通过化归思想将函数图像化归为基准函数的平移和伸缩，从而简化问题的分析和求解。
在化归思想的具体运用中，需要掌握一定的数学知识和技巧。
需要掌握函数的基本性质和特点。
不同函数在性质和图像上具有不同的特点，把握这些特点有助于化归思想的运用。
需要掌握函数的基本操作和转化方法。
通过变量代换将函数转化为等价形式，通过函数关系进行对应和转化等。
掌握一些常见的化归思想方法如函数复合、函数反函数、函数分解等也有助于问题的化简和求解。
化归思想是高中数学函数学习中的一种重要方法，它通过转化和简化问题，提高数学思维能力和解题能力。
在实际的函数学习中，我们需要善于运用化归思想来处理各种复杂问题，提高数学学习的效果。
高中数学解题中化归思想的运用
高中数学解题中化归思想的运用1. 引言1.1 引言化归思想在高中数学解题中扮演着重要的角色，它是一种重要的问题解决方法和思维方式。
化归思想源于古代数学思想，是通过将一个复杂问题化简为一个更为简单的问题进行求解的方法。
在现代高中数学教学中，化归思想被广泛运用于各种数学题目的解决中，不仅能够提高学生的问题解决能力，还能够培养学生的逻辑思维和创新意识。
在数学解题中，化归思想可以帮助学生快速找到解题的思路和方法，将复杂的问题简化为易解的小问题。
通过将问题进行化简，学生能够更深入地理解问题本质，找到问题的关键点，从而更快地找到解题的方法。
化归思想的运用不仅可以提高解题的效率，还可以帮助学生更好地理解数学知识，培养他们的问题解决能力和逻辑思维能力。
本文将就化归思想在高中数学解题中的运用进行详细介绍，以帮助学生更好地理解和掌握这一重要的问题解决方法。
通过学习本文，希望能够帮助学生在数学学习中更好地运用化归思想，提高解题能力，取得更好的学习成绩。
2. 正文2.1 化归思想的概念化归思想是数学解题过程中一种重要的思维方法，也是高中数学中常见的解题技巧。
其核心思想是将复杂的问题转化为简单的问题，从而更容易解决。
化归思想能够帮助我们理清问题的逻辑关系，找到问题的本质，从而更加高效地解决数学问题。
在数学中，化归思想通常可以分为两种情况：一种是将复杂的问题化归为已知的问题，通过逐步分解、转化为已知条件来解决；另一种是将问题简化，通过一系列变化和等价性的变换使得问题更容易被理解和解决。
化归思想的关键在于找到问题中的共性或者规律，将问题进行归纳或者简化，从而减少问题的复杂性。
通过化归，我们可以更好地理解问题的本质，找到解题的途径，提高解题效率。
2.2 化归思想在代数方程中的运用化归思想在代数方程中的运用非常重要，它能够帮助我们简化复杂的方程，找到解题的突破口。
在解代数方程的过程中，我们经常会遇到一些复杂的方程，例如高次方程或者多项式方程。
数学解题思想【数学解题中的化归思想】
数学解题思想【数学解题中的化归思想】一、化归的基本思想“化归”就是转化与归结的简称.化归方法是数学上解决问题的一般方法，其基本思想是：在解决问题数学问题时，常常将有待解决的问题P，通过某种转化手段，归结为另一个问题Q，而问题Q是一个相对比较容易解决或者已有明确解决方法的问题，且通过对问题Q的解决可以联想到问题P的解决.用框图可以直观表示如下：其中，问题P常被称作化归对象，问题Q常被称作化归目标或方向，其转化的手段也就被称作化归途径或者化归策略.二、化归的基本原则在处理数学问题的过程中，常将有待解决的陌生、不熟悉的问题通过转化，将它归结为一个或几个比较熟悉或者比较简单的问题来解决.这样就可以充分运用我们已有的知识、经验与方法来帮助我们处理和解决问题；将抽象的问题转化为具体直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际的问题转化为数学问题；将不同数学分支的知识相互转化，较多见于平面与空间、解析与三角、代数与几何，等等，从而使问题易于解决.三、化归的基本类型1.常量与变量的转化在处理多变元的数学问题时，可以选取原来是常量或参数看做“主元”，而把原来的变元看做“常量”，从而简化其运算的策略.例1.已知方程ax+2（2a-1）x+4a-7=0中，a为正整数，问a何值时，原方程至少有一个整数根.分析：若采用方程求根公式x=来讨论x的整数值，显然十分复杂.在原方程中，x是变元，a是参数，不妨把a与x的位置换一下，把a看做变元，x看做参数来处理.解：将原方程以a作变元，重新整理，得a（x+2）=2x+7①显然，当x=-2时，①式不成立.因此，有a=（x≠-2）②若要a为正整数，则须2x+7≥（x+2）解得-3≤x≤1（x∈Z，x≠-2），因此x只能在-3，-1，0，1中取值.分别代入②式中即知，仅当x=-3，x=-1和x=1时能使a 为正整数，此时分别有a=1和a=5，即当a为1或5时原方程至少有一个整数根.2.数与形之间的转化数与形是数学的两个主要研究对象，通过数与形的转化，可以利用数量关系的讨论来研究图形的性质，也可以利用几何图形直接地反映函数或方程中变量之间的关系.例2.求函数f（x）=的值域.分析：本题的难点在于根号难以处理，若使用单纯换元法难以奏效.结合直线的斜率的几何意义，可以构造半圆来处理根号.解：设y=，则f（x）==，于是所求y的值域就是求定点A（1，-2）与半圆y=即（x-2）+y=1（y≥0且x≠1）上的动点P（x，y）所确定的直线PA的斜率的范围.由图1知直线PA的A（1，-2）斜率为［1，+∞），即f（x）的值域为［1，+∞）.图13.一般与特殊的转化若要处理的数学问题从正面不易找到着手点时，一般性难以解决的问题，可以考虑从特殊性的问题来解决；反过来，特殊性难以解决的问题，也可以考虑从一般性的问题来解决.例3.设f（n）=++。
高中数学解题中化归思想的运用
高中数学解题中化归思想的运用化归是高中数学中常用的一种解题思想，通常能够将乍一看十分复杂的数学问题化简为简单的形式，并有助于提高解题效率。
以下就是在高中数学解题中常用的化归思想。
1. 化简式子在高中数学中，经常会遇到一些复杂的式子需要进行化简。
这时，可以利用代数恒等式、特殊值、分子分母约分、公因式等方法进行化简，使得式子更加简单明了。
例如，对于下面的式子：$$\frac{3x^2+6x}{3}$$可以通过将分子分母都除以3来化简：2. 找出规律在高中数学中，很多数列题需要找出其中的规律以求得下一项或任意一项。
通常可以通过对前几项进行观察来找出规律，并据此求出剩余的项。
例如，对于下面的题目：已知数列$\{a_n\}$的前3项$a_1=1,a_2=3,a_3=7$，且$a_n-a_{n-1}-a_{n-2}=0$，求$a_{10}$。
3. 取特例在高中数学中，有时候我们需要回归到一些基本的数学概念，通过取特例来探究问题的本质。
例如，对于下面的问题：已知$a,b>0$，且$a+b=2$，求$ab$的最大值。
由于$a+b=2$，可以取$b=2-a$，则$ab=a(2-a)=-a^2+2a$。
此时，问题就变成了求$-a^2+2a$的最大值。
该函数在$a=1$处取得最大值1，从而得到$ab$的最大值为1。
4. 对称化在高中数学中，一些问题可以通过对称化的方法得到简洁的解决方式。
例如，对于下面的问题：已知正整数$x,y,z$满足$x+y+z=1$，求$x^2+y^2+z^2$的最小值。
由于$x+y+z=1$，可以令$a=\frac{x+y}{2},b=\frac{y+z}{2},c=\frac{z+x}{2}$，则$x=a+c-b,y=b+a-c,z=c+b-a$。
此时，$x^2+y^2+z^2$可以化成$a^2+b^2+c^2$的形式。
由于$x+y+z=1$，可以得到：$$2(a+b+c)=x+y+z+3(a+b+c)-3=2$$从而可得$a+b+c=1$。
数学教学过程中的化归思想
数学教学过程中的化归思想化归思想是数学教学过程中重要的思维方法之一。
它通过将复杂的数学问题转化为相对简单的形式，从而便于问题的解决。
化归思想广泛应用于数学的各个分支，如代数、几何、概率等。
在代数中，化归思想对于解决方程和不等式问题非常有效。
通过将方程或不等式进行变形、合并和整理，可以将问题化简为更加简单和易于处理的形式。
在解一元二次方程时，可以通过配方法将方程化为标准形式，再利用求根公式求解。
同样，在解不等式问题时，可以通过考虑不等式条件的变换和合并，将不等式化为求解一元一次不等式的问题。
在几何中，化归思想可以帮助学生理解和解决复杂的几何问题。
通过将问题进行几何变形和转化，可以将几何问题简化为已知的几何定理或性质的运用。
在解决三角形的面积问题时，可以通过拆分三角形为多个已知几何形状的组合，然后计算各个组合形状的面积，再将结果进行合并得出最终答案。
在概率中，化归思想有助于分析和计算复杂的概率问题。
通过将问题进行转化和化简，可以将复杂的概率问题转化为已知的概率模型或分布的计算。
在计算复杂事件的概率时，可以通过拆分事件为多个互斥或独立事件的组合，然后利用概率的加法规则和乘法规则计算各个事件的概率，最后将结果进行合并得到最终答案。
在数学教学中，老师可以通过举一些具体的例子，引导学生运用化归思想解决数学问题。
老师可以提供一些复杂的问题，并引导学生思考如何将问题进行转化和化简。
然后，老师可以给予一些提示和指导，帮助学生找到问题的关键和思路。
老师可以让学生自己尝试解决问题，并及时反馈和指导学生的解题过程。
化归思想的重要性在于它能够提高学生的数学思维能力和问题解决能力。
通过将问题进行转化和化简，学生可以更好地理解和把握数学问题的本质和性质。
化归思想也能够培养学生的逻辑思维和创新能力。
通过运用化归思想，学生可以在解决数学问题的过程中发现问题的规律和模式，从而提高问题解决的效率和准确性。
化归思想在数学教学中起着重要的作用。
运用化归思想指导方程教学
运用化归思想指导方程教学化归思想是数学中非常重要的一种思维方法，它可以帮助我们简化和解决复杂的问题。
运用化归思想指导方程教学，可以帮助学生更好地理解和掌握方程的解题方法，提高他们的数学素养和解决问题的能力。
本文将从化归思想的基本概念和作用入手，深入探讨如何运用化归思想指导方程教学，并结合具体的案例进行分析，以期为教师和学生提供一些参考和借鉴。
一、化归思想的基本概念和作用化归思想是数学中一种重要的解题方法，它通过将复杂的问题化为简单的问题来解决。
化归思想的核心是将问题进行分解和归纳，找到问题的共性和规律，从而得到解决问题的方法。
化归思想在数学中有着广泛的应用，在代数、几何、概率等各个领域都有体现，并且在解决实际问题中也有很高的实用价值。
1. 引导学生发现问题的共性和规律在方程教学中，教师可以通过引导学生分析和比较不同类型的方程，发现它们之间的共性和规律。
比较一元一次方程、一元二次方程和二元一次方程，让学生发现它们的共同特点和解题方法，从而引导学生形成用化归思想解决方程问题的意识。
2. 提供丰富的案例和实践在教学中，可以通过丰富的案例和实践来引导学生运用化归思想解决方程问题。
可以设计一些生活中的实际问题，并结合化归思想引导学生分析和解决问题，进一步加深他们对方程解题方法的理解和掌握。
3. 鼓励学生发散思维和创新化归思想是一种很好的发散思维方式，教师在教学中可以鼓励学生利用化归思想进行问题求解，并鼓励他们提出自己的解题思路和方法。
这样可以激发学生的创造力和求知欲，让他们在解决方程问题中真正做到运用所学知识解决实际问题。
三、案例分析以下是一个实际的案例，通过化归思想指导方程教学的方法来解决方程问题。
案例：某汽车行程40km，前30km的速度是每小时40km，后10km的速度是每小时50km，求总行程所用时间。
解析：这个问题可以用化归思想进行解决。
我们可以将问题分解为两部分：前30km的行驶和后10km的行驶。
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第七讲 化归—解方程组的基本思想
初中阶段已学过的方程组有：二元一次方程组、三元一次方程组、二元二次方程组． 尽管具体到每类方程组的解法不全相同，但纵有千变万化，而万变不离其宗：
化归是解方程组的基本思想，降次与消元是化归的主要途径，因式分解、换元是降次的常用方法，代人法、加减法是消元的两种主要手段．
解一些特殊方程组(如未知数系数较大，未知数个数较多等)，需要在整体分析方程组特点基础上，灵活运用一些技巧与方法，常用的技巧与方法有迭加、迭乘、换元、配方、取倒等．
注：转化与化归是解方程(组)的基本思想，常见形式有：
分式方程整式化
无理方程有理化
高次方程低次化
多元方程一元化
通过恰当的转化，化归目的明确，复杂的方程(组)就会变为我们熟悉的、简单的方程(组)．
【例题求解】
【例1】已知正实数x 、y 、z 满足⎪⎩
⎪⎨⎧=++=++=++35158zx x z yz z y xy y x ，则xyz z y x +++= ．
思路点拨 由)1)(1(1++=+++b a b a ab 想到从分解因式入手，还需整体考虑．
【例2】方程组⎩
⎨⎧=+=+6323yz xy yz xz 的正整数解的组数是（ ） A ．4 B ．3 C 2 D ．1
思路点拨 直接消元降次解三元二次方程组较困难，从分析常数项的特征入手．
【例3】 解下列方程组：
(1)⎩⎨⎧=+-=++291322y x y x xy （2）⎩
⎨⎧=++=++24542144)53)(1(y x x y x x x
(3)⎪⎩
⎪⎨⎧=+=-++2621133y x y x 思路点拨 对于(1)，先求出整体y x +、xy 的值，对于(2)，视x x +2、y x 53+为整体，可得到)53()(2y x x x +++、)53)((2y x x x ++的值；对于(3)设a x =+31，b y =-31，用换元法解．
【例4】 已知a 、b 、c 三数满足方程组⎩
⎨⎧=+-=+482882c c ab b a ，试求方程02=-+a cx bx 的根．
思路点拨 先构造以a 、b 为两根的一元二次方程，从判别式入手，突破c 的值．
注：方程与方程组在一定的条件下可相互转化，借助配方法、利用非负数性质是促使转化的常用工具，一个含多元的方程，往往蕴含着方程组．
【例5】已知方程组⎩
⎨
⎧+==a x y x y 242有两个实数解为⎩⎨⎧==11y y x x 和⎩⎨⎧==22y y x x 且021≠x x ，21x x ≠，设2111x x b +=， (1)求a 的取值范围；(2)试用关于a 的代数式表示出b ；
(3)是否存在3=b 的a 的值?若存在，就求出所有这样的a 的值；若不存在，请说明理由．
思路点拨 代人消元，得到关于x 的一元二次方程，综合运用根的判别式、韦达定理等知识求解，解题中注意隐含条件的制约，方能准确求出a 的取值范围．
注：方程组解的性质、个数的探讨问题，往往转化为一元二次方程根的个数、性质的讨论，但这种转化不一定是等价的，注意隐含条件的制约，如本例中042>=x y ，则0>x ，这就是一个隐含条件．
学历训练
1．一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是⎩
⎨
⎧-=-=42y x ，试写出符合要求的方程组 (只要填写一个即可)．
2．若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+222y x m y x 有两组相同的实数解，则m 的取值是 ．
3．实数x 、y 、z 满足⎪⎩
⎪⎨⎧-==+-+y x z xy y x 3602232，则z y x +2的值为 ． 4．已知x 、y 、z 2是正整数，并且满足⎩⎨⎧
+-++=++=-153043z y x z y x y x ，那么z y x ++的值等于 ．
5．已知38422=+mn m ，560232=+n mn ，则144613222-++n mn m 的值为( )
A ．2001
B ．2002
C ． 2003
D ．2004
6．已知1=+y x ，3733333223=+-+++y y y x x x ，则44)1()1(-++y x =（ ）
A ．337
B ．17
C ．97
D ．1
7．解下列方程组：
（1）⎩⎨⎧=+=++301122xy y x xy y x （2）⎪⎩
⎪⎨⎧=+-+=-27332222y xy x y x y x
(3) ⎪⎩
⎪⎨⎧=+=-++12512y x y x 8．已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==m
x y x y 22有两个实数解⎩⎨⎧==11y y x x 和⎩⎨⎧==22y y x x ，且231121=+x x ，求m 的值．
9．方程组⎩⎨⎧=+++=+3211
22y x y x y x 的解是 ．
10．已知实数0x ，0y 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==1
1x y x y 的解，则0x +0y = ．
11．已知
k a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+++=+++=+++=+++=+++5432145321354212543115432，且054321≠++++a a a a a ，则k 是的值为 ．
12．已知方程组的两组解是（11,y x ）与（22,y x ），则1221y x y x +的值是 ．
13．已知042=++p mn ，4=-n m ，则n m +的值是( )
A ．4
B ．2
C ．一2
D ．0
14．设x ，y 为实数，且满足⎪⎩
⎪⎨⎧=-+--=-+-1)1(2003)1(1)1(2003)1(33y y x x ，则y x +=（ ） A ．1 B ．一1 C ． 2 D ．一2
15．解下列方程组： (1) ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=++=-+-+612331y y x y x y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++xy y x y x y x 24)4)(9(104922 (3)2)23(3)23(222--++-+=x x x x x
16．已知方程组⎩⎨
⎧--=+----=-+-)2(01)1(022y x a y x 的两个解为⎩⎨⎧==11y y x x 和⎩⎨⎧==22y y x x ，且1x ，2x 是两个不相等的实数，若116832212221--=-+a a x x x x ．
(1)求a 的值；
(2)不解方程组判断方程组的两个解能否都是正数?为什么?
17．已知a 、b 是方程012=--t t 的两个实根，解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+y a
y b x x b y a x 11
18．已知x 、y 为实数，且满足17=++y x xy ，6622=+xy y x ，求432234y xy y x y x x ++++的值．
参考答案。